Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng .pdf

Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng .pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ LIỄU

PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ LIỄU

PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - năm 2009

2.2 Hình chiếu của một điểm lên một số tập quen thuộc 24

3 Một số ứng dụng của phép chiếu 283.1 Định lý tách tập lồi 28

3.2 Dưới vi phân 33

3.3 Giải bất đẳng thức biến phân 39

Tài liệu tham khảo 45

Lời nói đầu

Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồivà hàm lồi cùng những vấn đề liên quan Bộ môn này có vai trò quan trọngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong tốiưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng

Một trong những vấn đề quan trọng của giải tích lồi đó là phép chiếuvuông góc Đây là một công cụ sắc bén và khá đơn giản để chứng minhnhiều định lý quan trọng như Định lý tách, Định lý xấp xỉ tập lồi, Định lý vềtồn tại nghiệm của Bất đẳng thức biến phân Những cách chứng minh dựavào phép chiếu thường mang tính chất kiến thiết, gợi mở đến nhiều vấn đềkhác.

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào việc trình bày định nghĩa cáckhái niệm, tính chất cùng những ứng dụng quan trọng của phép chiếu Dựavào đó, chúng tôi giới thiệu thuật toán để tìm nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân Giải quyết được bài toán bất đẳng thức biến phân thì chúngta có thể đưa ra lời giải cho rất nhiều vấn đề khác Bởi vì nhiều bài toán trongtối ưu hóa, phương trình vật lý toán và nhiều vấn đề trong kinh tế, kỹ thuậtgiao thông đô thị đều được mô tả dưới dạng đó.

Đề tài bao gồm 3 chương Trong Chương 1, trước hết chúng tôi trình bàymột số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi Chúng là những công cụ cơbản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn.

Chương 2 là một chương chính của luận văn Trong chương này chúngtôi dành để nói riêng về khái niệm, tính chất cơ bản của phép chiếu Đặcbiệt chúng tôi trình bày công thức xác định hình chiếu của một điểm lên siêuhộp, hình cầu và không gian con của Rn.

Trong quá trình nghiên cứu về phép chiếu vuông góc, chúng ta biết rằnghình chiếu vuông góc của một điểm lên tập lồi đóng, khác rỗng trong Rn

luôn tồn tại và duy nhất Dựa vào đó, chúng tôi đề cập đến những ứng dụng

của nó Cụ thể chúng tôi trình bày ứng dụng của phép chiếu vuông góc vàocác vấn đề sau: Chứng minh các định lý tách, chứng minh sự tồn tại củadưới vi phân của hàm lồi, xây dựng thuật toán giải bất đẳng thức biến phân.Những vấn đề này được trình bày chi tiết ở Chương 3.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH LêDũng Mưu Nhờ Thầy, tôi đã bước đầu làm quen và say mê trong công việcnghiên cứu toán Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán -Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên - Đại học Thái Nguyên, Viện toánhọc đã tận tình giảng dạy giúp tôi nắm được những kiến thức cơ sở và tạođiều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn này.

Tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôitrong quá trình làm luận văn.

Thái Nguyên, Ngày 28 tháng 09 năm 2009Học viên

Hoàng Thị Liễu

Chương 1

Các khái niệm cơ bản.

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giảitích lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như tập lồi, tập a-phin,nón lồi, hàm lồi

1.1 Tập lồi.

Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêuphẳng đều là tập lồi Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng tronggiải tích lồi Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất củatập lồi, tập a-phin, tập lồi đa diện, nón lồi

1.1.1 Tổ hợp lồi.Định nghĩa 1.1.1.

• Một đường thẳng nối hai điểm (véctơ) a và b trong Rn là tập hợp tất cảcác điểm (véctơ) x ∈ Rn có dạng

{x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R}.

•Một đoạn thẳng nối hai điểm (véctơ) a và b trong Rn là tập hợp tất cả cácđiểm (véctơ) x ∈ Rn có dạng

{x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, 0 ≤ λ ≤ 1}

Định nghĩa 1.1.2 Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọiđoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véctơ)x1, , xk nếu

Điều kiện đủ: Suy ra từ định nghĩa của tập lồi ứng với k = 2.

Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo số điểm.k = 1 : Hiển nhiên.

k = 2 : Điều kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồivà tổ hợp lồi.

Giả sử mệnh đề đúng với k − 1 điểm, ta chứng minh nó đúng với k điểm.Thật vậy, nếu x là tổ hợp lồi của k điểm x1, , xk ∈ C, tức là :

nên theo giả thiết quy nạp thì điểmy =

1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện.

Trong giải tích cổ điển, ta đã làm quen với các không gian con, các siêuphẳng Đó là các trường hợp riêng của tập a-phin được định nghĩa như sau:Định nghĩa 1.1.5 Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa mọi đườngthẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là :

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.Nhận xét 1.1.6.

a) Tập a-phin là một trường hợp riêng của tập lồi.b) Mọi siêu phẳng trong Rn đều là tập a-phin.

Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của mộtkhông gian con.

Mệnh đề 1.1.7 (xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.3) Tập M 6= ∅ là tập a-phinkhi và chỉ khi M = L + a với L là một không gian con và a ∈ M Khônggian con L được xác định duy nhất.

Chứng minh.

Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin và a ∈ M

Khi đó L = M − a chứa 0 và là tập a-phin Do đó, L là một không gian con.Vậy M = L + a.

Điều kiện đủ: Nếu M = L + a với a ∈ M, L là không gian con thì∀x, y ∈ M, λ ∈ R, ta có:

(1 − λ)x + λy = a + (1 − λ)(x − a) + λ(y − a).Do x − a, y − a ∈ L và L là không gian con nên

(1 − λ)(x − a) + λ(y − a) ∈ L.=⇒ (1 − λ)x + λy ∈ M.

Vậy M là tập a-phin.

Không gian con L ở trên là duy nhất Thật vậy, nếu M = L + a vàM = L0+ a0, trong đó L, L0 là những không gian con và a, a0 ∈ M thì

L0 = M − a = L + a − a0 = L + (a − a0).Do a0 ∈ M = a + L nên a0− a ∈ L.

Điểm a ∈ Rn là tập a- phin có số chiều bằng 0 bởi vì không gian consong song với M = {a} là L = {0}.

Mệnh đề 1.1.9 (xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.4) Bất kỳ một tập a- phinM ⊆ Rn có số chiều r đều có dạng

Trong đó: A là ma trận cấp (m ì n), b ∈ Rm và rank A = n − r.

Ngược lại, mọi tập hợp có dạng (1.1) với rank A = n − r đều là tậpa-phin có số chiều là r.

trong đó : a ∈ Rn

\ {0} , α ∈ R.

• Nửa không gian mở là một tập hợp có dạng:

{x | ha, xi > α} , {x | ha, xi < α} trong đó : a ∈ Rn

\ {0} , α ∈ R.

Như vậy một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗinửa không gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian nàyđóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng.

Định nghĩa 1.1.11 Một tập hợp được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giaocủa một số hữu hạn các nửa không gian đóng.

Định nghĩa 1.1.12 Cho x0 ∈ C Ta nói siêu phẳng ha, xi = α là siêu phẳngtựa tại x0 nếu

ha, x0i = α, ha, xi ≥ α, ∀x ∈ C.Ta nói H = x | ha, x − x0i ≤ 0

là nửa không gian tựa của C tại x0.Định nghĩa 1.1.13 Tập C ⊆ Rn, giao của tất cả các tập a-phin chứa C làtập a-phin nhỏ nhất chứa C, gọi là bao a- phin của C

Từ đó suy ra M là tập a - phin , affC ⊂ M.Mặt khác: Dễ dàng thấy rằng nếu x = Pk

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.

Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc khôngthuộc nón Dĩ nhiên một nón không nhất thiết là một tập lồi.

Ví dụ

C = {x ∈ R | x 6= 0}là một nón nhưng không lồi.

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng Khi đóta nói 0 là đỉnh của nón Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời làmột tập lồi Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồiđa diện.

Mệnh đề 1.1.18 (xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.6) Một tập C là nón lồikhi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(i) λC ⊆ C, ∀λ > 0,(ii) C + C ⊆ C.Chứng minh.

Điều kiện cần: Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón, nên ta có (i).Do C là một tập lồi nên với mọi x, y ∈ C thì 1

2(x + y) ∈ C.Vậy theo (i) ta có x + y ∈ C

Điều kiện đủ: Giả sử ta có (i) và (ii).

Từ (i) suy ra ngay C là một nón Giả sử x, y ∈ C và λ ∈ [ 0, 1] Từ (i) suy ra λx ∈ C và (1 − λ)y ∈ C Theo (ii) có λx + (1 − λ)y ∈ C.Vậy C là một nón lồi.

Định nghĩa 1.1.19 Cho C là một tập lồi trong Rn Một véc tơ y 6= 0 đượcgọi là hướng lùi xa của C, nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của Ctheo hướng y đều nằm trọn trong C Tức là : y là hướng lùi xa khi chỉ khi

x + λy ∈ C, ∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0.

Tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là re C Tậphợp này được gọi là nón lùi xa của C.

Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn thì re C chỉ gồm duy nhất điểm gốc.Chú ý 1.1.20 Nếu C là tập lồi đóng thì trong định nghĩa trên, thay vì đòihỏi với mọi x ∈ C, chỉ cần đòi hỏi cho một điểm x ∈ C.

Mệnh đề 1.1.21 ( xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.7) Giả sử C là một tậplồi lồi đóng Khi đó y là một hướng lùi xa của C khi chỉ khi

x + λy ∈ C, ∀λ ≥ 0với một điểm x nào đó thuộc C.

Chứng minh Giả sử x + λy ∈ C, ∀λ ≥ 0 với x ∈ C Thế thì với ∀u ∈ C và∀à > 0, do C lồi, ta có

λ + à(x + λy) + (1 −à

λ + à)u ∈ C.

cho λ −→ ∞, do C đóng , ta thấy u + ày ∈ C, với mọi u ∈ C và à > 0.Chú ý 1.1.22 Trong trường hợp C không đóng, mệnh đề trên không đúng.Ví dụ 1.1.23 Trong R2 lấy

C = {x = (x1, x2) | x1 > 0, x2 > 0} ∪ {0}

Hiển nhiên, véc tơ y = (0, 1) có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm0 6= x ∈ C theo hướng này đều nằm trọn trong C, nhưng nếu xuất phát từx = 0 thì điều này không đúng.

Cho C ⊆ Rn là tập lồi và x ∈ C Ký hiệu

Một nón quan trọng khác là nón đối cực được định nghĩa như sau:C∗ = {w | hw, xi ≥ 0 ∀x ∈ C}

Đây cũng là một nón lồi đóng chứa gốc.

Cho C là tập lồi, khác rỗng và x ∈ C Ta nói d ∈ Rn là một hướng chấpnhận được của C nếu ∃t0 > 0 sao cho x + td ∈ C với mọi 0 ≤ t ≤ t0.Tập tất cả các hướng chấp nhận được là một nón lồi chứa gốc và gọi là nónchấp nhận được Ký hiệu là FC(x) Nón này có thể không đóng, tuy nhiênnếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón khác gọi là nón tiếp xúc của C tại x.Ký hiệu nón này là TC(x), thì FC(x) = TC(x) Từ đây suy ra

TC(x) = d ∈ Rn | ∃dk → d, ∃tk & 0 : x + tkdk ∈ C ∀k

Mệnh đề 1.1.24 ( xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.8) Nón pháp tuyến vànón tiếp xúc là đối cực của nhau.

Dễ dàng suy trực tiếp từ định nghĩa.Ví dụ 1.1.25 Giả sử tập lồi C được cho bởi

C = x ∈ Rn

| haj, xi ≤ bj, j = 1, , m với x ∈ C, đặt

J (x) = j | haj, xi = bj gọi là tập chỉ số tích cực tại x.

Khi đó

TC(x) = x ∈ Rn | haj, xi ≤ 0, j ∈ J (x) NC(x) = cone (aj, j ∈ J (x)) = {y = P

Định nghĩa 1.2.1 Cho tập C ⊂ Rn và f : C → RTa sẽ ký hiệu :

dom f = {x ∈ C | f (x) < +∞} ,epi f = {(x, à) ∈ C ì R | f (x) ≤ à}

Các tập dom f, epi f lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị củahàm f.

Bằng cách cho f(x) = +∞ nếu x 6∈ C, ta có thể coi f được xác định trêntoàn không gian và

dom f = {x ∈ Rn | f (x) < +∞} ,epi f = {(x, à) ∈ Rn ì R | f(x) ≤ à} Quy ước nếu λ = 0 thì λf(x) = 0 với mọi x.

Định nghĩa 1.2.2 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn lồi và f : C → R Ta nói f là hàm lồitrên C nếu epif là một tập lồi trong Rn+1 Hàm f được gọi là hàm lõm trênC nếu −f là hàm lồi trên C.

Sau đây chủ yếu ta xét hàm f : Rn

→ R ∪ {+∞} Dễ thấy định nghĩatrên tương đương với:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)trong đó ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1).

Định nghĩa 1.2.3 Hàm f : Rn

→ R ∪ {+∞} được gọi là lồi chặt trên Cnếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y)∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

Nhận xét 1.2.4 Dễ dàng kiểm tra rằng, f lồi mạnh trên C với hệ số η > 0khi và chỉ khi hàm

h(.) = f (.) − 1

2 k k2lồi trên C.

Sau đây, ta sẽ đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trìnhphổ thông Đây là bất đẳng thức tương đối tổng quát trong các bất đẳng thứcvề hàm lồi Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhia là những trường hợp riêngcủa bất đẳng thức này.

f (λx + (1 − λ)y ≤ λα + (1 − λ)β.Chứng minh.

Điều kiện cần: Giả sử f lồi chọn x, y, α, β như đã nêu trong mệnh đề.Chọn α0 ∈ (f (x), α) và β0 ∈ (f (y), β) Vậy (x, α0), (y, β0) ∈ epi f Doepi f lồi nên

((1 − λ)x + λy, (1 − λ)α0 + λβ0) ∈ epi f.⇒ f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)α0+ λβ0 < (1 − λ)α + λβ.

Điều kiện đủ: Chọn (x, à), (y, η) ∈ epi f và λ ∈ (0, 1) Với mọi  > 0, tacó:

f (x) < à + , f (y) < η + .

Do đó:

f [ (1 − λ)α0 + λβ0] < (1 − λ)(à + ) + λ(η + ) = (1 − λ)à + λη + .⇒ (1 − λ)(x, à) + λ(y, η) ∈ epi f.

f (x) nếu x ∈ C

Hiển nhiên fe(x) = f (x)với ∀x ∈ C và fe lồi trên Rn Hơn nữa fe là chínhthường khi chỉ khi f chính thường Tương tự fe đóng khi và chỉ khi f đóng.c) Nếu f lồi trên Rn suy ra domf lồi Vì domf là hình chiếu trên C củaepif.

dom f = {x : f (x) < +∞} = {x : ∃à, (x, à) ∈ epif }

Vậy domf là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính Do đó,domf lồi.

Ví dụ 1.2.9 Một số hàm lồi

1 Hàm a-phin: f(x) = ha, xi + α, trong đó a ∈ Rn

, α ∈ R Dễdàng kiểm tra được rằng f là hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian.Khi α = 0, thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.

Cho C 6= ∅ là một tập lồi.2 Hàm chỉ: Đặt

δC(x) =(

Ta nói δC là hàm chỉ của C Do C lồi nên δC là một hàm lồi.

3 Hàm mặt cầu: Cho S = {x ∈ Rn | k x k= 1} là một mặt cầu vàh : S → R+ là một hàm bất kỳ.

f (x) =

0 nếu k x k< 1,h(x) nếu k x k= 1,+∞ nếu k x k> 1.

hàm này đựoc gọi là hàm mặt cầu Dễ thấy rằng f là một hàm lồi trên Rn,mặc dù h là một hàm không âm bất kỳ trên mặt cầu S.

4 Hàm tựa: Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của CSC(y) = sup

f (x) =k x k= max

f (x) =k x k= (x12 + + xn2)12.

Chương 2

Phép chiếu lên tập lồi đóng.

Bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống tập lồi có vai tròquan trọng trong tối ưu và nhiều lĩnh vực khác như bất đẳng thức biến phân,cân bằng Bài toán này có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt nó xuất hiện như mộtbài toán phụ trong rất nhiều phương pháp số tối ưu, bất đẳng thức biến phân.Đây cũng là công cụ sắc bén và khá đơn giản để chứng minh nhiều định lýquan trọng như định lý tách, mà ta sẽ xét ở chương sau Những cách chứngminh dựa trên phép chiếu vuông góc thường mang tính chất kiến thiết.

Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC(y) =k π − y k thì ta nói π là hình chiếuvuông góc của y trên C Ta ký hiệu hình chiếu của y trên C là pC(y).

Thông thường sẽ ký hiệu π = pC(y) hoặc đơn giản hơn là p(y) nếu khôngcần nhấn mạnh đến tập chiếu C.

Chú ý rằng, nếu y ∈ C thì dC(y) = 0 Nếu C 6= ∅ thì dC(y) hữu hạn vì0 ≤ dC(y) ≤k y − x k với mọi x ∈ C.

Theo định nghĩa, ta thấy rằng hình chiếu pC(y) của y trên C sẽ là nghiệm

cña bµi to¸n tèi ­u

2k x − y k2 | x ∈ C

(a) π = pC(y),(b) y − π ∈ NC(π).Chøng minh.

Vậy y − π ∈ NC(π).

(a) ⇒ (b) Với mọi x ∈ C có:

hy − π, x − πi = hy − π, x − y + y − πi= k y − π k2 + hy − π, x − yi.

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

k y − π k2 ≤ hy − π, y − xi ≤ k y − π k Từ đó

hy − π, x − πi + hy − π, y − xi = k y − π k2.Do y − π ∈ NC(π) nên hy − π, x − πi ≤ 0, ∀x ∈ C Suy ra

k y − π k2 ≤ hy − π, y − xi ≤ k y − π k k y − x k Hay

k y − π k ≤ k y − x k, ∀x ∈ C.Vậy π = p(y).

Mệnh đề 2.1.3 ( xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho C ⊂ Rn là mộttập lồi, đóng và khác rỗng Khi đó với mọi y ∈ Rn, hình chiếu pC(y) của ytrên C luôn tồn tại và duy nhất.

Chứng minh.

Sự tồn tại: Do dC(y) = inf

x∈Ck x − y k nên theo định nghĩa của cận dướiđúng tồn tại một dãy xk ⊂ C sao cho

k→∞k xk − y k = dC(y) < +∞.Vậy dãy xk

Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.

Tính duy nhất: Nếu tồn tại hai điểm π và π1 đều là hình chiếu của y trênC thì

y − π ∈ NC(π), y − π1 ∈ NC(π1).Tức là

h π − y, π1 − π i ≥ 0,và

h π1 − y, π − π1i ≥ 0.

Cộng hai bất đẳng thức này suy ra k π − π1 k≤ 0 và do đó π = π1.

Mệnh đề 2.1.4 ( xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho C là tập lồi đóngkhác rỗng Nếu y 6∈ C thì

hpC(y) − y, y − pC(y) i = −k pC(y) − y k2 < 0.

Mệnh đề 2.1.5 ( xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho C là một tập lồiđóng, khác rỗng Khi đó ánh xạ y ,→ pC(y) có các tính chất sau:

(a) k pC(x) − pC(y) k≤k x − y k, ∀x, ∀y, (tính không giãn.)

(b) hpC(x) − pC(y), x − yi ≥ k pC(x) − pC(y) k2, (tính đồng bức).