định lí điểm cân bằng blum-oettli và một số mở rộng .pdf

định lí điểm cân bằng blum-oettli và một số mở rộng .pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

ĐOÀN VĂN SOẠN

ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên-2009

Đại Học Thái NguyênTrường Đại học Sư phạm

Đoàn văn soạn

định lí điểm cân bằng blum-oettlivà một số mở rộng

Chuyên ngành: Giải tíchMã số: 60.46.01

luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học:T.S Lê Văn Chóng

Thái Nguyên-2009

1.2 Bài toán cân bằng đơn điệu 9

1.3 Bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu 17

Chương 2 định lí điểm cân bằng Blum-Oettlivà mở rộng vô hướng 22

2.1 Định lí Brezis-Nirenberg-Stampacchia 23

2.2 Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli 29

2.3 Mở rộng vô hướng Định lí Blum-Oettli 36

Chương 3 mở rộng vectơ định lí điểm cân bằngBlum-Oettli 41

3.1 Nón và quan hệ thứ tự theo nón trong không gian vectơ tôpô 423.2 Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli cho hàm véc tơ đơn trị 453.3 Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli cho hàm véc tơ đa trị 58

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

Mở Đầu

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳng thức Ky Fan có nhiềuđiểm gần nhau Bất đẳng thức biến phân đơn điệu với nhiều ứng dụng đãđược nghiên cứu từ những năm sáu mươi của thế kỉ trước Bất đẳng thức KyFan ngay sau khi được công bố (1972) đã thu hút sự chú ý của nhiều nghiêncứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến bởi sự gần gũi với bất đẳng thức biếnphân đơn điệu và khả năng ứng dụng sâu rộng của nó Vì vậy người ta tìmcách kết nối hai kết quả này với nhau trong một kết quả chung Kết quả đầutiên của sự kết nối này là của Brezis-Nirenberg-Stampacchia(1972) Năm1993, Blum-Oettli công bố một kết quả tiếp theo về sự kết nối này Đây làkết quả hợp nhất hai hướng nghiên cứu cơ bản của bài toán cân bằng, đó làbài toán cân bằng có giả thiết đơn điệu và bài toán cân bằng không có giảthiết đơn điệu.

Bài toán cân bằng được xét bởi Blum-Oettli(1993) có dạng sau:Tìm x ∈ C sao cho g(x, y) + h(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,

trong đó C là một tập lồi đóng trong một không gian vectơ tôpô X nào đó,hàm g : C ì C −→ R được giả thiết là đơn điệu và hàm h : C ì C −→ Rkhông nhất thiết là hàm đơn điệu (R là tập số thực ).

Nếu h = 0 ta nhận được kết quả về bài toán cân bằng đơn điệu (mởrộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu ) Nếu g = 0 ta có kết quả là một mởrộng của Bất đẳng thức Ky Fan.

Sau kết quả này của Blum-Oettli, nhiều kết quả khác có liên quan hoặcmở rộng được công bố Đó là các kết quả nghiên cứu mở rộng vô hướng vàmở rộng vectơ, đơn trị và đa trị, đối với kết quả của Blum-Oettli [3].

Mục đích của luận văn là tập hợp trình bày một số kết quả nghiên cứucơ bản xung quanh kết quả của Blum-Oettli [3] Đó là một số kết quả tồn tạinghiệm của bài toán cân bằng có và không có giả thiết đơn điệu khởi nguồncho kết quả của Blum-Oettli, các kết quả chính của Blum-Oettli và một sốkết quả mở rộng.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3chương.

Chương 1 trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bàitoán cân bằng ở hai hướng nghiên cứu có giả thiết đơn điệu và không có giảthiết đơn điệu, với điều kiện bức cổ điển và nơi giảm Chúng tôi trình bàycác kết quả này với mục đích để thấy rõ hơn sự kết nối của hai hướng nghiêncứu này trong kết quả của Blum-Oettli[3], kết nối ở kết quả và kết nối ở ýtưởng chứng minh các kết quả Các kết quả nghiên cứu được trình bày ở đâychủ yếu được tập hợp từ các bài báo Mosco[11], Allen[1], Chong[6].

Chương 2 trình bày kết quả trung tâm của luận văn Đó là kết quả về sựtồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được thiết lập bởi Blum-Oettli [3] Kếtquả này cùng ý tưởng chứng minh của nó là sự hợp nhất các kết quả cùng ýtưởng chứng minh của chúng được trình bày ở chương 1 Trong chương nàychúng tôi cũng trình bày một kết quả có liên quan và được công bố trước kếtquả của Blum-Oettli [3], đó là công trình của Brezis-Nirenberg-Stampacchia[4], đồng thời trình bày một kết quả là mở rộng vô hướng đối với kết quảcủa Blum-Oettli [3], đó là công trình của Chadli-Chbani-Riahi [7].

Chương 3 đề cập đến sự mở rộng kết quả của Blum-Oettli[3] ra bài toáncân bằng cho hàm vectơ, đơn trị và đa trị Các kết quả ở đây được tập hợp từcác tài liệu Bianchi-Hadjisavvass-schaible[2],Tấn-Tĩnh[13],Tấn-Minh[14].

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm-Đại Học TháiNguyên Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê VănChóng, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoahọc để tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầycô giáo trong Trường ĐHSP-Thái Nguyên, Viện toán học Việt Nam, TrườngĐHSP Hà Nội đã giảng dạy giúp tôi hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơnSở giáo dục và đào tạo Bắc Giang, Trường THPT Lý Thường Kiệt và TrườngTHPT Việt Yên số 1 Bắc Giang, gia đình và bạn bè đã luôn tạo điều kiện,động viên, giúp tôi suốt trong quá trình học tập và nghiên cứu.

1.1 Bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng được Blum-Oettli[3] hiểu là bài toán sau:

Tìm x ∈ C sao cho f(x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ C, (EP)trong đó C là một tập cho trước và f : C ì C −→ R là một hàm cho trước.Đối với bài toán cân bằng trong không gian véctơ tôpô X, tập C thườngđược xét là tập lồi.

Hàmf được gọi là đơn điệu nếu f (x, y) + f (y, x) ≥ 0với mọi x, y ∈ C.Khái niệm này là mở rộng của khái niệm toán tử đơn điệu Toán tửA : C −→ X∗ gọi là đơn điệu nếu hAx − Ay, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C, ở đâyX∗ là không gian đối ngẫu của X.

Hàm f được gọi là hemi-liên tục nếu với x, y ∈ C cho trước tùy ý hàmsốf (x + t(y − x), y) là nửa liên tục dưới theo ttrên [0; 1].

Khái niệm này là mở rộng của khái niệm toán tử hemi-liên tục Toán tửA : C −→ X∗ gọi là hemi-liên tục nếu hàm hA(x + ty), zi với x, y, z ∈ Cbất kỳ cố định là nửa liên tục dưới theo t trên [0; 1].

Bài toán cân bằng bao hàm nhiều trường hợp riêng là các bài toán quenbiết Bất đẳng thức Ky Fan là một trường hợp riêng quan trọng Dưới đây làmột số trường hợp riêng quan trọng khác.

1 Bài toán tối ưu

Cho ϕ : C −→ R Tìm x ∈ C sao cho ϕ(x) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ C Tacũng viết: Tìm min{ϕ(x) | x ∈ C}.

Đặt f(x, y) = ϕ(x)−ϕ(y) Khi đó bài toán tối ưu trở thành: Tìm x ∈ Csao cho f(x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ C Bài toán này tương đương với bài toáncân bằng và ở đây f là hàm số đơn điệu.

2 Bài toán điểm yên ngựa

Cho ϕ : C1ì C2 → R Khi ấy (x1, x2) gọi là điểm yên ngựa của ϕ nếu(x1, x2) ∈ C1 ì C2, ϕ(x1, y2) ≤ ϕ(y1, x2), ∀(y1, y2) ∈ C1 ì C2 (1.1)Đặt C = C1 ì C2 và cho hàm f : C ì C −→ R xác định bởi

f ((x1, x2); (y1, y2)) = ϕ(x1, y2) − ϕ(y1, x2).

Khi ấy, x = (x1, x2) là nghiệm của bài toán cân bằng (EP) nếu và chỉnếu x thỏa mãn (1.1) Dễ thấy f là hàm đơn điệu trong trường hợp này.

3 Bài toán điểm bất động

Cho X = X∗ là không gian Hilbert, T : C → C là một ánh xạ chotrước.

Bài toán bất động ở đây là bài toán

Đặt f(x, y) = hT x, x − yi Rõ ràng bài toán (1.3) tương đương với bàitoán cân bằng (EP) và f đơn điệu khi và chỉ khi T đơn điệu.

Thật vậy

(1.4) ⇒ (1.3) là hiển nhiên.

Nếu (1.3) đúng, lấy y = 2x và y = 0 từ (1.3) ta thu được hT x, xi = 0.Do đó (1.3) ⇒ (1.4).

6 Cân bằng Nash trong trò chơi

Cho I là một tập chỉ số hữu hạn (tập các người chơi) Với i ∈ I, chotrước tập Ki (tập chiến lược người chơi thứ i) Đặt K = Qi∈IKi Với mỗii ∈ I, cho hàm fi : K −→ R (hàm tổn thất của người chơi thứ i, phụ thuộcvào chiến lược của tất cả người chơi) Với x = (xi)i∈I ∈ K ta định nghĩaxi = (xj)j∈I,j6=i Điểm x = (xi)i∈I ∈ K được gọi là điểm cân bằng Nashnếu với mọi i ∈ I ta có

fi(x) ≤ fi(xi, yi), ∀yi ∈ Ki (1.5)(nghĩa là người chơi không thể giảm tổn thất của mình bằng cách đơn lẻ thay

đổi chiến lược của mình ) Cho hàm f : K ì K −→ R xác định bởif (x, y) = X

(−fi(xi, yi) + fi(x)).

Khi ấy, x ∈ K là điểm cân bằng Nash nếu và chỉ nếu x thỏa mãn bàitoán cân bằng (EP) Thật vậy, nếu (1.5) đúng với mọi i ∈ I, thì hiển nhiên(EP) được thỏa mãn Nếu với i ∈ I, ta chọn y ∈ K sao cho xi = yi, thì

1.11.2 Bài toán cân bằng đơn điệu

Để mở rộng một số kết quả tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phânđơn điệu, năm 1976 Mosco [11] chứng minh kết quả tồn tại nghiệm quantrọng sau cho bài toán cân bằng dùng giả thiết đơn điệu.

Định lí 1.1 (Mosco [11])

Cho C là một tập lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X,hàm g : C ì C −→ R, g(x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ C sao cho các điều kiện sauthỏa mãn:

1) g là hemi-liên tục và đơn điệu;

2) Với mỗi x ∈ C,hàm g(x, )là lõm và nửa liên tục trên;

3) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B ⊂ C và y0 ∈ B sao chog(x, y0) > 0, ∀x ∈ C \ B.

Khi đó tập nghiệm của bài toán cân bằng:

x ∈ C : g(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C (1.6)

là tập con khác rỗng, lồi và compắc trongB.

Định lí trên chính là Định lí 3.1 trong [11] với ψ = 0 (Cho ψ = 0 để tiệncho việc sử dụng ở các phần sau) Để chứng minh định lí trên Mosco[11] dùngmột kết quả quen biết của Ky Fan [8] về giao của họ các tập đóng và chứngminh một kết quả mở rộng của tính chất toán tử đơn điệu Đó là Bổ đề 1.1 vàBổ đề 1.2 dưới đây.

Với mỗi y ∈ C ta đặt

G(y) = {x ∈ C : g(x, y) ≤ 0}

H(y) = {x ∈ C : g(y, x) ≥ 0}

F (y) = G(y)(A kí hiệu bao đóng của tập A).

Khi đó ta có\

1)g là hemi-liên tục và đơn điệu;

2) Với mỗi x ∈ C,hàm g(x, )là lõm và nửa liên tục trên.Khi ấy

Thật vậy, lấy một x ∈ G(y) bất kì ta có g(x, y) ≤ 0 Do g đơn điệu nêng(x, y) ≤ 0 ≤ g(x, y) + g(y, x).

Suy ra g(y, x) ≥ 0, nghĩa là x ∈ H(y) hay G(y) ⊂ H(y).

Ta có với mỗiy ∈ C,H(y)là lồi và đóng dog(y, )là lõm và nửa liên tụctrên Do F (y) là bao đóng của G(y) và do G(y) ⊂ H(y) nên F (y) ⊂ H(y).

g(xt, y) > 0, ∀t ∈ (0; t) (1.10)

Lấy y = xt, từ (1.7) suy ra

g(xt, x) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] (1.11)Do tính lõm của g(x, )nên từ (1.10) và (1.11) ta suy ra

g(xt, xt) > 0, ∀t ∈ (0, t), điều này trái với giả thiết.Vậy (1.8) đúng.

Ta chứng minh tập nghiệm này khác rỗng bằng cách dùng Bổ đề Ky Fanvới họ các tập đóng{F (y) : y ∈ C}.

Thật vậy, với mỗiy ∈ C ta cóF (y)là tập đóng và F (y0) là bao đóng củatập G(y0) thuộc tập compắcB ⊂ C nên F (y0) cũng compắc.

Cho tập {y1, y2, , yn} là một tập hữu hạn trong C Ta cần chỉ ra:co{y1, y2, , yn} ⊂

Điều này mâu thuẫn với giả thiết g(y, y) ≤ 0.

Vậy họ các tập đóng {F (y) : y ∈ C} thỏa mãn các giả thiết của Bổ đềKy Fan nên

F (y) 6= ∅.

Theo Bổ đề 1.2 ta có\

x ∈ C : hAx, x − yi ≤ 0, ∀y ∈ C (1.13)là tập con khác rỗng, lồi, đóng và giới nội trong C.

Chứng minh

Vận dụng Định lý 1.1 với tôpô yếu trên X và g(x, y) = hAx, x − yi.Điều kiện bức nêu trong Định lý 1.1 được thỏa mãn do (1.12) bằng cáchlấyy0 trong (1.12) và B = {x ∈ C : kxk ≤ R} với R > 0 đủ lớn Điều kiện bức trong Định lí 1.1 tỏ ra khá chặt vì ở một số trường hợp nókhông thỏa mãn, mặc dầu bài toán cân bằng được xét vẫn có nghiệm Vì vậyviệc giảm nhẹ điều kiện bức ở các nghiên cứu tồn tại nghiệm bài toán cân bằngluôn được quan tâm Dưới đây là một kết quả với điều kiện bức nơi giảm chobài toán cân bằng đơn điệu.

Định lí 1.2 (Chong [6])

Cho X là một không gian lồi địa phương Hausdorff và C ⊂ X là mộttập lồi đóng Chof : C ì C −→ R là một hàm đơn điệu và hemi-liên tục saocho với mỗi x ∈ C, f (x, x) ≤ 0 và hàm f (x, ) là lõm và nửa liên tục trên.

Giả sử tồn tại tập lồi compắc B ⊂ C sao cho với mỗi x ∈ C \ B có mộty ∈ B với f (x, y) > 0 (Điều kiện bức).

Khi ấy tập các x ∈ C với f (x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ C là khác rỗng, lồivà compắc.

Chứng minhVới y ∈ C, đặt

K(y) = {x ∈ B : f (x, y) ≤ 0},

gọiQ(y) và F (y) lần lượt là bao đóng của K(y) và G(y).

Do ®iÒu kiÖn bøc ta cã\

Cho C = Rn, n chẵn, là tập lồi đóng, toán tử A : C −→ Rn và hàmf : C ì C −→ R được xác định bởi

f (x, y) = Ax(x − y)T

Ax = (x2, −x1, x4, −x3, , xn, −xn−1)

Do tập {x ∈ C : f (x, y) ≤ 0} không giới nội với mỗi y ∈ C nên điềukiện bức của Định lí 1.1 không thỏa mãn, nhưng điều kiện bức trong Định lí1.2 lại thỏa mãn với tập lồi compắc

B = {x = (x1, , xn) ∈ C : −1 ≤ xi ≤ 1, i = 1, , n}.Các giả thiết khác của hai định lí trên đều thỏa mãn.

1.11.3 Bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu

Đối với bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu, Mosco [11] chứngminh kết quả cơ bản sau là mở rộng của bất đẳng thức Ky Fan[9] và bất đẳngthức biến phân cổ điển.

2) Với mỗi y ∈ C, g(., y) là hàm nửa liên tục dưới trên X;

3) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B ⊂ C và y0 ∈ B sao chog(x, y0) > 0 với mọi x ∈ C \ B.

Khi đó tập nghiệm của bài toán cân bằng :

thì khi ấy tồn tại một y = Pn

i=1λiyi với λi ≥ 0, ∀i = 1, , n,Pn

i=1λi = 1sao cho y 6∈ G(yi), ∀i = 1, , n.Nghĩa là có g(y, yi) > 0∀i = 1, , n Do đó

Định lí 1.3 có hai hệ quả quan trọng là Hệ quả 1.2 (một dạng riêng củaBất đẳng thức Ky Fan) và Hệ quả 1.3 (một dạng bất đẳng thức biến phân cổđiển).

Hệ quả 1.2 (Ky Fan[9])

Cho C là tập lồi compắc trong không gian vectơ tôpô Hausdorff và hàmsốf : C ì C −→ R thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Với mỗi y ∈ C cố định, hàm f (., y) là nửa liên tục dưới;2) Với mỗi x ∈ C cố định, hàm f (x, ) là lõm;

u ∈ C : a(u, u − v) ≤ 0 ∀v ∈ Ccó nghiệm.

âm, nghĩa làa(u, u) ≥ 0 với mọi u ∈ X).

Lấy w0 ∈ C tùy ý và tập B = {u ∈ X :k u k≤ R} với R > 0 đủ lớn.Do a(u, v) là bức nên có

Định lí 1.4(Allen[1])

Cho X là không gian vectơ tôpô Hausdorff, C ⊂ X là tập lồi và hàmf : C ì C −→ R sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

1) f (x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C;

2) Với mỗi x ∈ C, hàm f (x, ) là tựa lõm trên C;

3) Với mỗi y ∈ C, hàm f (., y) là nửa liên tục dưới trên C;

4) Tồn tại tập lồi compắc B ⊂ C sao cho với mỗi x ∈ C \ B có mộty ∈ B với f (x, y) > 0 (Điều kiện bức).

Khi ấy tồn tại x ∈ C sao cho f (x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ C.

Chứng minh

Đặt K(y) = {x ∈ B : f (x, y) ≤ 0}, y ∈ C Do 3) nên K(y) đóngtrong B Lấy y1, , yn ∈ C và đặt C0 = co(B ∪ {y1, , yn}) Khi ấy C0 làtập lồi compắc, do đó theo Bất đẳng thức Ky Fan[ ] tồn tại x0 ∈ C0 sao chof (x0, y) ≤ 0, ∀y ∈ C0, nghĩa là x0 ∈ Tn

i=1K(yi) Vậy họ {K(y) : y ∈ C}các tập đóng K(y) trong tập compắc B có tính giao hữu hạn, do đó tồn tạix ∈ T

y∈CK(y), nghĩa là f (x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C Thí dụ dưới đây cho thấy Định lí 1.4 (với điều kiện bức nơi giảm ) cho tasự tồn tại nghiệm, nhưng Định lí 1.3 của Mosco[11](với điều kiện bức cổ điển)lại không áp dụng được Xét bài toán cân bằng đối với X = C = R và hàmf : C ì C −→ R cho bởi

f (x, y) =

1, xy < 0

Dễ thấy các giả thiết 1),2),3) thỏa mãn và 4) thỏa mãn với tập lồi compắcB = [−1, 1], nhưng điều kiện bức cổ điển không thỏa mãn (vì với mọiy ∈ C,tập {x ∈ C : f (x, y) ≤ 0} không giới nội).

Chương 2

Định lí điểm cân bằng Blum-Oettlivà mở rộng vô hướng

Sau các nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằngở hai hướng có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu như trình bàyở Chương 1 là một số nghiên cứu tìm cách kết nối các kết quả ở hai hướngnày trong một kết quả chung Kết quả nghiên cứu cơ bản mở đầu ở hướng này(theo hiểu biết của chúng tôi) là kết quả của Brezis - Nirenberg - Stampacchia[4] (1972) Trong một nghiên cứu mở rộng các kết quả của bất đẳng thức biếnphân đơn điệu, các tác giả này đã tìm cách kết nối với Bất đẳng thức Ky Fan,một kết quả cơ bản trong giải tích phi tuyến nhưng khi ấy không có ứng dụngtrong bất đẳng thức biến phân Sau kết quả của Mosco[11] mở rộng bất đẳngthức biến phân đơn điệu, Bất đẳng thức Ky Fan và một kết quả của Allen[1], Chong [6] nơi giảm điều kiện bức, kết quả quan trọng của Blum-Oettli [3](1993) là sự kết nối, hợp nhất các kết quả vừa nêu và một số kết quả có liênquan Kết quả hợp nhất lí thú của Blum-Oettli [3] đã thu hút sự quan tâm củanhiều nghiên cứu mở rộng tiếp theo, trước tiên là mở rộng vô hướng như kếtquả của Chadli-Chbani-Riahi [7] (2000).

Trong chương này, trước khi trình bày phần chính là kết quả của Oettli [3] ( Mục 2.2 ) và một mở rộng vô hướng là kết quả của Chadli-

Blum-Chbani-Riahi [7] (Mục2.3), chúng tôi trình bày kết quả của

2.1 Định lí Brezis-Nirenberg-Stampacchia

Sau khi kết quả nổi tiếng của Ky Fan [9] (1972) được công bố, nhận thấykết quả này rất quan trọng và có liên quan gần gũi với bất đẳng thức biến phânđơn điệu, Brezis - Nirenberg - Stampacchia đã tìm cách kết nối bất đẳng thứcbiến phân đơn điệu và kết quả của Ky Fan trong kết quả được trình bày dướiđây ([9],1972).

Định lí 2.1 (Brezis-Nirenberg-Stampacchia [4])

Cho X là một không gian vectơ tôpô Hausdorff, C là một tập con lồi củaX và hàm f (x, y)là hàm thực xác định trên C ì C sao cho các điều kiện sauthỏa mãn:

1) f (x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C;

2) Với mỗi x ∈ C,tập {y ∈ C : f (x, y) > 0} là tập lồi;

3) Với mỗi y ∈ C, hàm f (., y) là hàm nửa liên tục dưới trên giao củaC với mỗi không gian con hữu hạn chiều của X;

4) Nếu x, y ∈ C, xα là một dãy các phần tử trong C hội tụ tới x, thìf (xα, (1 − t)x + ty) ≤ 0, ∀t ∈ [0, 1] kéo theo f (x, y) ≤ 0;

5) Tồn tại tập compắc B của X và y0 ∈ B ∩ C sao chof (x, y0) > 0với mọi x ∈ C\B.(Điều kiện bức).

Khi ấy tồn tại x0 ∈ B ∩ C sao cho f (x0, y) ≤ 0 với mọi y ∈ C.Nhận xét 2.1

Giả thiết 4) tương đương với giả thiết sau:

4') Cho D là một tập con lồi của C và xα là một dãy trên C hội tụ tớix ∈ D, nếu f (xα, z) ≤ 0 với mọi z ∈ D thì kéo theo f (x, z) ≤ 0 với mọiz ∈ D.

Để chứng minh Định lý này các tác giả chứng minh bổ đề sau là một mởrộng của Bổ đề Ky Fan.

Bổ đề 2.1

Cho C là một tập tùy ý trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X Vớimỗi x ∈ C, tập F (x) được cho trong X thỏa mãn các điều kiện sau:

1) F (x0) = B là tập compắc với mộtx0 ∈ C;2) Với mọi tập hữu hạn {x1, x2, , xn} ⊂ C thì

4") Víi mçi ®o¹n th¼ng D trong X ta cã( \

x0 = 0 ∈ C ∩ Xi nên\

Suy ra tồn tại i0 ∈ I sao cho x ∈ Xio ⊆ Xi, i ≥ i0.

Lấy bất kỳ x ∈ C, ta luôn có i ≥ i0 để x ∈ Xi nghĩa là x ∈ C ∩ Xi.Ta có

Với mọi y ∈ C đặt

F (y) = {x ∈ C : f (x, y) ≤ 0}.

Ta có F (y0)compắc (theo giả thiết 5) Từ giả thiết 3) ta có giao của F (x)với mỗi không không gian con hữu hạn chiều là đóng Với D là tập con lồicủa X và

x ∈ ( \

F (z)) ∩ D

ta có {xα} ⊂ C, xα → x, f (xα, z) ≤ 0, ∀z ∈ C ∩ D.

Theo giả thiết 4') thì f (x, z) ≤ 0, ∀z ∈ C ∩ D, nghĩa làx ∈ ( \

F (z)) ∩ D.

Vậy các giả thiết 1), 3), 4) của Bổ đề 2.1 thỏa mãn Bây giờ từ các giảthiết 1), 2) của Định lý 2.1 ta chứng minh F là ánh xạ KKM, nghĩa là có giảthiết 2) của Bổ đề 2.1.

Giả sử ngược lại, khi ấy ta có yi, αi ≥ 0, i = 1, , n với Pn

i=1αi = 1sao cho

Hệ quả 2.1 (Bất đẳng thức Ky Fan)

Cho C là một tập lồi, compắc trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X,f : C ì C −→ Rthỏa mãn các điều kiện 1),2) của Định lý 2.1 và với y ∈ Ccố định f (., y) nửa liên tục dưới trên C.

Khi ấy, tồn tại x0 ∈ C sao cho f (x0, y) ≤ 0, ∀y ∈ C.Hệ quả 2.2 (Bất đẳng thức biến phân)

Cho C là tập con lồi của không gian vectơ tôpô Hausdorff X và hàmf (x, y) = hAx, x − yi + ϕ(x) − ϕ(y), trong đóAlà ánh xạ giả đơn điệu từCvào X? (nghĩa là khi xα là dãy hội tụ tới x vớilim suphAxα, xα− xi ≤ 0 thìlim infhAxα, xα− y, i ≥ hAx, x − yi, ∀y ∈ C) Giả sửA là liên tục trên mọikhông gian con hữu hạn chiều và ϕ là hàm lồi nửa liên tục dưới Nếu Điềukiện 5) của Định lý 2.1 thỏa mãn thì tồn tạix0 ∈ B ∩ C sao cho

hAx0, x0 − yi + ϕ(x0) − ϕ(y) ≤ 0, ∀y ∈ C.

Chứng minh

Các giả thiết 1),2),3) dễ dàng thỏa mãn, ta chỉ phải chứng minh giả thiết4) của Định lý 2.1 đúng Giả sử xα → x và f (xα, (1 − t)x + ty) ≤ 0 với mọit ∈ [0, 1], đặc biệt cóf (xα, x) ≤ 0, nghĩa là

f (xα, y) = hAxα, xα− yi + ϕ(xα) − ϕ(y) ≤ 0 nênhAx, x − yi + ϕ(x) − ϕ(y) ≤ 0,

nghĩa là có điều kiện 4), từ đó suy ra điều phải chứng minh 

2.2 Định lí điểm cân bằng blum-oettli

Để thiết lập một kết quả tồn tại nghiệm tổng quát đối với bài toán cânbằng không những bao hàm trường hợp có giả thiết đơn điệu mà cả trường hợpkhông có giả thiết đơn điệu, năm 1993 Blum-Oettli [3] xét bài toán cân bằng:Tìm x ∈ K sao chof (x, y) ≥ 0với mọiy ∈ K, (2.1)trong đó K là một tập trong một không gian vectơ tôpô, f : K ì K → R làhàm có dạng

f (x, y) = g(x, y) + h(x, y),

ở đây g : K ì K → R là hàm sao cho −g có tính đơn điệu và nửa liên tụctrên theo biến thứ hai, cònh : K ì K → R là hàm không nhất thiết đơn điệunhưng nửa liên tục trên theo biến thứ nhất Khi ấy, từ sự tồn tại nghiệm củaBài toán (2.1) ta có kết quả ở dạng Bất đẳng thức Ky Fan khig = 0 và ở dạngĐịnh lí Brouwer-Minty đối với Bất đẳng thức biến phân đơn điệu khih = 0

Định lí 2.2(Blum-Oettli [3])

Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn:

1) X là không gian vectơ tôpô thực, K ⊂ X là tập lồi đóng khác rỗng;2) g : K ì K −→ R có các tính chất sau:

g(x, x) = 0với mọi x ∈ K;

g(x, y) + g(y, x) ≤ 0với mọi x, y ∈ K (nghĩa là −g đơn điệu);Với mọi x, y ∈ K hàm t ∈ [0, 1] 7→ g(ty + (1 − t)x, y) là nửa liêntục trên tạit = 0 (hemi-liên tục);

g là lồi và nửa liên tục dưới theo biến thứ hai;3) h : K ì K → R có các tính chất sau:

Bổ đề 2.2

Tồn tại x ∈ C sao cho g(y, x) ≤ h(x, y), ∀y ∈ C.