Môđun xạ ảnh và một số mở rộng

Lớp các môđun xạ ảnh cùng với lớp các môđun nội xạ có vai trò quantrọng trong nghiên cứu vành và môđun.. Bằng cách sử dụng các điều kiện D1, D2, D3, đối ngẫuvới các điều kiện C1, C2, C3

Mục lục Trang

Mở đầu

Chơng 1: Các kiến thức cơ sở về vành và môđun

1.1 Các kiến thức cơ sở về môđun

1.1.1 Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp các môđun con

1.1.2 Môđun con cốt yếu, môđun con bé Căn và đế của môđun

1.1.3 Bù- giao và bù- cộng của môđun con

1.1.4 Dãy khớp

1.2 Các kiến thức cơ sở về vành

1.2.1 Phần tử luỹ đẳng, phần tử luỹ linh Căn của vành

1.2.2 Nhúng một vành vào vành có đơn vị

1.2.3 Sự phân tích một vành thành tổng trực tiếp

1.2.4 Iđêan linh hoá tử và môđun suy biến

1.2.5 Các điều kiện chuỗi trên vành

1.3 Kết luận chơng 1

Chơng 2: Môđun xạ ảnh và một số mở rộng

2.1 Môđun xạ ảnh

2.1.1 Môđun tự do

2.1.2 Môđun xạ ảnh

2.2 Môđun A- xạ ảnh

2.3 Bao xạ ảnh của một môđun

2.3.1 Khái niệm bao xạ ảnh của môđun

2.3.2 Vành hoàn chỉnh và vành nửa hoàn chỉnh

2.4 Môđun với các điều kiện rời rạc

2.4.1 Các điều kiện rời rạc

2.4.2 Môđun rời rạc

2.4.3 Môđun tựa rời rạc

2.4.4 Mối liên hệ giữa thuộc tính xạ ảnh và thuộc tính rời rạc

2.5 Đặc trng của môđun tựa rời rạc qua các điều kiện khả bù yếu

3

6 6 6 8 11 12 13 13 15 16 17 17 18 19 19 19 21 24 31 31 33

33 33 36 38 38

2.6 Kết luận chơng 2

Kết luận của luận văn

Tài liệu tham khảo

40424344

Mở đầu

Đặc trng các lớp vành qua các điều kiện đối với các lớp môđun là mộttrong những hớng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết vành Vì vậy, việc lựachọn các lớp môđun và khảo sát các thuộc tính của chúng phục vụ cho việcnghiên cứu đặc trng các lớp vành đã biết trở nên một vấn đề hấp dẫn

Lớp các môđun xạ ảnh cùng với lớp các môđun nội xạ có vai trò quantrọng trong nghiên cứu vành và môđun Từ trớc đến nay các lớp môđun này vẫn

là những đối tợng truyền thống đợc nhiều ngời nghiên cứu Các kết quả tìmthấy đợc sử dụng để mô tả cấu trúc nhiều lớp vành quan trọng nh vành noether,vành nửa đơn, vành hoàn chỉnh, Từ nửa cuối thế kỷ XX, nhiều ngời nghiêncứu vành và môđun đã tìm cách mở rộng các lớp môđun này để phục vụ choviệc nghiên cứu các thuộc tính của vành Việc mở rộng này có thể nói đợc quantâm nhiều sau các công trình của Utumi (1960 – 1965) về thuộc tính C1 trêncác vành Sau đó, Mohamed, Bouhy, Oshiro, đề xuất nghiên cứu các điều

kiện C1, C2, C3 đối với môđun và định nghĩa các lớp môđun tựa liên tục, liên tục,extending (tức là môđun CS), 1-C1, Những lớp môđun này đều là những mởrộng thực sự của lớp môđun nội xạ.

Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, ngời ta đã tìm cách mởrộng môđun xạ ảnh Bằng cách sử dụng các điều kiện D1, D2, D3, đối ngẫuvới các điều kiện C1, C2, C3 tơng ứng, Mohamed và Singh đã định nghĩakhái niệm môđun rời rạc, Oshiro định nghĩa khái niệm môđun tựa rời rạc.Trên vành hoàn chỉnh, lớp môđun rời rạc và lớp môđun tựa rời rạc lànhững mở rộng thực sự của lớp môđun xạ ảnh Mặc dù vấn đề đợc đặt ra

đối với việc mở rộng lớp môđun xạ ảnh có vẻ tơng tự với việc mở rộng lớpmôđun nội xạ nhng trên thực tế nghiên cứu thờng gặp nhiều khó khăn hơn,

đòi hỏi sử dụng nhiều kỹ thuật phức tạp hơn

ở Việt Nam, dới sự hớng dẫn của GS TSKH Đinh Văn Huỳnh, việcnghiên cứu các mở rộng của các lớp môđun nội xạ, xạ ảnh đợc thực hiện từnhững năm 80 của thế kỷ XX và đã thu đợc nhiều kết quả Chỉ tính trong nớc đã

có 7 luận án Tiến sĩ đợc bảo vệ có liên quan đến các lớp môđun này Sự hấp dẫncủa hớng nghiên cứu này đã dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài luận văn là

tìm hiểu Lớp môđun xạ ảnh và một số mở rộng.

Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hoá các tính chất của lớpmôđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc và môđun tựa rời rạc Trên cơ

sở đó chúng tôi cố gắng tìm hiểu sâu hơn các đặc trng của các lớp môđun này

và sự liên hệ giữa tính chất của chúng với tính chất một số lớp vành đã biết

Nội dung Luận văn gồm 2 chơng:

Chơng 1: Các kiến thức cơ sở về môđun và vành

Nội dung chính trong chơng này là nhắc lại một số khái niệm cơ

sở của Lý thuyết môđun và hệ thống hoá các kiến thức cơ sở về vành

Chơng 2: Lớp môđun xạ ảnh và một số mở rộng

Chúng tôi tập trung nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ

ảnh và thông qua các điều kiện rời rạc, nghiên cứu môđun rời rạc vàmôđun tựa rời rạc Đồng thời tìm hiểu mối liên hệ giữa thuộc tính xạ

ảnh và thuộc tính rời rạc; đặc trng của môđun tựa rời rạc qua các điềukiện khả bù yếu

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự ớng dẫn tận tình của Thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp này, chúng tôixin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho chúngtôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái

h-Trong thời gian học tập và viết luận văn chúng tôi đã đợc sự dạy bảo tậntình của các thầy giáo, cô giáo và các nhà khoa học trờng Đại học Vinh Chúngtôi luôn nhớ đến những bài học mà các thầy giáo, cô giáo và các nhà khoa học

đã giảng dạy trong thời gian qua

Gia đình và bạn bè luôn là nguồn động viên để chúng tôi có thêm nghịlực hoàn thành khoá học

Xin đợc chân thành cảm ơn tất cả mọi tấm lòng đã u ái dành cho chúngtôi

Tuy nhiên dù có nhiều cố giắng nhng không thể tránh khỏi những saisót, chúng tôi mong nhận đợc sự chỉ bảo chân tình của quý thầy cô và các bạn

Vinh, 28 tháng 12 năm 2006

Tác giả

Chơng 1 Các kiến thức cơ sở về vành và môđun

Trong chơng này ta giả sử R là một vành có đơn vị cho tr ớc và kí hiệuR-Mod dùng để chỉ phạm trù gồm tất cả các R-môđun trái unita, tức là cácmôđun M trên vành R với điều kiện 1m = m, với mọi m thuộc M

1.1- Các kiến thức cơ sở về môđun

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở của Lýthuyết môđun và mục 1.2- Hệ thống hoá các kiến thức cơ sở về vành.Những khái niệm, thuật ngữ và kí hiệu về vành và môđun không đ ợc nhắc

đến ở đây có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [6], [9],[10], [11] đợc liệt kê ở cuối luận văn này

1.1.1- Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp các môđun con

Định nghĩa 1: Giả sử M là một môđun trên vành R.

a) Môđun M đợc gọi là môđun đơn nếu M không chứa môđun conthực sự nào khác 0, nghĩa là chỉ có môđun con 0 và M

b) Môđun con A của môđun M đợc gọi là tối đại nếu A ≠ M và Akhông chứa trong một môđun con thực sự nào của M

c) Môđun con A của M bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa tập hợpcon X của M đợc gọi là mô đun con sinh bởi X Khi đó X đợc gọi là một

tập sinh hay hệ sinh của A Trong trờng hợp A = M ta nói X là một hệ sinh

của M hay M đợc sinh bởi X Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M

là một môđun hữu hạn sinh

Định nghĩa 2: a) Giả sử {Aii∈I } là một họ tuỳ ý những môđun con

của R-môđun M Khi đó môđun con sinh bởi tập S = 

I Ai gọi là tổng của các

môđun con A i của họ đã cho, ký hiệu ∑

b) Một họ F = {Ai  i ∈ I } các môđun con của môđun M đợc gọi là độc

thành tổng trực tiếp của một họ F = {A i  i ∈ I } các môđun con của môđun A

nếu họ F = {Ai  i ∈ I } độc lập và A = ⊕I Ai Khi đó các điều kiện sau đợcthoả mãn:

(i) =∑

I i A

x = a1 + a2 + + an, trong đó ai ∈Ai, i = 1, 2, , n

c) Cho F = {Ai| i∈I} là một họ những R-môđun Tích Đềcác ∏

Nếu R-môđun M là tổng trực tiếp trong của họ môđun con {Ai| i∈I}của nó thì M đẳng cấu với tổng trực tiếp ngoài của họ R-môđun {Ai| i∈I}.

Đảo lại, nếu {Ai| i∈I} là một họ R-môđun và M = ⊕I Ai là tổng trựctiếp của họ môđun đã cho Khi đó trong M có một họ môđun con {A'i| i∈I}với Ai' đẳng cấu với Ai, với mỗi i∈I và M là tổng trực tiếp trong của cácmôđun con A'i

Do đó trong một số trờng hợp, khi không cần phân biệt giữa tổng trựctiếp trong và tổng trực tiếp ngoài, ngời ta dùng chung một thuật ngữ cho cảhai đối tợng trên là tổng trực tiếp

Định nghĩa 3: a) Môđun M đợc gọi là không phân tích đợc nếu nó

không biểu diễn đợc thành tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự

b) Giả sử M có sự phân tích M = ⊕I Mi Nếu Mi ≠ 0 là môđun conkhông phân tích đợc của M, ∀i∈I thì sự phân tích đó đợc gọi là sự phân tích thành tổng trực tiếp của những môđun con không phân tích đợc.

1.1.2- Môđun con cốt yếu, môđun con bé Căn và đế của môđun.

Định nghĩa 4: Cho A là một môđun con của môđun M A đợc gọi là

môđun con cốt yếu của M nếu với mỗi môđun con X ≠ 0 của M luôn có

A ∩ X ≠ 0 Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu của

Một số tính chất của môđun con cốt yếu của môđun trên vành R đợc

Định nghĩa 5: Cho A là môđun con của môđun M A đợc gọi là

môđun con bé (hoặc đối cốt yếu) của M nếu với mọi môđun con thực sự X

của M thì A + X ≠ M Ký hiệu: A ⊂0 M

Môđun M đợc gọi là môđun hổng nếu mọi môđun con thực sự của nó

là môđun con bé của môđun M

Một số tính chất của môđun con bé của môđun trên vành R đ ợc đềcập trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 2: a) Nếu A ⊂0 B và B ⊆ C thì A ⊂0 C với A, B, C là các môđun con của M.

b) Cho A ⊂0 M, A ⊆ N Nếu N ⊂⊕ M thì A ⊂0 N

c) Tổng một số hữu hạn các môđun con bé của môđun M là môđun con bé của môđun M.

d) Nếu A là hạng tử trực tiếp của môđun M và X là mô đun con của A sao cho X ⊂0 M Khi đó X ⊂0 A.

e) Nếu A ⊆ B, B ⊆ M khi đó B ⊂0 M ⇔ B/A ⊂0 M/A và A ⊂0 M.

f) Cho f: M → N là đồng cấu môđun và A ⊂0 M thì f(A) ⊂0 N.

Định nghĩa 6: (i) Tổng tất cả các môđun con bé của môđun M đợc

gọi là căn của môđun M Ký hiệu: Rad(M)

(ii) Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M đ ợc gọi là

đế (socle) của môđun M Ký hiệu : Soc(M).

Mệnh đề sau đây cho một cách định nghĩa khác của các khái niệmcăn và đế của môđun

Mệnh đề 3: (i) Rad(M) là giao của tất cả các môđun con tối đại của M.

(ii) Soc(M) là tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M.

1.1.3- Bù-giao và bù-cộng của môđun con

Định nghĩa 7: Cho A là môđun con của M Môđun con A' của M tối

đại trong số các môđun con của M có giao với A bằng không đợc gọi là bù

-giao (complement) của A trong M.

Mệnh đề 4: Môđun con B của M là đóng nếu và chỉ nếu tồn tại

môđun con A của M sao cho B là một bù-giao của A trong M.

Chú ý rằng bằng cách sử dụng Bổ đề Zorn, ngời ta chứng minh đợc sựtồn tại của bù-giao của một môđun con bất kỳ trong môđun M Tuy nhiên,với mỗi môđun con cho trớc, bù giao của nó trong môđun M không duynhất Mệnh đề sau cho một dấu hiệu để nhận biết một môđun con của M cóphải là bù giao của môđun con A của M hay không

Mệnh đề 5: (i) Cho A là môđun con của M, môđun B là bù-giao của A

trong M thì B đóng trong M và B ⊕ A ⊂* M.

(ii) Nếu A là môđun con của M và B là môđun con đóng trong M sao cho A ∩ B = 0 và A ⊕ B ⊂* M thì B là một bù-giao của A trong M.

Liên quan đến bù-giao của một môđun con và các môđun con đóng ta

có mệnh đề sau:

Mệnh đề 6: (i) Mỗi môđun con A của M tồn tại môđun con đóng (bù

- giao) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B

(ii) Nếu A là môđun con đóng trong B và B là môđun đóng trong M thì

A là môđun con đóng trong M.

Định nghĩa 8: Cho A là một môđun con của M Môđun con P của M

tối tiểu trong số các môđun con của M thoả mãn điều kiện A + P = M thìmôđun P đợc gọi là bù-cộng (supplement) của A trong M

Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù-cộng (supplement

submodule) nếu B là bù-cộng của một môđun con nào đó của M.

- Nếu M = A ⊕ B thì B vừa là bù-giao, vừa là bù-cộng của A trong M

- Khác với bù-giao của một môđun con, bù-cộng của một môđun controng M có thể không tồn tại

những đồng cấu của các môđun trên R sao cho ảnh của đồng cấu vào trùngvới hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) của dãy.

Chẳng hạn, tại môđun Y, ta phải có:

Im(f) = Ker(g)

b) Một dãy khớp bất kì dạng:

0→X→f Y→g Z→0gọi là một dãy khớp ngắn

c) Một dãy khớp ngắn

0 →X→f Y→g Z→ 0

đợc gọi là chẻ ra nếu imf = kerg là hạng tử trực tiếp của Y

Định lý 8: Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

G : 0→M'→f M→g M''→0 Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng:

i) Dãy khớp ngắn G là chẻ ra.

ii) Tồn tại một R - đồng cấu f 0 : M → M' sao cho f 0 f = 1 M'

iii) Tồn tại một R - đồng cấu g 0 : M'' → M sao cho gg 0 = 1 M''

(i) Phần tử x ∈ R đợc gọi là luỹ đẳng nếu x2 = x

(ii) Hệ các phần tử x1, x2, , xn ∈ R đợc gọi là hệ luỹ đẳng trực giao nếu:

xixi = xi

và xixj = 0 , nếu i ≠ j

(iii) Phần tử x ∈ R đợc gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên dơng nsao cho xn = 0 Số nguyên dơng bé nhất sao cho xn = 0 đợc gọi là bậc luỹ

linh của x.

Đối với phần tử luỹ linh của vành có đơn vị ta có các mệnh đề sau:

Mệnh đề 9: Nếu x là phần tử luỹ linh khác 0 của vành R có đơn vị 1

thì 1 - x là phần tử khả nghịch.

Chứng minh Vì x là phần tử luỹ linh nên tồn tại số nguyên dơng n

sao cho xn = 0 Khi đó ta có 1 = 1 - xn = (1 - x)(xn-1 + xn-2 + + 1) =

Khái niệm iđêan phải của vành A đợc định nghĩa tơng tự

Nếu B vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của vành R thì B đ ợc gọi làiđêan hai phía (hoặc đơn giản là iđêan) của R

Một iđêan P của vành A đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu P ≠ A và nếu

I, J là những iđêan của A sao cho IJ ⊂ P thì I ⊂ P hoặc J ⊂ P Một iđêan Pcủa vành A đợc gọi là iđêan hoàn toàn nguyên tố nếu P ≠ A và nếu x,y ∈A

Định nghĩa 13: Cho A là vành có đơn vị Ký hiệu tập hợp tất cả các

iđêan nguyên tố của A là Spec(A)

Ta gọi tập N(A) xác định bởi N(A) = 

)

( A

Spec P

P

∈ là linh căn của A hay còn

gọi là căn luỹ linh của A.

Nhận xét: (theo [2])

Rad(M) = 

M A

T

⊂ , T là môđun con tối đại của M

= ∑

⊂M E

E, E chạy khắp tập môđun con bé của M

vị A x Z

1.2.3- Sự phân tích một vành thành tổng trực tiếp

Đối với một vành R ngời ta thờng xét đến hai sự phân tích R thànhtổng trực tiếp Sự phân tích thứ nhất xét theo quan điểm cấu trúc vành và sựphân tích thứ hai đợc xét theo quan điểm cấu trúc môđun, tức là sự phântích các môđun RR và RR thành tổng trực tiếp các iđêan phải hay các iđêantrái tơng ứng Vì các vấn đề về quan hệ giữa môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ

ảnh với môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc liên quan chủ yếu đến việc phân

tích một vành thành tổng trực tiếp theo quan điểm môđun nên chúng tôi chỉnhắc lại sự phân tích của RR và RR theo quan điểm thứ 2 ở trên.

Mệnh đề 11: Cho vành R có đơn vị 1

(a) Nếu R R có sự phân tích thành tổng trực tiếp các iđêan (A i ) i∈I

R R = ⊕i∈1 A i thế thì:

(i) Tồn tại tập hữu hạn F ⊆ I sao cho R R = ⊕i∈F A i , (A i≠0)

(ii) Với mỗi i∈F, tồn tại x i∈R mà A i = x i R, trong đó hệ x 1 , x 2 , , x n luỹ đẳng trực giao với F = (1, 2, , n) và x 1 + x 2 + + x n = 1.

(iii) Nếu các A i , i∈F là iđêan hai phía thì các x i (ở ii) thuộc vào tâm của R.

1.2.4- Iđêan linh hoá tử và môđun suy biến

Định nghĩa 14: Cho M là một R-môđun, m∈M Tập hợp:

lR(m) = { r∈R | r.m = 0 }

đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m

Nếu lR(m) là một iđêan trái cốt yếu của R thì m đợc gọi là phần tử

suy biến của môđun M Tập hợp các phần tử suy biến của môđun M làm

thành một môđun con của M, đợc gọi là môđun con suy biến của M và kíhiệu là Z(M) Môđun M đợc gọi là môđun suy biến nếu Z(M) = M, M đợcgọi là môđun không suy biến nếu Z(M) = 0

Định nghĩa 15: Cho R là một vành nào đó và S là tập con khác rỗng

Thì rR(X) và lR(X) lần lợt là những iđêan phải và trái của vành R

1.2.5- Các điều kiện chuỗi trên vành.

Cho X là tập sắp thứ tự bởi ≤ (tơng ứng ≥) Ta nói X thoả mãn điềukiện chuỗi tăng (tơng ứng, giảm) nếu mọi chuỗi tăng

x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤

(tơng ứng x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ≥ )Tồn tại chỉ số n sao cho xn = xn+1 =

Điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng, giảm) đợc ký hiệu ACC (tơng ứngDCC)

1.3- Kết luận chơng 1

Trong chơng này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm của Lý thuyếtmôđun và hệ thống hoá các kiến thức về vành để làm cơ sở cho việc trìnhbày chơng sau Các kết quả trình bày trong chơng đều đợc chọn trong cáctài liệu tham khảo [1], [2] [11]

Chơng 2 Môđun xạ ảnh

và Một số mở rộng của môđun xạ ảnh

2.1- Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1: Ta gọi môđun P là môđun xạ ảnh nếu với mọi môđun

A, B và toàn cấu g: A → B, mọi đồng cấu f: P → B luôn tồn tại đồng cấuh: P → A sao cho gh = f

Khái niệm môđun xạ ảnh còn đợc định nghĩa bởi thuật ngữ “sơ đồgiao hoán” nh sau:

Môđun P đợc gọi là môđun xạ ảnh nếu mọi sơ đồ các đồng cấu môđunsau đây với f và g là toàn cấu luôn bổ sung đơc một đồng cấu h sao cho sơ

Mệnh đề 1: Mọi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh Tuy nhiên điều

(iii) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do.

(iv) Mọi toàn cấu môđun g: A → B ánh xạ

g * = Hom(i, g): Hom(X, A) → Hom(X, B) cũng là toàn cấu môđun;

(v) Với mọi dãy khớp ngắn các môđun 0 → B → C → 0, dãy

0 → Hom(X, A) → Hom(X, B) → Hom(X, C) → 0 cũng là dãy khớp ngắn

Sau đây chúng tôi chứng minh một số kết quả đợc cho trong các sáchtham khảo không kèm theo chứng minh

Mệnh đề 5: Nếu X là môđun xạ ảnh và A, B, C là các môđun cho tr ớc

cùng với các đồng cấu môđun f: A → B; g: B → C; h: X → B sao cho imf = Kerg và gh = 0 thì tồn tại đồng cấu môđun k: X → A sao cho fk = h.

Chứng minh Thật vậy, vì gh = 0 nên Imh ⊂ Kerg = Imf nênImh ⊂ Imf Xét các đồng cấu f: A → Imf và h: X → Imf ta có f là toàn

cấu Do giả thiết X là môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu k: X → A sao cho

fk = h

Mệnh đề sau đây mở rộng Mệnh đề 7 về môđun tự do

Mệnh đề 6 Cho A là môđun con của môđun M Nếu môđun thơng

M/A là xạ ảnh thì A là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh Xét biểu đồ tam giác trong đó f: M → M/A là phépchiếu tự nhiên và h: M/A → M/A là ánh xạ đồng nhất Khi đó do M/A là xạ

ảnh nên tồn tại đồng cấu k: M/A → M sao cho fk = h Vì h là đồng cấu

đồng nhất nên theo tính chất các đồng cấu môđun ta có M = Imk ⊕ Kerf VìKerf = A nên A là hạng tử trực tiếp của M

2.2- Môđun a - xạ ảnh

Trong mục 2.1 chúng tôi đã hệ thống hoá những kết quả về cácmôđun tự do và môđun xạ ảnh Thực tế lớp môđun xạ ảnh là một mở rộngthực sự của lớp môđun tự do Trong mục này chúng tôi tiếp tục hệ thốnghoá một số kết quả về các lớp môđun mở rộng của lớp môđun xạ ảnh

Khi xét khái niệm môđun xạ ảnh ta đã xét các điều kiện đặt ra đối vớimôđun P trong mối quan hệ với tất cả các môđun trên vành R Trong mụcnày chúng ta chỉ xem xét các điều kiện ràng buộc mối quan hệ của môđun

đó đối với chỉ một môđun A cụ thể

Định nghĩa 2: Giả sử N và A là các môđun trong Mod-R Môđun N

đợc gọi là A - xạ ảnh nếu với mỗi môđun con X của A, với mọi đồng cấu

f : N → A/X , luôn tồn tại ít nhất một R-đồng cấu g : N → A sao cho biểu

đồ sau giao hoán:

N

g f

A→ϕ A/X