Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC **************** VŨ THỊ THANH HẬU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC **************** VŨ THỊ THANH HẬU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✷ ✺ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✷ ➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶ ❙è ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ sè ❤ä❝ ✶✳✷✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈➭ ♠ë ré♥❣ ✷✳✷ ✷✳✸ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✸ P❤✐ ✲ ❤➭♠ ❊✉❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✷✳✹ P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ✈➭ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✻ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ ➤å♥❣ ❞➢ ❝đ❛ ❧✉ü t❤õ❛ ❜❐❝ ❧í♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✷✳✼ ❚❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ P❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ✶✳✸✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠✳ ✶✳✸✳✷ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ▼ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ sè ❤ä❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♠❐t ♠➲ ✷✳✶ ✷ ✷✶ ◆❣✉②➟♥ t➽❝ ❝❤✉♥❣ ✈➭ ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✷✳✶✳✶ ❍Ö ♠➲ ❈❡❛s❛r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✷✳✶✳✷ ❍Ö ▼➲ ❑❤è✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ▼ét sè ❤Ö ♠➲ ♠ị t❤➠♥❣ ❞ơ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✷✳✶ ❍Ư ♠➲ ♠ị ❝đ❛ P♦❤❧✐❣✈➭ ❍❡❧❧♠❛♥ ✷✻ ✷✳✷✳✷ ●✐❛♦ t❤ø❝ tr❛♦ ➤ỉ✐ ❝❤×❛ ❦❤♦➳ ❝đ❛ ❉✐❢❢✐❡ ✲ ❍❡❧❧♠❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✷✳✸ ❍Ö ♠➲ ❊❧●❛♠❛❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✷✳✹ ❍Ö ♠➲ ❘❙❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ P❤➞♥ tÝ❝❤ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✷✳✸✳✶ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t ✈➭ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✷✳✸✳✷ P❤➞♥ tÝ❝❤ sö ❞ô♥❣ ❧✐➟♥ ♣❤➞♥ sè✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✸✳✸ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ P♦❧❧❛r❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐✱ ♥❣➢ê✐ ❚❤➬② ♠➱✉ ♠ù❝ ➤➲ ❣✐➭♥❤ ♥❤✐Ị✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ ❝➠♥❣ sø❝ ➤Ĩ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❚r✉♥❣ t➞♠ ➜➭♦ t➵♦ s❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ P❤ß♥❣ ➜➵✐ sè✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❙ë ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ tØ♥❤ ◗✉➯♥❣ ◆✐♥❤✱ ❚r✉♥❣ t➞♠ ❍➢í♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ✈➭ ●✐➳♦ ❞ơ❝ t❤➢ê♥❣ ①✉②➟♥ tØ♥❤ ◗✉➯♥❣ ◆✐♥❤✱ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ❝➳❝ ●✐➳♦ s➢✱ P❤ã ❣✐➳♦ s➢✱ ❚✐Õ♥ sÜ ❝đ❛ ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ✈➭ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ữ t t tì t ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤♦➳ ❤ä❝✳ ❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❜➵♥ ❜❒ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✳ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❚r➢í❝ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ 70 ❝đ❛ t❤Õ ❦û ❳❳✱ ố ọ tờ ợ ột tr ữ t♦➳♥ ❤ä❝ t❤✉➬♥ t✉ý✱ ❝❤Ø ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ❧ý t❤✉②Õt✳ ➜è✐ t➢ỵ♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ ❙è ❤ä❝ ❧➭ ❝➳❝ q✉② ❧✉❐t tr♦♥❣ t❐♣ ❤ỵ♣ sè✱ ❣✐➯ t❤✉②Õt ❧í♥ tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ❙è ❤ä❝ ❧➭ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✉②Õt sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❚❤❐♠ ❝❤Ý✱ ❝ã ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝❤♦ r➺♥❣ ✈❰ ➤Đ♣ ❝đ❛ ❙è ❤ä❝ ❝ã ➤➢ỵ❝ ♥❤ê sù ①❛ rê✐ t❤ù❝ t✐Ơ♥ ❝đ❛ ♥ã✦ ✭t❤❡♦ ❝➞✉ ♥ã✐ ❝đ❛ ●✳❍✳ ❍❛r❞②✱ ❆ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝✐❛♥✬s ❆♣♦❧♦❣②✱ ✶✾✹✵✮✳ ◆❣➭② ♥❛②✱ t❤❐t ❦❤ã ➤å♥❣ ý ✈í✐ ❍❛r❞②✱ ❦❤✐ ♠➭ ✈❰ ➤Đ♣ ❝đ❛ ❙è ❤ä❝ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø t❤Ĩ ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ý ♥❣❤Ü❛ ✧t❤✉➬♥ t✉ý✧ ❝đ❛ ♥ã✱ ♠➭ ❝➯ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❜✃t ♥❣ê ✈➭♦ t❤ù❝ t✐Ơ♥✳ ❈➳❝❤ ➤➞② ❦❤♦➯♥❣ ✸✵ ♥➝♠✱ ❦❤ã ❝ã t❤Ĩ ❤×♥❤ ❞✉♥❣ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣✱ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❧ý t❤✉②Õt sè tr♦♥❣ ❙è ❤ä❝ ❧➵✐ ❧➭♠ ♥➟♥ ♠ét ❝✉é❝ ❝➳❝❤ ♠➵♥❣ tr♦♥❣ ❜➯♦ ♠❐t t❤➠♥❣ t✐♥✳ ❈➡ së ❝đ❛ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ô♥❣ ➤ã ❧➵✐ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❙è ❤ä❝ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ tr♦♥❣ ❙è ❤ä❝✳ ❈ã t❤Ĩ ♥ã✐✱ ♠❐t ♠➲ ➤➲ ❝ã tõ t❤ê✐ ❝ỉ ➤➵✐✳ ◆❣➢ê✐ ➤➬✉ t✐➟♥ ➳♣ ❞ô♥❣ ♠❐t ♠➲ ♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❤Ư t❤è♥❣ ➤Ĩ ➤➯♠ ❜➯♦ ❜Ý ♠❐t t❤➠♥❣ t✐♥ q✉➞♥ sù ❧➭ ♥❤➭ q✉➞♥ sù t❤✐➟♥ t➭✐ ❝ñ❛ ♥❣➢ê✐ ▲❛ ▼➲ ❝ỉ ➤➵✐✱ ❏✉❧✐✉s ❈❛❡s❛r✳ ❍Ư ♠➲ ❝ỉ ♥❤✃t ❧➭ ệ sr t q é t tế ỗ ❦ý tù t❤❛② ❜ë✐ ❦ý tù ➤ø♥❣ ♥❣❛② s❛✉ ♥ã ị trí ị trí ữ ➤➬✉ t❤Õ ❦û ❳❳ ❤Ư ♠➲ ♠í✐ ❝ã tÝ♥❤ ❜➯♦ ♠❐t ❝❛♦ ❤➡♥ ➤➢ỵ❝ ①✉✃t ❤✐Ư♥ ✈í✐ sù r❛ ➤ê✐ ❝đ❛ ❤Ư ♠➲ ❇r✐t✐s❤ P❧❛②❢❛✐r ♥➝♠ ✶✾✶✵✱ ➤ã ❧➭ ♠➲ ❦❤è✐ t❤➠♥❣ q✉❛ ♣❤Ð♣ t❤❛② t❤Õ t❤❡♦ ❝❤×❛✳ ❙♦♥❣ s♦♥❣ q trì t trể ủ ị sử ❝➬✉ ✈Ò ❜➯♦ ♠❐t t❤➠♥❣ t✐♥ tr➟♥ ♥❤✐Ò✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ➤➲ t❤ó❝ ➤➮② ❝➳❝ ❤Ư ♠➲ ♠í✐ r❛ ➤ê✐ ❝ã tÝ♥❤ ❜➯♦ ♠❐t ♥❣➭② ❝➭♥❣ ❝❛♦✱ ♥❤➢ ❤Ư ♠➲ ♠ị ❝ñ❛ P♦❤❧✐❣ ✈➭ ❍❡❧❧♠❛♥ ✭♥➝♠ ✶✾✼✽✮✱ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ❣✐❛♦ tứ tr ổ ì ủ s ữ ❧➭ ❤Ư ♠➲ ❊❧●❛♠❛❧✳ ▼ét ♥Ðt ❝❤✉♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ❤Ư ♠➲ tr➟♥ ❧➭ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝➠♥❣ ❜è ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♠ét ♣❤➬♥ t❤➠♥❣ t✐♥ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❧❐♣ ♠➲ ❣ä✐ ❧➭ ❤♦➳ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✱ ♠➲ ♠ét ì ệ ể ợ ❝➠♥❣ ❜è ❜ë✐ ❘✐✈❡st✱ ❙❤❛♠✐r ✈➭ ❆❞❧❡♠❛♥ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✼✽✱ ♠❛♥❣ t➟♥ ❘❙❆✳ ❍Ö ♠➲ ❘❙❆ ✈➱♥ ➤❛♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➳❝❤ t❤ø❝ ❧í♥ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t❤➳♠ ♠➲✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ❝➡ së ❝đ❛ ✈✐Ư❝ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❧ý t❤✉②Õt sè ✈➭♦ ♠❐t ♠➲✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ♠➲ ❤♦➳ ❘❙❆ ✈➭ ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥ ➤❛♥❣ sư ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ t❤➳♠ ♠➲✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ♣❤ơ❝ ✈ơ ❝❤♦ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉ ♥❤➢ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị t❤✉❐t t♦➳♥✱ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❤Ư ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❤Ư ♠➲ t❤➠♥❣ ❞ơ♥❣✱ ❤Ư ♠➲ ❘❙❆ ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ sè ❤ä❝ ✈➭♦ ♠❐t ♠➲ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♥❤➢ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t ♠ë ré♥❣✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝đ❛ P♦❧❧❛r❞✳ ❚õ ➤ã ✈✐Õt ♠ét sè t❤đ tơ❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè✱ t❤đ tơ❝ ❧❐♣ ♠➲ ✈➭ ❣✐➯✐ ♠➲ ❝❤➵② tr➟♥ ▼❛♣❧❡✳ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❚✐Õt ✶✳✶ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị t❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ➤Ĩ t✐Ư♥ t❤❡♦ ❞â✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✷ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥✱ tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✸ ❧➭ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝✳ ✶✳✶ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ✶✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠✿ ❈ã t❤Ĩ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ♥❤✐Ị✉ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❤✐Ĩ✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ❝➳❝❤ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ♥❤✃t✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❧➭ ♠ét q✉✐ t➽❝ ➤Ó ữ ữ ệ tì ợ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ ①Ðt s❛✉ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ➜Ĩ ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝➳❝❤ ❣❤✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝ị♥❣ ♥❤➢ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ❝➳❝ ②➟✉ ❝➬✉ ➤➷t r❛ ❝❤♦ t❤✉❐t t♦➳♥✱ t❛ ①Ðt ♠ét ✈Ý ❞ô ❝ô t❤Ĩ s❛✉✿ ❈❤♦ X[1], X[2], , X[n]✳ ❚×♠ m ✈➭ j s❛♦ ❝❤♦ j n sè tù ♥❤✐➟♥ ❧➭ sè ❧í♥ ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥✿ m = X[j] = max X[k]✳ 1≤k≤n ❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ị♥❣ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ ❝➳❝ sè ➤➲ ❝❤♦ ✈➭ t×♠ ❝❤Ø sè ❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❱× ❝➬♥ t×♠ ❝❤Ø sè ❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐✱ t❛ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ❣✐➳ trị m = X[n] trờ ợ j = n ✈➭ X[n]✳ ❚r♦♥❣ ❜➢í❝ t❤ø ♥❤✃t t❛ t➵♠ t❤ê✐ X[n] ❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ s♦ s➳♥❤ ✈➭ X[n − 1]✳ ❚r♦♥❣ n − = 0✱ tø❝ n = 1✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳ ◆Õ✉ X[n − 1] ≤ X[n]✱ t❛ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ s♦ s➳♥❤ X[n] ✈í✐ X[n − 2]✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ X[n − 1] ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ❝ù❝ ➤➵✐ tr♦♥❣ ❤❛✐ sè ➤➲ ①Ðt ✭❤❛✐ sè X[n] ✈➭ X[n − 1]✮✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ♣❤➯✐ t❤❛② ➤æ✐ m = X[n − 1] ✈➭ j = n − 1✳ ❱í✐ ❝➳❝❤ ❧➭♠ ♥❤➢ tr➟♥ t❛ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sè ❝ù❝ ➤➵✐ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ sè ➤➲ ①Ðt✱ ✈➭ ❝ị♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤Ø sè ❧í♥ ♥❤✃t j tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤Ø sè ❝đ❛ ❝➳❝ sè ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐ ➤ã✳ ❇➢í❝ t✐Õ♣ t❤❡♦ ➤ã ❧➭ s♦ s➳♥❤ ♥ã ✈í✐ sè ➤ø♥❣ ♥❣❛② tr➢í❝ ♥❤÷♥❣ sè ➤➲ ①Ðt✱ ❤♦➷❝ ❦Õt t❤ó❝ t❤✉❐t t♦➳♥ tr trờ ợ ò số ứ trớ ó ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝ã t❤Ó ❣❤✐ ❧➵✐ t❤✉❐t t♦➳♥ tr➟♥ ♥❤➢ s❛✉ ✿ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐✳ ▼✶✳ ✭❇➢í❝ ①✉✃t ♣❤➳t✮✳ ➜➷t ▼✷✳ ✭➜➲ ❦✐Ó♠ tr❛ ①♦♥❣❄✮✳ ▼✸✳ ✭❙♦ s➳♥❤✮✳ ◆Õ✉ ▼✹✳ ✭❚❤❛② ➤æ✐ m✮✳ j ←− n, k ←− n − 1, m ←− X[n]✳ ◆Õ✉ k = 0✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳ X[k] ≤ m✱ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ ▼✺✳ ➜➷t j ←− k, m ←− X[k] ✭t❛ ❤✐Ó✉ m t➵♠ t❤ê✐ ➤❛♥❣ ❧➭ ❝ù❝ ➤➵✐✮✳ ▼✺✳ ✭●✐➯♠ k ✮✳ ➜➷t k ←− k − 1✱ q✉❛② ✈Ò ▼✷✳ ❚r♦♥❣ ❜➯♥❣ ❣❤✐ tr➟♥ ➤➞②✱ ❞✃✉ ➤ã ❧➭ ♣❤Ð♣ t❤❛② ỗ ù ể ỉ ột é t q trọ ❚r➟♥ ➤➞② t❛ ➤➲ ❣❤✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❜➺♥❣ ♥❣➠♥ ữ t tờ r trờ ợ tt t ợ ết ❜➺♥❣ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ❝đ❛ ♠➳② tÝ♥❤✱ t❛ ❝ã ột trì r tt t ó ữ số ệ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ tr➢í❝ ❦❤✐ t❤✉❐t t♦➳♥ ❜➽t ➤➬✉ ❧➭♠ ✈✐Ư❝✳ ❚❛ ❣ä✐ ❝❤ó♥❣ ❧➭ ➤➬✉ ✈➭♦ ✭✐♥♣✉t✮✳ t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ tr➟♥✱ ➤➬✉ ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➳❝ sè ▼ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❝ã t❤Ĩ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ➤➵✐ tr➟♥✱ ➤➬✉ r❛ ❧➭ ❝➳❝ sè ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ tr♦♥❣ t❤✉❐t X[1], X[2], , X[n]✳ ➤➬✉ r❛ ✭♦✉t♣✉t✮✳ ❚r♦♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ m ✈➭ j ✳ ❈ã t❤Ó t❤✃② r➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ tì ự t tr t ữ ❝➬✉ ❝ñ❛ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ➤ã ❧➭ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝✳ http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❝➬♥ ♣❤➯✐ ❦Õt t❤ó❝ s❛✉ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝✳ ❑❤✐ t❤✉❐t t♦➳♥ ♥❣õ♥❣ ❧➭♠ ✈✐Ư❝✱ t❛ ♣❤➯✐ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ✈✃♥ ➤Ị ➤➷t r❛✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ♠➠ t➯ tr➟♥ ➤➞② râ r➭♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➭② ✈× ỗ t ể ợ từ ệ ét ột sè s❛♥❣ sè ➤ø♥❣ tr➢í❝ ♥ã✱ ✈➭ sè ❝➳❝ sè ét ữ í ị ỗ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝➬♥ ♣❤➯✐ ①➳❝ ➤Þ♥❤✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝❤Ø râ ✈✐Ư❝ ❝➬♥ ❧➭♠✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ë tr➟♥ ỉ r rõ r ữ ệ ủ ỗ ữ ế tố ể tr t ò ①Ðt ➤Õ♥ tÝ♥❤ ❤✐Ư✉ q✉➯ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ❈ã r✃t ♥❤✐Ị✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ✈Ị ♠➷t ❧ý t❤✉②Õt ❧➭ ❦Õt t❤ó❝ s❛✉ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝✱ t✉② ♥❤✐➟♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ➤ã ❧➵✐ ✈➢ỵt q✉➳ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ủ ú t ì tế t ò ú ý ➤Õ♥ ❝➳✐ ❣ä✐ ❧➭ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝ã t❤Ĩ ➤♦ ❜➺♥❣ ❞✉♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❜é ♥❤í ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥✱ tø❝ ❧➭ ❝ñ❛ ♠➳② tÝ♥❤ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ĩ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ✈➭ ➤♦ ❜➺♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ tø❝ ❧➭ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♠➳② tÝ♥❤ ❧➭♠ ✈✐Ö❝✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❦❤✐ ♥ã✐ ➤Õ♥ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✱ t❛ ❧✉➠♥ ❧✉➠♥ ❤✐Ĩ✉ ❧➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ t❤ê✐ ❣✐❛♥✳ ✶✳✶✳✷ ➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ❉Ü ♥❤✐➟♥✱ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ❝đ❛ ♠➳② tÝ♥❤ ❦❤✐ ❝❤➵② ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ♥➭♦ ➤ã ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ♠➭ ❝ß♥ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ♠➳② tÝ♥❤ sư ❞ơ♥❣ ➤Ĩ ❝❤➵② t❤✉❐t t♦➳♥ ➤ã✳ ❱× t❤Õ✱ ➤Ó ❝ã ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤✉♥❣✱ t❛ sÏ ➤♦ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❜➺♥❣ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ♣❤➯✐ ❧➭♠ ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ❑❤✐ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❝ï♥❣ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥✱ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ♣❤➯✐ ❧➭♠ ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❝ß♥ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝ì ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✱ tø❝ ❧➭ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ➤é ❧í♥ ❝đ❛ ➤➬✉ ✈➭♦✳ ❱× t❤Õ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ sÏ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❝đ❛ ➤é ❧í♥ ❝đ❛ ➤➬✉ ✈➭♦✳ ❚r♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤ù❝ t✐Ơ♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ ❜✐Õt ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❤➭♠ ♥➭②✱ ♠➭ ❝❤Ø ❝➬♥ ❜✐Õt ❝ì ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✱ tø❝ ❧➭ ❝➬♥ ❝ã ♠ét ➢í❝ ❧➢ỵ♥❣ ➤đ tèt ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✳ ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❑❤✐ ❧➭♠ ✈✐Ư❝✱ ♠➳② tÝ♥❤ t❤➢ê♥❣ ❣❤✐ ❝➳❝ ❝❤÷ sè ❜➺♥❣ ♥❤÷♥❣ ❜ã♥❣ ➤❒♥ t➽t✿ ❜ã♥❣ ➤❒♥ s➳♥❣ ❝❤Ø sè ❞ï♥❣ ❤Ö ➤Õ♠ ❝➡ sè ❤✐Ư✉ ✵ ✈➭ ❞✐Ơ♥ ❜ë✐ 1✳ k 2✱ 0✳ ❜ã♥❣ ➤❒♥ t➽t ❝❤Ø sè ❱× t❤Õ t❤✉❐♥ t✐Ư♥ ♥❤✃t ❧➭ tr♦♥❣ ➤ã ➤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♠ét sè✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❞ï♥❣ ❤❛✐ ❦Ý ▼ét ❦Ý ❤✐Ư✉ ❝❤÷ sè 1✱ s➳♥❣✱ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ữ số ợ ọ số k ✲❜Ýt✳ ♠ô❝ t✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ sÏ t❤✃② r➺♥❣ sè tù ♥❤✐➟♥ ▼ét sè ♥❣✉②➟♥ n ❜✐Ĩ✉ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ✈➭ ❝➳❝ n sÏ ❧➭ ♠ét sè k ✲❜Ýt ✈í✐ k = [log2 n] ✭❞✃✉ ❬ ❪ ❧➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ♣❤➬♥ ♥❣✉②➟♥ ❝ñ❛ ♠ét sè✮✳ ➜é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ ➤♦ ❜➺♥❣ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜Ýt✳ P❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜Ýt ❧➭ ♠ét ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❧➠❣✐❝ ❤❛② sè ❤ä❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ tr➟♥ ❝➳❝ sè ♠ét ❜Ýt ✈➭ ➜Ĩ ➢í❝ ❧➢ỵ♥❣ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ t❛ ❞ï♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❜❐❝ ❖✲❧í♥✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✿ ●✐➯ sư f (n) ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ♥ã✐ f = O(g)✱ ✈➭ f (n) g(n) ị tr t ợ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❝ã ❜❐❝ ❖ ❧í♥ ❝đ❛ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè C > 0✱ g(n) ✈➭ ✈✐Õt s❛♦ ❝❤♦ n f (n) = O(g(n)) ➤đ ❧í♥✱ ❝➳❝ ❤➭♠ ❤♦➷❝ f (n) ✈➭ g(n) ➤Ò✉ ❞➢➡♥❣✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ f (n) < C.g(n)✳ ❱Ý ❞ô✿ ❈❤♦ f (n) = ni + ai−1 ni−1 + + a1 n + a0 ✱ tr♦♥❣ ➤ã > 0✳ ❑❤✐ ➤ã f (n) = O(ni )✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣✿ ◆Õ✉ f1 (n) = O(g(n)), f2 (n) = O(g(n)) t❤× f1 (n) + f2 (n) = O(g(n))❀ ✈➭ ♥Õ✉ f1 (n) = O(g1 (n)), f2 (n) = O(g1 (n)) t❤× (f1 f2 )(n) = O(g1 g1 (n))✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❤÷✉ ❤➵♥ f (n) n g(n) lim tì ị ♥❣❤Ü❛ ✷✿ ▼ét t❤✉❐t t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝ã ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ➤❛ t❤ø❝ ❤♦➷❝ ❝ã t❤ê✐ ❣✐❛♥ ➤❛ t❤ø❝✱ ♥Õ✉ sè ❝➳❝ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❝➬♥ t❤✐Õt ❦❤✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ ✈➢ỵt q✉➳ O(log d n)✱ tr♦♥❣ ➤ã✱ n ❧➭ ➤é ❧í♥ ❝đ❛ ➤➬✉ ✈➭♦ ✈➭ ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên d ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥➭♦ http://www.Lrc-tnu.edu.vn [❃ ✈❜r♦ ✿❂ ((vbma[1])&∧ (−keyprv[1])) (mod p) ∗ (vbma[2]) ♠♦❞ ♣❀ ✈❜r♦ ✿❂ ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✶✷✷✸✸✸✹✹✹✹✺✺✺✺✺✻✻✻✻✻✻✼✼✼✼✼✼✼✽✽✽✽✽✽✽✽✾✾✾✾✳ ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ❍Ö ♠➲ ♥➭② r✃t ❛♥ t♦➭♥ ✭❝❤ó ý ❦❤➠♥❣ ➤Ĩ ❧é t❤❛♠ sè s✮ ý t➢ë♥❣ ❝đ❛ ❤➟ ♠➲ ❊❧●❛♠❛❧ ❧➭ r✃t tỉ♥❣ q✉➳t✳ ◆ã ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ ❝❤♦ ❤Ư ♠➲ sư ❞ơ♥❣ ❤➭♠ ♠ị✱ ❤➭♠ ♠ét ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ✈➭✐ ❤Ư ❦❤➳❝✳ ▼ét ♥Ðt ❝❤✉♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ❤Ö ♠➲ tr➟♥ ❧➭ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝➠♥❣ ❜è ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♠ét ♣❤➬♥ t❤➠♥❣ t✐♥ ♣❤ơ❝ ✈ơ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ❧❐♣ ♠➲ ỗ trợ ệ tr ổ ì ố tờ t❤✃② ë ❝➳❝ ❤Ư ♠➲ ➤è✐ ①ø♥❣✳ ➛✉ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❤Ö ♠➲ ♥➭② ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã t❤➠♥❣ t✐♥ ❦❤➳❝ t❤✉é❝ ❧♦➵✐ ✧❜Ý ♠❐t ❝❤✉♥❣✧ ❝➬♥ ♣❤➯✐ ❣ö✐✳ ➜➞② ❧➭ ♠➠ ì ợ t trể tệ ❝ã t➟♥ ❣ä✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ♠➲ ❤♦➳ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✳ ◆❣✉②➟♥ t➽❝ ❝❤✉♥❣ ❝đ❛ ♠➲ ❤ã❛ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ●✐➯ sư tr♦♥❣ ❤Ư t❤è♥❣ ➤❛♥❣ ①Ðt ❝ã n tể ù tr ổ t t t ỗ ❝➳ t❤Ĩ ❝❤ä♥ ❝❤♦ ♠×♥❤ ♠ét ❝❤×❛ ❦❤♦➳ ❧❐♣ ♠➲ ♠➲ ❤♦➳ Ek ➤➢ỵ❝ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✳ ◆❤➢ ✈❐② ❝ã k ✈➭ ♠ét ❝➠♥❣ t❤ø❝ n ❦❤♦➳ ❧❐♣ ♠➲ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ k1 , k2 , , kn ✳ ❑❤✐ ❝➳ t❤Ĩ t❤ø i ♠✉è♥ ❣ư✐ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ❝❤♦ ❝➳ t❤Ó t❤ø j ✭➤➲ ❝❤✉②Ó♥ t❤➭♥❤ sè✱ ♥❤ã♠ t❤➭♥❤ tõ♥❣ ố ó ộ ó ỗ ố ✈➝♥ ❜➯♥ ➤➢ỵ❝ ♠➲ ❤♦➳ ❜➺♥❣ ❦❤♦➳ ❧❐♣ ♠➲ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✮ ✈➭ ❣ư✐ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ❝đ❛ ❝➳ t❤Ĩ t❤ø j tr♦♥❣ ✭ ➤➲ t❤➠♥❣ ❜➳♦ C = Ekj (P )✳ ➜Ó ❣✐➯✐ ♠➲ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ♥➭②✱ ❝➳ t❤Ó t❤ø r✐➟♥❣ ❝đ❛ ♠×♥❤✮ Ekj P j ❝❤Ø ❝➬♥ ❞ï♥❣ ❦❤♦➳ ❣✐➯✐ ♠➲ ✭❜Ý ♠❐t Dkj ✳ Dkj (C) = Dkj Ekj (P ) = P ✳ ❱× Dkj ✈➭ Ekj ❧➭ ❝➳❝ ❦❤♦➳ ❧❐♣ ♠➲ ✈➭ ❣✐➯✐ ♠➲ ❝ñ❛ ❝ï♥❣ ♠ét ❝➳ t❤Ĩ t❤ø j✳ ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ▼➲ ❤♦➳ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ sư ❞ơ♥❣ ❤❛✐ ❝❤×❛ ❦❤♦➳ ❦❤➳❝ ❜✐Ưt t❤ù❝ sù ❝❤♦ ❤❛✐ ❝➠♥❣ ✈✐Ö❝ ❧❐♣ ♠➲ ✈➭ ❣✐➯✐ ♠➲✳ ỗ ỉ ữ í ì ò ì ợ t ❦❤❛✐ ✭➤Ĩ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ❦❤➳❝ ❝ã t❤Ĩ ♠➲ ❤♦➳ ❜➯♥ t✐♥ ♠❐t ❣ư✐ ❝❤♦ ♠×♥❤✮✳ ➜✐Ị✉ t❤❡♥ ❝❤èt ❧➭ tõ ❝❤×❛ ❦❤♦➳ ❧❐♣ ♠➲ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ t×♠ r❛ ❝❤×❛ ❦❤♦➳ ❣✐➯✐ ♠➲ ✭♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ❜✐Õt t❤➠♥❣ t✐♥ ➤➷❝ ❜✐Ưt ♥➭♦ ❦❤➳❝✮✳ ❘â r➭♥❣ ✈í✐ ❝➡ ❝❤Õ ♥➭②✱ ✈✐Ư❝ ❜➯♦ ♠❐t t❤➠♥❣ ✸✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn t✐♥ trë ♥➟♥ rÔ r ỗ ỉ ệ ữ í t ủ í ì t trì ợ ụ t❤Ĩ ❤♦➳ ❜➺♥❣ ❤Ư ♠➲ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t ♠✐♥❤ ♥➝♠ ✶✾✼✽ ❜ë✐ ❘✐✈❡st✱ ❙❤❛♠✐r ✈➭ ❆❞❧❡♠❛♥ ♠❛♥❣ t➟♥ ❘❙❆✳ ✷✳✷✳✹ ❍Ö ♠➲ ❘❙❆ ◆❣✉②➟♥ t➽❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❈❤ä♥ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧í♥ ❚Ý♥❤ p ✈➭ q ✭❝ã ➤é ❞➭✐ ❝ì ✶✺✵ ❝❤÷ sè t❤❐♣ ♣❤➞♥✮✳ n = p.q ✱ ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)✱ (e, ϕ(n)) = 1✱ d = e−1 (mod ϕ(n)) ❈➷♣ sè (e, n) ợ ù ể ò ọ ì ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✮✳ ◗✉② tr×♥❤ ❧❐♣ ♠➲ ❜➯♥ t✐♥ P✱ s❛✉ ❦❤✐ ➤➲ sè ❤♦➳✱ ➤➢ỵ❝ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❜➺♥❣ ❝➠♥❣ C ≡ P e (mod n)✳ t❤ø❝✿ ❈➷♣ sè (d, n) ù ể ò ọ ì ❜Ý ♠❐t✮✳ ◆❤ê ❤Ư qđ❛ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ❊✉❧❡r✱ t❛ ó q trì ợ tự ệ t t❤ø❝✿ P ≡ C d (mod n) ✭✈× e.d ≡ (mod ϕ(n))✱ C d ≡ (P e )d ≡ P de ≡ P (mod n)✱ t❤❡♦ ❤Ư qđ❛ ✭✶✳✷✳✹✳✷✮✳ ❱Ý ❞ơ✿ ✭❉ï♥❣ ▼❛♣❧❡ ➤Ĩ ❣✐➯✐ ♠➲✮✳ [❃♣✿❂♥❡①t♣r✐♠❡✭✶✸✹✼✽✷✸✼✽✹✼✽✷✸✹✼✽✷✸✼✽✹✹✽✷✸✽✹✺✽✶✶✶✷✽✾✹✽✺✹✸✼✽✺✼✽ ✸✹✺✸✹✼✽✺✼✽✸✹✸✷✸✹✹✶✶✶✹✺✼✽✹✸✺✸✹✼✽✺✼✽✸✹✸✹✻✸✻✹✸✹✺✼✾✽✼✺✺✹✷✼✶✼✼✼✶✶ ✶✺✹✸✷✷✼✽✾✾✽✼✻✷✸✹✺✻✶✶✶✼✼✾✶✮✿ [❃ q ✿❂ ♥❡①t♣r✐♠❡✭✶✾✾✾✸✸✸✶✸✹✺✽✸✹✼✽✺✸✹✼✽✺✷✸✹✼✽✷✸✹✼✽✷✸✼✽✹✼✽✷✸✼✽✹ ✷✸✼✽✼✽✹✺✸✹✼✽✺✼✽✸✸✼✷✺✼✽✸✹✺✼✹✼✽✺✺✹✼✺✹✺✼✽✶✼✼✻✼✺✻✺✹✸✸✸✹✺✹✹✺✻✻✻✻✽ ✼✻✺✹✸✷✶✶✶✶✼✻✮✿ [❃ ♥ ✿❂ ♣✯q✿ [❃ ❡ ✿❂ ♥❡①t♣r✐♠❡✭✾✽✸✷✹✼✽✷✸✹✼✽✸✷✸✶✷✹✶✹✶✶✶✸✽✷✸✽✽✹✺✼✽✹✼✸✷✹✽✷✸✽✹✼✽ ✷✸✹✸✷✸✹✷✸✹✼✸✽✷✹✼✽✷✸✹✼✷✹✸✹✼✽✷✸✼✽✹✼✽✸✹✼✽✺✼✽✹✺✼✽✸✶✶✶✶✸✷✹✼✽✷✸✼✽✹ ✼✽✹✼✼✸✹✼✸✼✾✾✸✻✾✻✼✽✾✵✾✵✵✵✷✻✻✷✻✻✹✸✸✶✶✼✮✿ [❃ ❞ ✿❂ e ♠♦❞ ✭♣✲✶✮✯✭q✲✶✮✿ [❃ ✈❜♠❛t ✿❂✶✸✺✸✸✵✾✸✷✼✻✽✶✾✾✾✸✾✸✽✷✼✺✵✺✷✶✼✻✷✼✻✸✻✸✼✵✼✻✽✽✶✺✸✷✾✹✸✶ ✸✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✽✽✵✽✶✷✾✷✽✸✶✽✷✸✻✼✷✸✾✽✹✾✾✶✾✽✼✹✻✽✸✺✷✹✸✺✹✷✺✸✼✷✹✺✶✽✾✶✹✺✸✾✼✷✶✽✽✻✷✶ ✻✹✸✸✸✹✾✺✼✽✸✺✻✺✸✸✶✵✼✽✵✺✹✻✵✶✸✶✾✵✼✵✵✹✻✼✵✹✾✽✷✻✵✶✸✼✻✺✽✻✾✺✷✽✼✺✽✸✺✵ ✶✸✵✷✷✶✾✻✵✼✷✸✹✷✵✸✽✼✻✽✶✽✷✺✶✸✵✶✻✸✸✷✺✸✽✸✶✸✷✸✵✾✾✾✻✺✾✵✸✶✽✸✶✵✺✼✾✼✹✸ ✵✹✵✹✹✸✹✶✻✵✹✹✻✻✽✻✹✳ ●✐➯✐ ♠➲ ❝➞✉ tr➟♥ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ [❃ ✈❜♠❛t♠❛ ✿❂ ✈❜♠❛t❀ ✶✸✺✸✸✵✾✸✷✼✻✽✶✾✾✾✸✾✸✽✷✼✺✵✺✷✶✼✻✷✼✻✸✻✸✼✵✼✻✽✽✶✺✸✷✾✹✸✶✽✽✵✽✶✷✾✷✽ ✸✶✽✷✸✻✼✷✸✾✽✹✾✾✶✾✽✼✹✻✽✸✺✷✹✸✺✹✷✺✸✼✷✹✺✶✽✾✶✹✺✸✾✼✷✶✽✽✻✷✶✻✹✸✸✸✹✾✺✼ ✽✸✺✻✺✸✸✶✵✼✽✵✺✹✻✵✶✸✶✾✵✼✵✵✹✻✼✵✹✾✽✷✻✵✶✸✼✻✺✽✻✾✺✷✽✼✺✽✸✺✵✶✸✵✷✷✶✾✻✵ ✼✷✸✹✷✵✸✽✼✻✽✶✽✷✺✶✸✵✶✻✸✸✷✺✸✽✸✶✸✷✸✵✾✾✾✻✺✾✵✸✶✽✸✶✵✺✼✾✼✹✸✵✹✵✹✹✸✹✶✻ ✵✹✹✻✻✽✻✹✳ [❃ ✈❜♠❛t♠❛s♦ ✿❂ ✈❜♠❛t♠❛&∧ ❞ ♠♦❞ ♥✿ ❤❡①str ✿❂ ❝♦♥✈❡rt✭✈❜♠❛t♠❛s♦✱ ❤❡①✱ ❞❡❝✐♠❛❧✮❀ ❤❡①❧✐st ✿❂ ❬s❡q✭s✉❜str✐♥❣✭❤❡①str✱ ✷✯✐✲✶ ✳✳ ✷✯✐✮✱✐ ❂ ✶ ✳✳ ✭✶✴✷✮✯❧❡♥❣t❤ ✭❤❡①str✮✮❪✿ ❞❡❝❧✐st ✿❂ ❬s❡q✭❝♦♥✈❡rt✭❤❡①❧✐st❬✐❪✱ ❞❡❝✐♠❛❧✱ ❤❡①✮✱ ✐ ❂ ✶ ✳✳ ♥♦♣s ✭❤❡①❧✐st✮✮❪✿ ✈❜❣✐❛✐♠❛ ✿❂ ❝♦♥✈❡rt✭❝♦♥✈❡rt✭❝♦♥✈❡rt✭❞❡❝❧✐st✱ ❧✐st✮✱ ❜②t❡s✮✱ ♥❛♠❡✮❀ ✈❜❣✐❛✐♠❛✿❂ ❊♠ ①✐♥ ❝❤❛♥ t❤❛♥❤ ❝❛♠ ♦♥✱ ❝❛❝ t❤❛② ❝♦ ❞❛ ✈❡ ❞✉ ❧❡ ❜❛♦ ✈❡ ❧✉❛♥ ✈❛♥ ♥❛②✳ ➜é ❆♥ t♦➭♥ ◆❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ó ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ❦❤♦➳ ❧❐♣ ♠➲ ❣✐➯✐ ♠➲ t×♠ r❛ ❤➭♠ (d, n) d✱ ❤❛✐ sè p✱ q ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ♣❤➳t ❤✐Ư♥✳ ❇ë✐ ì ể ó ợ t ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝đ❛ ϕ(n)✱ (e, n) ♠➭ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ②➟♥ t➞♠ ❧➭ ❦❤ã❛ e t❛ ♣❤➯✐ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❤❡♦ n ỡ ữ số tì modulo (n) ố tì ợ r từ số tố n = p.q (n = p.q)✳ ◆Õ✉ t❛ ❝❤ä♥ sÏ ❝ã ❦❤♦➯♥❣ ✷✵✵ ❝❤÷ sè✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ➤Ĩ n✱ t❛ ❝➬♥ ✈➭✐ tû ♥➝♠✳ ❙ù ①✉✃t ❤✐Ư♥ ❤Ư ♠➲ ❘❙❆ ❝ã t❤Ĩ ①❡♠ ❧➭ ♠ét ❝✉é❝ ✧❝➳❝❤ ♠➵♥❣✧ tr♦♥❣ ❜➯♦ ♠❐t t❤➠♥❣ t✐♥✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❘✐✈❡st✱ ❙❤❛♠✐r ✈➭ ❆❞❧❡♠❛♥✱ ❝➠♥❣ ❜è ♣❤➳t ♠✐♥❤ ✈Ị ❤Ư ♠➲ ➤➲ ♥➟✉✱ t➵♣ ❝❤Ý ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ ❆♠❡r✐❝❛♥ ➤➢❛ r❛ ❧ê✐ t❤➳❝❤ t❤ø❝ ❣✐➯✐ ♠➲ ♠➮✉ t✐♥ ♥❤á ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♠➲ ❤♦➳ ✈í✐✿ ✸✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ♥ ❂ ✶✶✹✸✽✶✻✷✺✼✺✼✽✽✽✽✻✼✻✻✾✷✸✺✼✼✾✾✼✻✶✹✻✻✶✷✵✶✵✷✶✽✷✾✻✼✷✶✷✹✷✸✻✷✺ ✻✷✺✻✶✽✹✷✾✸✺✼✵✻✾✸✺✷✹✺✼✸✸✽✾✼✽✸✵✺✾✼✶✷✸✺✻✸✾✺✽✼✵✺✵✺✽✾✽✾✵✼✺✶✹✼✺✾✾✷ ✾✵✵✷✻✽✼✾✺✹✸✺✹✶✳ ❡ ❂ ✾✵✵✼✳ ▼➮✉ t✐♥ ✧❢✐rst s♦❧✈❡r ✇✐♥s ♦♥❡ ❤✉♥❞r❡❞ ❞♦❧❧❛s✧ ✭◆❣➢ê✐ ❣✐➯✐ ➤➬✉ t✐➟♥ sÏ t❤➽♥❣ ✶✵✵ ❯❙❉✮ ①✉✃t ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ❞➵♥❣ ♠➲ ❤♦➳ ✭✈í✐ ♣❤Ð♣ ✧sè ❤♦➳✧ t❤❡♦ t➢➡♥❣ ø♥❣ a = 01, b = 02, c = 03, ✮ ♥➝♠✦✮✱ ❜➺♥❣ ♠ét ❝è ❣➽♥❣ sư ❞ơ♥❣ tỉ♥❣ ❧ù❝ ♠❛♥❣ tÝ♥❤ q✉è❝ tÕ q✉❛ ✐♥t❡r♥❡t ✈í✐ ✈✐Ư❝ ✶✻✵✵ ✇♦r❦st❛t✐♦♥s✱ ♠❛✐♥❢r❛♠❡s✱ ✽ t❤➳♥❣ ❧✐➟♥ tơ❝ ✷✳✸ ❝❤Ø ➤➢ỵ❝ ❣✐➯✐ ♠➲ ✈➭♦ ♥❣➭② ✷✻✴✹✴✶✾✾✹ ✭s❛✉ ✶✻ ✈➭ s✉♣❡r❝♦♠♣✉t❡rs t✃♥ ❝➠♥❣ tr♦♥❣ ➤Ó ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥➟✉ tr➟♥ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ P❤➞♥ tÝ❝❤ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❍Ö ♠➲ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ❘❙❆ ➤❛♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➳❝❤ t❤ø❝ ❧í♥ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t❤➳♠ ♠➲✳ ❈➳✐ ❦❤ã ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ➤➲ ➤➯♠ ❜➯♦ ❝❤♦ sù ❛♥ t♦➭♥ ❝đ❛ ❤Ư ♠➲ ♥➭②✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ♥Õ✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè p✱ q ♠➭ n = p.q r➡✐ ột số trờ ợ ệt tì ó tể ó ữ tt t ữ ệ tí ợ n s❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ô✳ ✷✳✸✳✶ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t ✈➭ ♠ë ré♥❣ ❝đ❛ ♥ã P❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t ▼Ư♥❤ ➤Ị ✿ ●✐➯ sư n ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❧❰✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✶✲✶ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ n ❞➢í✐ ❞➵♥❣ n = a.b, a ≥ b > ✈➭ ❝➳❝❤ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ n ❞➢í✐ ❞➵♥❣ n = t2 − s2 ✱ tr♦♥❣ ➤ã t✱ ✈➭ s ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ ❚➢➡♥❣ ø♥❣ tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐✿ t= a−b a+b ,s = ✱ a = t + s, b = t − s✳ 2 ✸✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✿ n = a.b✳ ❑❤✐ ➤ã✿ a−b a+b ) −( )✳ n = a.b = ( 2 a+b a−b 2 ➜➷t t = ,s = ✱ t❛ ➤➢ỵ❝ n = t − s ✳ 2 ●✐➯ sö t❛ ❝ã ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ n = t2 − s2 ✱ t❛ ❝ã ♣❤➞♥ tÝ❝❤ n = (t + s)(t − s)✳ ❚õ ♠Ư♥❤ ➤Ị tr➟♥ t❛ ❝ã t❤✉❐t t♦➳♥✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✿ √ ✶✳❳Ðt n ✷✳ ❑✐Ó♠ tr❛ ✳◆Õ✉ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❜Ð ♥❤✃t ❧í♥ ❤➡♥ ❤❛② ❜➺♥❣ √ √ n n √ n n − n ❝ã ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣❄ −n − n ❧➭ ♥❣✉②➟♥ ✈í✐ ❦❤➠♥❣ ♥❣✉②➟♥ t❤× q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✶ ✈➭ t➝♥❣ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❝➝♥✳ ✳◆Õ✉ √ √ n − n = m t❤× ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ ❜➢í❝ ✸✳ ✸✳ n = l2 − m2 = (l + m)(l − m) = p.q ✈í✐ p = l + m, q = l − m, l = √ n ✳ ❱Ý ❉ô✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥ ❂ ✸✷✷✽✺✺✶ ❚❛ ❝ã✿ ❉♦ √ √ n = 3228551 ≈ 1796, 81; n = 1797 √ √ √ n − n = 17972 − 322851 = 158 ❦❤➠♥❣ √ tÝ♥❤ t✐Õ♣✳ ( √ n + 1)2 − n = tÝ♥❤ t✐Õ♣✳ ( √ n + 2)2 − n = ❧➵✐ tÝ♥❤ t✐Õ♣✳ ( √ n + 3)2 − n = √ 17982 − 3228551 = √ √ √ 17992 − 3228551 = 18002 − 3228551 = 4253 ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣✉②➟♥ t❛ ❧➵✐ √ √ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥ t❛ 7850 ✈➱♥ ❦❤➠♥❣ ♥❣✉②➟♥ t❛ 11449 = 107✳ ❱❐② ✸✷✷✽✺✺✶ ❂ ✭✶✽✵✵✲✶✵✼✮✭✶✽✵✵✰✶✵✼✮ ❂ ✶✻✾✸✳✶✾✵✼ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t ♠ë ré♥❣ ◆Õ✉ t❛ t❤✃② ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t tì ợ S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên √ n −n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ http://www.Lrc-tnu.edu.vn tr♦♥❣ ♠ét sè ❜➢í❝ ❤÷✉ ❤➵♥ ó ủ t tì ợ n −n ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ ♥ t❤× t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ sè ♥❣✉②➟♥ ❦ ♥➭♦ ➤ã ✈➭ t❤ö ❧✐➟♥ t✐Õ♣✳ ( kn + i)2 − kn ✭✈í✐ ✐❂ ✵✱ ✶ ✱ ) ❝❤♦ tí✐ ❦❤✐ ♥➭♦ t×♠ r❛ ❦Õt q✉➯ ( kn + i)2 − kn ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✳ ❱Ý ❞ô✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè n ❂ ✷✽✷✶✸✸ ❚❛ ❝ã √ n = √ 282133 = 532 ◆Õ✉ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ✺✸✷✱ t❤× s❛✉ √ 6132 − 282133 = √ ✽✷ ❜➢í❝ t❛ ♠í✐ ➤Õ♥ ➤➢ỵ❝ ❦Õt q✉➯ 93636 = 306 ✳❚õ ➤ã s✉② r❛ ✷✽✷✶✸✸ ❂ ✸✵✼✳✾✶✾ √ √ ◆❤➢♥❣ ♥Õ✉ ①✃t ♣❤➳t tõ 3n = 3.282133 = 920 ✈➭ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ t❤ö 920 + i − 3.282133 t❤× ♥❣❛② ❜➢í❝ ➤➬✉ ✈í✐ ✐ ❂ ✵ t❛ ➤➢ỵ❝✿ (920 + 0)2 − 3.282133 = ❙✉② r❛ 3n = 3.282133 = 9202 − = (920 + 1)(920 − 1) = 921.919 = 3.307.919 ❱❐② n = 282133 = 307.919 ✭P❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t ♠ë ré♥❣ ❝❤♦ ❦Õt q✉➯ ♥❤❛♥❤ ♥❤✃t ✈× 919 ≈ 3.307✱ ❤❛② p ≈ kq) ✳ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t ❞ï♥❣ ❝➡ së ét r ế tì ợ l − n = m2 √ n −n = √ l2 − n = m ❧➭ sè ❝❤Ý♥❤ t tì ợ số l, m s l2 ≡ m2 (mod n)✱ t❤× t❛ ❝ã t❤Ĩ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ n✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã ✳ (l + m)(l − m)✳✳n✱ t❤× t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ tÝ♥❤ ♥➟♥ ♥Õ✉ (l ± m) ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ n (l + m, n), (l − m, n) ➤Ĩ t×♠ ❝➳❝ ➢í❝ sè ❝đ❛ n✳ ❱Ý ❞ơ✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥ ❂ ✶✶✹✼✳ ❚❛ ❝ã ⇒ 682 ≡ 62 (mod 1147) ✳ (68 − 6)(68 + 6)✳✳1147 ❚❛ tÝ♥❤ (68 + 6, 1147) = 37, (68 − 6, 1147) = 31✳ ◆❤➢ ✈❐② ✶✶✹✼ ❂ ✸✼✳✸✶ ❈➞✉ ❤á✐✿ ▲➭♠ t❤Õ ♥➭♦ ➤Ó tì ợ số ứ ✸✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❧➭♠ http://www.Lrc-tnu.edu.vn s❛♦ t×♠ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ sè b ✈➭ c s❛♦ ❝❤♦ b2 ≡ c2 (mod n)❄ ❨ t➢ë♥❣ ➤Ĩ ❣✐➯✐ q✉②Õt ✈✃♥ ➤Ị ➤ã ♥❤➢ s❛✉✳ ❚×♠ ♥❤✐Ị✉ sè bi s❛♦ ❝❤♦ b2i (mod n) ❧➭ tÝ❝❤ ❝➳❝ ❧✉ü t❤õ❛ ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ tÝ❝❤ ♠ét sè b2i ♥➭♦ ➤ã ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ ♠ét sè ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ modulo n✳ ➜Ĩ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ✈✐Ư❝ ➤ã✱ t❛ ➤➢❛ ✈➭♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ▼ét ❝➡ së ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ trõ r❛ ✈í✐ n p1 B = {p1 , p2 , } ❝ã t❤Ó ❧➭ ✲✶✳ ▼ét sè ♥❣✉②➟♥ ➤➲ ❝❤♦✮ ♥Õ✉ t❤➷♥❣ ❞➢ t✉②Öt ➤è✐ ❜Ð ♥❤✃t tÝ❝❤ ❝➳❝ sè t❤✉é❝ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè b ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ B− b2 (mod n) sè ✭➜è✐ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt ♥❤➢ B ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✶✳ ▲✃② r❛ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥➭♦ ➤ã ❧➭♠ ❝➡ së ♣❤➞♥ tÝ❝❤ B = {p1 , p2 , }✳ ✷✳ ▲❐♣ ❜✐Ó✉ ➤å tÝ♥❤ ( i, li , ♣❤➞♥ tÝ❝❤✱ pi √ n + i)2 − n = c2 ✈í✐ i = 0, 1, ✭❣å♠ ❝➳❝ ❝ét ✮ rå✐ s❛✉ ➤ã ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❤❡♦ ❝➡ së ➤➲ ❝❤ä♥ ✭tr♦♥❣ ❜➯♥❣ sè ♥❤Þ ♣❤➞♥ ë ❝ét ♥➺♠ ❞➢í✐ ❝➳❝ sè tr♦♥❣ ❝➡ së ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➳❝ sè ♠ị tr♦♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤✱ ➤➢ỵ❝ rót ❣ä♥ t❤❡♦ modulo 2✮✳ ◆Õ✉ t➵✐ ❜➢í❝ ♥➭♦ ➤ã t❛ ❦❤➠♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✭tø❝ ❧➭ tr♦♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❝ã sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥➺♠ ♥❣♦➭✐ ❝➡ së ✮ t❤× ❝ø ✈✐Ư❝ ❜á q✉❛ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❜➢í❝ t✐Õ♣ t❤❡♦✳ ❑❤✐ ♥❤❐♥ t❤✃② ❝ã ➤đ ♥❤✐Ị✉ sè ➤➢ỵ❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❛ ❝❤ä♥ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❝➳❝ sè ❝ã tÝ❝❤ ❧➭ ♠ét sè ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭❚❐♣ ❝♦♥ ❧✃② ➤➢ỵ❝ ❧➭ t❐♣ ❧✃② t❤❡♦ ❜➯♥❣ ♥❤Þ ♣❤➞♥ ë ❝✉è✐ ❜✐Ĩ✉ ➤å ➤Ĩ ❧ä❝ r❛ t❐♣ ❝♦♥ ❝ã tæ♥❣ tõ♥❣ ❝ét ❧➭ ❝❤➼♥✳ ✸✳ ❚Ý♥❤ b2 ≡ c2 (mod n)✳ ❑✐Ó♠ tr❛ b ≡ ±c (mod n) ❦❤➠♥❣❄ ✳◆Õ✉ s❛✐ t❤× n = p.q ✈í✐ p = (b − c, n), q = (b + c, n)✳ ✳◆Õ✉ ➤ó♥❣ t❤× q✉❛② ✈Ị ❜➢í❝ ✶✱ ♠ë ré♥❣ ❜✐Ĩ✉ ➤å ✈➭ t×♠ t❐♣ ❝♦♥ ❦❤➳❝✳ ❱Ý ❞ơ✿ ♥ ❂ ✸✷✸✾ ❈❤ä♥ ❝➡ së ❣å♠ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á ❤➡♥ ✶✷❀ B = {2, 3, 5, 7, 11} ❀ √ n = √ 3239 = 56.9 = 57✳❚❛ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ➤å s❛✉✿ ✸✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✐ bi ✵ ✺✼ ✶ c2 = ( √ n + i)2 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ✶ ✸ ✺ ✼ ✶✶ ●❤✐ ❝❤ó ✶✵ ✷✳✺ ✶ ✵ ✶ ✵ ✵ ✭✶ mod2 ❂ ✶✮ ✺✽ ✶✷✺ 53 ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✭✸ mod2 ❂ ✶✮ ✷ ✺✾ ✷✹✷ 2.112 ✶ ✵ ✵ ✵ ✵ ✭✷ mod2 ❂ ✶✮ ✸ ✻✵ ✸✻✶ 361 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✹ ✻✶ ✹✽✷ ✷✳✷✹✶ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❚❛ ❝ã b2 = 572 582 592 = (57.58.59)2 = 1950542 c2 = 22 54 112 = (2.52 11)2 = 5502 ❉Ô t❤✃② 57.58.59 (mod n) = 714✳ 52 11 (mod n) = 550✳ ✈➭ 714 ≡ 550 (mod n) ♥➟♥ t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯✿ ♣ ❂ ✭✼✶✹ ✲ ✺✺✵✱ ♥✮ ❂ ✹✶ ⇒ ♥ ❂ ✹✶✳✼✾✳ ❱❐② ♥ ❂ ✹✶✳✼✾ ◆❤❐♥ ①Ðt✿ √ n + i)2 − n, i = 0, 1, 2, √ ❦❤➠♥❣ ➤❡♠ ❧➵✐ ❦Õt q✉➯ t❤× t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ tÝ♥❤ ✈í✐ ( 2n + i)2 − 2n, √ i = 0, 1, 2, ❤♦➷❝ ❧➭ ✿ ( 3n + i)2 − 3n, i = 0, 1, 2, ✈✳✈✳✳✳ ◆Õ✉ ✈✐Ö❝ tr✐Ĩ♥ ❦❤❛✐ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝➳❝ ➤➵✐ ❧➢ỵ♥❣ ( ❱Ý ❞ơ✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè n = 216449✳ ❈❤ä♥ ❝➡ së ❣å♠ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á ❤➡♥ ✶✾❀ √ n = 465.2 = 466✱ r ❂✶ ❦ ( ✵ √ √ B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}❀ 2n = 657.9 = 658✳ ❚❛ ❝ã ❜➯♥❣✿ r.n + k)2 − r.n ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ✶ ✸ ✺ ✼ ✶✶ ✶✸ ✶✾ 4662 − n 7.101 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✶ 4672 − n 23 5.41 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✷ 4682 − n 52 103 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✸ 4692 − n 23 439 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✹ 4702 − n 4451 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn r ❂ ✷ ✵ 6582 − 2n 2.3.11 ✶ ✶ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✶ 6592 − 2n 3.461 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✷ 6602 − 2n 2.7.193 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✸ 6612 − 2n 33 149 ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➠♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ✹ 6622 − 2n 2.35 11 ✶ ✶ ✵ ✼ ✶ ✵ ✵ ➜Õ♥ ➤➞② t❛ t❤✃② ❝ã ✷ ❤➭♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ tr♦♥❣ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ ❚❛ ❝ã r = ✭ø♥❣ ✈í✐ k = 0, 4✮t❤♦➯ ♠➲♥ b2 = 6582 6622 = (658.662)2 = 4355962 ✳ c2 = 22 36 112 = (2.33 11)2 = 5942 ✳ ❉Ô t❤✃② 658.662 (mod n) = 2698✳ 2.33 11 (mod n) = 594✳ ✈➭ 2698 ≡ 594 (mod n) ♥➟♥ t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯✿ ♣ ❂ ❣❝❞✭✷✻✾✽ ✲✺✾✹✱ ♥✮ ❂ ✷✻✸ ⇒ ♥ ❂ ✷✻✸✳✽✷✸✳ ❱❐② ♥ ❂ ✷✻✸✳✽✷✸ ✷✳✸✳✷ P❤➞♥ tÝ❝❤ sư ❞ơ♥❣ ❧✐➟♥ ♣❤➞♥ sè✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t❤ø ♥❤✃t ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ý t➢ë♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❋❡❝♠❛t s✉② ❞ï♥❣ ❝➡ së ❧➭ ✈í✐ ♥ ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✱ tì số ị ý b ✈➭ c s❛♦ ❝❤♦ b2 ≡ c2 (mod n)✳ ❚❤❡♦ t❛ ❝ã✿ b2k − nqk2 = (−1)k+1 Qk+1 ❙✉② r❛ b2k ≡ (−1)k+1 Qk+1 (mod n)✳ ❉♦ ➤ã✱ ♥Õ✉ tì ợ b2 c2 (mod n) t Qk+1 ✈í✐ ❝❤Ø sè ❝❤➼♥ ✈➭ ❧➭ ♠ét sè ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ c2 t❤× ❑❤✐ ➤ã ✳ (bk + c)(bk − c)✳✳ n✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ❝➳❝ ➢í❝ sè ❝❤✉♥❣ d1 = (bk + c, n) ✈➭ d2 = (bk − c, n) ❝ã ♥❤✐Ị✉ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ➢í❝ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ❝đ❛ n ✭ ❈ị♥❣ ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤➠♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ n✱ ✈× ❝➳❝ sè bk + c, bk − c ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❜Ð ❤➡♥ n✮✳ √ ❱Ý ❞ô ✶✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥ ❂ ✺✺✶✸✱ n = 74.2 = 74 ➤➢ỵ❝ ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝✱ t❛ ❝ã✿ Q1 = 37, ❙✉② r❛ Q2 = 1, b1 = 297 2972 − 12 = (297 + 1)(297 − 1) ≡ (mod n) ❚❛ tÝ♥❤ (297 − 1, n) = 37; (297 + 1, n) = 149 ❱❐② ♥ ❂ ✸✼✳✶✹✾ ❱Ý ❞ô ✷✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥ ❂ ✹✵✵✵✸ ❚❛ tÝ♥❤ ➤➢ỵ❝✿ ◆❤➢ ✈❐②✱ b3 Q1 = 3✱ Q2 = 134✱ Q3 = 253✱ Q4 = = 32 ≡ 32 (mod n)✱ ♥❤➢♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ➢í❝ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ t✐Õ♣✱ t❛ ➤➢ỵ❝✿ Q64 = 81✱ b63 = 15656849285514685583118479673478 ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➲ t tì ợ n = 367.109 ❚❤✉❐t t♦➳♥ t❤ø ❤❛✐ ❚❤❡♦ ❤Ö q✉➯ ✭✶✳✸✳✷✳✶✮ b2i (mod n) ❧✃② t❤❡♦ t❤➷♥❣ ❞➢ t✉②Öt ➤è✐ ❜Ð ♥❤✃t ❝ã ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ❜Ð ❤➡♥ √ n✳ ◆➟♥ ❦❤➯ ♥➝♥❣ sÏ ❝ã ♥❤✐Ò✉ bi s❛♦ ❝❤♦ b2i (mod n) ❧➭ tÝ❝❤ ❝➳❝ ❧✉ü t❤õ❛ ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á✱ tõ ➤ã t❛ ❝ã t❤✉❐t t♦➳♥✿ ✶✳ ▲✃② r❛ ♠ét t❐♣ sè ♥❣✉②➟♥ tè tõ −1 ➤Õ♥ 29 ❧➭♠ ❝➡ së ♣❤➞♥ tÝ❝❤✳ ✭ ❙è ✲✶ ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❣✐❛ ➤Ĩ ❜❛♦ ♥❤÷♥❣ sè ➞♠✮✳ ✷✳ ▲❐♣ ❜✐Ĩ✉ ➤å tÝ♥❤✿ ✳❚Ý♥❤ Ck = [a0 ; a1 , ] = bi qi ✈➭ tÝ♥❤ b2i rå✐ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❤❡♦ ❝➡ së ✳❑❤✐ ♥❤❐♥ t❤✃② ❝ã ➤đ ♥❤✐Ị✉ sè ➤➢ỵ❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❛ ❝❤ä♥ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❝➳❝ sè ❝ã tÝ❝❤ ❧➭ ♠ét sè ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭t❐♣ ❧✃② ➤➢ỵ❝ ❧➭ t❐♣ ❧✃② t❤❡♦ ❜➯♥❣ ♥❤Þ ♣❤➞♥ ❝ã tỉ♥❣ tõ♥❣ ❝ét sè ♥❤Þ ♣❤➞♥ ❧➭ ❜➺♥❣ ✵ t❤❡♦ (mod 2)✮ ✸✳ ❚Ý♥❤ b2 ≡ c2 (mod n) ❑✐Ó♠ tr❛ ✳ ◆Õ✉ b ≡ ±c (mod n) ❦❤➠♥❣❄ b ≡ ±c (mod n) t❤× q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷ ❧➭♠ t✐Õ♣ ✈➭ t×♠ t❐♣ ❝♦♥ ❦❤➳❝✳ ✳ ◆Õ✉ b ≡ ±c (mod n) t❤× n = q.p ✈í✐ p = (b + c, n); q = (b − c, n)✳ ❱Ý ❞ô✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè n = 68779 ✳ ❚❛ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ r❛ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tơ❝ ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn √ 68779❂ ❬✷✻✷✱ ✸✱ ✶✱ ✼✱ ✶✱ ✶✱ ✷✱ ✶✱ ✹✱ ✸✱ ✶✱ ✶✱ ✷✱ ✸✱ ✺✱ ✶✱ ✶✱ ✷✱ ✳✳✳❪ ▲✐➟♥ ♣❤➞♥ sè ❇×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ 262 ≡ −135 −1.3 787 ≡ 358 2.179 1049 ≡ −63 −1.32 81302 ≡ 281 ♥❣✉②➟♥ tè 9179 ≡ −234 −1.2.32 13 173092 ≡ 157 ♥❣✉②➟♥ tè 437972 ≡ −322 −1.2.7.23 611062 ≡ 105 3.5.7 ❬✷✻✷❪❂✷✻✷ ❬✷✻✷✱✸❪❂✼✽✼✴✸ ❬✷✻✷✱✸✱✶❪❂✶✵✹✾✴✹ ❬✷✻✷✱✳✳✶✱✼❪❂✽✶✸✵✴✸✶ ❬✷✻✷✱✳✳✼✱✶❪❂✾✶✼✾✴✸✺ ❬✷✻✷✱✳✳✶✱✶❪❂✶✼✸✵✾✴✻✻ ✷✻✷✱✳✳✶✱✷❪❂✹✸✼✾✼✴✶✻✼ ❬✷✻✷✱✳✳✷✱✶❪❂✻✶✶✵✻✴✷✸✸ ❉ù❛ ✈➭♦ t❤✉❐t t♦➳♥ t❛ ♥❤➞♥ t❤❡♦ ✈Õ ❝➳❝ ❤➭♥❣ ✭✶✱ ✸✱ ✽✮ t❛ ❝ã✿ (262.1049.61106)2 ≡ (1.33 5.7)2 ✳ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ trù❝ t✐Õ♣ t❛ ❝ã 262.1049.61106 (mod 68779) ❂ 945, 1.33 5.7 (mod 68779) ❂ ✾✹✺✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ❧➵✐ q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✷ ▲✐➟♥ ♣❤➞♥ sè ❇×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ 288221 ≡ −138 −1.2.3.23 9257692 ≡ 261 32 29 12139902 ≡ −239 ♥❣✉②➟♥ tè 21397592 ≡ 182 2.7.13 5493508 ≡ −147 −1.3.72 186202832 ≡ 89 ♥❣✉②➟♥ tè 985949232 ≡ −282 −1.2.3.47 1172152062 ≡ 225 32 52 ❬✷✻✷✱✳✳✶✱✹❪❂✷✽✽✷✷✶✴✶✵✾✾ ❬✷✻✷✱✳✳✹✱✸❪❂✾✷✺✼✻✾✴✸✺✸✵ ❬✷✻✷✱✳✳✸✱✶❪❂✶✷✶✸✾✾✵✴✹✻✷✾ ❬✷✻✷✱✳✳✶✱✶❪❂✷✶✸✾✼✺✾✴✽✶✺✾ ❬✷✻✷✱✳✳✶✱✷❪❂✺✹✾✸✺✵✽✴✷✵✾✹✼ ❬✷✻✷✱✳✳✷✱✸❪❂✶✽✻✷✵✷✽✸✴✼✶✵✵✵ ✷✻✷✱✳✳✸✱✺❪❂✾✽✺✾✹✾✷✸✴✸✼✺✾✹✼ ❬✷✻✷✱✳✳✺✱✶❪❂✶✶✼✷✶✺✷✵✻✴✹✹✻✾✹✼ ❱➭ ➤Õ♥ ➤➞② t❛ ♥❤➞♥ t❤❡♦ ✈Õ ❝➳❝ ❤➭♥❣ ✭✶✱ ✸✱ ✺✱ ✼✱ ✽✮ ❝ò ✈➭ ❤➭♥❣ ✭✶✱ ✹✱ ✺✱ ✽✮ tr➟♥ ❜➯♥❣ ♠í✐ t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝✿ (262.1049.9179.43797.61106.288221.2139759.5493508.117215206)2 ≡ (22 36 22 73 13.23)2 (mod n) ❇➞② ❣✐ê (262.1049.9179.43797.61106.288221.2139759.5493508.117215206)2 ≡ (19654) (mod n)✱ (22 36 22 73 13.23) ≡ (59221) (mod n) ✹✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ◆❤➢ ✈❐② t❛ ❝ã p = gcd(19654 − 59221, n) = 109 ✈➭ tõ ➤➞② s✉② r❛ ♥❣❛② q = n/109 = 631✳ ✷✳✸✳✸ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ P♦❧❧❛r❞ ●✐➯ sö t❛ ❝➬♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❜✐Õt✮ ❝ñ❛ n✳ ◆Õ✉ (p − 1) n ✈➭ p ❧➭ ♠ét ➢í❝ ♥❣✉②➟♥ tè ✭❝❤➢❛ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝➳❝ ➢í❝ ♥❣✉②➟♥ tè ❧í♥ t❤× t❤✉❐t t♦➳♥ s❛✉ ➤➞② tá r❛ r✃t ❤÷✉ ❤✐Ư✉✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✶✳ ❈❤ä♥ ♠ét sè k s❛♦ ❝❤♦ ♥ã ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ t✃t ❝➯ ❤♦➷❝ ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♥❤á ❤➡♥ ♠ét sè B ♥➭♦ ➤ã✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ k ❧➭ B!✱ ❤♦➷❝ k ❧➭ ❜é✐ ❝❤✉♥❣ B✳ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè tõ ✶ ➤Õ♥ ✷✳ ❈❤ä♥ ♠ét sè a tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ tõ ✷ ➤Õ♥ (n − 2)✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥ a = ❤♦➷❝ a = 3✱ ❤♦➷❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✳ ✸✳ ❚Ý♥❤ ak (mod n) ✭❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❧✐➟♥ t✐Õ♣✮✳ ✹✳ ❚Ý♥❤ (ak − 1, n) ✭❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞✮✳ ✺✳ ◆Õ✉ d = (ak − 1, n) ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♠ét ➢í❝ t❤ù❝ sù ❝đ❛ n✱ t❛ ❧➷♣ ❧➵✐ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥ ✈í✐ ♠ét sè a ❦❤➳❝✱ ❤♦➷❝ k ❦❤➳❝ ✭❤♦➷❝ ❝➯ a ✈➭ k ❦❤➳❝✮✳ ❑❤➯ ♥➝♥❣ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ❝đ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✿ ●✐➯ sư k ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ ❧➭ ➢í❝ ♥❣✉②➟♥ tè ❝đ❛ n s❛♦ ❝❤♦ (p − 1) ỗ từ số ề ỏ ị ý ❋❡r♠❛t✱ ak ≡ (mod p)✳ ➤Ĩ t❛ ❦❤➠♥❣ t×♠ ➤➢ỵ❝ ➢í❝ t❤ù❝ sù ❝đ❛ ✈➭ p ❧➭ tÝ❝❤ ❝➳❝ ❧✉ü t❤õ❛ ♥❣✉②➟♥ tè ❜Ð✱ B ✳ ❑❤✐ ➤ã k ❉♦ B✱ ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ p|(ak − 1, n)✱ (p − 1) ♥➟♥ t❤❡♦ ♥➟♥ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❞✉② ♥❤✃t n ❧➭ ak − ≡ (mod n) ❱Ý ❞ô ✶✿ P❤➞♥ tÝ❝❤ sè n = 199423✳ ❈❤ä♥ B = ✈➭ ❧✃② k = 9! = 362880, a = t tì ợ 3362880 mod n 96783 (96783 − 1, n) = 217 ❚õ ➤ã s✉② r❛ ✶✾✾✹✷✸ ❂ ✷✶✼✳✾✶✾ ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ❚❤ù❝ ❝❤✃t (p − 1) ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝đ❛ P♦❧❧❛r❞✱ ❧➭ ➤✐ t×♠ ♣❤➬♥ tư ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ♥❤ã♠ ♥❤➞♥ ✈í✐ sè ♠ị (Z/pZ)∗ ✱ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ♥➞♥❣ ❧➟♥ ❧✉ü t❤õ❛ ❝đ❛ ột số a trớ k ọ trớ ỗ ➢í❝ p ✭❝đ❛ n✮ ❝è ➤Þ♥❤✱ ♥❤ã♠ (Z/pZ)∗ ❝ị♥❣ ❝è ➤Þ♥❤✱ ♥➟♥ ♥Õ✉ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤ã ✭❦❤✐ p ❝❤➵② ❤Õt ❝➳❝ ➢í❝ ❝đ❛ n✮ ➤Ị✉ ❝ã ❜❐❝ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧í♥✱ ❤♦➷❝ ❧✉ü t❤õ❛ ✈í✐ sè ♠ị ❧í♥ ❝đ❛ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ t❤× (p − 1) ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝đ❛ P♦❧❧❛r❞ ❦❤➠♥❣ ❤✐Ư✉ q✉➯✳ ❱Ý ❞ơ ✷✿ ●✐➯ sư n = 445201✳ ❑❤✐ ➤ã ỉ ó tể tì ợ tố ủ ♣❤➳♣ tr➟♥✱ ♥Õ✉ ❝❤ä♥ ❚❤❐t ✈❐② ❞♦ n B ≥ 173 n t❤❡♦ ✭q✉➳ ❧í♥ ➤è✐ ✈í✐ ♠ét sè ❝ì ♥❤➢ n✮✳ ❂ ✸✹✼✳✷✽✸✶✱ ♠➭ ✸✹✼ ✲ ✶ ❂ ✷✳✶✼✸✱ ✶✷✽✸ ✲ ✶ ❂ ✷✳✻✹✶ ✈➭ ❝➯ ❤❛✐ sè ✶✼✸✱ ✻✹✶ ➤Ị✉ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❚❛ ❧❐♣ ♠ét t❤đ tụ s ể tì ột số ủ ợ số N✳ r❡st❛rt❀ ✇✐t❤ ✭♥✉♠t❤❡♦r②✮❀ ♣♦❧❧❛r❞ ✿❂ ♣r♦❝ ✭◆✱ ❇✱ ▼✮ ❧♦❝❛❧ i, a, b, k, d, ID❀ k := B!❀ r❛♥❞♦♠✐③❡✭✮❀ ■❉✿❂✶❀ ✇❤✐❧❡ tr✉❡ ❞♦ ✐❢ ✭■❉ ❂ ✶✮ t❤❡♥ ❛✿❂ ✷❀ ❡❧✐❢ ✭■❉ ❂ ✷✮ t❤❡♥ ❛✿❂✸❀ ❡❧s❡ ✇❤✐❧❡ tr✉❡ ❞♦ ❛✿❂ r❛♥❞✭✮❀ ❛✿❂ ❛ ♠♦❞ ◆❀ ✐❢ ❛> ❛♥❞ ❛< N − t❤❡♥ ❞✿❂ ❣❝❞✭❛✱◆✮❀ ✐❢✭d > 1✮ t❤❡♥ ❘❊❚❯❘◆✭❞✮❀ ❡❧s❡ ❜r❡❛❦❀ ❡♥❞ ✐❢❀ ❡♥❞ ✐❢❀ ❡♥❞ ❞♦❀ ❡♥❞ ✐❢❀ ✹✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❜✿❂ a&∧ k ♠♦❞ ◆❀ ❞✿❂ ❣❝❞(b − 1, N ) ♠♦❞ ◆❀ ✐❢ d > t❤❡♥ ❘❊❚❯❘◆✭❞✮ ❡♥❞ ✐❢❀ ■❉✿❂■❉✰✶❀ ✐❢ ID > M t❤❡♥ ❘❊❚❯❘◆✭✶✮ ❡♥❞ ✐❢❀ ❡♥❞ ❞♦❀ ố tì ột số ủ ợ sè N✱ ❜➺♥❣ (p − 1) ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ P♦❧❧❛r❞✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧Ö♥❤✿ ♣♦❧❧❛r❞ ✭◆✱ ❇✱ ▼✮❀ ❚r♦♥❣ ➤ã ▼ ❧➭ sè ❜➢í❝ ❧➷♣ ❝ã t❤Ĩ✳ ❱Ý ❞ơ ✸✿ ❚×♠ ♠ét ➢í❝ sè ❝đ❛ ◆ ✈í✐✿ ◆ ❂ ✶✷✷✸✸✸✹✹✹✹✺✺✺✺✺✻✻✻✻✻✻✼✼✼✼✼✼✽✽✽✽✽✽✽✽✾✾✾✾✾✾✾✾✾✶✷✸✹✺✻✼✽✾ ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✶ ♣♦❧❧❛r❞ ✭◆✱ ✶✶✱ ✸✮❀ ❚❛ ❝ã ♠ét ➢í❝ ❧➭ ✷✸✳ ✳◆Õ✉ ❝❤ä♥ ✳◆Õ✉ B < 11 t❤× t tì ợ ủ B 11 ữ trị tì t ó tể ợ t ữ ủ N ế ó ❤➵♥✱ ❝❤ä♥ ◆❤➢ ♥❤❐♥ ①Ðt ë tr➟♥ B = 6661 ➤➢ỵ❝ ➢í❝ ✽✽✽✺✼✾✼✳ (p − 1) ❦❤➠♥❣ ❝ã ➢í❝ ♥❣✉②➟♥ tè ❧í♥✱ tr♦♥❣ ➤ã p ❧➭ ♠ét ➢í❝ ♥❣✉②➟♥ tè ✭❝❤➢❛ ❜✐Õt✮ ❝đ❛ N✱ ♠➷❝ ❞ï ❝ì ❝đ❛ N ❝ã t❤Ĩ ❧í♥ ➤Õ♥ ✈➭✐ tr➝♠ ❝❤÷ sè tr♦♥❣ ❤Ư t❤❐♣✳ ✹✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬➜❪ P❤➵♠ ❍✉② ➜✐Ĩ♥ ✿ ❚Ý♥❤ t♦➳♥✱ ❧❐♣ tr×♥❤ ✈➭ ❣✐➯♥❣ ❞➵② t♦➳♥ ❤ä❝ tr➟♥ ▼❛♣❧❡✳ ◆❳❇ ❑❍ ✈➭ ❑❚ ❍➭ ♥é✐✱ ✷✵✵✷✳ ❬❑➜❪ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐ ✈➭ P❤➵♠ ❍✉② ➜✐Ó♥ ✿ ✈➭ tÝ♥❤ t♦➳♥ t❤ù❝ ❤➭♥❤✳ ❙è ❤ä❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ✲ ❈➡ së ❧ý t❤✉②Õt ◆❳❇ ➜❍◗● ❍➭ ♥é✐✱ ✷✵✵✸✳ ❬❑➜❪ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐ ✈➭ P❤➵♠ ❍✉② ➜✐Ó♥ ✿ ❤ä❝ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣✳ ❬❑✵✷❪ ◆✳ ❑♦❜❧✐③✳ ▼➲ ❤♦➳ t❤➠♥❣ t✐♥ ✲ ❈➡ së t♦➳♥ ◆❳❇ ➜❍◗● ❍➭ ♥é✐✱ ✷✵✵✹✳ ◆✉♠❜❡r t❤❡♦r② ❛♥❞ ❝r②♣t♦❣r❛♣❤②✳ ✹✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✷✵✵✷✳ http://www.Lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC **************** VŨ THỊ THANH HẬU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40... Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn... ✈➝♥ ❜➯♥ t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ❝❤÷ số ó t ộ t ỗ ữ số ợ t ứ ữ ữ ✈➭ sè✱ t❛ ❜✐Õ♥ ❜➯♥❣ ❝❤÷ sè ♠í✐ ♥➭② ✈Ị ữ ết t ợ ột ❜➯♥ ♠❐t ❝➬♥ ❝❤✉②Ĩ♥✳ ✷✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn