Nghiên cứu một số phương trình hàm sử dụng công cụ giải tích (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN CHI NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỬ DỤNG CƠNG CỤ GIẢI TÍCH Demo Version - Select.Pdf SDK Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Huế, năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Học viên Nguyễn Thị Lan Chi Demo Version - Select.Pdf SDK LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tác giả xin tỏ lời biết ơn trân trọng đến PGS.TS Huỳnh Thế Phùng tận tình giúp đỡ, hướng dẫn động viên trình thực luận văn Tác giả xin tỏ lời biết ơn trân trọng đến trường Đại học Sư phạm Huế, trường Đại học Đồng Nai, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Huế, phòng Nghiên cứu Khoa học - Sau đại học Quan hệ Quốc tế trường Đại học Đồng Nai tận tình giúp đỡ tạo điều kiện trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, đồng nghiệp công tác trường PTCS Lý Tự Trọng, bạn học viên tham gia học tập trường Đại học Đồng Nai cổ vũ, động viên giúp đỡ thời gian làm luận văn Cuối tác giả xin cảm ơn động viên, giúp đỡ cảm thông sâu sắc ba mẹ, anh chị em, chồng hai tác giả Demo Version - Select.Pdf SDK Tác giả Nguyễn Thị Lan Chi Mục lục Chương Hàm cộng tính song cộng tính 1.1.Hàm cộng tính liên tục 1.2.Hàm cộng tính gián đoạn 1.3.Hàm cộng tính mặt phẳng phức 13 1.3.1 Hàm cộng tính mặt phẳng thực 13 1.3.2 Hàm cộng tính mặt phẳng phức 15 1.4.Hàm song cộng tính 18 Chương Ph.trình hàm nhận từ định lý giá trị trung bình 22 2.1.Phương trình hàm từ Định lý Lagrange 22 Demo Version - Select.Pdf SDK 2.1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange 22 2.1.2 Phương trình hàm dẫn xuất từ định lý Lagrange 24 2.2.Phương trình hàm từ Định lý Pompeiu 41 2.2.1 Định lý giá trị trung bình Pompeiu 41 2.2.2 Phương trình hàm dẫn xuất từ định lý Pompeiu 43 Chương Phương trình hàm Cauchy dạng mở rộng 49 3.1.Các phương trình hàm Cauchy 50 3.1.1 Phương trình mũ Cauchy 50 3.1.2 Phương trình Cauchy - logarit 51 3.1.3 Phương trình Cauchy nhân tính 53 3.2.Phương trình hàm Jensen 55 3.3.Phương trình hàm Pexider 59 LỜI MỞ ĐẦU Phương trình hàm xuất khắp nơi Sự ảnh hưởng khả áp dụng cảm nhận hầu khắp lĩnh vực – không toán học mà ngành khoa học khác Các tốn dạng phương trình hàm thường xuất giải tích, hình học, thống kê, khoa học máy tính, lý thuyết tổ hợp, vật lý, tốn kinh tế, sinh học, lý thuyết hệ thống thuế, khoa học xã hội Mặc dù nhà toán học lỗi lạc – bao gồm Abel (1823), Banach (1920), Cauchy (1821), Darboux (1895), Euler (1768), Ostrowski (1929), Pexider (1903), Poisson (1804) – từ thời d’Alembert có đóng góp định vào lĩnh vực này, khơng có ấn phẩm thức phương trình hàm cơng bố xuất tác phẩm “Lectures on Functional Equations and Their Applications” J Aczél (1966) Kể từ đó, cơng trình nghiên cứu phương trình hàm cơng bố ngày nhiều gắn liền với ứng dụng thiết thực Phương trình hàm xuất sớm Phương trình hàm Cauchy, với bốn dạng sau: ∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y) fDemo (x + y) Version = f (x)f (y)- Select.Pdf SDK∀x, y ∈ R f (xy) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R f (xy) = f (x)f (y) ∀x, y ∈ R Ngoài ra, với ứng dụng khác nhau, người ta nghiên cứu nhiều phương trình khác, Phương trình hàm dạng Jensen, dạng Pexider, Để tiếp cận phương trình này, ngồi cơng cụ giải tích cổ điển giới hạn, liên tục, đạo hàm, nhiều công cụ giải tích đại sử dụng để nhận kết có tính ứng dụng cao Vì nhận thấy phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn, có nhiều ứng dụng thực tế, dạng toán thường sử dụng chương trình tốn phổ thơng cho học sinh khá, giỏi luyện tập, chọn đề tài : “Nghiên cứu số phương trình hàm sử dụng cơng cụ giải tích” cho luận văn thạc sĩ chun ngành giải tích mình, mặt để rèn luyện thêm kỹ toán, mặt khác trang bị thêm cho thân số phương pháp hiệu việc giải tốn phổ thơng Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương trình bày hàm cộng tính song cộng tính Ngồi hàm cộng tính, song cộng tính liên tục, việc biểu diễn tường minh hàm cộng tính song cộng tính khơng liên tục thực • Chương trình bày phương trình hàm nhận từ định lý giá trị trung bình Đó phương trình hàm từ định lý Lagrange, định lý Pompeiu • Chương cuối trình bày dạng mở rộng phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen phương trình hàm Pexider Đây đề tài tương đối rộng so với kiến thức trang bị nên tác giả gặp phải nhiều khó khăn thực Mặc dù nỗ lực nhiều, luận văn khó tránh khỏi thiếu xót đáng tiếc Tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Demo Version - Select.Pdf SDK Tác giả Nguyễn Thị Lan Chi Chương Hàm cộng tính song cộng tính Mục tiêu chương trình bày vài kết liên quan đến hàm cộng tính song cộng tính Nghiên cứu hàm cộng tính đề cập A.M Legendre, người cố gắng tìm cách giải phương trình hàm Cauchy: f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R Tài liệu Kuzma (1985) đề cập kỹ đến hàm cộng tính Ngồi hàm cộng tính đề cập tài liệu Aczél Demo Version - Select.Pdf SDK (1966), Aczél (1987), Aczél Dhombres (1989), Smital (1988) Các nghiệm tổng qt phương trình hàm có hai hay nhiều biến thể giới hạn cộng tính, nhân tính, tính logic tính hàm mũ 1.1 Hàm cộng tính liên tục Trong tiểu mục này, ta định nghĩa hàm cộng tính nghiên cứu trạng thái chúng giả thiết ổn định khác tính liên tục, tính khả vi, tính khả nghiệm, tính đơn điệu Định nghĩa 1.1 Hàm f : R → R, với R tập số thực được, gọi cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) ... tục, đạo hàm, nhiều cơng cụ giải tích đại sử dụng để nhận kết có tính ứng dụng cao Vì nhận thấy phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn, có nhiều ứng dụng thực tế, dạng toán thường sử dụng chương... dụng chương trình tốn phổ thơng cho học sinh khá, giỏi luyện tập, chọn đề tài : Nghiên cứu số phương trình hàm sử dụng cơng cụ giải tích cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành giải tích mình, mặt... Ngoài ra, với ứng dụng khác nhau, người ta nghiên cứu nhiều phương trình khác, Phương trình hàm dạng Jensen, dạng Pexider, Để tiếp cận phương trình này, ngồi cơng cụ giải tích cổ điển giới