một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ NGA MỘT SỐ VẤN ĐỀ TOÁN HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ NGA Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2014 Mục lục Lời nói đầu KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 4 1.1.1 Định lý Euler 1.1.2 Thuật toán Euclide 1.1.3 Đa thức nội suy Lagrange Tổng quan mật mã - Hệ mã công khai RSA 1.2.1 Tổng quan mật mã 1.2.2 Hệ mã mũ Pohlig Hellman 11 1.2.3 1.2 Kiến thức sở Hệ mã công khai RSA 13 CHỮ KÍ SỐ - CHỮ KÍ NGƯỠNG 17 2.1 Hàm băm mật mã 18 2.2 Chữ kí số 19 2.3 Chữ kí ngưỡng 25 2.3.1 25 Q trình kí văn LỜI NĨI ĐẦU Hiện nay, mạng máy tính ngày thể rõ vai trò thiết yếu lĩnh vực xã hội Nó trở thành phương tiện điều hành hệ thống, nhu cầu bảo mật thông tin đặt lên hàng đầu Nét bật phát triển công nghệ bảo mật thông tin ngày thâm nhập ngày sâu phương pháp Toán học vào lĩnh vực (đặc biệt phương pháp Số học Hình hoc Đại số) Với tăng truởng nhanh tốc độ vi xử lí, phương pháp mã hoá truyền thống (kể nhiều máy mã tiếng Đại chiến Thế giới) chống cự khả phá khố siêu máy tính ngày Vì người ta buộc phải tìm phương pháp mới, dựa kết nghiên cứu sâu sắc Toán học Một điều trở thành phổ biến chuyên gia hàng đầu giới mã hóa nhà tốn học đào tạo tốn học cách Chính Tốn học làm cho cơng nghệ mã có bước nhảy vọt đáp ứng cách suất xắc yêu cầu thực tiễn Mục đích luận văn nhằm trình bày sở việc ứng dụng số học lý thuyết mật mã đặc biệt chữ kí số - chữ kí ngưỡng Luận văn gồm chương: Chương I : Kiến thức sở.Chương nhằm giới thiệu chung lý thuyết mật mã, nhắc lại số khái niệm sở, số cơng cụ tốn học sử dụng tong lý thuyết mật mã liên quan đến luận văn, giới thiệu tổng quan mật mã hệ mã công khai RSA Chương II: Chữ kí số - Chữ kí ngưỡng Chương trình trình bày hàm băm mã, chữ kí số chữ kí ngưỡng Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Giáo sư - Tiến sĩ khoa học Hà Huy Khoái Qua cho tơi bày tỏ lịnh kính trọng biết ơn chân thành thầy hướng dẫn, người tận tình bảo, quan tâm động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cô, cán khoa Tốn cán phịng quản lí Khoa học - Trường Đại học Khoa học Thái Ngun hết lịng giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối tơi xin cảm ơn anh,các chị,các bạn lớp cao học toán K6b trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên động viên tinh thần ,chia sẻ khó khăn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2013 Người viết Ngô Thị Nga Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Kiến thức sở Định lý Euler Định nghĩa l.1 Cho n số tự nhiên, số lượng số tự nhiên bé n nguyên tố với n gọi phi hàm Euler n Kí hiệu: ϕ (n) Ví dụ 1.1.ϕ(5) = 4; ϕ(6) = 2; ϕ (7) = Lưu ý: Nếu p số nguyên tố ϕ(p) = p − Định nghĩa 1.2 Một hệ thặng dư đầy đủ modulo n tập hợp số nguyên cho số nguyên tùy ý đồng dư modnlo n với số tập hợp Định nghĩa 1.3 Một hệ thặng dư thu gọn modulo n tập gồm ϕ(n) số nguyên cho phần tử tập hợp nguyên tố với n, khơng có hai phần tử khác đồng dư với theo modulo n Ví dụ 1.2 Tập hơp 1, 3, 5, hệ thặng dư thu gọn modulo Định lý 1.1 Giả sử r1 ; r2 ; rϕ(n) hệ thặng dư thu gọn modulo n, a số nguyên dương (a,n)= Khi đó, tập hợp ar1 , ar2 , arϕ(n) hệ thặng dư thu gọn modulo n Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ rằng, số arj nguyên tố với n Giả sử ngược lại (arj ; n) > với j Khi đó, tồn ước nguyên tố p (arj ;n) Do p ước số a p ước rj ; tức p ước số a p ước n; p ước rj p ước số n Tuy nhiên, khơng thể có p ước số rj p ước số n, rj n nguyên tố Tương tự, khơng thể có p ước số a p ước số n Vậy arj n nguyên tố với j=1,2, ,ϕ(n) Còn phải chứng tỏ khơng có hai số arj ; ark đồng dư modulo n Giả sử arj ≡ ark modn, j = k ≤ j ≤ ϕ(n); j = k; ≤ k ≤ ϕ(n) Vì (a,n) = nên ta suy rj ≡ rk mod n Điều mâu thuẫn rj ; rk hệ thặng dư thu gọn ban đầu modulo n Mệnh đề 1.1 Nếu m, n hai số tự nhiên ngun tố ta có ϕ(m.n) = ϕ(m).ϕ(n) Chứng minh Ta viết tất số nguyên dương không vượt m.n thành bảng sau: m+1 m+ m 2m + (n - 1) m + 2m + 2m 3m (n - l) m + nm Bây giờ, ta giả sử r số nguyên không vượt m (m,r)=d với d>l Khi đó, khơng có số dịng r nguyên tố với m.n, phần tử có dạng k.m+r với ≤ k ≤ n − Ta thấy d ước số k.m+r d ước số m r Vậy để tìm số hạng nguyên tố với m.n ta xét dòng thứ r với m r ngun tố Trên dịng r ta có số: r; m+r; 2m+r; ;(n-1)m+r Vì m r nguyên tố nên dòng r số nguyên tố với n Như vậy, n số nguyên dòng r lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo n Do đó, có ϕ(n) số hạng dịng ngun tố với n Do số nguyên tố với m nên chúng nguyên tố với m.n Vì có ϕ(m) dịng, dịng có chứa ϕ(n) số nguyên tố với m.n nên suy ta ϕ(m.n) = ϕ(m).ϕ(n) Hệ Giả sử n = p1 α1 pk αk phân tích n thành thừa số nguyên tố Khi ta có: ϕ (n) = n − VD 1.3 ϕ (8) = ϕ 23 = 23 − p1 1− p2 − pk = 22 Định lý 1.2 (Định lý Euler): Giả sử m số nguyên dương với (a,m)=l Khi đó, aϕ(m) ≡ 1modm Chứng minh Giả sử r1 ; r2 ; ;rϕ(m) hệ thặng dư thu gọn gồm số nguỵên dương không vượt qua m nguyên tố với m Theo định lí (a,m) = 1, tập hợp ar1 ; ar2 , ,arϕ(m) hệ thặng dư thu gọn modulo m Như vậy, thặng dư bé ar1 ; ar2 ; ; arϕ(m) phải số nguyên r1 ; r2 ; ; rϕ(m) xếp theo thứ tự Dễ thấy : ar1 ar2 arϕ(m) ≡ r1 , r2 , ,rϕ(m) (mod m) Do ta có: aϕ(m) r1 r2 rϕ(m) ≡ r1 r2 rϕ(m) modm Vì (r1 r2 rϕ(m) , m) = nên ta có: aϕ(m) ≡ 1modm Hệ 1.1 Nếu (c, m) = a ≡ bmodϕ(m) ca = cb modm Chứng minh a ≡ bmodϕ(m) suy a = k.ϕ(m) + b với k số nguyên suy ca = ck.ϕ(m)+b = ck.ϕ(m) cb Theo định lý Euler cϕ(m) ≡ 1modm từ suy ca ≡ cb modm Hệ 1.2 Nếu d số nguyên thỏa ed ≡ 1modϕ(m) (c,m)= l ced ≡ cmodm Chứng minh: Thật vậy, ed ≡ 1modϕ(m) suy ed = + k.ϕ(m) với k số nguyên Vì (c,m)= l nên cϕ(m) ≡ 1modm Như vậy, ced ≡ c1+k.ϕ(m) ≡ cmodm 1.1.2 Thuật toán Euclide Giả sử r0 = a; r1 = b số nguyên không âm b = Ta áp dụng liên tiếp thuật toán chia rj = rj+1 qj+1 + rj+2 với < rj +2 < rj+1 ; j= 0,l,2, ,n - rn = (a,b)=rn−1 Ta chứng minh rn−1 nói ước số chung lớn Thật vậy, giả sử: a = b.q + r ta chứng minh (a,b)=(b,r) Giả sử m ước chung a b m ước r Ngược lại m’ ước b r m’ ước a Như ước chung a b trùng ước chung b r, nên (a,b)=(b,r) Từ thuật toán giả sử r0 = a; r1 = b số nguyên dương a>b Bằng cách áp dụng liên tục thuật toán chia, ta được: r0 = r1 q1 + r2 ; ≤ r2 < r1 r1 = r2 q2 + r3 ; ≤ r3 < r2 rn−2 = rn−1 qn−1 + rn ; ≤ rn < rn−1 rn−1 = rn qn Ta thấy đến phép chia với phần dư thực sau hữu hạn bước Vì a = r0 > r1 > ≥ Ngược lại, (a,b)=d từ kết ta tìm cặp số nguyên x,y cho ax+by=d Nếu (a,b)=l ta tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn ax+by=l VD1.4 Tính ước chung lớn d = (18; 84) thuật toán Euclid Ta có d = (18; 84) = (12; 18) = (6; 12) = (6; 6) = 1.1.3 Đa thức nội suy Lagrange Bài toán: Cho f(x) g(x) hai đa thức có bậc khơng q n Chứng minh hai đa thức trùng n+1 điểm hai đa thức trùng Chứng minh: Thật vậy, giả sử f(x) g(x) hai đa thức có bậc khơng q n trùng n+1 điểm (xi ; yi ); i = 1,2 ,n+1 Vì f(x) g(x) hai đa thức có bậc khơng q n nên suy phương trình f(x) - g(x) = phương trình có bậc khơng q n Nên số nghiệm phương trình khơng vượt q n Theo giả thiết, f(x) g(x) trùng n+1 điểm (xi ; yi ); i= 1,2, n + nên suy phương trình f(x) - g(x) = có n+1 nghiệm xi , i = 1, 2, n + Vậy ta có phương trình f(x) - g(x) = phương trình có bậc khơng vượt n lại có đến n+1 nghiệm Điều xảy phương trình f(x) - g(x) = có hệ số khơng Điều dẫn đến f(x) - g(x) ≡ hay f(x)≡g(x) Đa thức nội suy Lagrange: Cho n+1 điểm (xi ; yi ) Từ n+1 điểm ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange f(x) n+1 n+1 = yi i=1 j=1,i=j x−xj xi −xj Ta thấy đa thức xây dựng thỏa mãn f (xi ) = yi ;i= 1,2, ,n + Nhận xét: Từ toán Đa thức nội suy Lagrange ta có kết luận sau: Cho đa thức bậc k: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + ak xk (ak = 0) Ta lấy k+1 điểm (xi ; f (xi )); i = 1,2, , k + Từ k+1 điểm ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange F(x) Khi đó, ta thấy F (x) ≡ f (x) Thậm chí ta tăng số điểm lên nhiều k+1 điểm (k+2 điểm trở lên) kết cho ta không thay đổi tức F (x) ≡ f (x) 1.2 1.2.1 Tổng quan mật mã - Hệ mã công khai RSA Tổng quan mật mã Ta hiểu nơm na, mật mã học cách ngụy trang văn đối tác có quan hệ trao đổi thơng tin mật với có họ hiểu đọc nội dung văn bản, mà người khác dù có vơ tình hay cố ý có khơng thể đọc nội dung xác văn Mầm mống mật mã học có từ thời Hy B tất khối C Đến xem kết thúc q trình mã hóa Khi nhận vàn mật gửi từ A nhiệm vụ B tiến hành giải mã toàn văn để biết xác nội dung văn mà A cần gửi cho Quá trình giải mã Để giải mã văn mật B dùng khóa giải mã riêng d d nghịch đảo e theo mod n Công việc giải mã tiến hành dựa công thức Cd ≡ N ed ≡ N mod n Khi giải mã xong tồn khối C kết thúc trình giải mã Như vậy, việc giải mã khối văn mật việc nâng lên lũy thừa bậc d rút gọn theo modulo n Điều đáng lưu ý đảm bảo an tồn thơng tin RSA nâng lên đáng kể so với hệ mã mũ, vấn đề đề trở nên rõ ràng ta so sánh q trình tìm khóa giải mã hai hệ mã Hệ mã mũ tìm d từ phương trình ed ≡ 1modϕ(p) hệ mã RSA việc tìm d dựa vào phương trình ed ≡ 1modϕ(n) Trong hệ mã mũ p số nguyên tố RSA n tích hai số nguyên tố lớn, nên việc tìm ϕ(p) ϕ(n) khơng giống Như ta biết ϕ(n) = (p - l)(q- 1) nên để tính ϕ(n) ta cần phải phân tích n thừa số nguyên tố vấn đề trở nên vơ khó khăn chí hợp số nguyên n lớn Điều khó khăn chứng tỏ việc tìm d hệ mã RSA khó nhiều hệ mã mũ tính ưu việt mà RSA có vai trị vơ quan trọng giới mật mã Minh chứng sau cho ta thấy an toàn RSA: Sau tìm hệ mã, Rivest, Shamir Adleman có viết báo cơng bố phát minh dạng thông báo khoa học MIT cột Martin Gardner’s tờ báo Scientific American, họ đưa lời thách thức bạn đọc bẻ khóa mâu tin nhỏ mã hóa với: n=l14381625757888876692357799761466120102182967212423625625618 429357069325457338978305971235639587050589890751475992900268795 43541 15 số e =9007 Mẫu tin:"first solver wins one hundred dollars" Xuất dạng mã hóa (với a=01, b=02, c=03, ) giải mã vào ngày 24 tháng năm 1994 cố gắng tổng lực mang tính quốc tế (qua internet) với việc sử dụng 1600 workstations, mainframes, suppercomputer công tháng liên tục để phân tích số thừa số nguyên tố Thực tế cho thấy RSA an tồn, khơng huy động lực lượng vào công việc giải mã mẫu tin Do tính đơn giản thiết kế triển khai nên RSA sử dụng rộng rãi có lẽ nhiều số thuật tốn với khóa cơng khai 16 Chương CHỮ KÍ SỐ - CHỮ KÍ NGƯỠNG Ngày nay, với phát triển công nghệ thông tin, nhiều hoạt động người giải dễ dàng tiện lợi nhiều, từ hoạt động sinh hoạt đời thường đến giao dịch kinh tế hoạt động chuyển giao Nếu ta thực việc gửi thư tín theo cách thơng thường cho người đó, ta phải nhiều ngày thư tín tới người nhận, với công nghệ thư điện tử cần vài phút ta gửi thư tín Thậm chí thực trò chuyện trực tiếp với dù khoảng cách Đại dương Bên cạnh hoạt động hàng ngày hoạt động giao dịch xuyên quốc gia thực hiện, q trình kí kết thực với hổ trợ việc kí kết điện tử Cũng giống kí kết thơng thường kí kết điện tử đảm bảo đặc thù giao dịch hiệu quả, hai bên đối tác hoàn toàn chịu trách nhiệm với chữ kí văn điện tử dần pháp luật bảo hộ Vấn đề, phát triển hết tính ưu việt q trình kí điện tử Ví dụ tránh giả mạo, kí nháy Trong hệ thống có nhiều cá thể tham gia, khóa lại cơng khai, biết thơng tin gửi từ ai? Làm tránh người mạo danh người để gửi thông tin đến người thứ ba? Nói cách khác, kí tên lên văn điện tử, để người nhận biết đích xác nhận văn gửi từ để người gửi khơng thể thối thác trách nhiệm với việc gửi văn Đây vấn đề xác nhận chủ thể chế trao đổi thông tin điện tử 17 Ta biết rằng, hệ thống mã hóa cơng khai, người biết khóa cơng khai cá thể, ngược lại khơng biết khóa mật Và ta biết hệ mã RSA, hai khóa mật khóa cơng khai có vai trị đối xứng có nghĩa dùng đế mã hóa dùng để giải mã Như vậy, cá thể dùng khóa mật để mã hóa văn người giải mã khóa cơng khai cơng bố Đồng thời người biết xác văn gửi Như vậy, cá thể A dùng khóa mật để mã hóa văn đồng nghĩa anh khẳng định với người văn gửi Điều đồng nghĩa kí tên lên văn 2.1 Hàm băm mật mã Hàm băm - hiểu theo nghĩa đơn giản hàm cho tương ứng mảng diữ liệu lớn với mảng liệu nhỏ hơn, hàm băm sử dụng rộng rãi nhiều ứng dụng khác tin học, không thuộc mật mã học Ở xét hàm băm có thuộc tính định, có khả ứng dụng cơng nghệ mã, trước hết lĩnh vực đảm bảo tính tồn vẹn liệu Những hàm băm gọi hàm băm mật mã Các hàm băm nhận chuỗi bit có độ dài tùy ý (hữu hạn) làm liệu đầu vào tạo chuỗi bit có chiều dài cố định n bit (n > số) gọi mã băm Điều đáng quan tâm mã băm không phụ thuộc vào độ dài văn nhạy cảm thay đổi văn đầu vào thay đổi Xác suất để hai liệu đầu vào khác có mã băm vơ thấp xem Nên để tìm chuỗi liệu đầu vào biết mã băm khơng thể thực Trong lĩnh vực mã hóa thơng tin, mã băm xem hình ảnh đặc trưng thu gọn chuỗi bit có độ dài tùy ý (hữu hạn), dùng để nhận diện chuỗi bit Kết hợp với cơng cụ tạo chữ kí số, hàm băm dùng cho việc đảm bảo tính tồn vẹn liệu Và q trình kiểm tra tính tồn vẹn liệu diễn 18 sau: Trong lược đồ kí điện tử, mã băm chuỗi bit tính thời điểm T1 bảo vệ thủ thuật để chống lại thay đổi bất hợp pháp Tại thời điểm T2 sau đó, để biết chuỗi bit x có bị thay đổi khơng , người ta tính mã băm chuỗi bit thời điểm T2 , tiếp so sánh mã băm hai thời điếm T1 T2 Nếu hai mã băm trùng ta khẳng định chuỗi bit khơng thay đổi, ngược lại ta khẳng định chuỗi bit bị thay đổi Như vấn đề bảo đảm tính tồn vẹn chuỗi bit có độ dài tùy ý thay việc bảo vệ toàn vẹn chuỗi bit có chiều dài cố định nhỏ nhiều 2.2 Chữ kí số Cũng kí thơng thường việc kí văn điện tử nhằm mục đích khẳng định chủ thể văn xác nhận nội dung văn kí Tuy nhiên khó so với kí văn thơng thường, kí văn điện tử nhiều thời gian công sức cần phải thực q trình kí văn điện tử cho dễ dàng tốn kém, có ứng dụng thực đem lại kết mong muốn Và điều thực với việc kết hợp kí điện tử mã băm văn Và đời hệ mã hóa cơng khai RSA đáp ứng yêu cầu Tuy nhiên, mặt hạn chế RSA không hiệu mặt thời gian văn dài Khi việc kí kết nhiều thời gian mà người xác nhận lượng thời gian không Để giải vấn đề này, người ta thực trình kí kết mã băm văn Vì tính mã băm đảm bảo an tồn liệu cao nên thực trở thành công cụ thật đắc lực để hổ trợ việc kí kết văn Q trình kí văn A B thực sau: - A tính mã băm vằn (cần gửi cho B) giả sử giá trị m - A mã hóa mã băm m khóa mật mình: C ≡ md mod n Sau thực hai công việc xong A tiến hành gửi cho B văn cần gửi văn mật C nói 19 Sau khi, nhận văn mật văn gốc, B tiến hành xác định chủ kiểm tra nội dung văn Quá trình thực sau: - B tính giá trị băm văn mà A gửi, giả sử m’ - B giải mã văn mật C khóa cơng khai A Thơng thường giá trị băm m văn nguyên tố với n, xác suất để chúng không nguyên tố thấp Nên để đảm bảo tính hồn thiện q trình kí, ta cần kiểm tra tính ngun tố m n trước thực kí kết Giả sử ta có điều đó, ce ≡ med ≡ mmodn So sánh hai giá trị m m’ - Nếu m m’ khác xem q trình kí khơng thành cơng - Nếu m = m’ q trình kí thành cơng, điều chứng tỏ nội dung văn khơng bị thay đổi người gửi văn A Như với q trình thực kí ta khẳng định hai điều: * Thứ nội dung văn hồn tồn kiểm sốt được, khơng có thê thay đổi làm sai lệch đánh tráo nội dung * Thứ hai xác nhận chủ thể văn bản, khẳng định văn A gửi, từ buộc A phải có trách nhiệm với văn kí Tuy nhiên, q trình kí hù hợp với trường hợp văn khơng cần mật nội dung Vì A gửi cho B văn văn gốc nên người khác có hiểu hết nội dung Muốn mật nội dung A phải thực tiếp cơng đoạn mã hóa văn khóa cơng khai B gửi cho B Khi đảm bảo tính mật nội dung văn Ở đây, ta không đề cập đến mật nội dung mà quan tâm đến giao thức kí văn mà Phương pháp ký điện tử xác nhận chủ thể Ký điện tử hệ thống an tồn với mã hóa cơng khai Giao thức dựa ý tưởng Difie Hellman: (1) Người gửi (chủ nhân văn bản) ký văn cách mã hóa với khóa bí mật 20 (2) Người gửi chuyển văn ký cho người nhận (3) Người nhận văn kiểm tra chữ ký việc sử dụng chìa khóa cơng khai người gửi để giải mã văn Rõ ràng giao thức mang đầy đủ đặc tính mơ tả (của việc ký tá thông thường) Thật khơng làm giả chữ ký có người gửi có chìa khóa bí mật dùng để ký (mã hóa); Chữ ký thể chủ nhân phải người giữ khóa bí mật dùng để mã hóa (kiểm tra cách cho giải mã chìa khóa cơng khai người đó) Chữ ký khơng thể tái sử dụng khơng sử dụng chìa khóa riêng bí mật người gửi (để kí văn khác); Văn ký thay đổi nội dạng (nếu mở để thay đổi khơng thể mã hóa lại chìa khóa bí mật người “đã ký” nữa); Người ký khơng thể thối thác chữ ký ngồi ơng ta khơng cịn có chìa ký văn Ký điện tử hệ mã đối xứng với “trọng tài” Trong hệ thống vai trị ơng trọng tài quan trọng Ơng ta có chung chìa bí mật (đối xứng) với người hệ thống (có nhu cầu ký điện tử) người riêng Các chìa phải thiết lập trước triển khai dịch vụ ký điện tử, chìa sử dụng để ký nhiều lần (điều chấp nhận người có riêng cái, trừ ông trọng tài đáng tin cậy) Trong giao thức A muốn ký văn gửi cho B cần thực bước sau đây: (1) A mã hóa văn (định gửi cho B) chìa khóa bí mật gửi cho ơng trọng tài (2) Ông trọng tài giải mã văn chìa khóa bí mật có chung với A (3) Ơng trọng tài đem văn giải mã copy văn mã (trước giải) với mẩu tin xác nhận A gửi văn gói chung vào mớ, mã lại chìa khóa bí mật có chung với B (4) Ông trọng tài gửi mớ mã hóa lại cho B (5) B nhận giải mã khóa bí mật (có chung với ơng trọng tài) Anh ta 21 khơng đọc văn mà cịn xác nhận xác nhận ông trọng tài văn đích thực A gửi Có thể thấy giao thức có đặc tính việc ký tá thơng thường trình bày trên, rườm rà tốn thời gian “ông trọng tài” Việc suốt ngày liên miên với lập mã giải mã dễ biến ông ta thành cổ chai tắc nghẽn dịng thơng tin hệ thống Điều khó kiếm (và trì) ơng trọng tài trên, cho dù ơng ta có người hồn tồn trung thực cần lần ơng ta mắc sai lầm đủ làm hệ thống niềm tin Đấy chưa kể việc kẻ gian thường xun tìm cách đột nhập kho khóa bí mật ơng ta Tóm lại, mơ hình lý thuyết, khó khả thi thực tế Ký văn đóng dấu thời gian Đơi yếu tố thời gian ký có vai trị quan trọng đặc biệt, có khả tái sử dụng cách bất hợp pháp, ví dụ việc ký séc điện tử Vì số lượng gốc văn điện tử vô hạn định, nhận tờ séc điện tử ta có ngàn tờ séc Nếu khơng có giải pháp ngăn ngừa thích hợp người nhận séc sử dụng nhiều lần (vào thời điểm khác ngân hàng khác nhau) Một thủ pháp đơn giản cho thời gian ký liền với séc gói chung chữ ký Khi séc đưa vào ngân hàng rút tiền ngồi việc kiểm tra chữ ký, ngân hàng lưu thời gian ký sở liệu Nếu séc đưa vào rút tiền lần thứ hai bị lật tẩy so sánh thời gian ký séc với thời gian lưu sở liệu ngân hàng (Dĩ nhiên, ngồi hàm thời gian, ta dùng hàm khác để hàn gắn thêm thông tin cho séc ký khác khác Nếu không séc ký lần sau không giá trị) 22 Dấu ấn thời gian việc ký văn cịn có tác dụng chống lại âm mưu chối bỏ ký cách cố tình đánh chìa khóa thối thác trách nhiệm cho người khác (nhặt chìa) Khi có dấu ấn thời gian người ký buộc phải chịu trách nhiệm tất ký trước tuyên bố chìa Ký với khóa cơng khai hàm băm chiều Ta biết triển khai thực tiễn, tốc độ mã hóa với khóa cơng khai chậm (chậm ngàn lần so với khóa đối xứng), ký văn dài (như tài liệu cỡ sách) việc dùng khóa cơng khai trực tiếp điều khơng ổn Một cách giảm tải cho công đoạn dùng hàm băm chiều để lấy mã băm, hay gọi đặc trưng văn (do khả đại điện phản ánh trung thành thay đổi văn bản) Đặc trưng văn (dù dài hay ngắn) xâu số nhị phân không lớn (thường không dài 256 bit) Việc đặc trưng văn không bị thay đổi đồng nghĩa với việc than văn khơng bị thay đổi Từ ta có giao thức phù hợp cho việc ký văn cỡ lớn (mà khơng bị nặng tải) Ví dụ, A cần ký văn (dung lượng lớn) chuyển cho B cần thực bước sau đây: (1) A lấy đặc trưng văn (bằng cách dùng hàm băm chiều, có sẵn hệ thống, để tạo mã băm văn bản) (2) A dùng chìa khóa riêng (bí mật) để mã hóa đặc trưng văn lấy (3) A gửi cho B văn đặc trưng văn ký (4) Khi B nhận văn (cùng với đặc trưng ký) tiến hành hai việc: rút đặc trưng văn nhận (bằng hàm băm hai chiều có sẵn hệ 23 thống, mà A sử dụng), đồng thời cho giải mã đặc trưng ký (sử dụng khóa cơng khai A) so sánh hai đặc trưng với Nếu chúng khớp chứng tỏ văn nhận có nội dung khơng bị thay đổi so với ký Ngồi việc tăng tốc độ ký lên hàng ngàn lần, giao thức số ưu khác Việc chữ ký có dung lượng nhỏ (so với văn mã toàn văn bản) làm cho kho liệu (lưu văn chữ ký) nhỏ gần nửa Các kho lưu trữ quyền văn cần lưu chữ ký (cùng với dấu thời gian) mà khơng cần lưu tồn văn bản, khẳng định văn thuộc (và cho đời nào), tác giả đăng ký quyền tác phẩm mà giữ nguyên bí mật nội dung tác phẩm (cho đến họ cần công khai trước quan có thẩm quyền) Trong giao thức trên, ta quan tâm đến tính tồn vẹn nội dung văn bản, mà khơng quan tâm đến việc giữ bí mật nội dung Một giao thức cho cơng việc trình bày mục sau Ký điện tử mã hóa thơng tin Lưu ý Do thuật tốn mã hóa với khóa cơng khai sử dụng cho giao thức ký điện tử, nên đơi người ta hay gọi q trình kí văn mã hóa văn khóa riêng, gọi trình kiểm tra chữ ký giải mã văn khóa cơng khai Nhưng thực lúc và, ta thấy, q trình ký tá đơi cịn có tham gia hàm băm chiều, hay hàm thời gian Không có nhiều thuật tốn sử dụng cho ký điện tử mà khơng thể dùng mã hóa văn (sẽ xem xét sau) Để thống thuật ngữ ta quy ước sau: Xâu bit đính kèm theo văn (trong giao thức đặc trưng văn sau mã hóa mật mã riêng) gọi chữ ký hay chữ ký điện tử (digital signature) Tồn q trình mà nhờ người nhận văn xác định người gửi đích thực 24 tính tồn vẹn văn gọi xác thực hay authentication 2.3 Chữ kí ngưỡng Trong q trình kí kết văn mang tính chất giao dịch cơng ty, tập đồn, Thì việc kí kết văn đơi khơng cá nhân định, mà địi hỏi số người có trách nhiệm ( thành viên hội đồng quản trị ) tham gia kí kết Với yêu cầu số thành viên định tham gia kí kết ta gọi ngưỡng kí Nếu q trình kí đạt ngưỡng tức số thành viên nhiều ngưỡng đặt xem thành cơng, ngược lại thất bại Chữ kí ngưỡng phát triển dựa chữ kí số, phục vụ q trình trao đối kí kết văn đối tác với Vì để thực chữ kí ngưỡng phải tn thủ q trình giao thức chữ kí số Giả sử q trình kí kết diễn hai đối tác A B A bên thực kí kết văn gửi cho B thẩm tra trình ngược lại thực tương tự Giả sử bên A có khóa cơng khai số (e, n) thỏa mãn điều hệ mã RSA, khóa mật d Bên A cần gửi cho bên B văn p, q trình kí văn thực văn p Giả sử, bên A có l thành viên ủy thác kí văn Yêu cầu đặt từ l thành viên có k thành viên tham gia kí kết đương nhiên l