Một số ứng dụng tích phân của hàm một biến trong hình học và vật lý

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HỊA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên, Năm 2015 i Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Văn Ngọc, thầy tận tình hướng dẫn bảo cho em suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Khoa Học, thầy giáo, phịng chức trường tạo cho tác giả điều kiện tốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, bạn học viên lớp cao học toán K7b động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin bày tỏ biết ơn vô hạn cha mẹ, anh chị em người thân gia đình động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thu Hòa ii Mục lục Mở đầu Tích phân xác định 1.1 1.2 1.3 1.4 Tích phân xác định lớp hàm khả tích Riemann 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann Các tính chất tích phân xác định 1.2.1 Đẳng thức 1.2.2 Bất đẳng thức 1.2.3 Các định lý giá trị trung bình tích phân Tích phân xác định nguyên hàm 1.3.1 Tích phân xác định hàm theo cận 1.3.2 Nguyên hàm 10 Tính tốn biến đổi tích phân 1.4.1 1.5 11 Cơng thức Newton- Leibnitz Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ 11 1.4.2 Công thức tích phân phần 14 1.4.3 Đổi biến tích phân bất định 15 1.4.4 Đổi biến tích phân xác định 17 Tích phân suy rộng 18 1.5.1 Tích phân suy rộng loại 18 1.5.2 Tích phân suy rộng loại hai 24 Ứng dụng phép tính tích phân hình học 2.1 Tính diện tích hình phẳng 27 27 iii 2.2 2.3 2.4 2.1.1 Cơ sở lý thuyết 27 2.1.2 Các toán 28 Tính thể tích khối trịn xoay 32 2.2.1 Cơ sở lý thuyết 32 2.2.2 Các toán 32 Tính chiều dài đường cong phẳng 35 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 35 2.3.2 Các toán 36 Tính diện tích mặt cong 37 2.4.1 Cơ sở lý thuyết 37 2.4.2 Các toán 38 Ứng dụng phép tính tích phân Vật lý 3.1 40 Sơ đồ tổng quát ứng dụng tích phân giải tốn Vật lý 40 3.1.1 Khái quát chung 40 3.1.2 Lược đồ ứng dụng tích phân xác định 41 Moment trọng tâm 42 3.2.1 Moment tĩnh moment quán tính hệ điểm 42 3.2.2 Moment cung phẳng 42 3.2.3 Moment hình thang cong 43 3.2.4 Các toán 44 Ứng dụng tích phân tập điện 55 3.3.1 Cường độ điện trường 55 3.3.2 Điện trở 57 3.3.3 Từ trường 58 3.3.4 Điện xoay chiều 59 Một số vấn đề khác 60 3.4.1 Công 60 3.4.2 Lực-Áp suất 62 3.4.3 Phân hủy-Phóng xạ 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 3.2 3.3 3.4 Mở đầu Trong luận văn giải thích định nghĩa tích phân xác định hàm thực xác định khoảng compăc Ta có nhìn gần loại hàm lấy tích phân ta trình bày phân tích định tính hàm khả tích, theo cách xác so với tính tốn thơng thường Tích phân định nghĩa nghiên cứu biết đến với tên tích phân Riemann Cauchy (1823) miêu tả cách nghiệm ngặt tích phân hàm liên tục giới hạn tổng Riemann (1854), đơn phần bên ngồi luận án tiếng ơng chuỗi lượng giác, định nghĩa tích phân cho hàm tổng quát Trong phần miêu tả ngắn gọn lý thuyết tích phân Riemann mở rộng Bois-Reymond Darboux Lý thuyết tổng quát Lebesgue (1902) không khảo sát Trong định nghĩa tích phân xác định sử dụng tiếp cận tính diện tích hình phẳng tính khối lượng vật phẳng biết hàm mật độ khối Vì thế, tích phân xác định từ nội có ứng dụng Hình học Vật lý Ứng dụng tích phân hình học, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối trịn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tích mặt trịn xoay, v.v đề cập nhiều sách giáo khoa, sách chuyên khảo nâng cao, đề thi vào Đại học nhiều năm Vật lý học môn khoa học thực nghiệm, định luật, công thức Vật lý thường xây dựng biểu thức Toán học phù hợp với kết thực nghiệm Việc sử dụng Tốn học có hiệu việc giải toán Vật lý việc khó học sinh phổ thơng, kể học sinh khá, giỏi So với ứng dụng tích phân Hình học sơ cấp tài liệu giới thiệu ứng dụng tích phân giải toán Cơ học Vật lý sơ cấp chưa có nhiều sơ sài.Vì chọn đề tài ứng dụng tích phân Hình học, Cơ học Vật lý làm Luận văn Thạc sĩ Khoa học Theo biết, đề tài đề cập Luận văn Thạc sĩ Khoa học [5], năm 2011 Tuy nhiên tài liệu thấy trình bày lý thuyết tóm tắt tích phân Hình học Cơ học mà chưa thấy có tốn áp dụng, đặc biệt tốn khó toán vật lý sơ cấp Luận văn gồm có; Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương trình bày sở lý thuyết tích phân xác định Riemann Kiến thức chương tìm thấy tài liệu phép tính vi phân tích phân Chương trình bày ứng dụng phép tính tích phân Hình học Nội dung chương dựa nhiều tài liệu, đặc biêt tài liệu [1], [4] đề tuyển sinh Đại học nhiều năm Chương trình bày ứng dụng phép tính tích phân tốn vật lý Chương nội dung luận văn Mục 3.1 trình bày sơ đồ tổng quát áp dụng tích phân xác định vào tốn học vật lý Ngoài việc hiểu kiến thức cần thiết Vật lý phải biết Tốn học hóa tốn Vật lý, đưa vào biến cần thiết, xét hệ tọa độ thích hợp Vấn đề quan trọng ứng dụng phép tính tích phân trước hết phải biết vi phân đại lượng, sau dùng định luật Vật lý thiết lập đại lượng vi phân nguyên tố, sau tích phân đại lượng vi phân nguyên tố này, v.v Chương Tích phân xác định Chương trình bày sở lý thuyết tích phân xác định Riemann Kiến thức chương có thẻ tìm thấy tài liệu phép tính vi phân tích phân hàm biến, đặc biệt tài liệu [1], [4] 1.1 Tích phân xác định lớp hàm khả tích Riemann 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định • Một phân hoạch khoảng [a, b] thành khoảng tập hữu hạn điểm ∆ = {x0 , x1 , , xn }, a = x0 < x1 < · · · < xn = b Một phân hoạch ∆ [a, b] gọi làm mịn ∆ chứa tất điểm ∆, tức ∆ ⊃ ∆ • Giả sử f : [a, b] → R hàm tùy ý Nếu ∆ = {x0 , x1 , , xn }, phân hoạch [a, b], cách lựa chọn gắn với ∆ lớp hữu hạn ξ = (ξ1 , , ξn ) cho ξi−1 ≤ ξi ≤ ξi+1 với i = 1, , n Ta gắn với f, ∆ ξ tổng Riemann S(f ; ∆, ξ) xác định n f (ξi )(xi − xi−1 ) S(f ; ∆, ξ) = i=1 • Ta nói f khả tích Riemann [a, b] tồn số thực I với tính chất sau: với ε > 0, tồn phân hoạch ∆ [a, b] cho |S(f ; ∆, ξ) − I| < ε, với cách lựa chọn ξ gắn với ∆ Số I gọi tích b phân f [a, b] ký hiệu f (x)dx Như vậy, theo định nghĩa ta a có n b f (x)dx = a lim max ∆xi →0 ∆xi = xi − xi−1 f (ξi )∆xi , (1.1) i=1 Chú ý 1.1 Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào lựa chọn biến lấy tích phân: b b f (x)dx = a b f (y)dy = a f (t)dt, a 1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann • Nếu tích phân xác định [a, b] hàm f tồn tại, ta nói hàm f khả tích [a, b] Chúng ta có lớp hàm sau khả tích đoạn [a, b]: f(x) bị chặn đơn điệu [a, b], f(x) liên tục [a, b], f(x) liên tục khúc có số hữu hạn điểm gián đoạn đoạn [a, b] Đặc biệt, ta thay đổi giá trị hàm khả tích hữu hạn điểm, hàm số khả tích giá trị tích phân khơng thay đổi Hàm bị chặn khơng khả tích Để minh họa, xét hàm Dirichlet sau Ví dụ 1.1 Hàm Dirichlet xác định cơng thức  1 x ∈ Q f (x) = 0 x ∈ R\Q Chúng ta chứng tỏ hàm f khơng khả tích khoảng [a, b] Thật vậy, với phân hoạch ∆ = {x0 , x1 , , xn } [a, b], khoảng [xi−1 , xi ] chứa số hữu tỷ số vơ tỷ Do đó, tồn hai cách chọn ξ ξ gắn với ∆ cho S(f ; ∆, ξ) = b − a S(f ; ∆, ξ ) = Do đó, f khơng khả tích [a, b] Ta hàm gián đoạn toàn phần, tức gián đoạn điểm • Trong phần miêu tả phương pháp tiếp cận tính khả tích Riemann khác Ta định nghĩa tổng Darboux tổng Darboux gắn với f : [a, b] → R cách chia ∆ = {x0 , x1 , , xn } [a, b] n n + mi (xi − xi−1 ), S− (f ; ∆) = Mi (xi − xi−1 ), S (f ; ∆) = i=1 i=1 mi = inf xi−1 ≤x≤xi , Mi = sup xi−1 ≤x≤xi Khi S− (f ; ∆) ≤ S + (f ; ∆), ra, S− (f ; ∆) ≤ S(f ; ∆, ξ) ≤ S + (f ; ∆), với cách chọn ξ gắn với cách chia ∆ Hơn nữa, ∆ phép làm mịn ∆, S− (f ; ∆) ≤ S− (f ; ∆ ) ≤ S+ (f ; ∆ ) ≤ S + (f ; ∆), ∆1 ∆2 hai cách chia tùy ý, S− (f ; ∆1 ) ≤ S + (f ; ∆2 ) Điều tập tổng Darboux f bị chặn tổng Darboux tập tổng Darboux hàm định bị chặn tổng Darboux Do đó, ta khảo sát cận tổng Darboux cận tổng Darboux Ta định nghĩa tích phân Darboux b f (x)dx := sup S− (f ; ∆) ∆ a tích phân Darboux b f (x)dx := inf S+ (f ; ∆) a ∆ Các tiêu chuẩn tích phân sau Darboux Định lý 1.1 Một hàm f : [a, b] → R khả tích với ε > tồn δ > cho S+ (f ; ∆) − S− (f ; ∆) < ε, với phân hoạch ∆ = {x0 , x1 , , xn } với maxi (xi − xi−1 ) < δ 56 Giải Đặt dọc theo trục Ox với gốc tọa độ trung điểm O Đặt l = AB Xét điểm M có tọa độ x ∈ [−l/2, l/2] cho x số gia ∆x = dx Khi điện tích độ dài dx dq Giả sử x cách điểm C khoảng r cường độ điện trường nguyên tố điểm C dE (hình vẽ) Ta có cơng thức điện tích điểm dE = dg qdx = 4πεεo r 4πεεo lr2 Do tính chất đối xứng, véc tơ cường độ điện trường C nằm dọc theo đường trung trực ∆ hướng xa Chiếu dE lên ∆, ta dE∆ = dE cos α = Ro qdx Ro qdx = r 4πεεo lr2 4πεεo l(x2 + Ro2 )3/2 Do diện trường tổng hợp C l/2 Ro qdx qRo E= = 2 3/2 2πεεo l −l/2 4πεεo l(x + Ro ) l/2 dx (x2 + Ro2 ) x2 + Ro2 (3.3) Ta cần phải tính tích phân l/2 J= dx (x2 + Ro2 ) x2 + Ro2 Theo kết Bài toán 1.3, ta có l/2 J= Ro x x2 + Ro2 = Ro2 l l2 + 4Ro2 (3.4) Thay (3.4) vào (3.3) ta E= q ≈ 6000V /m 4πεε0 Ro R (3.5) Bài toán 3.19 Một mặt phẳng tích điện với mật độ σ Người ta kht lỗ trịn nhỏ bán kính a Tính cường độ điện trường M điểm nằm đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng qua tâm lỗ hổng, cách tâm khoảng b 57 Giải Bài tốn có tính đối xứng trục Để giải toán sử dụng tọa độ cực (r, ϕ) với gốc tọa độ tâm lỗ trịn Do có tính đối xứng trục, nên đại lượng khơng phụ thuộc vào góc ϕ Chúng ta tiến hành vi phân hình vành khăn với bán kính r r + dr với dr đủ nhỏ Vi phân diện tích hình vành khăn dS = π(r + dr)2 − πr2 = 2πrdr Điện tích nguyên tố hình vành khăn dq = σdS = σ2πrdr Do tính đối xứng, nên điện trường gây phần tử diện tích dS M b b có phương hợp với ∆ góc α với cos α = = √ Ta có d r + b2 dEM = σrdr bσrdr dq cos α = = 4πεεo d2 2εεo d3 2εεo (r2 + b2 )3/2 Do cường độ điện trường gây toàn mặt phẳng M ∞ EM = ∞ dEM dr = a bσ = 4εεo a ∞ a bσrdr 2εεo (r2 + b2 )3/2 d(r + b2 ) bσ √ = − 2εεo r2 + b2 (r2 + b2 )3/2 ∞ a bσ √ = 2εεo a2 + b2 3.3.2 Điện trở Bài toán 3.20 Một điện trở có dạng hình nón cụt, bán kính a b (a