Hình học xạ ảnh và một số ứng dụng trong hình học sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VĂN ĐỨC CHÍN HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VĂN ĐỨC CHÍN HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2015 Mục lục Mở đầu CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 1.2 1.3 Mặt phẳng xạ ảnh 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Mục tiêu tọa độ xạ ảnh 1.1.3 Đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh 1.1.4 Tỉ số kép P 1.1.5 Các đường bậc hai P Mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine 1.2.1 Mục tiêu tọa độ affine A2 10 1.2.2 Đường thẳng A2 10 1.2.3 Tỉ số kép A2 11 1.2.4 Thể affine đường cônic A2 11 Phép chiếu xuyên tâm tính đối ngẫu 13 1.3.1 Ánh xạ xạ ảnh 13 1.3.2 Phép chiếu xuyên tâm 13 1.3.3 Tính đối ngẫu mặt phẳng xạ ảnh 14 1.3.4 Đối ngẫu phép chiếu xuyên tâm 15 Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp 2.1 16 Một số kết hình học sơ cấp thu từ định lý mặt phẳng xạ ảnh 16 2.1.1 Định lý Papuýt 16 2.1.2 Định lý Mênêlauýt Định lý Xêva 22 2.1.3 Định lý Desargues 26 2.1.4 2.2 2.3 Định lý Pascal 29 Sáng tạo số toán hình học sơ cấp từ toán mặt phẳng xạ ảnh 35 Ứng dụng phép chiếu xuyên tâm tính đối ngẫu 39 2.3.1 Bài toán đối ngẫu 39 2.3.2 Ứng dụng phép chiếu xuyên tâm 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Hình học xạ ảnh môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học tiếng nhiều toán hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh công cụ hữu hiệu việc giải sáng tạo toán hình học sơ cấp Mục đích luận văn trình bày số khái niệm mặt xạ ảnh, mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine đặc biệt ứng dụng hình học xạ ảnh để giải sáng tạo số định lý toán hình học sơ cấp Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương - Cơ sở lý thuyết Chương - Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Trong chương 1, trình bày kiến thức sở mặt phẳng xạ ảnh mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine Mục chương giới thiệu khái niệm mặt phẳng xạ ảnh P liên kết với không gian véc tơ thực chiều V ; mục tiêu tọa độ xạ ảnh; khái niệm phương trình đường thẳng P ; tỷ số kép P đường bậc hai P Trong mục tiếp theo, trình bày mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine Mục cuối chương giới thiệu ánh xạ xạ ảnh, đặc biệt phép chiếu xuyên tâm, trình bày tính đối ngẫu không gian xạ ảnh Chương luận văn trình bày ứng dụng mặt phẳng xạ ảnh mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine vào việc giải sáng tạo số định lý toán hình học sơ cấp Chọn trước đường thẳng ∆ mặt phẳng xạ ảnh P Khi tập hợp A2 = P \ ∆ có cấu trúc mặt phẳng affine Các điểm nằm đường thẳng ∆ gọi điểm vô tận Từ định lý toán mặt phẳng xạ ảnh P , cách chọn đường thẳng ∆ thích hợp ta sáng tạo nhiều toán khác mặt phẳng affine Luận văn trình bày việc chuyển đổi số định lý tiếng số toán mặt phẳng xạ ảnh Với cách làm này, thu nhiều kết hay hình học sơ cấp Trong phần cuối chương 2, trình bày ứng dụng tính đối ngẫu không gian xạ ảnh để sáng tạo toán từ số toán cho trước Đồng thời, trình bày ứng dụng phép chiếu xuyên tâm số toán chứng minh hình học Do thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý từ quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Văn Đức Chín Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Mặt phẳng xạ ảnh Ở mục này, trình bày sơ lược mặt phẳng xạ ảnh số yếu tố liên quan sử dụng phần luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho V không gian vectơ thực 3- chiều Ta ký hiệu [V ] tập hợp không gian vectơ chiều V Một mặt phẳng xạ ảnh thực liên kết với không gian V ba (P, p, V ), P tập khác rỗng p : [V ] −→ P song ánh, kí hiệu P Mỗi phần tử A ∈ P gọi điểm Nếu điểm M ∈ P , M = p(V ) = x ∈ V , cho V = x , ta gọi x vectơ đại diện cho điểm M Nhận xét: Hai véc tơ đại diện cho điểm cộng tuyến với Hai véc tơ đại diện cho hai điểm phân biệt độc lập tuyến tính 1.1.2 Mục tiêu tọa độ xạ ảnh Trong mặt phẳng xạ ảnh P hệ điểm {M1 , M2 , M3 } gọi hệ điểm độc lập hệ vectơ đại diện tương ứng chúng {x1 , x2 , x3 } độc lập tuyến tính Hệ điểm {A1 , A2 , A3 ; E} gọi mục tiêu ứng với sở đại diện {e1 , e2 , e3 } P {A1 , A2 , A3 } độc lập e = e1 + e2 + e3 , e = vectơ đại diện E ei vectơ đại diện cho Ai , với i = 1, 2, Giả sử {A1 , A2 , A3 ; E} mục tiêu ứng với sở {e1 , e2 , e3 } M ∈ P có vectơ đại diện x Khi đó, x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ba (x1 : x2 : x3 ) gọi tọa độ điểm M mục tiêu cho ta viết M (x1 : x2 : x3 ) 1.1.3 Đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh Cho V không gian véc tơ chiều không gian véc tơ V Kí hiệu [V ] tập tất không gian véc tơ chiều V Khi tập hợp p([V ]) gọi đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh P , ký hiệu P ∆ Giả sử đường thẳng ∆ qua hai điểm phân biệt M1 , M2 ∈ P điểm X(x1 , x2 , x3 ) ∈ ∆ Khi ta có [X] = t1 [M1 ] + t2 [M2 ], (t21 + t22 = 0), với [X], [M1 ], [M2 ] ma trận tọa độ cột điểm X, M1 , M2 Từ ta có phương trình ∆ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = (a1 , a2 , a3 không đồng thời 0) Bộ số (a1 , a2 , a3 ) gọi tọa độ đường thẳng ∆ mục tiêu chọn 1.1.4 Tỉ số kép P Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng: Trong P với mục tiêu cho trước, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thuộc đường thẳng Giả sử [C] = k1 [A] + l1 [B] [D] = k2 [A] + l2 [B] Khi đó, tỉ số kép bốn điểm A, B, C, D ký hiệu [A, B, C, D] xác định l1 l2 : k1 k2 Nếu [A, B, C, D] = −1 ta nói A, B, C, D hàng điểm điều hòa (hay cặp C, D chia [A, B, C, D] = điều hòa cặp điểm A, B) Tỉ số kép chùm bốn đường thẳng: Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δ P Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độ [α], [β[, [γ[, [δ[ Ta có [γ] = µ1 [α] + λ1 [β], [δ] = µ2 [α] + λ2 [β], đó, µ1 , µ2 , λ1 , λ2 hệ số thực khác không Tỉ số kép chùm bốn đường thẳng xác định [α, β, γ, δ] = λ1 λ2 : µ1 µ2 Nếu [α, β, γ, δ] = −1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa Nhận xét: chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt đường thẳng tương ứng bốn điểm A, B, C, D ta có [α, β, γ, δ] = [A, B, C, D] Đặc biệt, chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ điều hòa A, B, C, D hàng điểm điều hòa 1.1.5 Các đường bậc hai P Một đường bậc hai P tập hợp S điểm X(x1 , x2 , x3 ) ∈ P , thỏa mãn phương trình a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a12 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0, đó, aij hệ số không đồng thời aij = aji , với i, j = 1, 2, Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, ta đưa phương trình đường bậc hai P năm dạng chuẩn tắc sau: Đường Ôvan ảo x21 + x22 + x23 = Đường cônic x21 + x22 − x23 = Cặp đường thẳng ảo x21 + x22 = Cặp đường thẳng phân biệt −x1 + x22 = Cặp đường thẳng trùng x21 = 1.2 Mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine Cho (và cố định) đường thẳng ∆ mặt phẳng xạ ảnh P với không gian véc tơ thực chiều V Đặt A2 = P \∆ Chọn mục tiêu {A1 , A2 , A3 ; E} P cho {A1 , A2 } ∈ ∆ Khi đường thẳng ∆ có phương trình x3 = x1 x2 Giả sử X(x1 , x2 , x3 ) ∈ A2 x3 = Đặt X1 = X2 = số (X1 , X2 ) x3 x3 gọi tọa độ không điểm X mục tiêu xạ ảnh cho ta viết X = (X1 , X2 ) Khi có song ánh từ tập A2 vào R2 cách ta cho điểm thuộc A2 tương ứng với tọa độ không Gọi V không gian vectơ chiều trường số thực R với sở {a1 , a2 } ta xét ánh xạ ϕ: A2 × A2 −→ V −−→ (X, Y ) −→ ϕ(X, Y ) = XY = v = (Y1 − X1 )a1 + (Y2 − X2 )a2 Ta có • ∀X = (X1 , X2 ) ∈ A2 v = (v1 , v2 ) ∈ V Khi có điểm Y (Y1 , Y2 ), với Y1 = X1 + v1 , Y2 = X2 + v2 , thỏa mãn ϕ(X, Y ) = v • ∀X = (X1 , X2 ), Y = (Y1 , Y2 ), Z = (Z1 , Z2 ) ∈ A2 , ϕ(X, Z) = ϕ(Z, Y ) + ϕ(Y, X) Điều suy ra, A2 không gian affine liên kết với không gian véc tơ V Ta gọi A2 mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine 1.2.1 Mục tiêu tọa độ affine A2 Ta xét mục tiêu xạ ảnh {A1 , A2 , A3 ; E} P Gọi E1 , E2 giao điểm đường thẳng A1 A3 , A2 A3 với đường thẳng ∆ Tọa độ không E1 , E2 A3 E1 = (1, 0), E2 = (0, 1), A3 = (0, 0) −−−→ −−−→ Đặt A3 E1 = e1 A3 E2 = e2 {A3 ; E1 , E2 } mục tiêu affine A2 , gọi mục tiêu affine sinh mục tiêu xạ ảnh {A1 , A2 , A3 ; E} −−→ Khi đó, ∀X = (X1 , X2 ) ∈ A2 ta có A3 X = X1 e1 + X2 e2 , tức (X1 , X2 ) tọa độ affine X mục tiêu affine {A3 ; E1 , E2 } 1.2.2 Đường thẳng A2 Giả sử d1 đường thẳng P không trùng với ∆ Khi đó, d1 = d1 \∆ đường thẳng A2 Thật vậy, với mục tiêu xạ ảnh chọn, giả sử đường thẳng d1 có phương trình a1 x + a2 x + a3 x = (1.2.1) Vì d1 đường thẳng không trùng với ∆ nên X ∈ d1 , X = (x1 , x2 , x3 ) x3 = Ta chia hai vế (1.2.1) cho x3 tọa độ không X thỏa mãn phương trình a1 X1 + a2 X2 + a3 = (1.2.2) Từ (1.2.2) suy d1 đường thẳng A2 Cho d1 , d2 hai đường thẳng phân biệt P khác ∆, I = d1 ∩ d2 A2 = P \∆ gọi d1 , d2 đường thẳng tương ứng với d1 , d2 Khi đó: • I ∈ ∆ d1 d2 ; 10 Hệ 2.1.16 Nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường cônic giao điểm cặp cạnh đối diện giao điểm tiếp tuyến cặp đỉnh đối diện bốn đỉnh thẳng hàng Hệ 2.1.17 Nếu ∆ABC nội tiếp đường cônic giao điểm cạnh với tiếp tuyến đỉnh đối diện ba điểm thẳng hàng Từ Hệ 2.1.17 định lý Pascal ta chuyển số toán sơ cấp 31 sau Cách chuyển 1: • Ta chọn đường thẳng ∆ tiếp tuyến qua điểm C cônic ta xét: A2 = P \∆ • Lúc A2 , ∆ giao với cônic điểm C nên cônic trở thành parabol(P ), ta có toán sau Bài toán Từ hai điểm A, B phân biệt Parabol (P ) kẻ đường thẳng a, b song song với phương tiệm cận (P ) Tiếp tuyến A, B cắt b, a M, N Chứng minh ABM N hình bình hành Chứng minh: − Giả sử (P ) có phương trình: y = 2x Chọn phương tiệm cận (P ) là:→ v = (0; 1) Với A(x0 , y0 ),B(x1 , y1 ) ∈ (P ) phương trình đường thẳng a là: y = y0 phương trình đường thẳng b là: y = y1 Các tiếp tuyến A, B (P ) có phương trình : y0 y = x + x0 ; y1 y = x + x1 32 Nên M = (y0 y1 − x0 , y1 ) N = (y0 y1 − x1 , y0 ) −−→ ⇒ M N = (x0 − x1 , y0 − y1 ) −→ Lại có AB = (x0 − x1 , y0 − y1 ) −−→ −→ Vậy M N = AB nên ABN M hình bình hành Cách chuyển 2: • Nếu ta chọn đường thẳng vô tận BC xét A2 = P \ BC • Lúc A2 , ∆ giao với cônic hai điểm phân biệt B, C nên cônic trở thành Hypebol Vì AO3 ∩ BC ∩ O1 O2 = O3 nên AO3 (hay tiếp tuyến A) song song với O1 O2 ta có toán sau Bài toán Từ điểm A nằm Hypebol (H) dựng đường thẳng song song với phương tiệm cận, tạo với hai đường tiệm cận hình bình hành Chứng minh đường chéo không chứa A hình bình hành song song với tiếp tuyến A (H) Một số toán khác chuyển từ Hệ 2.1.16 Cách chuyển 1: • Ta chọn đường thẳng AC làm đường thẳng vô tận xét A2 = P \AC 33 • Trong A2 cônic trở thành Hypebol với hai đường tiệm cận OM ON , O tâm (H) Các đường thẳng DO3 ,BO4 song song OM DO4 ,BO3 song song ON O, O3 , O4 thẳng hàng Ta có toán sau Bài toán Cho hai điểm B,D,∈ (H) Qua B, D dựng đường thẳng song song với đường tiệm cận, chúng cắt O3 , O4 Khi O3 O4 qua tâm O (H) Bằng cách làm tương tự chọn BC làm đường thẳng vô tận ta có toán sau: Bài toán Cho Hypebol (H) A, D hai điểm phân biệt (H) Chứng minh giao điểm O1 , O2 tương ứng tiếp tuyến D A với đường tiệm cận nằm đường thẳng song song với đường thẳng AD Nhận xét: Định lý Pascal định lý quan trọng hình xạảnh nói đường cônic Vì vậy, từ định lý hệ ta chọn đường ∆ đường 34 không giao với cônic, tiếp xúc với cônic hay cắt cônic hai điểm phân biệt ta có tương ứng toán elip,parabol hay hypebol hình sơ cấp Điều thể rõ vai trò làm gốc toán xạảnh Trên lấy ví dụ thể ứng dụng xuất phát từ Hệ 2.1.16, Hệ 2.1.17 2.2 Sáng tạo số toán hình học sơ cấp từ toán mặt phẳng xạ ảnh Trong phần chương này, trình bày việc chuyển số toán mặt phẳng xạ ảnh để xây dựng toán hình học sơ cấp Bài toán Trong P cho tứ giác ABM N nội tiếp cônic S Hai tiếp tuyến A, B cắt O Gọi Q, P, E giao điểm AM với BN, AN với BM AB với M N Chứng minh Q, O, P thẳng hàng Chứng minh: Áp dụng Hệ 2.1.16 định lý Pascal ta có kết Cách chuyển 1: • Gọi ∆ đường thẳng qua điểm E toán ta xét mô hình A2 = P \∆ • Khi A2 ta có AB M N cônic S trở thành Elip (E) nên có toán sau hình sơ cấp Bài toán Cho Elip (E) ngoại tiếp hình thàng ABM N , AB M N , gọi Q giao điểm BN AM , O giao điểm hai tiếp tuyến A B P giao điểm hai đường chéo AN BM hình thàng ABMN Chứng minh P, Q, O thẳng hàng 35 Cách chuyển 2: • Chọn ∆ tiếp tuyến N cônic xét A2 = P \∆ • Trong A2 , cônic trở thành parabol N A, N B hai đường thẳng song song với phương tiệm cận Ta có N A ∩ BM = P, N B ∩ AM = Q Vậy nên toán tương ứng hình sơ cấp sau Bài toán Cho ba điểm A, B, M phân biệt nằm parabol (P ) Từ A, B kẻ đường thẳng a, b song song với phương tiệm cận (P ) Gọi P, Q giao điểm cặp cạnh a với BM, b với AM O giao cặp tiếp tuyến với (P ) A, B Chứng minh O, P, Q thẳng hàng Cách chuyển 3: • Chọn ∆ đường thẳng qua A B xét A2 = P \AB • Trong A2 ta có Hypebol với hai tiệm cận OA, OB ta có M Q N P , M P N Q hay M N P Q hình bình hành Gọi I tâm hình bình hành, ta có toán sau hình sơ cấp 36 Bài toán Cho Hypebol (H), gọi O giao điểm hai tiệm cận; M, N hai điểm thuộc nhánh (H) I trung điểm M N , IO lấy điểm Q Chứng minh P đỉnh hình bình hành QN P M nhận I làm tâm P thuộc QO Trước trình bày toán tiếp theo, giới thiệu khái niệm hình bốn cạnh toàn phần mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa 2.2.1 Trong mặt phẳng xạ ảnh P hình gồm bốn đường thẳng ba đường đồng quy gọi hình bốn cạnh toàn phần, đường thẳng cạnh, giao điểm hai cạnh gọi đỉnh, hai đỉnh không nằm cạnh gọi hai đỉnh đối diện, đường thẳng nối hai đỉnh đối diện đường chéo Bài toán Chứng minh hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo qua điểm chéo chia điều hòa hai đường thẳng nối hai điểm chéo với hai đỉnh nằm đường chéo thứ ba Cách chuyển 1: 37 • Chọn BL làm đường thẳng ∆ xét A2 = P \BL • Trong A2 AKJD, AJDK [M CJK] = [JKM ] = −1, [M LAD] = [ADM ] = −1 nên ta có toán sau Bài toán 10 Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo giao trung điểm đường (Tính chất hình bình hành) Cách chuyển 2: • Chọn ∆ đường thẳng qua L không qua điểm lại toán ta xét A2 = P \∆ • Trong A2 AD BI ta có toán sau Bài toán 11 Chứng minh hình thàng trung điểm hai cạnh đáy chia điều hòa cặp giao điểm hai đường chéo giao điểm hai cạnh bên 38 2.3 2.3.1 Ứng dụng phép chiếu xuyên tâm tính đối ngẫu Bài toán đối ngẫu Áp dụng tính chất đối ngẫu mặt phẳng P , thay đổi vai trò điểm đường thẳng, ta thu dạng thể khác nhiều định lý toán P (và hình học sơ cấp) Sử dụng quy tắc này, định lý Papuýt cho ta toán sau: Bài toán 12 (Bài toán đối ngẫu Định lý Papuýt) Cho ba đường thẳng a, b, c đồng quy D ba đường thẳng a , b , c đồng quy D Gọi m đường thẳng qua a ∩ b a ∩ b, n đường thẳng qua a ∩ c a ∩ c, p đường thẳng qua b ∩ c b ∩ c Khi m, n, p đồng quy điểm D Chứng minh: Gọi I = a ∩ c, J = a ∩ c , K = m ∩ b Ta cần chứng minh I, J, K thẳng hàng Thật vậy, gọi N = c ∩ b , P = b ∩ c , Q = b ∩ a , R = a ∩ b Áp dụng định lý Papuýt cho hai ba (D , N.R) (D, Q, P ) tương ứng b b ta có I = D Q ∩ N D, J = D P ∩ RD, K = QR ∩ N P Vậy I, J, K thẳng hàng Bây cách chọn đường thẳng ∆ (trong mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine) mục trước ta thu số toán hình học sơ cấp từ toán đối ngẫu Với việc chọn đường thẳng ∆ qua điểm D ta thu toán sau: 39 Bài toán 13 Trong mặt phẳng, cho sáu điểm A, B, C, A , B , C cho AA BB CC AB , BC , CA đồng quy T Chứng minh AC cắt CB AC , BA , CB đồng quy điểm Lời giải Gọi D giao điểm AA BC , E giao điểm CC AB Giả sử AC’ cắt CB U Ta chứng minh A , B, U thẳng hàng Áp dụng định lý Menelaus chọn tam giác C EA với cát tuyến B U C ta có U A CC B E = U C CE B A Vì AA BB CC nên ta có CC A D B E CE A A B A Từ đẳng thức ta có A D U A BC = A A U C BD Áp dụng định lý Menelaus đảo cho tam giác ADC ta có A , B, U thẳng hàng Với việc chọn đường thẳng ∆ qua D D ta thu toán sau: Bài toán 14 Cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A , B , C cho AA BB CC AB BC CA Chứng minh AC cắt CB AC , BA , CB đồng quy điểm Với việc chọn đường thẳng ∆ qua ba điểm D, D D ta lại toán sau đây: Bài toán 15 Cho hai tam giác ABC A B C cho AA BB CC AB BC CA Chứng minh AC CB AC BA CB Hoàn toàn tương tự, có toán đối ngẫu nhiều định lý toán khác 2.3.2 Ứng dụng phép chiếu xuyên tâm Phép chiếu xuyên tâm phép chiếu xuyên trục sử dụng để giải nhiều toán mặt phẳng xạ ảnh hình học sơ cấp Ở đây, trình 40 bày chứng minh định lý papuýt chứng minh định lý Desargues thứ cách sử dụng phép chiếu xuyên tâm Ví dụ 2.3.1 (Chứng minh định lý papus phép chiếu xuyên tâm) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho đường thẳng phân biệt d1 ,d2 cắt O Trên d1 cho điểm phân biệt A, B, C = O Trên d2 cho điểm phân biệt A , B , C khác O Gọi D, E, F giao điểm BC B C, CA AC , AB A B Khi D, E, F thẳng hàng Chứng minh: Gọi M = AC ∩ B C N = AB ∩ A C Xét phép chiếu xuyên tâm h : AB −→ d1 với tâm A g : d1 −→ B C với tâm C Đặt f = gh : AB −→ B C f biến B thành B ⇒ f phép chiếu xuyên tâm từ AB đến B C Ngoài ra, f biến A, F, N thành M, D, C Vì vậy, AM (≡ AC ), DF, N C(≡ AC ) đồng quy tâm chiếu f Từ suy D, E, F thẳng hàng Ví dụ 2.3.2 (Chứng minh định lý Desargues thứ nhất) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai tam đỉnh ABC A B C D = AB ∩ A B , E = BC ∩ B C ,F = AC ∩ A C Khi đó, D, E, F thẳng hàng AA , BB , CC đồng quy 41 Chứng minh: Điều kiện cần: Gọi M = CC ∩ A B , N = CC ∩ DF , P = CC ∩ AB Xét phép chiếu sau: h : AB −→ DF với tâm C biến A, B, D, P thành F, E, D, N g : DF −→ AB với tâm C biến F, E, D, N thành A , B , D, M Đặt f = g ◦ h : AB −→ A B phép chiếu xuyên tâm (Do tích phép chiếu xuyên tâm f giữ bất động D = AB ∩ A B ) Do đó: AA , BB , M P (≡ CC ) phải đồng quy tâm chiếu O f Suy ra: AA , BB , CC đồng quy Điều kiện đủ : Xét hai tam đỉnh DBB F CC có A = DB ∩ F C, A = DB ∩ F C , O = BB ∩ CC O, A, A thẳng hàng (do AA , BB , CC đồng qui O ) nên áp dụng chiều thuận định lý Desargues thứ I BC, B C , DF đồng qui E, tức D, E, F thẳng hàng Ví dụ 2.3.3 Cho tứ giác ABCD có AB cắt CD E, BC cắt AD F , AC BD theo thứ tự cắt EF G, H Chứng minh [EF GH] = −1 Lời giải 42 Xét phép chiếu tâm A tâm C ta có [EF GH] = [BDKH]) [BDKH] = [F EGH] Từ theo tính chất tỷ số kép ta có [EF GH] = [F EGH] = [EF GH] Từ [EF GH]2 = hay [EF GH] = −1 Trên đây, trình bày lời giải số toán việc sử dụng phép chiếu xuyên tâm Hoàn toàn tương tự ta sử dụng phép chiếu xuyên tâm để giải nhiều toán khác Dưới đưa số toán đề nghị tương tự: Sử dụng phép chiếu xuyên tâm chứng minh định lý Mênêlauýt Trong P , cho đường thẳng phân biệt d d ba điểm phân biệt A, B, C không thuộc đường thẳng Một đường thẳng thay đổi qua A cắt d M , cắt d M Gọi N giao điểm BM d , N giao điểm CM d Chứng minh tồn điểm I ∈ P để I, N, N thẳng hàng Trong P , cho đường thẳng phân biệt d d ba điểm phân biệt A, B, C không thuộc đường thẳng Một đường thẳng thay đổi qua A cắt d M , cắt d M Xác định tập hợp giao điểm BM CM Chọn đường thẳng vô tận qua A, B, C từ suy kết hình học affine phẳng mô hình xạ ảnh không gian affine 43 Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau: • Trình bày khái niệm mặt phẳng xạ ảnh số khái niệm liên quan như: đường thẳng, tỷ số kép, phép chiếu xuyên tâm, tính đối ngẫu, • Xây dựng mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine A2 • Trình bày bước chuyển toán P sang A2 • Trình bày số định lý số toán A2 chuyển từ P cách chọn đường thẳng vô tận ∆ cách sử dụng tính đối ngẫu không gian xạ ảnh • Trình bày ứng dụng phép chiếu xuyên tâm số toán chứng minh hình học 44 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương (1999), Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục [2] Phạm Bình Đô (2003), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học sư phạm [3] Nguyễn Mộng Hy (2003), Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên)(2008), Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Cảnh Toàn (1979), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục 45 [...]... đường nối hai tâm phải tự ứng 15 Chương 2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp Từ mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine, ta có thể đưa một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh về những bài toán sơ cấp bằng cách chọn một đường thẳng thích hợp trong mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận Do đó từ một bài toán xạ ảnh ban đầu ta có thể có nhiều bài toán sơ cấp khác nhau Các bước thực hiện chuyển đổi... diễn lại các khái niệm, tính chất trong bài toán cũ sang hình sơ cấp 3 Phát biểu bài toán sơ cấp vừa chuyển 2.1 Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý trong mặt phẳng xạ ảnh Trước tiên, chúng tôi trình bày một số định lý trong mặt phẳng affine thu được bằng cách chuyển từ các định lý quan trọng trong mặt phẳng xạ ảnh 2.1.1 Định lý Papuýt Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 , định lý Papuýt được... có tương ứng bài toán về elip,parabol hay hypebol trong hình sơ cấp Điều này càng thể hiện rõ vai trò làm gốc của bài toán xạ nh Trên đây chúng tôi đã lấy ví dụ thể hiện ứng dụng trên xuất phát từ Hệ quả 2.1.16, Hệ quả 2.1.17 2.2 Sáng tạo một số bài toán hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh Trong phần tiếp theo của chương này, chúng tôi trình bày việc chuyển một số bài toán trong mặt... và tâm chiếu C - Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động tất cả những điểm giao của hai đường thẳng α và β Phép chiếu xuyên tâm trong mặt phẳng P 2 có một số tính chất sau: Định lý 1.3.3 Nếu coi 2 đường thẳng α và β là hai không gian xạ ảnh 1 chiều thì phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh Định lý 1.3.4 Cho hai đường thẳng α, α trong P 2 Một ánh xạ xạ ảnh f : α −→ α là một phép chiếu xuyên tâm khi và. .. nhau trong hình sơ cấp mà các định lý này nói về quan hệ song song hoặc tính thẳng hàng của hệ điểm Ví dụ như định lý 3, 4 trên được nhắc đến trong Nâng cao và phát triển 7 - tập 1, 2 NXB GD, 2004 Mặt khác, định lý 1,2 được chứng minh bằng phương 21 pháp vectơ được học trong chương trình hình học 10, tức là từ một bài toán xạ ảnh ta có thể chuyển thành các bài toán sơ cấp phù hợp với các cấp học khác... là một đơn cấu thì dim T (U ) = dim U Đặc biệt, khi đó T biến không gian con 1 chiều của V thành không gian con 1 chiều của W và do đó T hoàn toàn xác định một ánh xạ τ : P (V ) −→ P (W ) Định nghĩa 1.3.1 Một ánh xạ xạ ảnh từ P (V ) vào P (W ) là ánh xạ τ được sinh bởi một đẳng cấu tuyến tính T : V −→ W Chú ý: Nếu λ là một hằng số khác không thì hai ánh xạ tuyến tính λT và T xác định cùng một ánh xạ. .. không thì hai ánh xạ tuyến tính λT và T xác định cùng một ánh xạ xạ ảnh Ngược lại, nếu hai ánh xạ tuyến tính T và T cùng xác định một ánh xạ xạ ảnh τ thì tồn tại hằng số λ = 0 sao cho T = λT 1.3.2 Phép chiếu xuyên tâm Định nghĩa 1.3.2 Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 cho 2 đường thẳng α và β và điểm C ∈ P 2 \{α ∪ β} Ánh xạ pc : α −→ β cho tương ứng X ∈ α với pc (X) = X sao cho CX ∩ β = X được gọi là phép chiếu... Cho U là một không gian véc tơ con của V Khi đó, U 0 = {f ∈ V ∗ |f (v) = 0, ∀v ∈ U } là một không gian véc tơ con của V ∗ và dim U + dim U 0 = dim V Tính chất [2] ở trên cho ta một tương ứng 1 − 1 tự nhiên giữa các điểm trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ∗ ) liên kết với V ∗ và các đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ) liên kết với V Từ tương ứng 1 − 1 này, mỗi kết quả trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ∗... cônic S tại I và J nên ta tìm được phương trình các đường tiệm cận lần lượt là Y1 − Y2 = 0 và Y1 + Y2 = 0 1.3 1.3.1 Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu Ánh xạ xạ ảnh Cho V và W là hai không gian véc tơ thực 2 hoặc 3 chiều Gọi P (V ) và P (W ) lần lượt là không gian xạ ảnh liên kết với V và W Giả sử T : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó, T biến một không gian véc tơ con U của V thành một không gian... khác trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ) Đó chính là tính đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh 14 1.3.4 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm Bằng cách sử dụng tính đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh, ta có thể thể hiện phép chiếu xuyên tâm dưới dạng sau đây: Định nghĩa 1.3.5 Trong không gian xạ ảnh P 2 cho 2 điểm O, O và đường thẳng α không đi qua O và O Gọi B là bó đường thẳng qua O và B là bó đường thẳng qua O Ánh xạ