Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã

Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC **************** V TH THANH HU MT S NG DNG CA S HC TRONG Lí THUYT MT M LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn, nm 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC **************** V TH THANH HU MT S NG DNG CA S HC TRONG Lí THUYT MT M Chuyờn ngnh : Phng phỏp toỏn s cp Mó s : 60.46.40 LUN VN THC S KHOA HC TON HC Ngi hng dn khoa hc : GS.TSKH H Huy Khoỏi Thỏi Nguyờn, nm 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 16 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ụ ụ ó ột số ế tứ t t ộ ứ t ủ tt t ệ ộ ứ t ủ tt t Pé tí ề q ố tố ị ý ủ số ọ t t rộ P r Pé tí trì ị ý rt rộ í t ủ ỹ từ ì ý ệ r P số tụ ệ í t ột số ứ ụ ủ số ọ tr ý tết t t ột số ệ ệ sr ệ ố ột số ệ ũ t ụ ệ ũ ủ P tứ tr ổ ì ủ ệ ệ P tí r từ số tố P tí rt rộ ủ ó P tí sử ụ số P tí ù ủ Pr ệ t Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ợ t t tì ủ ị t tỏ ò í trọ ết s s tớ ự ề tờ sứ ể t t t r t t s ọ Pò số rờ ọ ọ ọ ụ t tỉ r t ệ ụ tờ tỉ t ề ệ t ợ ể t t ị t tỏ ò ết tớ s Pó s ế sĩ ủ ệ ọ rờ ọ ọ ọ ữ t t tì t ọ ề ệ t ợ t t ọ ũ ì ộ ú ỡ t tr sốt q trì ọ t t rờ ọ ọ ọ Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ó rớ ữ 70 ủ tế ỷ ố ọ tờ ợ ột tr ữ t ọ t tý ỉ ó ý ĩ ý tết ố tợ ứ ủ ố ọ q t tr t ợ số tết tồ t tr ố ọ tết số tố í ó ữ t ọ r ẹ ủ ố ọ ó ợ rờ tự tễ ủ ó t ó ủ r tts tt ó ý r ẹ ủ ố ọ ỉ tể ệ tr ý ĩ t tý ủ ó tr ữ ứ ụ t tự tễ ó ó tể ì ợ r ột số ết q ý tết số tr ố ọ ột ộ tr t t t sở ủ ữ ứ ụ ó í ố ọ tt t ĩ ự ứ tt t tr ố ọ ó tể ó t ó từ tờ ổ t ụ t ột ó ệ tố ể í t t t q q t t ủ ổ s sr ệ ổ t ệ sr t q é t tế ỗ ý tự t ý tự ứ s ó ị trí ị trí ữ tế ỷ ệ ó tí t ợ t ệ r ủ ệ rts Pr ó ố t q é t tế t ì s q trì t trể ủ ị sử ề t t t tr ề ĩ ự tú ệ r ó tí t ệ ũ ủ P tế t tứ tr ổ ì ủ s ữ ệ ột ét ủ ệ tr Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 é ố ột t t ệ ọ ột ì ệ ể ợ ố st r t ệ ột t tứ ố ữ t ụ í ủ trì sở ủ ệ ụ ý tết số t ệt ột số tt t tí số sử ụ tr t trì ế tứ ị ụ ụ s ệ ề tt t ộ ứ t ủ tt t ế tứ ề số tụ trì ột số ệ ệ t ụ ệ ứ ụ ủ số ọ t tí t tí t rộ tí sử ụ số tụ tí ù ủ Pr ó ết ột số tủ tụ tí số tủ tụ tr Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ột số ế tứ r ú t trì ột số ế tứ ị ết ệ ề tt t ộ ứ t ủ tt t tờ ể tệ t õ ú t trì tr tết ột số ế tứ ề é tí ề q tr tết ột số ế tứ ề số tụ t t ộ ứ t ủ tt t ệ ó tể ị ĩ tt t t ề r ú t ó tể ể ệ tt t t t tờ t t t ột q t ể ữ ữ ệ tì ợ ủ t ợ ét s ột tờ ữ ể ọ ột tt t ũ tì ể t r tt t t ét ột í ụ ụ tể s X[1], X[2], , X[n] ì m j s j n số tự số t t m = X[j] = max X[k] 1kn t ũ ó ĩ tì ự ủ số tì ỉ số t tr số t ự ì tì ỉ số t tr số Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 t ự t t t từ trị m = X[n] trờ ợ j = n X[n] r tứ t t t tờ X[n] ế t t s s X[n 1] r n = tứ n = tt t ết tú ế X[n 1] X[n] t ể s s s X[n] X[n 2] r trờ ợ ợ X[n 1] í số ự tr số ét số X[n] X[n 1] ó t t ổ m = X[n 1] j = n tr t ợ số ự tr ữ số ét ũ ợ ỉ số t j tr ỉ số ủ số t ự ó tế t ó s s ó số ứ trớ ữ số ét ết tú tt t tr trờ ợ ò số ứ trớ ó t ó tể tt t tr s t t tì ự t t t ể tr s ế ổ m j n, k n 1, m X[n] ế k = tt t ết tú X[k] m ể s t j k, m X[k] t ể m t tờ ự k t k k q ề r tr ó é t ỗ ù ể ỉ ột é t q trọ r t ột tt t ữ t tờ r trờ ợ tt t ợ ết ữ ệ ủ tí t ó ột trì r tt t ó ữ số ệ ợ trớ tt t t ệ ọ ú t t tì ự tr í số ột tt t ó tể ó ề tr r số tr tt X[1], X[2], , X[n] r tt r tt t tì ự m j ó tể t r tt t tì ự t tr t ữ ủ ột tt t ó ó Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn tí ữ tí í http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 í ữ t t ết tú s ột số ữ tt t ệ t t ợ tr ề t r t t tì ự t tr rõ r t ề ệ ì ỗ t ể ợ từ ệ ét ột số s số ứ trớ ó số số ét ữ í ị ỗ tt t ị ĩ ỉ rõ ệ t t tì ự tr ỉ r rõ r ữ ệ ủ ỗ ữ ế tố ể tr t ò ét ế tí ệ q ủ tt t ó rt ề tt t ề t ý tết ết tú s ột số ữ t tờ ệ ó ợt q ệ ủ ú t ì tế t ò ú ý ế ọ tt t ộ ứ t ủ tt t ó tể ợ ộ ộ ứ t ủ tứ ủ tí tết ể tự ệ tt t tờ tứ tờ tí ệ r ó ế ộ ứ t ủ tt t t ể ộ ứ t tờ ộ ứ t ủ tt t ĩ tờ ệ ủ tí ột tt t ó ỉ ụ tộ tt t ò ụ tộ tí sử ụ ể tt t ó ì tế ể ó ột t t ộ ứ t ủ ột tt t số é tí tự ệ tt t tế ù ột tt t số é tí tự ệ ò ụ tộ ỡ ủ t tứ ụ tộ ộ ủ ì tế ộ ứ t ủ tt t ột số ủ ộ ủ r ữ ứ ụ tự tễ ú t ết í ỉ ết ỡ ủ ú tứ ó ột ợ ủ tốt ủ ú Footer Page of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 ệ tí tờ ữ số ữ ó tt ó s ỉ số ù ệ ế số ệ ễ k ó tt ỉ số ì tế t tệ t tr ó ể ể ễ ột số t ỉ ù í ột í ệ ữ số s ợ ọ ột ữ số ợ ọ số k ụ tế t t t r số tự ột số n ể r ụ n ột số k k = [log2 n] í ệ ủ ột số ộ ứ t ủ tt t ợ số é tí Pé tí ột é tí số ọ tự ệ tr số ột ể ợ ộ ứ t ủ tt t t ù ệ ị ĩ sử f (n) ó f = O(g) f (n) g(n) ị tr t ợ số ó ủ ế tồ t ột số C > g(n) ết s n f (n) = O(g(n)) ủ f (n) g(n) ề tờ f (n) < C.g(n) í ụ f (n) = ni + ai1 ni1 + + a1 n + a0 tr ó > ó f (n) = O(ni ) ú t ó tể ể tr ợ r ế f1 (n) = O(g(n)), f2 (n) = O(g(n)) tì f1 (n) + f2 (n) = O(g(n)) ế f1 (n) = O(g1 (n)), f2 (n) = O(g1 (n)) tì (f1 f2 )(n) = O(g1 g1 (n)) ữ ế tồ t ữ f (n) n g(n) lim tì ị ĩ ột tt t ợ ọ ó ộ ứ t tứ ó tờ tứ ế số é tí tết tự ệ tt t ợt q O(log d n) Footer Page 10 of 16 tr ó n ộ ủ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn d số http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 34 of 16 [ r ((vbma[1])& (keyprv[1])) (mod p) (vbma[2]) r ét ệ rt t ú ý ể ộ t số s ý tở ủ rt tổ qt ó ợ ù ệ sử ụ ũ ột ề ệ ột ét ủ ệ tr é ố ột t t ụ ụ ệ ỗ trợ ệ tr ổ ì ố tờ t ệ ố ứ ể ủ ệ ó t t tộ í t ì ợ t trể tệ ó t ọ t ủ ó sử tr ệ tố ét ó n tể ù tr ổ t t t ỗ tể ọ ì ột ì Ek ợ t ó k ột tứ n k1 , k2 , , kn tể tứ i ố t tể tứ j ể t số ó t từ ố ó ộ ó ỗ ố ợ ủ tể tứ j tr t C = Ekj (P ) ể t tể tứ r ủ ì Ekj P j ỉ ù í t Dkj Dkj (C) = Dkj Ekj (P ) = P ì Dkj Ekj ủ ù ột tể tứ j ét sử ụ ì ệt tự ệ ỗ ỉ ữ í ì ò ì ợ t ể ữ ó tể t t ì ề t ốt từ ì tể tì r ì ế ợ ết t t ệt õ r ế ệ t t Footer Page 34 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 35 of 16 t trở rễ r ỗ ỉ ệ ữ í t ủ í ì t trì ợ ụ tể ệ ợ t st r t ệ t tự ệ ọ số tố í p q ó ộ ỡ ữ số t n = p.q (n) = (p 1)(q 1) (e, (n)) = d = e1 (mod (n)) số (e, n) ợ ù ể ò ọ ì trì t P s số ợ tự ệ C P e (mod n) tứ số (d, n) ù ể ò ọ ì í t ệ qủ ủ ị ý r t ó q trì ợ tự ệ t tứ P C d (mod n) ì e.d (mod (n)) C d (P e )d P de P (mod n) t ệ qủ í ụ ù ể [tr [ q tr [ q [ tr [ e q [ t Footer Page 35 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 36 of 16 tr t tứ [ t t [ ts t& str rtts st sqsstrstr t str st sqrtst s st rtrtrtst st ts t t ộ t t ó tể tì r (d, n) d số p q tí ị t ệ ì ể ó ợ t ị ủ (n) (e, n) t t ó e t tí t n ỡ ữ số tì modulo (n) ố tì ợ r từ số tố n = p.q (n = p.q) ế t ọ ó ữ số ó ể n t tỷ ự t ệ ệ ó tể ột ộ tr t t t st r ố t ề ệ t í t r r t tứ t ỏ ợ Footer Page 36 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 37 of 16 t rst sr s r s t t t ệ tr é số t t ứ a = 01, b = 02, c = 03, ột ố sử ụ tổ ự tí qố tế q trt ệ rstts rs t tụ ỉ ợ s srtrs t tr ể tí số tr r từ số tố P tí r từ số tố ệ ột t tứ ố ữ t ó ủ t tí ột số r từ số tố t ủ ệ ế ú t ọ số p q n = p.q r ột số trờ ợ ệt tì ó tể ó ữ tt t ữ ệ tí ợ n s ột số í ụ P tí rt rộ ủ ó P tí rt ệ ề sử n ột số ó tồ t t ứ ữ tí n n = a.b, a b > ể ễ n n = t2 s2 tr ó t s số ứ tr ợ t= Footer Page 37 of 16 ab a+b ,s = a = t + s, b = t s 2 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 38 of 16 ứ n = a.b ó ab a+b ) ( ) n = a.b = ( 2 a+b ab 2 t t = ,s = t ợ n = t s 2 sử t ó tí ợ n = t2 s2 t ó tí n = (t + s)(t s) ệ ề tr t ó tt t t t ét n ể tr ế số é t n n n n n ó n n tì q t ì tr ế n n = m tì ể s n = l2 m2 = (l + m)(l m) = p.q p = l + m, q = l m, l = n í ụ P tí số ó n = 3228551 1796, 81; n = 1797 n n = 17972 322851 = 158 tí tế ( n + 1)2 n = tí tế ( n + 2)2 n = tí tế ( n + 3)2 n = 17982 3228551 = 17992 3228551 = 18002 3228551 = 4253 t số t 7850 t 11449 = 107 P tí rt rộ ế t t tí rt tì ợ Footer Page 38 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn n n số http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 39 of 16 tr ột số ữ ó ủ t tì ợ n n ộ ủ tì t ó tể ọ số ó tử tế ( kn + i)2 kn ) tớ tì r ết q ( kn + i)2 kn ột số í ụ P tí số n ó n = 282133 = 532 ế t t từ tì s 6132 282133 = t ế ợ ết q 93636 = 306 ó s r ế t t từ 3n = 3.282133 = 920 tế tử 920 + i 3.282133 tì t ợ (920 + 0)2 3.282133 = r 3n = 3.282133 = 9202 = (920 + 1)(920 1) = 921.919 = 3.307.919 n = 282133 = 307.919 P tí rt rộ ết q t ì 919 3.307 p kq) P tí rt ù sở ét r ế tì ợ l n = m2 n n = l2 n = m số í t tì ợ số l, m s l2 m2 (mod n) tì t ó tể tí ợ n t t ó (l + m)(l m)n tì t ỉ tí ế (l m) ết n (l + m, n), (l m, n) ể tì số ủ n í ụ P tí số ó 682 62 (mod 1147) (68 6)(68 + 6)1147 tí (68 + 6, 1147) = 37, (68 6, 1147) = 31 ỏ tế ể tì ợ số ứ Footer Page 39 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn n http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 40 of 16 s tì ợ số b c s b2 c2 (mod n) tở ể qết ề ó s ì ề số bi s b2i (mod n) tí ỹ từ tố ỏ tờ tí ột số b2i ó ột số í modulo n ể tự ệ ệ ó t ị ĩ s ị ĩ ột sở tí ột t ợ trừ r n p1 B = {p1 , p2 , } ó tể ột số ế t tệt ố é t tí số tộ số tố b ợ ọ B b2 (mod n) số ố ó tể ết B t t r ột t ợ số tố ó sở tí B = {p1 , p2 , } ể tí ( i, li , tí pi n + i)2 n = c2 i = 0, 1, ột rồ s ó tí t sở ọ tr số ị ột số tr sở tí í số ũ tr tí ợ rút ọ t modulo ế t ó t tí ợ t tứ tr tí ó số tố sở tì ứ ệ ỏ q tự ệ tế t t ó ủ ề số ợ tí t ọ ột t số ó tí ột số í ợ t t ị ố ể ể ọ r t ó tổ từ ột í b2 c2 (mod n) ể tr b c (mod n) ế s tì n = p.q p = (b c, n), q = (b + c, n) ế ú tì q ề rộ ể tì t í ụ ọ sở số tố ỏ B = {2, 3, 5, 7, 11} Footer Page 40 of 16 n = 3239 = 56.9 = 57 ó ể s S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 41 of 16 bi c2 = ( n + i)2 tí ú mod2 53 mod2 2.112 mod2 361 tí t tí t ó b2 = 572 582 592 = (57.58.59)2 = 1950542 c2 = 22 54 112 = (2.52 11)2 = 5502 ễ t 57.58.59 (mod n) = 714 52 11 (mod n) = 550 714 550 (mod n) t ó ết q ét n + i)2 n, i = 0, 1, 2, ết q tì t ó tể ể s tí ( 2n + i)2 2n, i = 0, 1, 2, ( 3n + i)2 3n, i = 0, 1, 2, ế ệ trể tí t ợ ( í ụ P tí số n = 216449 ọ sở số tố ỏ n = 465.2 = 466 r Footer Page 41 of 16 ( B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 2n = 657.9 = 658 ó r.n + k)2 r.n tí 4662 n 7.101 tí t 4672 n 23 5.41 tí t 4682 n 52 103 tí t 4692 n 23 439 tí t 4702 n 4451 tí t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 42 of 16 r 6582 2n 2.3.11 6592 2n 3.461 tí t 6602 2n 2.7.193 tí t 6612 2n 33 149 tí t 6622 2n 2.35 11 ế t t ó tí tr ề ệ ó r = ứ k = 0, 4t b2 = 6582 6622 = (658.662)2 = 4355962 c2 = 22 36 112 = (2.33 11)2 = 5942 ễ t 658.662 (mod n) = 2698 2.33 11 (mod n) = 594 2698 594 (mod n) t ó ết q P tí sử ụ số t t tứ t t t từ ý tở ủ t s ù sở tì số ị ý b c s b2 c2 (mod n) t ó b2k nqk2 = (1)k+1 Qk+1 r b2k (1)k+1 Qk+1 (mod n) ó ế tì ợ b2 c2 (mod n) t Qk+1 ỉ số ột số í c2 tì ó (bk + c)(bk c) n số d1 = (bk + c, n) d2 = (bk c, n) ó ề t tờ ủ n ũ ó tể r trờ ợ tí n ì số bk + c, bk c t tết é n í ụ P tí số n = 74.2 = 74 ợ Footer Page 42 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 43 of 16 sử ụ số tụ t ó Q1 = 37, r Q2 = 1, b1 = 297 2972 12 = (297 + 1)(297 1) (mod n) tí (297 1, n) = 37; (297 + 1, n) = 149 í ụ P tí số tí ợ b3 Q1 = Q2 = 134 Q3 = 253 Q4 = = 32 32 (mod n) t t ợ t tờ í t tế t ợ Q64 = 81 b63 = 15656849285514685583118479673478 t tì ợ n = 367.109 t t tứ ệ q b2i (mod n) t t tệt ố é t ó trị tệt ố é n ó ề bi s b2i (mod n) tí ỹ từ tố ỏ từ ó t ó tt t r ột t số tố từ ế 29 sở tí ố ợ t ể ữ số ể tí í Ck = [a0 ; a1 , ] = bi qi tí b2i rồ tí t sở t ó ủ ề số ợ tí t ọ ột t số ó tí ột số í t ợ t t ị ó tổ từ ột số ị t (mod 2) í b2 c2 (mod n) ể tr ế b c (mod n) b c (mod n) tì q tế tì t ế b c (mod n) tì n = q.p p = (b + c, n); q = (b c, n) í ụ P tí số Footer Page 43 of 16 n = 68779 ể ễ r số tụ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 44 of 16 68779 số ì tí 262 135 1.3 787 358 2.179 1049 63 1.32 81302 281 tố 9179 234 1.2.32 13 173092 157 tố 437972 322 1.2.7.23 611062 105 3.5.7 ự tt t t t ế t ó (262.1049.61106)2 (1.33 5.7)2 í t trự tế t ó 262.1049.61106 (mod 68779) 945, 1.33 5.7 (mod 68779) t q số ì tí 288221 138 1.2.3.23 9257692 261 32 29 12139902 239 tố 21397592 182 2.7.13 5493508 147 1.3.72 186202832 89 tố 985949232 282 1.2.3.47 1172152062 225 32 52 ế t t ế ũ tr t t ợ (262.1049.9179.43797.61106.288221.2139759.5493508.117215206)2 (22 36 22 73 13.23)2 (mod n) (262.1049.9179.43797.61106.288221.2139759.5493508.117215206)2 (19654) (mod n) (22 36 22 73 13.23) (59221) (mod n) Footer Page 44 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 45 of 16 t ó p = gcd(19654 59221, n) = 109 từ s r q = n/109 = 631 P tí ù ủ Pr sử t tí ột số ết ủ n ế (p 1) n p ột tố ó tố tì tt t s tỏ r rt ữ ệ t t ọ ột số k s ó ết tt ết số ỏ ột số B ó k B! k ộ B ỏ t ủ tt số từ ế ọ ột số a tr từ ế (n 2) a = a = số í ak (mod n) tt t ì tế í (ak 1, n) tt t ế d = (ak 1, n) ột tự ủ n t q trì tr ột số a k a k t ủ tt t sử k ết ọ số ỏ tố ủ n s (p 1) ỗ từ số ề ỏ ị ý rt ak (mod p) ể t tì ợ tự ủ p tí ỹ từ tố é B ó k B ộ ủ p|(ak 1, n) (p 1) t t n ak (mod n) í ụ P tí số n = 199423 ọ B = k = 9! = 362880, a = t tì ợ 3362880 mod n 96783 (96783 1, n) = 217 ó s r ét ự t Footer Page 45 of 16 (p 1) ủ Pr tì tử ị tr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 16 ó số ũ (Z/pZ) ỹ từ ủ ột số a trớ k ọ trớ ỗ p ủ n ố ị ó (Z/pZ) ũ ố ị ế tt ó ó p ết ủ n ề ó ết ột số tố ỹ từ số ũ ủ ột số tố tì (p 1) ủ Pr ệ q í ụ sử n = 445201 ó ỉ ó tể tì ợ tố ủ tr ế ọ t n B 173 t q ố ột số ỡ n số ề số tố ột tủ tụ s ể tì ột số ủ ợ số N rstrt t tr r r i, a, b, k, d, ID k := B! r tr t t s tr r > < N t d > t s r Footer Page 46 of 16 n S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 16 a& k (b 1, N ) d > t ID > M t ố tì ột số ủ ợ số N (p 1) ủ Pr t ỉ tự ệ ệ r r ó số ó tể í ụ ì ột số ủ r ó ột ế ọ ế B < 11 tì t tì ợ ủ B 11 ữ trị tì t ó tể ợ t ữ ủ N ế ó ọ ét tr B = 6661 ợ (p 1) ó tố tr ó p ột tố ết ủ N ù ỡ ủ N ó tể ế tr ữ số tr ệ t Footer Page 47 of 16 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 16 ệ t P ể í t trì t ọ tr ộ P ể tí t tự ố ọ tt t sở ý tết ộ P ể ọ ứ ụ Footer Page 48 of 16 t t sở t ộ r tr rtr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn rr http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... số ự tr số ét số X[n] X[n 1] ó t t ổ m = X[n 1] j = n tr t ợ số ự tr ữ số ét ũ ợ ỉ số t j tr ỉ số ủ số t ự ó tế t ó s s ó số ứ trớ ữ số ét ết tú tt t tr trờ ợ ò số. .. tí tờ ữ số ữ ó tt ó s ỉ số ù ệ ế số ệ ễ k ó tt ỉ số ì tế t tệ t tr ó ể ể ễ ột số t ỉ ù í ột í ệ ữ số s ợ ọ ột ữ số ợ ọ số k ụ tế t t t r số tự ột số n ể r ụ n ột số k k =... ý ủ số ọ ọ số tự ề tí ợ ột t t tí từ số tố tr ó từ số ợ ết t tứ tự ứ sử tồ t ữ số ết ợ t tí số tố ọ n số é t tr số ó < a b < n ị ĩ ủ ủ số tố ĩ n n số n a ợ số b