Hình học xạ ảnh và một số ứng dụng trong hình học sơ cấp

292.2 Sáng tạo một số bài toán hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh.. Mục đích của luận văn là trình bày một số khái niệm trong mặt xạ ảnh, mô hình xạ ảnh của mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Mặt phẳng xạ ảnh 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh 7

1.1.3 Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh 8

1.1.4 Tỉ số kép trong P2 8

1.1.5 Các đường bậc hai trong P2 9

1.2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine 9

1.2.1 Mục tiêu và tọa độ affine trong A2 10

1.2.2 Đường thẳng trong A2 10

1.2.3 Tỉ số kép trong A2 11

1.2.4 Thể hiện affine của các đường cônic trong A2 11

1.3 Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu 13

1.3.1 Ánh xạ xạ ảnh 13

1.3.2 Phép chiếu xuyên tâm 13

1.3.3 Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh 14

1.3.4 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm 15

2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp 16 2.1 Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý trong mặt phẳng xạ ảnh 16

2.1.1 Định lý Papuýt 16

2.1.2 Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva 22

2.1.3 Định lý Desargues 26

2.1.4 Định lý Pascal 29

2.2 Sáng tạo một số bài toán hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh 35

2.3 Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu 39

2.3.1 Bài toán đối ngẫu 39

2.3.2 Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm 40

Tài liệu tham khảo 45

Mở đầu

Hình học xạ ảnh là một môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiềuđịnh lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản dướigóc nhìn của hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệutrong việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp

Mục đích của luận văn là trình bày một số khái niệm trong mặt xạ ảnh, mô hình

xạ ảnh của mặt phẳng affine và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sángtạo một số định lý và bài toán trong hình học sơ cấp

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 - Cơ sở lýthuyết và Chương 2 - Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp

Trong chương 1, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và môhình xạ ảnh của mặt phẳng affine Mục đầu tiên của chương này giới thiệu khái niệm

về mặt phẳng xạ ảnh P2 liên kết với một không gian véc tơ thực 3 chiều V3; mục tiêu

và tọa độ xạ ảnh; khái niệm và phương trình đường thẳng trong P2; tỷ số kép trong

P2 và đường bậc hai trong P2 Trong mục tiếp theo, chúng tôi trình bày mô hình xạảnh của mặt phẳng affine Mục cuối cùng của chương này giới thiệu về ánh xạ xạ ảnh,đặc biệt là phép chiếu xuyên tâm, và trình bày về tính đối ngẫu trong không gian xạảnh

Chương 2 của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình

xạ ảnh của mặt phẳng affine vào việc giải và sáng tạo một số định lý và bài toán hìnhhọc sơ cấp

Chọn trước một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P2 Khi đó trên tập hợp

A2 = P2 \ ∆ có cấu trúc mặt phẳng affine Các điểm nằm trên đường thẳng ∆ khi

đó được gọi là các điểm vô tận Từ một định lý hoặc một bài toán trong mặt phẳng

xạ ảnh P2, bằng cách chọn đường thẳng ∆ thích hợp ta có thể sáng tạo ra nhiều bàitoán khác nhau trong mặt phẳng affine Luận văn trình bày việc chuyển đổi này đối

với một số định lý nổi tiếng và một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh Với cách làmnày, chúng ta thu được nhiều kết quả hay của hình học sơ cấp.

Trong phần cuối của chương 2, chúng tôi trình bày ứng dụng của tính đối ngẫutrong không gian xạ ảnh để sáng tạo các bài toán mới từ một số bài toán cho trước.Đồng thời, chúng tôi trình bày ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm trong một số bàitoán chứng minh hình học

Do thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rấtmong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Văn Đức Chín

là một song ánh, kí hiệu P2 Mỗi phần tử A ∈ P2 được gọi là một điểm Nếu điểm

M ∈ P2, M = p(V1) và ~0 6= ~x ∈ V3, sao cho V1 = h~xi, khi đó ta gọi ~x là vectơ đạidiện cho điểm M

Nhận xét: Hai véc tơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau Hai véc

tơ đại diện cho hai điểm phân biệt thì độc lập tuyến tính

1.1.2 Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh

Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 hệ điểm {M1, M2, M3} được gọi là hệ điểm độc lập nếu

hệ các vectơ đại diện tương ứng của chúng {~x1, ~x2, ~x3} độc lập tuyến tính

Hệ điểm {A1, A2, A3; E} được gọi là một mục tiêu ứng với cơ sở đại diện {~e1, ~e2, ~e3}trong P2 nếu {A1, A2, A3} độc lập và ~e = ~e1+ ~e2+ ~e3, trong đó ~e 6= ~0 là vectơ đại diệncủa E và ~ei là vectơ đại diện cho Ai, với i = 1, 2, 3

Giả sử {A1, A2, A3; E} là mục tiêu ứng với cơ sở {~e1, ~e2, ~e3} và M ∈ P2 có vectơ đạidiện là ~x Khi đó, nếu ~x = x1~e1+ x2~e2+ x3~e3 thì bộ ba (x1 : x2 : x3) được gọi là tọa

độ điểm M đối với mục tiêu đã cho và ta viết M (x1 : x2 : x3).

1.1.3 Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh

Cho V2 là một không gian véc tơ con 2 chiều của không gian véc tơ V3 Kí hiệu[V2] là tập tất cả các không gian véc tơ con 1 chiều của V2 Khi đó tập hợp p([V2])được gọi là đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P2, ký hiệu là P1 hoặc ∆

Giả sử đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt M1, M2 ∈ P2và điểm X(x1, x2, x3) ∈

∆ Khi đó ta có

[X] = t1[M1] + t2[M2], (t21+ t22 6= 0),với [X], [M1], [M2] là các ma trận tọa độ cột của các điểm X, M1, M2 Từ đó ta cóphương trình của ∆ là a1x1+ a2x2+ a3x3 = 0 (a1, a2, a3 không đồng thời bằng 0) Bộ

số (a1, a2, a3) được gọi là tọa độ của đường thẳng ∆ đối với mục tiêu đã chọn

Tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng: Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δtrong P2 Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độlần lượt là [α], [β[, [γ[, [δ[ Ta có

[γ] = µ1[α] + λ1[β],[δ] = µ2[α] + λ2[β],trong đó, µ1, µ2, λ1, λ2 là các hệ số thực khác không Tỉ số kép của chùm bốn đườngthẳng trên được xác định bởi

[α, β, γ, δ] = λ1

µ1 :

λ2

µ2.

Nếu [α, β, γ, δ] = −1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa.

Nhận xét: nếu chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt bởi một đường thẳng tươngứng tại bốn điểm A, B, C, D thì ta có [α, β, γ, δ] = [A, B, C, D] Đặc biệt, nếu chùmbốn đường thẳng α, β, γ, δ điều hòa thì A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa

1.1.5 Các đường bậc hai trong P2

Một đường bậc hai trong P2 là tập hợp S các điểm X(x1, x2, x3) ∈ P2, thỏa mãnphương trình

a11x21+ a22x22+ a33x23+ 2a12x1x2+ 2a12x1x3 + 2a23x2x3 = 0,

trong đó, aij là các hệ số không đồng thời bằng 0 và aij = aji, với i, j = 1, 2, 3

Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, ta có thể đưa phương trình của một đường bậchai trong P2 về một trong năm dạng chuẩn tắc sau:

1 Đường Ôvan ảo x2

1.2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine

Cho (và cố định) đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P2 với nền là không gianvéc tơ thực 3 chiều V3 Đặt A2 = P2\∆ Chọn mục tiêu {A1, A2, A3; E} của P2 saocho {A1, A2} ∈ ∆ Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0

Giả sử X(x1, x2, x3) ∈ A2 thì x3 6= 0 Đặt X1 = x1

x3 và X2 =

x2

x3 thì bộ số (X1, X2)được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho và

ta viết X = (X1, X2) Khi đó có một song ánh từ tập A2 vào R2 bằng cách ta cho mỗiđiểm thuộc A2 tương ứng với tọa độ không thuần nhất của nó Gọi V2 là không gianvectơ 2 chiều trên trường số thực R với cơ sở {~a1, ~a2} và ta xét ánh xạ

ϕ : A2× A2 −→ V2

(X, Y ) −→ ϕ(X, Y ) =−−→

XY = ~v = (Y1− X1)~a1 + (Y2− X2)~a2

Ta có

• ∀X = (X1, X2) ∈ A2 và ~v = (v1, v2) ∈ V2 Khi đó có duy nhất điểm Y (Y1, Y2), với

Y1 = X1+ v1, Y2 = X2+ v2, thỏa mãn ϕ(X, Y ) = ~v

• ∀X = (X1, X2), Y = (Y1, Y2), Z = (Z1, Z2) ∈ A2, ϕ(X, Z) = ϕ(Z, Y ) + ϕ(Y, X).Điều này suy ra, A2 là một không gian affine liên kết với không gian véc tơ V2 Ta gọi

A2 là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine

1.2.1 Mục tiêu và tọa độ affine trong A2

Ta vẫn xét mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E} trong P2 như trên Gọi E1, E2 lần lượt

là giao điểm của đường thẳng A1A3, A2A3 với đường thẳng ∆ Tọa độ không thuầnnhất của E1, E2 và A3 là

Vì d1 là đường thẳng không trùng với ∆ nên mỗi X ∈ d1, X = (x1, x2, x3) thì x3 6= 0

Ta chia hai vế (1.2.1) cho x3 thì tọa độ không thuần nhất của X thỏa mãn phươngtrình

a1X1+ a2X2+ a3 = 0 (1.2.2)

Từ (1.2.2) suy ra d01 là đường thẳng trong A2

Cho d1, d2 là hai đường thẳng phân biệt trong P2 khác ∆, I = d1 ∩ d2 và trong

[ABCD] = [ABC∞] = [ABC] = l1

k1.Tương tự ta cũng có thể tính được tỉ số kép trên trong trường hợp C ∈ ∆

1.2.4 Thể hiện affine của các đường cônic trong A2

Trong P2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = ∅ Khi đó thể hiệncủa S trong mô hình affine A2 = P2\∆ là một elip (E) Thật vậy, giả sử cônic S cóphương trình chuẩn tắc x21+ x22− x2

3 = 0 (1) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0thì ta có S ∩ ∆ = ∅ Với điểm X(x1, x2, x3) ∈ S và X /∈ ∆ thì x3 6= 0 nên ta chia hai

vế (1) cho X32 sẽ thu được phương trình

Trong P2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = I Khi đó trong

mô hình affine A2 = P2\∆ ta sẽ thu được một Parabol (P ) Thật vậy, giả sử cônic S

có phương trình x2

1− x2x3 = 0(2) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0 Khi đó

S ∩ ∆ = {0; 1; 0} Chia hai vế (2) cho x23 ta thu được phương trình

đường tiệm cận của (H) là các tiếp tuyến với cônic S tại I và J nên ta tìm được phươngtrình các đường tiệm cận lần lượt là Y1− Y2 = 0 và Y1 + Y2 = 0.

1.3 Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu

1.3.1 Ánh xạ xạ ảnh

Cho V và W là hai không gian véc tơ thực 2 hoặc 3 chiều Gọi P (V ) và P (W ) lầnlượt là không gian xạ ảnh liên kết với V và W Giả sử T : V −→ W là một ánh xạtuyến tính Khi đó, T biến một không gian véc tơ con U của V thành một không gianvéc tơ con T (U ) của W Hơn nữa, nếu T là một đơn cấu thì dim T (U ) = dim U Đặcbiệt, khi đó T biến không gian con 1 chiều của V thành không gian con 1 chiều của W

1.3.2 Phép chiếu xuyên tâm

Định nghĩa 1.3.2 Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho 2 đường thẳng α và β và điểm

C ∈ P2\{α ∪ β} Ánh xạ pc : α −→ β cho tương ứng X ∈ α với pc(X) = X0 sao cho

CX ∩ β = X0 được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm C

Phép chiếu xuyên tâm trong mặt phẳng P2 có một số tính chất sau:

Định lý 1.3.3 Nếu coi 2 đường thẳng α và β là hai không gian xạ ảnh 1 chiều thìphép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh

Định lý 1.3.4 Cho hai đường thẳng α, α0 trong P2 Một ánh xạ xạ ảnh f : α −→ α0

là một phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi phần tử của α ∩ α0 là tự ứng, tức là

f (M ) = M, ∀M ∈ α ∩ α0

1.3.3 Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh

Cho trước không gian véc tơ thực 3 chiều V Kí hiệu V∗ là không gian véc tơ cácdạng tuyến tính f : V −→ R trên V Không gian véc tơ V∗ được gọi là không gian véc

tơ đối ngẫu với của V Không gian véc tơ đối ngẫu V∗ có một số tính chất sau:

1 dim V∗ = dim V và nếu v1, v2, v3 là một cơ sở của V thì tồn tại một cơ sở f1, f2, f3của V∗ thỏa mãn

là một không gian véc tơ con của V∗ và dim U + dim U0 = dim V

Tính chất [2] ở trên cho ta một tương ứng 1 − 1 tự nhiên giữa các điểm trong mặtphẳng xạ ảnh P (V∗) liên kết với V∗ và các đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P (V )liên kết với V Từ tương ứng 1 − 1 này, mỗi kết quả trong mặt phẳng xạ ảnh P (V∗)

có thể được thể hiện dưới dạng khác trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ) Đó chính là tínhđối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh

1.3.4 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm

Bằng cách sử dụng tính đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh, ta có thể thể hiện phépchiếu xuyên tâm dưới dạng sau đây:

Định nghĩa 1.3.5 Trong không gian xạ ảnh P2 cho 2 điểm O, O0 và đường thẳng αkhông đi qua O và O0 Gọi B là bó đường thẳng qua O và B0 là bó đường thẳng qua

O0 Ánh xạ pα : B −→ B0 cho tương ứng m ∈ B với pα(m) = m0 sao cho (α ∩ m) ∈ m0được gọi là phép chiếu xuyên trục từ B lên B0 với trục α

Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm kéo theo các tính chất của phép chiếuxuyên trục Chẳng hạn, ta có hai tính chất dưới đây:

Định lý 1.3.6 Phép chiếu xuyên trục là một ánh xạ xạ ảnh

Định lý 1.3.7 Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên trục

là đường nối hai tâm phải tự ứng

Các bước thực hiện chuyển đổi như sau:

1 Chọn đường thẳng vô tận thích hợp (thường là đường đi qua nhiều giao điểmnhất)

2 Biểu diễn lại các khái niệm, tính chất trong bài toán cũ sang hình sơ cấp

3 Phát biểu bài toán sơ cấp vừa chuyển

2.1 Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý

Định lý 2.1.1 (Định lý Papuýt) Trong mặt phẳng P2, cho ba điểm phân biệt A, B, Ccùng nằm trên đường thẳng a và ba điểm phân biệt A0, B0, C0 cùng nằm trên đườngthẳng b khác a Đặt M = AB0∩ BA0, N = AC0∩ CA0, P = BC0∩ CB0 Khi đó ba điểm

• Ta chọn ∆ là CC0, gọi I là giao điểm của d và d0 và xét A2 = P2\CC0.

• Trong A2 thì ta có IBkB0N, AP kIB0, BN kIB, IAkA0P nên IBN B0, IAP A0 làcác hình bình hành Định lí trên trở thành định lí sau.

Định lý 2.1.3 Cho hai hình bình hành IBN B0,IAP A0 với A, A0 tương ướng thuộcIB,IB0 Gọi M = AB0∩ BA0 Khi đó M, N, P thẳng hàng

−→

IM = βt−→

IA + (1 − β)−→

IA0 (2.1.10)

Vì −→

IA,−→

IA0 không cộng tuyến nên −→

IM biểu diễn qua −→

IA và −→

IA0 là duy nhất nên từ(5), (6) ta có hệ:

1 − kt

−→

IA (2.1.12)Mặt khác ta lại có :

−−→

P N = (t − 1)−→

IA + (k − 1)−→

IA0 (2.1.15)Trừ vế với vế của (2.1.12) cho (2.1.14) ta được:

1 − kt





−→IA

• Trong A2 các quan hệ giữa các cặp cạnh trong định lý trên được giữ nguyên và ta

có định lý Papuýt trong hình sơ cấp phát biểu như sau

Định lý 2.1.5 Ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên đường thẳng a và ba điểm phânbiệt A0, B0, C0 nằm trên đường thẳng b.M = AB0∩BA0, N = AC0∩CA0, P = BC0∩CB0

thì ba điểm M, N, P thẳng hàng

Nhận xét: Từ định lý ban đầu trong hình học xạ ảnh, chúng ta có thể chọn cácđường thẳng ∆ khác nhau nên ta có thể chuyển định lý đó thành nhiều định lý khácnhau trong hình sơ cấp mà các định lý này nói về quan hệ song song hoặc tính thẳnghàng của hệ điểm Ví dụ như định lý 3, 4 trên được nhắc đến trong Nâng cao và pháttriển 7 - tập 1, 2 NXB GD, 2004 Mặt khác, định lý 1,2 được chứng minh bằng phương

pháp vectơ được học trong chương trình hình học 10, tức là từ một bài toán xạ ảnh ta

có thể chuyển thành các bài toán sơ cấp phù hợp với các cấp học khác nhau

2.1.2 Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva

Chúng ta tiếp tục xét với định lý Mênêlauýt:

Định lý 2.1.6 (Định lý Mênêlauýt) Trong P2cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3

và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2tương ứng tại K1, K2, K3 Gọi L1, L2, L3 lần lượt là các điểm tương ứng trên các đườngthẳng A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3) Điều kiện cần và đủ để ba điểm L1, L2, L3thẳng hàng là:

[A2A3K1L1].[A3A1K2L2].[A1A2K3L3] = 1Cách chuyển:

• Ta chọn d là đường thẳng vô tận và xét A2 = P2\d

• Lúc đó trong A2 thì K1, K2, K3 là các điểm vô tận và ta có

• Định lý Mênêlauýt trong hình học sơ cấp được phát biểu lại như sau

Định lý 2.1.7 Cho tam giác ABC, ba điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB

Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi M B

Định lý 2.1.8 (Định lý Xêva) Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3

và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường A2A3, A3A1, A1A2 tương

ứng tại K1, K2, K3 Gọi L1, L2, L3 lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường thẳng

A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3) Điều kiện cần và đủ A1L1, A2L2, A3L3 đồng quytại một điểm là:

[A2A3K1L1].[A3A1K2L2].[A1A2K3L3] = −1

A1A2L3

= L3A1

L3A2

.Định lý Xêva trong hình sơ cấp phát biểu như sau

Định lý 2.1.9 Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Khi đó ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy khi và chỉ khi

EBEC

Ta chứng minh định lý này bằng phương pháp đại số

Điều kiện cần: ∆ABC; E ∈ BC, F ∈ CA, G ∈ AB; AE, BF, CG đồng quy