Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã .pdf

Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC **************** VŨ THỊ THANH HẬU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC **************** VŨ THỊ THANH HẬU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH. Hà Huy Khoái Thái Nguyên, năm 2009 ụ ụờ ó ột số ế tứ t t ộ ứ t ủ tt t ệ ộ ứ t ủ tt t Pé tí ồ ề q ố tố ị ý ủ số ọ t t ở rộ P r Pé tí ồ trì ồ ị ý rt ở rộ í t ớ ồ ủ ỹ từ ớ ì ý ệ r P số tụ ệ í t ột số ứ ụ ủ số ọ tr ý tết t t ột số ệ ệ sr ệ ố ột số ệ ũ t ụ ệ ũ ủ P tứ tr ổ ì ủ ệ ệ P tí r từ số tố P tí rt ở rộ ủ ó P tí sử ụ số P tí ù ủ Pr ệ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ờ ợ t ớ sự ớ t tì ủ ị t tỏ ò í trọ ết s s tớ ờ ự ề tờ sứ ể ớ t t t r t t s ọPò số rờ ọ ọ ọ ở ụ t tỉ r t ớệ ụ tờ tỉ t ềệ t ợ ể t t ị t tỏ ò ết tớ s Pó s ế sĩ ủ ệ ọ rờ ọ ọ ọ ữ ờ t t tì t ọ ề ệ t ợ t t ọ ũ ì ộ ú ỡ ttr sốt q trì ọ t t rờ ọ ọ ọ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ờ ó rớ ữ 70 ủ tế ỷ ố ọ tờ ợ ộttr ữ t ọ t tý ỉ ó ý ĩ ý tết ố tợ ứ ủ ố ọ q t tr t ợ số tết ớ tồ ttr ố ọ tết số tố í ó ữ tọ r ẹ ủ ố ọ ó ợ ờ sự rờ tự tễ ủ ó t ó ủ r tts tt ó ồ ý ớ r ẹ ủ ố ọ ỉ tể ệ tr ý ĩ t tý ủ ó tr ữ ứ ụt ờ tự tễ ó ó tể ì ợr ột số ết q ý tết số tr ố ọ ột ộ tr t t t sở ủ ữ ứ ụ ó í ốọ tt t ĩ ự ứ tt t tr ố ọó tể ó t ó từ tờ ổ ờ t ụ t ột ó ệ tố ể í t t t q sự q sựt t ủ ờ ổ s sr ệ ổ t ệ sr t q é t tế ỗ ý tự t ở ý tự ứ só ị trí ị trí ữ tế ỷ ệ ớ ó tí t ợt ệ ớ sự r ờ ủ ệ rts Pr ó ốt q é t tế t ì s ớ q trì t trể ủị sử ề t t t tr ề ĩ ự tú ệ ớ r ờ ó tí t ệ ũ ủ P tế t tứ tr ổ ì ủ s ữ ệ ột ét ủ ệ tr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn é ố ột t t ệ ọ ớ ột ì ệ ể ợ ố ở st r t ệ ột t tứ ớ ố ớ ữ t ụ í ủ trì sở ủ ệ ụ ýtết số t ệt ột số tt t tísố sử ụ tr t ồ trì ế tứ ị ụ ụ s ệề tt t ộ ứ t ủ tt t ế tứ ề ồ số tụ trì ột số ệ ệ t ụệ ứ ụ ủ số ọ t tí t tí t ở rộ tí sử ụ số tụ tí ù ủ Prừ ó ết ột số tủ tụ tí số tủ tụ tr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ột số ế tứ r ú t trì ột số ế tứ ị ết ệ ề tt t ộ ứ t ủ tt t ồtờ ể tệ t õ ú t trì tr tết ột số ế tứ ềé tí ồ ề q tr tết ột số ế tứề số tụ t t ộ ứ t ủ tt t ệó tể ị ĩ tt t t ề r ú t ó tể ể ệ tt t t t tờ tt t ột q t ể ớ ữ ữ ệ tì ợ ờ ủ t ợ ét s ột tờ ữ ể ọ ột tt t ũ tì ể t r tt t t ét ột í ụ ụ tể s n số tự X[1], X[2], ., X[n] ì m j s j số ớ t t m = X[j] = max1knX[k] t ũ ó ĩ tì ự ủ số tì ỉ sốớ t tr số t ự ì tì ỉ số ớ t tr sốS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn t ự t t t từ trị X[n] r ớ tứ t t t tờ m = X[n] j = n ế t t s s X[n] X[n 1] rtrờ ợ n 1 = 0 tứ n = 1 tt t ết tú ế X[n 1] X[n]t ể s s s X[n] ớ X[n 2] r trờ ợ ợ X[n 1] í số ự tr số ét số X[n] X[n 1] ó t t ổ m = X[n 1] j = n 1 ớ trt ợ số ự tr ữ số ét ũ ợ ỉsố ớ t j tr ỉ số ủ số t ự ó ớ tế t ó s s ó ớ số ứ trớ ữ số ét ết tú tt ttr trờ ợ ò số ứ trớ ó ờ t ó tể tt t tr s t t tì ự ớ t t t j n, k n 1, m X[n] ể tr ế k = 0 tt t ết tú s ế X[k] m ể s ổ m t j k, m X[k] t ể m t tờ ự k t k k 1 q ề r tr ù ể ỉ ột é t q trọó é t ỗ r t ột tt t ữ ttờ r trờ ợ tt t ợ ết ữ ệ ủ tí t ó ột trìr tt t ó ữ số ệ ợ trớ tt tt ệ ọ ú t tr ttt tì ự tr í số X[1], X[2], ., X[n]ột tt t ó tể ó ề r tt r tt t tì ự tr r số m jó tể t r tt t tì ự t tr t ữ ủ ột tt t ó ó tí ữ tí í S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn í ữ t t ết tú s ột số ữ ớ tt t ừ ệ t t ợ tr ờ ề t rt t tì ự t tr rõ r t ề ệ ì ởỗ ớ t ể ợ từ ệ ét ột số s số ứ trớ ó số số ét ữ í ị ỗ ớ tt t ị ĩ ỉ rõệ t t tì ự ở tr ỉ r rõ r ữ ệ ủ ỗ ớ ữ ế tố ể tr t ò ét ế tí ệ q ủ ttt ó rt ề tt t ề t ý tết ết tú s ột số ữ ớ t tờ ệ ó ợt q ệủ ú t ì tế t ò ú ý ế ọ ộ ứ t ủtt t ộ ứ t ủ tt t ó tể tứ ợ ộ ớ ủ tí tết ể tự ệ tt t tờ tứ tờ tí ệ r ó ế ộ ứ t ủ tt t t ể ộ ứ t tờ ộ ứ t ủ tt tĩ tờ ệ ủ tí ột tt t ó ỉ ụ tộ tt t ò ụ tộ tí sử ụể tt t ó ì tế ể ó ột t t sẽ ộ ứt ủ ột tt t số é tí tự ệ ttt tế ù ột tt t số é tí tựệ ò ụ tộ ỡ ủ t tứ ụ tộ ộ ớ ủ ì tế ộ ứ t ủ tt t sẽ ột số ủ ộ ớ ủ r ữ ứ ụ tự tễ ú t ết í ỉ ết ỡ ủ ú tứ ó ột ớ ợ ủ tốtủ úS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ệ tí tờ ữ số ữ ó stt ó s ỉ số 1 ó tt ỉ số 0 ì tế t tệ t ù ệ ế số 2 tr ó ể ể ễ ột số t ỉ ù íệ 1 ột í ệ 0 1 ợ ọ ột ít ột số n ểễ ở k ữ số 1 ữ số 0 ợ ọ số kít r ụ ụ tế t t sẽ t r số tự n sẽ ột số kít ớ k = [log2n] í ệ ủ ột sốộ ứ t ủ tt t ợ số é tí ítPé tí ít ột é tí số ọ tự ệ tr số ột ít0 1ể ớ ợ ộ ứ t ủ tt t t ù ệ ớị ĩ sử f(n) g(n) ị tr t ợ số ó f(n) ó ớ ủ g(n) ết f(n) = O(g(n)) f = O(g) ế tồ t ột số C > 0 s n ủ ớ f(n) g(n) ề ồ tờ f(n) < C.g(n)í ụ f(n) = aini+ ai1ni1+ . . . + a1n + a0 tr ó ai> 0 óf(n) = O(ni) ú t ó tể ể tr ợ rế f1(n) = O(g(n)), f2(n) = O(g(n)) tì f1(n) + f2(n) = O(g(n)) ế f1(n) = O(g1(n)), f2(n) = O(g1(n)) tì (f1f2)(n) = O(g1g1(n)) ữ ế tồ t ớ ữ limnf(n)g(n)tì ị ĩ ột tt t ợ ọ ó ộ ứ t tứ ó tờ tứ ế số é tí tết tự ệ tt t ợt qO(logdn) tr ó n ộ ớ ủ d số S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... sử dụng đồng dư thức 2 |b2 nqk | = Qk+1 < 2 n k 2 b2 b2 nqk (mod n) và k k ( Hệ qủa được chứng minh) Nhận xét: Hệ quả này là cơ sở cho phân tích Fermat suy rộng nhờ phân số liên tục sẽ nói trong phần thám mã ở chương II 20 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã 2.1 Nguyên tắc chung và một số hệ mã đơn giản Trong. .. trình bày một loại hệ mã mới, một mặt khắc phục được "điểm yếu" trên Mặt khác là cơ sở cho hệ mã hoàn toàn mới, các hệ mã khóa công khai, thoã mãn được yêu cầu thực tiễn về an toàn thông tin trong thời đại toàn cầu hóa 2.2.1 Hệ mã mũ của Pohligvà Hellman Nguyên lý thực hiện Giả sử cho p là một số nguyên tố lẻ, và khoá lập mã e là một số tự nhiên sao (e, p 1) = 1 Cũng như mã Ceasar, để mã hóa một thông... tố được gọi là hợp số 10 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Định lý cơ bản của số học Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết theo thứ tự không giảm chứng minh Giả sử tồn tại những số không viết được thành tích các số nguyên tố Gọi n là số bé nhất trong các số đó Như vậy, 1 < a,... 1234567891223334444555556666667777777888888889999 Nhận xét: Hệ mã này rất an toàn (chú ý không để lộ tham số s) ý tưởng của hê mã ElGamal là rất tổng quát Nó được dùng cho hệ mã sử dụng hàm mũ, hàm một chiều và vài hệ khác Một nét chung của hai hệ mã trên là cho phép công bố công khai một phần thông tin phục vụ cho việc lập mã hoặc hỗ trợ cho việc "trao đổi chìa" vốn thường thấy ở các hệ mã đối xứng Ưu điểm của hệ mã này là không có thông... chuyển, ký hiệu là P Mã hoá là việc chuyển thông báo đó thành dạng mật mã .Văn bản mật là bản đã mã hóa của văn bản ký hiệu là C .Chìa khoá là bí quyết giải và lập mã Có một điều hết sức thú vị là những hệ mã hiện đại cũng có thể được xem là sự cải tiến hệ mã của Caesar! Vì thế chúng tôi bắt đầu việc trình bày hệ mã Ceasar ! 2.1.1 Hệ mã Ceasar Nguyên lý thực hiện Ceasar đã chuyển thông báo mật bằng cách sau... văn bản mật, ta giải mã bằng cách biến nó thành dạng chữ số nhờ bảng tương ứng giữa chữ và số, sau đó trừ đi 3 ở mỗi chữ số và lại chuyển nó về dạng chữ để lại có văn bản ban đầu Chú ý: Khi cộng hoặc trừ đi 3 đưa ta vượt quá giới hạn của bảng tương ứng, ta thay số đó bằng thặng dư dương bé nhất modulo số các phần tử của bảng tương ứng giữa chữ và số (Trong bảng chữ cái tiếng Anh thì số này là 26) Sau... rằng, ngay với một thuật toán dưới mũ, thời gian làm việc của các số nguyên lớn là quá lâu Vì thế, nói chung người ta luôn cố gắng tìm những thuật toán đa thức 1.2 Phép tính đồng dư và các vấn đề liên quan 1.2.1 Số nguyên tố và định lý cơ bản của số học Số nguyên tố Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên nào ngoài 1 và chính nó Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố... tương ứng mỗi chữ cái với một số Nhờ bảng tương ứng đó ta có thể chuyển một văn bản thành dạng chữ số Sau đó ta cộng thêm 3 vào mỗi chữ số nhận được, lại nhờ bảng tương ứng giữa chữ và số, ta biến bảng chữ số mới này về dạng chữ viết Như vậy ta nhận được một văn bản mật cần chuyển 21 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Đây là quá trình mã hóa Khi nhận được văn bản mật, ... chuyển thành số, nhóm thành từng khối có độ dài nào đó ) Với mỗi khối văn bản được mã hoá bằng khoá lập mã công khai) và gửi dưới dạng của cá thể thứ j trong ( đã thông báo C = Ekj (P ) Để giải mã thông báo này, cá thể thứ riêng của mình) Ekj P j chỉ cần dùng khoá giải mã (bí mật Dkj Dkj (C) = Dkj Ekj (P ) = P Vì Dkj và Ekj là các khoá lập mã và giải mã của cùng một cá thể thứ j Nhận xét: Mã hoá với... 100 chữ số thập phân, việc tìm logarit modulo p cần khoảng 74 năm, còn p có khoảng 200 chữ số thời gian cần thiết là hàng tỷ năm Nhận xét: Hệ mã mũ nêu trên là một hệ bí mật vì các số e, d đều phải giữ bí mật Tuy nhiên, ý tưởng về việc sử dụng định lý Fermat để thay thế phép tính "Căn rời rạc" (của việc giải mã) bằng phép tính luỹ thừa thì quả là tuyệt vời Ta sẽ gặp lại ý tưởng này trong hệ mã công . HẬU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người