Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli và một số mở rộng

Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM ON VN SON NH L IM CN BNG BLUM-OETTLI V MT S M RNG LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn-2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ọ rờ ọ s ị í ể tt ột số rộ tí số t sĩ t ọ ọ ó Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ụ ụ r t ệ ó tết ệ t t ệ t ó tết ệ ị í ể tt rộ ị í rsrrt ị í ể tt rộ ị í tt rộ t ị í ể tt ó q ệ tứ tự t ó tr t t ị í ể tt é t trị ị í ể tt é t trị ết ệ t Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 t tứ ế ệ t tứ ó ề ể t tứ ế ệ ề ứ ụ ợ ứ từ ữ s ủ tế ỉ trớ t tứ s ợ ố t út ú ý ủ ề ứ tr ĩ ự tí tế ũ t tứ ế ệ ứ ụ s rộ ủ ó ì t tì ết ố ết q tr ột ết q ết q t ủ ết ố ủ rsrrt tt ố ột ết q tế t ề ết ố ết q ợ t ứ ủ t ó t ó tết ệ t ó tết ệ t ợ ét tt ó s ì tr ó C xC s g(x, y) + h(x, y) ọ y C, ột t ó tr ột t t g : C ì C R ợ tết ệ X ó h : C ì C R t tết ệ R t số tự ế h = t ợ ết q ề t ệ rộ t tứ ế ệ ế g = t ó ết q ột rộ ủ t tứ ết q ủ tt ề ết q ó q rộ ợ ố ó ết q ứ rộ rộ t trị trị ố ết q ủ tt Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ụ í ủ t ợ trì ột số ết q ứ q ết q ủ tt ó ột số ết q tồ t ệ ủ t ó ó tết ệ ết q ủ tt ết q í ủ tt ột số ết q rộ ết t ệ t trì ột số ết q ề tồ t ệ ủ t ứ ó tết ệ ó tết ệ ề ệ ứ ổ ể ú t trì ết q ụ í ể t rõ ết ố ủ ứ tr ết q ủ tt ết ố ết q ết ố ý tở ứ ết q ết q ứ ợ trì ủ ế ợ t ợ từ s trì ết q tr t ủ ó ết q ề tồ t ệ ủ t ợ tết tt ết q ù ý tở ứ ủ ó ợ t ết q ù ý tở ứ ủ ú ợ trì r ú t ũ trì ột ết q ó q ợ ố trớ ết q ủ tt ó trì ủ rsrrt tờ trì ột ết q rộ ố ết q ủ tt ó trì ủ ề ế rộ ết q ủ tt r t t trị trị ết q ợ t ợ từ t ệ ssssĩ Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ợ t t rờ ọ s ọ rớ ết t tỏ ò ết s s tớ ế sĩ ó t t tì ú ỡ tr ọ ể t t tỏ ò ết tớ t tr rờ P ệ t ọ ệt rờ P ộ ú t t ó ọ ụ t rờ P ý ệt rờ P ệt số ì t ề ệ ộ ú t sốt tr q trì ọ t ứ Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 t ệ ó tết ệ ứ q trọ tr ứ ề tồ t ệ ủ t ứ ù tết ệ ù tết ệ ết q ý tở ứ ứ sở ệ tết ứ ị í ể tt ợ trì s ì tr ú t trì ột số ết q ứ tr ữ ết q ợ t ợ từ ủ s rớ t ú t r ủ t ột số trờ ợ r q ết ó tí ệ ệ t t ợ tt ể t s ì tr ó C xC s f (x, y) ọ y C ột t trớ P f : C ì C R ột trớ ố t tr ét t X t C tờ ợ ét t Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 f ợ ọ ệ ế f (x, y) + f (y, x) ọ x, y C ệ rộ ủ ệ t tử ệ tử A : C X X ố ủ số Ax Ay, x y 0, x, y C, ọ ệ ế X f ợ ọ tụ ế x, y C trớ tù ý f (x + t(y x), y) tụ t t tr [0; 1] ệ rộ ủ ệ t tử tụ tử A : C X ọ tụ ế t ỳ ố ị tụ t A(x + ty), z x, y, z C t tr [0; 1] t ề trờ ợ r t q ết t tứ ột trờ ợ r q trọ ột số trờ ợ r q trọ t tố : C R ì x C ũ ết ì t s s (x) (y) ọ y C min{(x) | x C} f (x, y) = (x)(y) ó t tố trở t ì x C f (x, y) f ọ y C t t t số ệ t ể ự : C1 ì C2 R (x1 , x2 ) ọ ể ự ủ ế (x1 , x2 ) C1 ì C2 , (x1 , y2 ) (y1 , x2 ), (y1 , y2 ) C1 ì C2 (1.1) t C = C1 ì C2 f : C ì C R ị f ((x1 , x2 ); (y1 , y2 )) = (x1 , y2 ) (y1 , x2 ) Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ế x = (x1 , x2 ) ệ ủ t P ế ỉ x tỏ ễ t f ệ tr trờ ợ t ể t ộ X = X rt T : C C ột trớ t t ộ t ì t xC s T (x) = x f (x, y) = x T x, x y (1.2) ó P ế ỉ ế ó ệ ủ x ệ ủ t (1.2) t P ể P (1.2) ọ y = T x t ó f (x, y) = x y r x = T x f (x, y) + f (y, x) = x T x, x y + y T y, y x = T y T x, x y + x y, x y tr trờ ợ f = T y T x, x y + xy = T xT y, xy + xy 2 ệ ỉ T x T y, x y x y t t tứ ế T : C X ì xC s T x, x y 0, y C (1.3) Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 t f (x, y) = T x, x y t P f õ r t ệ ỉ (1.3) t T ệ t ù C ó ó ó ự ủ ó C = {x X | x , y 0, y C} T :CX trớ t ù t tì xX s x C, T x C , T x, x = ễ t (1.4) (1.4) t (1.3) t (1.4) (1.3) ể ế (1.3) ú y = 2x y = từ (1.3) t t ợ T x, x = ó (1.4) s tr trò trớ t I ột t ỉ số ữ t Ki t ế ợ tứ i t K = iI i I Ki ỗ i I, fi : K R tổ tt ủ tứ i ụ tộ ế ợ ủ tt xi = (xj )jI,j=i ế ọ iI ể x = (xi )iI K x = (xi )iI K t ị ĩ ợ ọ ể s t ó fi (x) fi (xi , yi ), yi Ki (1.5) ĩ tể tổ tt ủ ì t Footer Page 10 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 16 G(xt , y) + (1 t)H(x, y) intC, t (0, 1] F (t) = G(xt , y) + (1 t)H(x, y) t tết tụ tr t ó C tụ t ó C t F t=0 ó F (t) intC, t (0, 1] t ó F (0) intC G(x, y) + H(x, y) intC t ó s r t sử x K, G(x, y) + H(x, y) intC G(y, x) H(x, y) intC ứ tồ t yK s G(y, x) H(y, x) intC ọ ọ yK yK sử r t ó tể ết G(y, x) = H(x, x) + t G(x, y) + G(y, x intC G(y, x) = G(x, y) C t ó H(x, y) + G(x, y) = + intC ề t tết ổ ề ợ ứ ổ ề sử D, K t tết ủ ị í x0 coreD K s (x0 ) : D Y ột 0, (y) intC ọ y K (y) intC ọ y D Footer Page 53 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 16 ứ sử tr tồ t y D\K x0 + (1 )y, [0, 1) (y) intC z (x0 , y], z = t ó (z) = (x0 + (1 )y) (x0 ) + (1 )(y) (z) (x0 )(1)(y)+C C +intC = intC ó ì x0 coreD K tr tít (z) intC, z (x0 , y] tồ t z0 (x0 , y] K (y) intC, y K (x0 ) intC ề ổ ề ợ ứ ứ ị í xK ổ ề tồ t ột t s G(y, x) H(x, y) intC, y K ụ ổ ề t ó G(x, y) + H(x, y) intC, y K ị ĩ :DY ị (y) = G(x, y) + H(x, y) tết ề ọ yK a ế G, H x coreD K t ó t ọ t tr x0 = x (y) intC trờ ợ t t t tết t ó (x0 ) x0 = a sử ụ ổ ề t ó (y) intC, y D Footer Page 54 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 16 G(x, y) + H(x, y) intC, y D tr Y sử s r C t C \ {0} intC ề tì ệ C D, K, C, G, H ó ó ọ t tt ề ệ ủ ị í ó t ó G(x, y) + H(x, y) intC, y D (C \ {0}) intC t ó G(x, y) + H(x, y) (C \ {0}), y D ị í ợ ứ ễ t r từ ị í t ợ ị í ết q ủ tt tr trờ ợ Y R ó C = [0; +) ột ết q ợ t ứ ó ó tết ệ ợ tết ssss ó t ũ ét t (3.1) F ó (3.2) ù ột ệ ệ s rộ X rỗ ó Y KX ột t ó ị ó tứ tự intC = ọ ột t sr G, H : K ì K Y C Y ọ G ợ ọ ệ t H H ệ ế x, y K G(x, y) + H(x, y) é t G(y, x) H(x, y) ễ t ế t tờ ủ H =0 ị ĩ tr trở t ị ĩ ệ G Footer Page 55 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 16 ự tồ t ệ ủ t (3.1) F (3.2) ó ợ tết tr ị í s ị í X, Y t K ó C G, H tr sử ề ệ s t ỗ y K G(., y) tụ G H ệ ỗ x K G(x, x) x K G(x, ) tụ H(x, x) = x K ỗ y K H(., y) tụ tr ỗ x K H(x, ) ề ệ ứ t t B K y0 B s G(x, y0 ) + H(x, y0 ) x K \ B t ệ ủ t x K : G(x, y) + H(x, y) y K (3.7) rỗ ỗ yK t t P (y) = {x K : G(x, y) + H(x, y) 0} Q(y) = P (y) R(y) = {x K : G(y, x) H(x, y) 0} Footer Page 56 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 16 ị í tr ợ ứ ổ ề s ổ ề ế ề ệ ủ ị í t P (y) = yK Q(y) = yK R(y) yK ỗ tr ột t ó tr K ứ rớ ết t ỉ r R(y) yK x yK P (y) yK R(y) t ó G(y, x) H(x, y) yK t ỳ ố ị t 0, y K yt = ty + (1 t)x, t (0, 1) 0, t (0, 1) G(yt , x)H(x, yt ) ó (1 t)G(yt , x) + tG(yt , y) (1 t)H(x, yt ) + tG(yt , y) (3.8) tG(yt , y) + (1 t)G(yt , x) (3.9) ề ệ t ó ý G(yt , yt ) a, b Y, a b, a tì b0 ó từ (3.8) (3.9) s r tG(yt , y) + (1 t)H(x, yt ) ề ệ t ó H(x, yt ) (3.10) tH(x, y) Footer Page 57 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 16 (3.10) ó từ s r G(yt , y) + (1 t)H(x, y) từ ề ệ t ó G(x, y)+H(x, y) ĩ x yK P (y) R(y) G P (y) (3.11) yK yK t H ệ ề ệ P (y) R(y), y K ề ệ R(y) ó tr K s r Q(y) = P (y) R(y), y K P (y) Q(y) R(y), y K ó P (y) yK (3.11) Q(y) yK (3.12) yK Q(y) (3.12) yK ó P (y) = R(y) ó ọ Q(y) = yK yK R(y) yK ỗ tr t ó tr K ổ ề ợ ứ ứ ị í ù ổ ề t ỉ r Q(y) = yK Footer Page 58 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 16 rớ t t ứ t P : K 2K ế tr ó ột t ữ {yi : i I} K ột tử y co{yi : i I} \ P (yi ), iI ĩ ó i 0, i = 1, y = iI i yi iI s G(y, yi ) + H(y, yi ) 0, i I ó từ tí ủ G(y, G(y, ) H(y, ) ề ệ s r i yi ) i yi ) + H(y, iI iI G(y, y) + H(y, y) H(x, x) = ệ ỗ G(y, y) t ề P (y) Q(y) yK t ó P ề ệ t ó Q(y0 ) B ễ t Q(y) Q : K 2K ũ t ó ữ ề ệ ứ ề ệ ó t ổ ề tì Q(y) = yK t ổ ề ề ệ ứ t ó t ệ ủ t (3.7) rỗ ị í ợ ứ Footer Page 59 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 16 ị í ể tt t trị ể ỉ ú t ề ế ột ết q rộ ết q ủ tt r t t trị ết q ợ t ợ từ t ệ X, Y CY ó ọ x, y D ì tr ó intC = t t trị t ó D X ó F : D ì D 2Y , F (x, y) = t t trị ợ ét t s xD s F (x, y) intC F (x, y) = G(x, y) + H(x, y) H :DìD Y ớ ọ yD (3.13) G : D ì D 2Y ể r ết q tồ t ệ ủ t (3.13) t ột số ệ G : D ì D 2Y ọ ệ ế G(x, y) + G(y, x) C x, y D T : D 2Y ọ C tr C ế T (x) + (1 )T (y) T (x + (1 )y) + C (T (x + (1 )y) T (x) + (1 )T (y) C,t ứ T ợ ọ C tụ tr C tụ t x0 t x0 D ế ọ V ủ tr Y ề tồ t ột U ủ x0 tr X s ọ x U domT t ó T (x) T (x0 ) + V + C T (x0 ) T (x) + V C t ứ Footer Page 60 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 16 T ợ ọ C tụ t x0 ế T C tụ tr C tụ t x0 T ợ ọ C tụ tr C tụ C tụ tr D ế T C tụ tr C tụ C tụ t ứ t ọ ể tộ D ét ế G ệ t ó ế T ế trị tì ệ ệ tr í ệ C T ủ t trị ụ trị tì ệ ợ ọ T ột C ợ ọ C H C C tụ tr tí C tụ tụ t (3.13) trù C ề tồ t ệ ủ t ột t trị tr t trị tì tí T C C tụ F = G+H tr ó G ột t trị t ó ết q s ợ t ể ứ tr ị í X, Y ị sr D X t ó rỗ C Y ó ọ ó intC = G : D ì D 2Y , H : D ì D Y t ề ệ s G(x, x) ọ x D G ệ G(x, y) ọ x, y D ỗ x, y D ố ị g : [0, 1] 2Y ợ ị g(t) = G(ty + (1 t)x, y) (C) tụ tr t t = ỗ x D ố ị G(x, ) : D 2Y C tụ Footer Page 61 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 62 of 16 Cồ H(x, x) = ọ x D ỗ y D ố ị H(., y) : D Y (C) tụ ỗ x D ố ị H(x, ) : D Y Cồ tr t ột t rỗ K D s ỗ x K \ coreD K ó ột a coreD K t G(x, a) + H(x, a) C tồ t x K s G(x, y) + H(x, y) intC, y D ế r C t ề ệ tì tồ t x K s G(x, y) + H(x, y) (C \ {0}) y D ị í ột rộ trị ủ ị í ợ ứ ự ý t ĩ tt ủ ứ ị í ủ ủ ị í ợ trì tr ứ ổ ủ ú t ỉ trì ữ ý ủ ứ ị í tự ứ ị í ị í ợ ứ q ổ ề r ổ ề t tết ề ệ từ ế ủ ị í ợ t ổ ề t x K s (G(y, x) H(x, y)) intC = ọ y K ể ứ ổ ề ỗ yK t t Footer Page 62 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 63 of 16 S(y) = {x K : (G(y, x) H(x, y)) intC = } ó S(y) = ó tr X t tự tr ứ ổ ề ý ế tố trị t ó K S : K 2K t ổ ề s r ết ủ ổ ề ổ ề ế x K t (G(y, x) H(x, y)) intC = y K, tì G(x, y) + H(x, y)) intC, ể ứ ổ ề t xK y K s (G(y, x) H(x, y)) intC = y K yK t ì t xt = ty + (1 t)x, t [0, 1] t tự tr ứ ổ ề ý ế tố trị t ó (1 t)H(x, y) + G(xt , y) intC tí tụ ủ G(xt , y) t t t=0 s r ị ủ ổ ề ổ ề ế : D 2Y Cồ ó tí t t (y) x0 coreD K (x0 ) C intC y D, tì (y) intC ọ x D Footer Page 63 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 64 of 16 ổ ề ợ ứ t tự ứ ổ ề ứ ị í ổ ề tồ t xK s (G(y, x) H(x, y)) intC = y K ổ ề tì G(x, y) + H(x, y)) intC, y K t (y) = G(x, y) + H(x, y), y D : D 2Y ụ ổ ề ố sử ụ t tự tr ứ ị í ý ế tố trị t ó ết ủ ị í ễ t r tr trờ ợ G trị từ ị í t ợ ết q t tự ị í Footer Page 64 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 65 of 16 ết r q ết q q trọ ủ tt trì ột số ết q ứ ủ ế ợ t ợ từ ề tồ t ệ ủ t ó tết ệ ó tết ệ ết q ủ tt ợ t ề ết q tồ t ệ ủ t ó ó tết ệ ột ết q ó q ột số ết q rộ rộ t trị trị ố ết q ủ tt ết q ợ t ợ ủ ế từ t ệ ết q ợ t ợ trì tr ợ ự ọ t ể q ết q ủ tt ú t t ợ ột t ệ t tết ề t ù rt ố tờ ò ế tr ỏ tế sót ú t rt ợ t ọ ỉ Footer Page 65 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 66 of 16 ệ t rt qts tr rs t trs t ss tr qr Prs t r t ts t r tt r tt rt qts t qr Prs tts tt rs rr t Pr rs r s tt qts t éqts ér s s ss trs té strrr rt t st ts r r r s rt qts ss qr Prs t r t ts ts t rt qts t r Footer Page 66 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 67 of 16 rt s Pt r t qt ts qts s Prt qts Prss r t s r t rt t t t rt Prs srt q s ts tr ts tts rrr t rs rs rts sr s ss s Pĩ ts t tst qr ts tr rtPt ễ ễ ét trị ụ ột số ề tr ý tết tố Footer Page 67 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ... of 16 ụ í ủ t ợ trì ột số ết q ứ q ết q ủ tt ó ột số ết q tồ t ệ ủ t ó ó tết ệ ết q ủ tt ết q í ủ tt ột số ết q rộ ết t ệ t trì ột số ết q ề tồ t ệ ủ t ...Header Page of 16 ọ rờ ọ s ị í ể tt ột số rộ tí số t sĩ t ọ ọ ó Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn... tớ t tr rờ P ệ t ọ ệt rờ P ộ ú t t ó ọ ụ t rờ P ý ệt rờ P ệt số ì t ề ệ ộ ú t sốt tr q trì ọ t ứ Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn