Luận văn: ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN VĂN SOẠN ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x ∈ C g(x, y) + h(x, y) ≥ 0 y ∈ C, C X g : C × C −→ R h : C × C −→ R R h = 0 g = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x ∈ C f(x, y) ≤ 0 y ∈ C C f : C × C −→ R X C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f f(x, y) +f (y, x) ≥ 0 x, y ∈ C A : C −→ X ∗ Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C, X ∗ X f x, y ∈ C f(x + t(y − x), y) t [0; 1] A : C −→ X ∗ A(x + ty), z x, y, z ∈ C t [0; 1] ϕ : C −→ R x ∈ C ϕ(x) ≤ ϕ(y) y ∈ C min{ϕ(x) | x ∈ C} f(x, y) = ϕ(x)−ϕ(y) x ∈ C f(x, y) ≤ 0 y ∈ C f ϕ : C 1 × C 2 → R (x 1 , x 2 ) ϕ (x 1 , x 2 ) ∈ C 1 × C 2 , ϕ(x 1 , y 2 ) ≤ ϕ(y 1 , x 2 ), ∀(y 1 , y 2 ) ∈ C 1 × C 2 . (1.1) C = C 1 × C 2 f : C × C −→ R f((x 1 , x 2 ); (y 1 , y 2 )) = ϕ(x 1 , y 2 ) − ϕ(y 1 , x 2 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x = (x 1 , x 2 ) x f X = X ∗ T : C → C x ∈ C T (x) = x (1.2) f(x, y) = x − T x, x −y x (1.2) ⇒ ⇒ (1.2) y = T x 0 ≥ f(x, y) = x − y  2 ≥ 0 x = T x f(x, y) + f(y, x) = x − Tx, x − y + y − T y, y − x = T y − Tx, x − y + x − y, x − y = T y − Tx, x − y+  x − y  2 = −T x−T y, x−y+  x−y  2 f T x − T y, x − y ≤ x − y  2 . T : C −→ X  x ∈ C T x, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C (1.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f(x, y) = T x, x − y (1.3) f T C C  = {x  ∈ X  | x  , y ≥ 0, ∀y ∈ C} T : C → X  x ∈ X x ∈ C, T x ∈ C  , T x, x = 0. (1.4) (1.4) (1.3) (1.4) ⇒ (1.3) (1.3) y = 2x y = 0 (1.3) T x, x = 0. ⇒ (1.4) I i ∈ I K i i K =  i∈I K i . i ∈ I, f i : K −→ R i x = (x i ) i∈I ∈ K x i = (x j ) j∈I,j=i x = (x i ) i∈I ∈ K i ∈ I f i (x) ≤ f i (x i , y i ), ∀y i ∈ K i (1.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn , Chương 2 Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli và mở rộng vô hướng Sau các nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng ở hai hướng có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu như trình bày ở Chương 1 là một số nghiên cứu tìm cách kết nối các kết quả ở hai hướng này trong một kết quả chung Kết quả nghiên cứu cơ bản mở đầu ở hướng này (theo hiểu biết của... của bài toán cân bằng: x C : g(x, y) 0, y C (1.6) là tập con khác rỗng, lồi và compắc trong B Định lí trên chính là Định lí 3.1 trong [11] với =0 (Cho =0 để tiện cho việc sử dụng ở các phần sau) Để chứng minh định lí trên Mosco[11] dùng một kết quả quen biết của Ky Fan [8] về giao của họ các tập đóng và chứng minh một kết quả mở rộng của tính chất toán tử đơn điệu Đó là Bổ đề 1.1 và Bổ đề 1.2 dưới... mặc dầu bài toán cân bằng được xét vẫn có nghiệm Vì vậy việc giảm nhẹ điều kiện bức ở các nghiên cứu tồn tại nghiệm bài toán cân bằng luôn được quan tâm Dưới đây là một kết quả với điều kiện bức nơi giảm cho bài toán cân bằng đơn điệu Định lí 1.2 (Chong Cho [6]) X là một không gian lồi địa phương Hausdorff và C X là một tập lồi đóng Cho cho với mỗi f : C ì C R là một hàm đơn điệu và hemi-liên tục... trọng của Blum-Oettli [3] (1993) là sự kết nối, hợp nhất các kết quả vừa nêu và một số kết quả có liên quan Kết quả hợp nhất lí thú của Blum-Oettli [3] đã thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu mở rộng tiếp theo, trước tiên là mở rộng vô hướng như kết quả của Chadli-Chbani-Riahi [7] (2000) Trong chương này, trước khi trình bày phần chính là kết quả của Blum- Oettli [3] ( Mục 2.2 ) và một mở rộng vô... từ đó suy ra điều phải chứng minh 2.2 Định lí điểm cân bằng blum-oettli Để thiết lập một kết quả tồn tại nghiệm tổng quát đối với bài toán cân bằng không những bao hàm trường hợp có giả thiết đơn điệu mà cả trường hợp không có giả thiết đơn điệu, năm 1993 Blum-Oettli [3] xét bài toán cân bằng: Tìm trong đó K xK sao cho f (x, y) 0 với mọi yK , là một tập trong một không gian vectơ tôpô, (2.1) f : K... bức của Định lí 1.1 không thỏa mãn, nhưng điều kiện bức trong Định lí 1.2 lại thỏa mãn với tập lồi compắc B = {x = (x1 , , xn ) C : 1 xi 1, i = 1, , n} Các giả thiết khác của hai định lí trên đều thỏa mãn 1.3 Bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu Đối với bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu, Mosco [11] chứng minh kết quả cơ bản sau là mở rộng của bất đẳng thức Ky Fan[9] và bất đẳng... (theo Định lí 1.1 với lồi compắc và C lồi compắc), nghĩa là n n K(yi ) x0 Q(yi ) i=1 i=1 Vậy các tập Q(y), y C, là đóng trong tập compắc B và có tính giao hữu hạn nên tồn tại x K(y) = yC nghĩa là f (x, y) 0 với mọi Q(y), yC yC Tính lồi compắc của tập các x suy ra từ điều kiện bức và Bổ đề 1.2 Lưu ý định lí trên vẫn đúng khi X là không gian vectơ tôpô Hausdorff, vì vậy Định lí 1.2 là một mở rộng. .. đó điều kiện bức trong Định lí 1.3 thỏa mãn với B với w0 và tập compắc yếu như trên Trong Định lí 1.3 điều kiện bức được sử dụng là điều kiện bức cổ điển Đối với bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu, có những trường hợp điều kiện bức này không thỏa mãn mặc dầu bài toán cân bằng được xét có nghiệm Trong một nghiên cứu về liên hệ giữa bất đẳng thức biến phân, bài toán bù và bài toán đối ngẫu,... vậy Định lí 1.2 là một mở rộng của Định lí 1.1 Dưới đây là một ví dụ dùng Định lí 1.2 ta có sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng, trong khi Định lí 1.1 không áp dụng được (vì điều kiện bức không được thỏa mãn) 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho C = Rn , n f : C ì C R chẵn, là tập lồi đóng, toán tử A : C Rn và hàm được xác định bởi f (x, y) = Ax(x y)T Ax... con khác rỗng, lồi, đóng và giới nội trong (1.13) C 14 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Vận dụng Định lý 1.1 với tôpô yếu trên X và g(x, y) = Ax, x y Điều kiện bức nêu trong Định lý 1.1 được thỏa mãn do lấy y0 trong (1.12) và B = {x C : x R} với R>0 (1.12) bằng cách đủ lớn Điều kiện bức trong Định lí 1.1 tỏ ra khá chặt vì ở một số trường hợp nó không . ĐOÀN VĂN SOẠN ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2009 Số hóa bởi Trung tâm Học. http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x ∈ C g(x, y) + h(x, y) ≥ 0 y ∈ C, C X g : C × C −→ R h : C × C −→ R R h = 0 g = 0 Số hóa bởi Trung. Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x