Môđun xạ ảnh và một số mở rộng

Mục lục Mở đầu Trang Chơng 1: Các kiến thức sở vành môđun 1.1 Các kiến thức sở môđun 1.1.1 Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp môđun 1.1.2 Môđun cốt yếu, môđun bé Căn đế môđun 1.1.3 Bù- giao bù- cộng môđun 11 1.1.4 Dãy khớp 12 1.2 Các kiến thức sở vành 13 1.2.1 Phần tử luỹ đẳng, phần tử luỹ linh Căn vành 13 1.2.2 Nhúng vành vào vành có đơn vị 15 1.2.3 Sự phân tích vành thành tổng trực tiếp 16 1.2.4 Iđêan linh hoá tử môđun suy biến 17 1.2.5 Các điều kiện chuỗi vành 17 1.3 Kết luận chơng 18 Chơng 2: Môđun xạ ảnh số mở rộng 19 2.1 Môđun xạ ảnh 19 2.1.1 Môđun tự 19 2.1.2 Môđun xạ ảnh 21 2.2 Môđun A- xạ ảnh 24 2.3 Bao xạ ảnh môđun 31 2.3.1 Khái niệm bao xạ ảnh môđun 31 2.3.2 Vành hoàn chỉnh vành nửa hoàn chỉnh 33 2.4 Môđun với điều kiện rời rạc 2.4.1 Các điều kiện rời rạc 33 2.4.2 Môđun rời rạc 33 2.4.3 Môđun tựa rời rạc 36 2.4.4 Mối liên hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc 38 2.5 Đặc trng môđun tựa rời rạc qua điều kiện khả bù yếu 38 2.6 Kết luận chơng 40 Kết luận luận văn 42 Tài liệu tham khảo 43 44 Mở đầu Đặc trng lớp vành qua điều kiện lớp môđun hớng nghiên cứu quan trọng lý thuyết vành Vì vậy, việc lựa chọn lớp môđun khảo sát thuộc tính chúng phục vụ cho việc nghiên cứu đặc trng lớp vành biết trở nên vấn đề hấp dẫn Lớp môđun xạ ảnh với lớp môđun nội xạ có vai trò quan trọng nghiên cứu vành môđun Từ trớc đến lớp môđun đối tợng truyền thống đợc nhiều ngời nghiên cứu Các kết tìm thấy đợc sử dụng để mô tả cấu trúc nhiều lớp vành quan trọng nh vành noether, vành nửa đơn, vành hoàn chỉnh, Từ nửa cuối kỷ XX, nhiều ng ời nghiên cứu vành môđun tìm cách mở rộng lớp môđun để phục vụ cho việc nghiên cứu thuộc tính vành Việc mở rộng nói đợc quan tâm nhiều sau công trình Utumi (1960 1965) thuộc tính C vành Sau đó, Mohamed, Bouhy, Oshiro, đề xuất nghiên cứu điều kiện C1, C2, C3 môđun định nghĩa lớp môđun tựa liên tục, liên tục, extending (tức môđun CS), 1-C 1, Những lớp môđun mở rộng thực lớp môđun nội xạ Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, ngời ta tìm cách mở rộng môđun xạ ảnh Bằng cách sử dụng điều kiện D , D 2, D , đối ngẫu với điều kiện C 1, C2 , C tơng ứng, Mohamed Singh định nghĩa khái niệm môđun rời rạc, Oshiro định nghĩa khái niệm môđun tựa rời rạc Trên vành hoàn chỉnh, lớp môđun rời rạc lớp môđun tựa rời rạc mở rộng thực lớp môđun xạ ảnh Mặc dù vấn đề đợc đặt việc mở rộng lớp môđun xạ ảnh tơng tự với việc mở rộng lớp môđun nội xạ nhng thực tế nghiên cứu thờng gặp nhiều khó khăn hơn, đòi hỏi sử dụng nhiều kỹ thuật phức tạp Việt Nam, dới hớng dẫn GS TSKH Đinh Văn Huỳnh, việc nghiên cứu mở rộng lớp môđun nội xạ, xạ ảnh đợc thực từ năm 80 kỷ XX thu đợc nhiều kết Chỉ tính nớc có luận án Tiến sĩ đợc bảo vệ có liên quan đến lớp môđun Sự hấp dẫn hớng nghiên cứu dẫn đến việc lựa chọn đề tài luận văn tìm hiểu Lớp môđun xạ ảnh số mở rộng Mục đích nghiên cứu luận văn hệ thống hoá tính chất lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc môđun tựa rời rạc Trên sở cố gắng tìm hiểu sâu đặc trng lớp môđun liên hệ tính chất chúng với tính chất số lớp vành biết Nội dung Luận văn gồm chơng: Chơng 1: Các kiến thức sở môđun vành Nội dung chơng nhắc lại số khái niệm sở Lý thuyết môđun hệ thống hoá kiến thức sở vành Chơng 2: Lớp môđun xạ ảnh số mở rộng Chúng tập trung nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh thông qua điều kiện rời rạc, nghiên cứu môđun rời rạc môđun tựa rời rạc Đồng thời tìm hiểu mối liên hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc; đặc trng môđun tựa rời rạc qua điều kiện khả bù yếu Luận văn đợc thực hoàn thành Trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình Thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời dành cho bảo tận tình, nghiêm khắc đầy lòng nhân Trong thời gian học tập viết luận văn đợc dạy bảo tận tình thầy giáo, cô giáo nhà khoa học trờng Đại học Vinh Chúng nhớ đến học mà thầy giáo, cô giáo nhà khoa học giảng dạy thời gian qua Gia đình bạn bè nguồn động viên để có thêm nghị lực hoàn thành khoá học Xin đợc chân thành cảm ơn tất lòng u dành cho Tuy nhiên dù có nhiều cố giắng nhng tránh khỏi sai sót, mong nhận đợc bảo chân tình quý thầy cô bạn Vinh, 28 tháng 12 năm 2006 Tác giả Chơng Các kiến thức sở vành môđun Trong chơng ta giả sử R vành có đơn vị cho tr ớc kí hiệu R-Mod dùng để phạm trù gồm tất R-môđun trái unita, tức môđun M vành R với điều kiện 1m = m, với m thuộc M 1.1- Các kiến thức sở môđun Trong mục nhắc lại số khái niệm sở Lý thuyết môđun mục 1.2- Hệ thống hoá kiến thức sở vành Những khái niệm, thuật ngữ kí hiệu vành môđun không đ ợc nhắc đến tìm thấy tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [6], [9], [10], [11] đợc liệt kê cuối luận văn 1.1.1- Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp môđun Định nghĩa 1: Giả sử M môđun vành R a) Môđun M đợc gọi môđun đơn M không chứa môđun thực khác 0, nghĩa có môđun M b) Môđun A môđun M đợc gọi tối đại A M A không chứa môđun thực M c) Môđun A M bé (theo quan hệ bao hàm) chứa tập hợp X M đợc gọi mô đun sinh X Khi X đợc gọi tập sinh hay hệ sinh A Trong trờng hợp A = M ta nói X hệ sinh M hay M đợc sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M môđun hữu hạn sinh Định nghĩa 2: a) Giả sử {AiiI } họ tuỳ ý môđun R-môđun M Khi môđun sinh tập S = môđun Ai họ cho, ký hiệu Ai I I Ai gọi tổng b) Một họ F = {Ai i I } môđun môđun M đợc gọi độc lập (hay khả tổng) A j Ai = , với j I i j Trong trờng hợp họ F = {Ai i I } độc lập tổng trực tiếp họ F kí hiệu Ai Ai I tổng Môđun A đợc gọi phân tích đợc I thành tổng trực tiếp họ F = {A i i I } môđun môđun A họ F = {Ai i I } độc lập A = Ai Khi điều kiện sau đợc I thoả mãn: (i) A = Ai I (ii) A j Ai = , với j I i j Nếu A tổng trực tiếp họ môđun F = {Ai i I } phần tử x A đợc biểu diễn thành tổng hữu hạn x = a1 + a2 + + an, Ai, i = 1, 2, , n c) Cho F = {A i| iI} họ R-môđun Tích Đềcác Ai I họ F với phép toán đợc định nghĩa theo thành phần làm thành R-môđun Môđun đun đợc gọi tích trực tiếp họ F Tập tích Đề Ai gồm tất phân tử (a i) mà = hầu hết, trừ I số hữu hạn số iI, làm thành môđun môđun tích trực tiếp nói Môđun đợc gọi đối tích (hay tổng trực tiếp ngoài) họ F = {Ai| iI} đợc ký hiệu Ai I Trong trờng hợp tất môđun A i họ F môđun A tích trực tiếp tổng trực tiếp nói đ ợc gọi luỹ thừa A kí hiệu tơng ứng AI A(I) tơng ứng Ngời ta dùng thuật ngữ tích (tổng) trực tiếp I copy môđun A Nếu R-môđun M tổng trực tiếp họ môđun {A i| iI} M đẳng cấu với tổng trực tiếp họ R-môđun {A i| iI} Đảo lại, {A i| iI} họ R-môđun M = Ai tổng trực I tiếp họ môđun cho Khi M có họ môđun {A' i| iI} với Ai' đẳng cấu với Ai, với iI M tổng trực tiếp môđun A' i Do số trờng hợp, không cần phân biệt tổng trực tiếp tổng trực tiếp ngoài, ngời ta dùng chung thuật ngữ cho hai đối tợng tổng trực tiếp Định nghĩa 3: a) Môđun M đợc gọi không phân tích đợc không biểu diễn đợc thành tổng trực tiếp hai môđun thực b) Giả sử M có phân tích M = I Mi Nếu Mi môđun không phân tích đợc M, i I phân tích đợc gọi phân tích thành tổng trực tiếp môđun không phân tích đ ợc 1.1.2- Môđun cốt yếu, môđun bé Căn đế môđun Định nghĩa 4: Cho A môđun môđun M A đợc gọi môđun cốt yếu M với môđun X M có A X Trong trờng hợp ta nói M mở rộng cốt yếu A, ký hiệu A * M Một mở rộng cốt yếu M A đợc gọi mở rộng cốt yếu thực M A Môđun M đợc gọi môđun khác không M môđun cốt yếu M Đối với môđun A khác môđun M tồn mở rộng cốt yếu A M Mở rộng cốt yếu tối đại A M đ ợc gọi bao đóng A M Một môđun A M đợc gọi đóng A mở rộng cốt yếu thực M Một số tính chất môđun cốt yếu môđun vành R đ ợc đề cập mệnh đề sau: Mệnh đề 1: a) A * M xR A 0, x M b) A B M A * M A * B, B * M c) A * M, K M A K * K d) Giao họ hữu hạn môđun cốt yếu môđun M môđun cốt yếu M e) A B M, B/A * M/A B * M f) Cho f: M N đồng cấu môđun, B * N f-1(B) * M g) Cho Ai, Mi môđun M, i I cho: M = tồn Mi I Ai; Ai * Mi i I thì: I (i) Tồn (ii) Mi = Mi I I Ai * M i I I Định nghĩa 5: Cho A môđun môđun M A đợc gọi môđun bé (hoặc đối cốt yếu) M với môđun thực X M A + X M Ký hiệu: A M Môđun M đợc gọi môđun hổng môđun thực môđun bé môđun M Một số tính chất môđun bé môđun vành R đ ợc đề cập mệnh đề sau: Mệnh đề 2: a) Nếu A B B C A C với A, B, C môđun M b) Cho A M, A N Nếu N M A N c) Tổng số hữu hạn môđun bé môđun M môđun bé môđun M d) Nếu A hạng tử trực tiếp môđun M X mô đun A cho X M Khi X A e) Nếu A B, B M B M B/A M/A A M f) Cho f: M N đồng cấu môđun A M f(A) N Định nghĩa 6: (i) Tổng tất môđun bé môđun M đ ợc gọi môđun M Ký hiệu: Rad(M) (ii) Giao tất môđun cốt yếu môđun M đ ợc gọi đế (socle) môđun M Ký hiệu : Soc(M) Mệnh đề sau cho cách định nghĩa khác khái niệm đế môđun Mệnh đề 3: (i) Rad(M) giao tất môđun tối đại M (ii) Soc(M) tổng tất môđun đơn môđun M 1.1.3- Bù-giao bù-cộng môđun Định nghĩa 7: Cho A môđun M Môđun A' M tối đại số môđun M có giao với A không đợc gọi bù -giao (complement) A M Mệnh đề 4: Môđun B M đóng tồn môđun A M cho B bù-giao A M Chú ý cách sử dụng Bổ đề Zorn, ngời ta chứng minh đợc tồn bù-giao môđun môđun M Tuy nhiên, với môđun cho trớc, bù giao môđun M không Mệnh đề sau cho dấu hiệu để nhận biết môđun M có phải bù giao môđun A M hay không Mệnh đề 5: (i) Cho A môđun M, môđun B bù-giao A M B đóng M B A * M (ii) Nếu A môđun M B môđun đóng M cho A B = A B * M B bù-giao A M Liên quan đến bù-giao môđun môđun đóng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 6: (i) Mỗi môđun A M tồn môđun đóng - giao) B cho A môđun cốt yếu B (bù (ii) Nếu A môđun đóng B B môđun đóng M A môđun đóng M Định nghĩa 8: Cho A môđun M Môđun P M tối tiểu số môđun M thoả mãn điều kiện A + P = M môđun P đợc gọi bù-cộng (supplement) A M Môđun B M đợc gọi môđun bù-cộng (supplement submodule) B bù-cộng môđun M Nhận xét: (Xem [6]) - Nếu M = A B B vừa bù-giao, vừa bù-cộng A M - Khác với bù-giao môđun con, bù-cộng môđun M không tồn Ví dụ: Trong môđun Z Z môđun khác có môđun bù - cộng Mệnh đề sau cho ta tính chất đặc trng bù - cộng môđun môđun M Mệnh đề 7: Cho A P môđun M P bù - cộng A M = A + P A P P 1.1.4- Dãy khớp Định nghĩa 9: Đơn cấu f: X Y R - môđun đợc gọi chẻ Im(f) hạng tử trực tiếp Y Toàn cấu g: Y Z đợc gọi chẻ ker(g) hạng tử trực tiếp Y Định nghĩa 10: a) Ta gọi dãy khớp (những môđun) dãy hữu hạn vô hạn f g X Y Z 10 g A B , Trong j i : Pi Pi phép nhúng tắc; p i: I Pi I Pi phép chiếu tắc (p i(xi)I = xi) f i: Pi B đồng cấu tuỳ ý Vì P A-xạ ảnh nên đồng cấu f ipi: P B, tồn đồng cấu f: P A cho ta có f ipi = gf Đặt ki = fj i , gki = gfj i = fipij i = fi Do pij i = 1P i Vậy Pi A-xạ ảnh Bây ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử với iI, Pi A-xạ Pi chúng A-xạ ảnh ảnh ta chứng minh tổng trực tiếp P = I Thật vậy, xét biểu đồ giao hoán (*) với dòng khớp Trong f: P B đồng cấu bất kỳ, P i A-xạ ảnh nên với đồng cấu fj i: Pi B tồn đồng cấu h i: P i A cho ta có: i = gh i fj Rõ ràng họ đồng cấu (h i)I xác định Theo tính chất tổng trực tiếp, tồn ánh xạ tuyến tính h: Pi I P i cho h i = hj i với iI Pi hi ji P= Pi I h f g A B 0, 22 (*) Khi ta có: iI , ghj i = ghi = fj i gh = f Vậy P A-xạ ảnh Theo [6], ta có mệnh đề: n Mệnh đề 17: Môđun N ( Ai)-xạ ảnh (n N) N i =1 Ai-xạ ảnh, i = 1,2, ,n Khẳng định mệnh đề 17 không trờng hợp tổng trực tiếp vô hạn Ai Sau phản ví dụ Ví dụ: Cho I tập vô hạn, giả sử Ai = Z i I Hiển nhiên Q Aixạ ảnh tồn toàn cấu từ Ai iI Q ánh xạ mở rộng QZ môđun xạ ảnh Do vậy, Q ( Ai)-xạ ảnh (theo mệnh đề 17) iI Trong trờng hợp N hữu hạn sinh mệnh đề 17 mở rộng cho trờng hợp vô hạn Mệnh đề 18: Cho I tập tuỳ ý N hữu hạn sinh A i-xạ ảnh i I Khi N ( Ai)-xạ ảnh iI Chứng minh: Giả sử X Ai iI Thế Ai = (A i + X)/X Với đồng cấu : N ( Ai)/X = Ai , với iI Ai , Im i I i I Ai với F tập i F hữu hạn sinh I áp dụng mệnh đề 17 cho tổng trực tiếp hữu hạn Ai ta có điều phải chứng minh i F Từ mệnh đề 16 mệnh đề 17 ta có hệ sau: 23 Hệ 1: Tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh Định nghĩa 4: Môđun M đợc gọi tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) M M-xạ ảnh Hệ 2: Một tổng trực tiếp hữu hạn n Mi tựa xạ ảnh i =1 Mi Mj-xạ ảnh (i,j = 1,2, ,n) M n tựa xạ ảnh M tựa xạ ảnh Định nghĩa 5: (a) Miền xạ ảnh môđun M tập tất môđun A cho M A-xạ ảnh (b) Lớp xạ ảnh môđun M tập tất môđun N cho N M-xạ ảnh (c) Các môđun M N đợc gọi xạ ảnh tơng hổ (hoặc xạ ảnh lẫn nhau) N M-xạ ảnh M N-xạ ảnh Hệ 3: (i) Miền xạ ảnh môđun đóng kín với tổng trực tiếp hữu hạn (ii) Lớp xạ ảnh môđun khép kín môđun môđun thơng tổng trực tiếp tuỳ ý môđun 2.3- Bao xạ ảnh môđun 2.3.1- Khái niệm bao xạ ảnh môđun Định nghĩa 6: Một cặp (P,p) đợc gọi bao xạ ảnh môđun M, P xạ ảnh p: P M đồng cấu cho Kerp môđun bé P Chúng ta biết môđun tồn bao nội xạ mở rộng cốt yếu tối đại môđun Tuy nhiên bao xạ ảnh môđun không thiết tồn Ví dụ: Z-môđun Z bao xạ ảnh nhng có bao nội xạ Q Định lý 19: Giả sử M có bao xạ ảnh cặp (P,p) Q môđun xạ ảnh, q: Q M toàn cấu Khi Q có phân tích Q = P P cho: 24 (i) P P (ii) P môđun ker(q) (iii) (P ; q |P) bao xạ ảnh môđun M Hơn f: M M2 đẳng cấu cặp (P 1; p1) bao xạ ảnh M 1, (P2, p2) bao xạ ảnh M tồn đẳng cấu P cho p f = f f : P1 p1 Chứng minh: Từ tính xạ ảnh Q ta có biểu đồ giao hoán với hàng cột khớp: Q h q P M O p O Từ p toàn cấu p 0h = q toàn cấu đầy h toàn cấu Nhng P môđun xạ ảnh h toàn cấu chẻ Do tồn đơn cấu g: P Q cho h g = P Q = im(g) ker(h) Đặt P' = im(g) P" = ker(h), ta thấy: (i) thoả mãn g đơn cấu (ii) thoả mãn p 0h = q (q|P ') Mặt khác ta lại có q(P') = q(Q) = M, P' M O khớp bao xạ ảnh q 0g = p0h0g = p Điều suy từ ker(q|P ') = g(ker(p)) môđun đầy g(P) = P' Do (iii) thoả mãn 25 Để chứng minh mệnh đề cuối, đặt p = p 2, q = fp 1, f = h Thế p f = f0p1 f = h đơn cấu, ker( f ) = ker(p 1) thành phần trực tiếp P1 f đẳng cấu 2.3.2- Vành hoàn chỉnh vành nửa hoàn chỉnh Định nghĩa 7: Vành R đợc gọi hoàn chỉnh trái, R-môđun trái có bao xạ ảnh; đợc gọi nửa hoàn chỉnh trái, R-môđun trái hữu hạn sinh có bao xạ ảnh Chú ý: - Một vành hoàn chỉnh trái cha hoàn chỉnh phải - Một vành nửa hoàn chỉnh trái luôn nửa hoàn chỉnh phải 2.4- Môđun với điều kiện rời rạc 2.4.1- Các điều kiện rời rạc (D1) Với môđun A M có phân tích M = M M2 cho M A A M2 M Môđun M đợc gọi môđun khả bù với môđun A B M cho A + B = M B chứa môđun bù cộng A M (D2) Nếu A M cho M/A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M (D3) Nếu M 1, M2 hạng tử trực tiếp M M M2 hạng tử trực tiếp M Bổ đề 20: M thoả mãn điều kiện (D i) hạng tử trực tiếp thoả mãn điều kiện (D i) Chứng minh: Suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 21: Với môđun M, khẳng định sau tơng đơng: (i) M có tính chất (D 1) (ii) Mọi môđun A M viết A = N S với N M S M 26 (iii) M môđun khả bù môđun bù cộng M hạng tử trực tiếp M Chứng minh (i) (ii) M phân tích: M = M M2 với M1 A A M2 M Thế A = M1 A M2 Lấy N = M S = A M2 ta có ĐPCM (ii) (iii) Giả sử M = X + Y, chứng tỏ Y phần phụ X Từ giả thiết, coi Y M Bây X Y = Y1 S cho Y1 M S M Từ Y M S Y Viết Y = Y1Y2, ký hiệu phép chiếu Y1Y2 Y2 Thế X Y = Y1 X Y Y2 X Y2 = X Y Y2 = (X Y) = (Y1 + S) = S Từ ta có: X Y2 Y2 M = X + Y = X + Y + Y2 = X + Y2 Do Y2 phần phụ X Bây giờ, cho P môđun phụ M Thế tồn K M cho P bé thoả mãn K + P = M Từ P = L T với L M T M Do tính "bé nhất" P P = L (iii) (i) Cho A M Khi A có phần phụ B B có phần phụ M1 A M1 M Viết M = M M2 A = M A M2 Ngoài M = M + B A = M + A B Ký hiệu v phép chiếu M M2 M2 thì: A M2 = v(A) = v(AB) Từ giả thiết B phần phụ A, A B M đó: 27 A M2 M Ta có M thoả mãn điều kiện (D 1) Bổ đề 22: Nếu M môđun thoả mãn kiện (D 2) thì: f (i) Nếu M 1, M2 M với toàn cấu M M2 ta có kerf M1 (ii) M thoả mãn (D 3) Chứng minh (i) Giả sử M = M1 M1* M2 ( M M 1* ) ( Kef M 1* ) = M (ker f M 1* ) Từ ta có kerf M1* kerf hạng tử trực tiếp M1 (ii) Giả sử A, B M A + B = M ( A + B) B B Viết M = A A*, A* A A Từ ta suy A B hạng tử trực tiếp M (theo (i)) Mệnh đề 23: Đối với môđun M điều kiện sau tơng đơng: (i) M thoả mãn điều kiện (D 3) (ii) Đối với hạng tử trực tiếp P Q M cho M = P + Q, tồn môđun P' Q cho M = P P' Chứng minh: (i) (ii) Giả sử M môđun thoả mãn điều kiện (D 3) P, Q hạng tử trực tiếp M cho M = P + Q Từ điều kiện (D 3), ta có P Q hạng tử trực tiếp M, chẳng hạn M = (P Q) T, môđun T Vì P Q Q nên theo luật Môđula ta có: Q = (P Q) (T Q) Do đó: M = P + Q = P + ( P Q) (T Q) = P (T Q) Chọn P' = T Q ta có điều phải chứng minh 28 (ii) (i) Giả sử M thoả mãn điều kiện (b) P, Q hạng tử trực tiếp M cho M = P + Q Theo giả thiết, tồn môđun P' Q cho M = P P' Vì P' Q nên ta có Q = P' (P Q) Do P Q hạng tử trực tiếp Q Q hạng tử trực tiếp M nên P Q hạng tử trực tiếp M Hệ quả: Một môđun không phân tích thành tổng trực tiếp có tính chất (D1) môđun hổng Định nghĩa 8: Môđun M đợc gọi thoả mãn điều kiện (D 0) M môđun không phân tích đợc phân tích M = A B luôn có A B- xạ ảnh B A- xạ ảnh Môđun M đợc gọi môđun nâng thoả mãn điều kiện (D 1) 2.4.2- Môđun rời rạc Định nghĩa 9: Môđun M đợc gọi rời rạc thoả mãn điều kiện (D1) (D2) Mệnh đề 24: Một môđun tựa xạ ảnh M rời rạc môđun có phần phụ Chứng minh: Nếu M môđun rời rạc M có tính chất (D 1) nên từ mệnh đề 21 ta có điều phải chứng minh Đảo lại, Giả sử môđun M có phần phụ (chú ý rằng, nói chung môđun N có phần phụ N không thiết phần phụ) Giả sử M = A + B Ta B chứa phần phụ A Theo giả thiết, A có phần phụ P, M = A + P A P P Gọi v, lần lợt đồng cấu tự nhiên: M M/A B M/A Vì M B - xạ ảnh, nên tồn f: M B cho f = v Đặt = v|P g = f|P Thế g(P) = à(P) = M/A 29 M = A + g(P) A g(P) = g(ker(à)) Từ ker(à) = A P P', g(ker(à)) g(P) ( Theo tính chất môđun bé) Do A g(P) P g(P) phần phụ B P g M f B v M/A Tiếp theo, chứng minh môđun phụ M hạng tử trực tiếp Thật vậy, theo mệnh đề 21, M có tính chất (D 1) Giả sử A môđun phụ M B phần phụ A Theo biểu đồ trên, từ f(A) = v(A) = f(A) A Do vậy, M = f(M) + A = f(A + B) + A = f(A) + f(B) + A = f(B) + A Theo tính chất nhỏ B f(B) = B M = B + Ker(f) Từ ker(f) A tính chất nhỏ A với ker(f) = A ta có: ker(f) = A = ker(v) = ker(f) Nh vậy, f toàn cấu, tức f(M) = B Cuối A B = M = A B Từ tính chất (D 2) M ta kết luận M rời rạc 2.4.3- Môđun tựa rời rạc Định nghĩa 10: Môđun M đợc gọi tựa rời rạc thoả mãn điều kiện (D1) (D3) Từ định nghĩa, ta suy môđun rời rạc môđun tựa rời rạc Tuy nhiên, chiều ngợc lại không trờng hợp tổng quát (xem, 30 chẳng hạn [6]) Về đặc trng môđun tựa rời rạc,[6] [9] đa khẳng định sau: Mệnh đề 25: Các phát biểu sau tơng đơng môđun M: (i) M môđun tựa rời rạc; (ii) M tổng trực tiếp hai môđun bù- cộng M; (iii) M thoả mãn D D Nh vậy: Từ định nghĩa 8, 9, 10 bổ đề 22 ta có suy luận: Rời rạc Tựa rời rạc Nâng 2.4.4- Mối liên hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc Bổ đề 26: Giả sử M = A + B Nếu M/A có bao xạ ảnh B chứa phần phụ A Chứng minh Giả sử (P, ) bao xạ ảnh môđun M/A : B M/A đồng cấu tự nhiên Do P bao xạ ảnh nên tồn đồng cấu g: P B cho 0g = Hoàn toàn tơng tự nh chứng minh mệnh đề 24 ta có g(P) phần phụ A đợc chứa B Định lý 27: Cho vành R, khẳng định sau tơng đơng: (i) R (nửa) hoàn thiện phải (ii) Mỗi R-môđun tựa xạ ảnh (hữu hạn sinh) rời rạc (iii) Mỗi R-môđun (hữu hạn sinh) phần phụ (iv) Mỗi R-môđun tự (cyclic) có tính chất môđun có phần phụ Chứng minh (i) (iii): Theo bổ đề 26 (iii) (ii): Theo mệnh đề 24 (ii) (iv): Hiển nhiên (iv) (i): Giả sử có (iv) M R-môđun (cyclic) Thế tồn toàn cấu : F M với F môđun tự (cyclic) Vì F có tính 31 chất (D1), theo mệnh đề 24 ta có F = F F2 với F ker( ) F2 ker( ) F2 M bao xạ ảnh M Rõ ràng |F : F2 Vậy R (nửa) hoàn thiện phải Hệ quả: Một vành R nửa hoàn thiện R R rời rạc, iđêal phải R có phần phụ 5- Đặc trng môđun tựa rời rạc qua điều kiện khả bù yếu Trong định nghĩa môđun rời rạc môđun tựa rời rạc ng ời ta sử dụng điều kiện D D2 (D1 D3) Tuy nhiên, điều kiện D chặt Vì vậy, ngời ta cố gắng tìm kiếm điều kiện yếu để thay cho D định nghĩa Theo hớng nghiên cứu Zoschinger, AbdulKarim Singh xét điều kiện sau: Định nghĩa 11: Giả sử M môđun (i) M đợc gọi môđun khả bù yếu môđun M có bù cộng M; (ii) M đợc gọi môđun -khả bù môđun M có bù cộng (supplement) hạng tử trực tiếp M; (iii) M đợc gọi môđun H-khả bù với môđun A M tồn hạng tử trực tiếp A M cho với môđun X M có A + X = M xảy A + X = M Mối quan hệ khái niệm vừa định nghĩa đ ợc lợc đồ suy luận sau: D khả bù yếu; D -khả bù yếu Các điều kiện yếu điều kiện D trình bày Mệnh đề sau cho đặc trng môđun tựa rời rạc qua điều kiện bù yếu: Mệnh đề 28: Môđun M tựa rời rạc M thoả mãn điều kiện D0 H- khả bù 32 Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử môđun M thoả mãn điều kiện cho Theo [6] ta cần chứng minh M môđun khả bù cho M = X Y với X Y hai môđun bù cộng M Trớc hết ta chứng minh khẳng định thứ hai Giả sử X Y môđun M cho chúng môđun bù- cộng Vì M H-bù nên môđun X tồn hạng tử trực tiếp X M cho với môđun T M ta có X + T = M xảy X + T = M Vì X bù Y nên M = X + Y, suy M = X + Y Giả sử M = X B Khi theo điều kiện (D 0), ta có X B môđun xạ ảnh lẫn Theo [6], từ điều kiện B X - xạ ảnh M = X + Y, tồn môđun C Y cho M = X C Lại theo giả thiết M môđun H-bù, ta có M = X + C Vì Y bù- cộng X nên Y phải có tính chất tối thiểu môđun M thoả mãn X + Y = M Do từ C Y X + C = M ta có Y = C Vì vậy, ta có M = X Y Thế theo điều kiện (D 0), X Y môđun M xạ ảnh lẫn Do từ M = X + Y, tồn môđun Z M cho M = Z Y Lại tính tối tiểu X số môđun M thoả mãn X + Y = M, ta có Z = X Vậy M = X Y Để kết thúc chứng minh mệnh đề, ta cần chứng tỏ M môđun khả bù Thật vậy, giả sử A B môđun M cho M = A + B Ta chứng minh B chứa môđun bù- cộng A Từ M môđun Hbù, môđun A B M, tồn hạng tử trực tiếp A B M cho với môđun X Y M, A + X = M xảy A + X = M B + Y = M xảy B + Y = M 33 Giả sử M = A A1 = B B1 Khi đó, theo điều kiện (D 0), A A1 xạ ảnh lẫn nhau, B B1 xạ ảnh lẫn Do A + B = M nên theo điều kiện H-bù ta có M = A + B Theo [6], tồn môđun B B cho A B0 = M Từ A + B = M Ta chứng tỏ B bù- cộng A M Thật vậy, C môđun thực B cho A + C = M ta có A + C = M ta có A + C = M Điều đợc B0 môđun bù trực tiếp A M Điều kết thúc phép chứng minh mệnh đề 28 Chú ý: Điều kiện (D 0) suy đợc (D3) Tuy nhiên môđun M thoả mãnh điều kiện H-bù (D 3) không thiết tựa rời rạc Chẳng hạn, môđun Z Z, với Z vành nguyên thoả mãn H-bù (D 3) nhng không môđun tựa rời rạc không thoả mãn điều kiện (D 1) 2.6- Kết luận chơng Chơng dành cho việc nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh Kết chơng thông qua điều kiện rời rạc nghiên cứu môđun rời rạc môđun tựa rời rạc Đồng thời nghiên cứu mối liên hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc, đặc trng môđun tựa rời rạc qua điều kiện bù yếu Kết luận luận văn Luận văn đề cập giải số vấn đề sau: 34 1- Nhắc tới số khái niệm sở Lý thuyết môdun hệ thống hoá số kiến thức Vành 2- Tìm hiểu lớp môđun xạ ảnh xét mối quan hệ với môđun vành R (môđun xạ ảnh) xét điều kiện ràng buộc môđun với môđun cụ thể (môđun A-xạ ảnh) 3- Nghiên cứu môđun với điều kiện rời rạc Thông qua điều kiện rời rạc tìm hiểu môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc 4- Tìm hiểu mối quan hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc, đặc trng môđun tựa rời rạc qua điều kiện khả bù yếu Tài liệu tham khảo F W Anderson and K R Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer Verlag, 1974 N V Dung, D V Huynh, P Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Springer, 1994 Andor Kertesz, Lectures on Artinian Rings, Akademiai Kiado Budapest, 1987 Kash, Môđun vành (tiếng Nga) Mir, M 1981 Ngô Thúc Lanh, Đại số (giáo trình sau đại học), NXB GD-1982 35 S H Mohamed, B J Muler, Continuous and Diserete Modules, Cambride, 1990 Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết vành môđun, NXB GD, H, 2001 D W Sharpe and P Vamos, Injective Modules, Cambridge Univ 1972 Sze Tsen Hu, Đại số đồng điều, 1973 10 Chu Trong Thanh, A note on quasi - continuous and quasi diserete modules, Kyungpook Math J 1999, 185 - 189 11 R Wisbauer, Foundatins of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, 1991 36 [...]... A -xạ ảnh (b) Lớp xạ ảnh của môđun M là tập tất cả các môđun N sao cho N là M -xạ ảnh (c) Các môđun M và N đợc gọi là xạ ảnh tơng hổ (hoặc xạ ảnh lẫn nhau) nếu N là M -xạ ảnh và M là N -xạ ảnh Hệ quả 3: (i) Miền xạ ảnh của một môđun luôn đóng kín với tổng trực tiếp hữu hạn (ii) Lớp xạ ảnh của các môđun là khép kín đối với môđun con và môđun thơng và tổng trực tiếp tuỳ ý các môđun 2.3- Bao xạ ảnh của một. .. đề 16 và mệnh đề 17 ta có các hệ quả sau: 23 Hệ quả 1: Tổng trực tiếp các môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh Định nghĩa 4: Môđun M đợc gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) nếu M là M -xạ ảnh Hệ quả 2: Một tổng trực tiếp hữu hạn n Mi là tựa xạ ảnh nếu và chỉ i =1 nếu Mi là Mj -xạ ảnh (i,j = 1,2, ,n) M n là tựa xạ ảnh nếu và chỉ nếu M là tựa xạ ảnh Định nghĩa 5: (a) Miền xạ ảnh của môđun M là tập tất cả các môđun. .. 2.2- Môđun a - xạ ảnh Trong mục 2.1 chúng tôi đã hệ thống hoá những kết quả về các môđun tự do và môđun xạ ảnh Thực tế lớp môđun xạ ảnh là một mở rộng thực sự của lớp môđun tự do Trong mục này chúng tôi tiếp tục hệ thống hoá một số kết quả về các lớp môđun mở rộng của lớp môđun xạ ảnh Khi xét khái niệm môđun xạ ảnh ta đã xét các điều kiện đặt ra đối với môđun P trong mối quan hệ với tất cả các môđun. .. một môđun 2.3.1- Khái niệm bao xạ ảnh của môđun Định nghĩa 6: Một cặp (P,p) đợc gọi là bao xạ ảnh của môđun M, nếu P là một xạ ảnh và p: P M đồng cấu sao cho Kerp là một môđun con bé của P Chúng ta biết rằng mỗi môđun luôn tồn tại bao nội xạ và đó là mở rộng cốt yếu tối đại của môđun đó Tuy nhiên bao xạ ảnh của một môđun không nhất thiết tồn tại Ví dụ: Z -môđun Z không có bao xạ ảnh nhng có bao nội xạ. .. chơng này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm của Lý thuyết môđun và hệ thống hoá các kiến thức về vành để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau Các kết quả trình bày trong chơng đều đợc chọn trong các tài liệu tham khảo [1], [2] [11] 15 Chơng 2 Môđun xạ ảnh và Một số mở rộng của môđun xạ ảnh 2.1- Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1: Ta gọi môđun P là môđun xạ ảnh nếu với mọi môđun A, B và toàn cấu g: A B, mọi... [3], [4] 16 Mệnh đề 1: Mọi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh Tuy nhiên điều ngợc lại không đúng Mệnh đề 2: Hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh là một môđun xạ ảnh Mệnh đề 3: Tổng trực tiếp bất kì những môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh Định lý 4: Với một môđun X tuỳ ý và tự đồng cấu đồng nhất i của X, các phát biểu sau là tơng đơng: (i) X là môđun xạ ảnh f g (ii) Mọi dãy khớp ngắn các môđun 0 V X U 0 đều... môdun và hệ thống hoá một số kiến thức về Vành 2- Tìm hiểu lớp môđun xạ ảnh xét trong mối quan hệ với các môđun trên vành R (môđun xạ ảnh) và xét trong điều kiện ràng buộc của môđun đó với một môđun cụ thể nào đó (môđun A -xạ ảnh) 3- Nghiên cứu môđun với các điều kiện rời rạc Thông qua các điều kiện rời rạc chúng tôi tìm hiểu môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc 4- Tìm hiểu mối quan hệ giữa thuộc tính xạ ảnh. .. bao xạ ảnh là cặp (P,p) và Q là môđun xạ ảnh, q: Q M là một toàn cấu Khi đó Q có sự phân tích Q = P P sao cho: 24 (i) P P (ii) P là môđun con của ker(q) (iii) (P ; q |P) là một bao xạ ảnh của môđun M Hơn nữa nếu f: M 1 M2 là một đẳng cấu và nếu cặp (P 1; p1) là bao xạ ảnh của M 1, (P2, p2) là bao xạ ảnh của M 2 thì tồn tại một đẳng cấu P 2 sao cho p 2 0 f = f f : P1 0 p1 Chứng minh: Từ tính xạ. .. = f Khái niệm môđun xạ ảnh còn đợc định nghĩa bởi thuật ngữ sơ đồ giao hoán nh sau: Môđun P đợc gọi là môđun xạ ảnh nếu mọi sơ đồ các đồng cấu môđun sau đây với f và g là toàn cấu luôn bổ sung đơc một đồng cấu h sao cho sơ đồ trở thành sơ đồ giao hoán, tức là gh = f P h f g A B Các mệnh đề sau đây làm rõ mối quan hệ giữa môđun tự do với môđun xạ ảnh và một số tính chất của môđun xạ ảnh Các mệnh đề... đồng cấu tự nhiên Từ định nghĩa trên ta thấy rằng: Môđun M là xạ ảnh nếu và chỉ nếu M là A - xạ ảnh với mọi môđun A Sau đây chúng tôi tổng hợp một số kết quả về các môđun A- xạ ảnh N đều Mệnh đề 7: Nếu N là A- xạ ảnh thì mọi toàn cấu : A chẻ ra Trờng hợp đặc biệt, nếu môđun A không phân tích đợc thì là một đẳng cấu A sao Chứng minh Do N là A- xạ ảnh tồn tại đồng cấu : N cho biểu đồ sau giao hoán: ... hoá kết môđun tự môđun xạ ảnh Thực tế lớp môđun xạ ảnh mở rộng thực lớp môđun tự Trong mục tiếp tục hệ thống hoá số kết lớp môđun mở rộng lớp môđun xạ ảnh Khi xét khái niệm môđun xạ ảnh ta xét... tiếp môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh Định nghĩa 4: Môđun M đợc gọi tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) M M -xạ ảnh Hệ 2: Một tổng trực tiếp hữu hạn n Mi tựa xạ ảnh i =1 Mi Mj -xạ ảnh (i,j = 1,2, ,n) M n tựa xạ ảnh. .. M tựa xạ ảnh Định nghĩa 5: (a) Miền xạ ảnh môđun M tập tất môđun A cho M A -xạ ảnh (b) Lớp xạ ảnh môđun M tập tất môđun N cho N M -xạ ảnh (c) Các môđun M N đợc gọi xạ ảnh tơng hổ (hoặc xạ ảnh lẫn