tóm tắt Tích phân xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Header Page of 126   NGUYỄN THỊ KIM HUYỀN Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Gia Định Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 Luận văn ñược bảo vệ trước hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng – Năm 2011 Footer Page of 126 3 MỞ ĐẦU chương sau áp dụng phép tính tích phân xác ñịnh hình học vật lý Chương 2: Ứng dụng tích phân xác ñịnh hình học vật lý: xác ñịnh diện tích hình phẳng hệ tọa ñộ Đề - hệ tọa ñộ cực; thể tích vật thể nhận ñược quay quanh trục Ox, Oy; xác ñịnh ñộ dài ñường cong; xác ñịnh trọng tâm ñường cong, trọng tâm vật thể; moment vật thể, áp suất chất lỏng lên bề mặt phiến mỏng; công cần bỏ ñể nâng vật lên ñộ cao ñó Header Page of 126 Lý chọn ñề tài Trong chương trình toán học phổ thông ñại học vấn ñề tích phân chiếm vị trí quan trọng thiếu ñược khối kiến thức học sinh – sinh viên Với tính ñặc thù ñộ hay, khó, với ñòi hỏi tư trừu tượng cao, toán liên quan ñến tích phân trở thành chuyên ñề quan trọng việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tuyển sinh ñại học, cao ñẳng, trung cấp Hơn thế, lý thuyết toán tích phân có nhiều ứng dụng thực tiễn công cụ tính toán hữu hiệu khoa học lý thuyết Vì chọn ñề tài : Tích phân xác ñịnh ứng dụng hình học vật lý Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng với vài ứng dụng hình học vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng ứng dụng hình học vật lý 3.2 Phạm vi nghiên cứu Thực nghiên cứu tích phân xác ñịnh ứng dụng tích phân xác ñịnh hình học vật lý hàm biến thực Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, chuyên khảo tích phân ứng dụng tích phân xác ñịnh hình học vật lý Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Luận án sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên giáo viên giảng dạy phần tích phân xác ñịnh thuộc môn toán khối phổ thông trung học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở ñầu kết luận, luận văn ñược chia làm 02 chương: Chương 1: Các kiến thức sở Trình bày kiến thức tích phân xác ñịnh: ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh, tính chất tích phân xác ñịnh, ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh Là sở cho Footer Page of 126 5 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Hiển nhiên tổng diện tích n hình chữ nhật biểu diễn gần ñúng diện tích cần tìm S hình thang cong AabB ñã cho Nói Header Page of 126 1.1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) , xác ñịnh liên tục khoảng ñóng [a, b] , giả sử f(x) không âm [a, b] Xét hình thang cong AabB hình giới hạn ñồ thị hàm số f(x) [a, b] , ñường thẳng x = a, x = b trục hoành Ox, ta ñặt vấn ñề ñịnh nghĩa diện tích S hình thang cong AabB cách khác, ta viết: S ≈ n ∑ f(ξ )∆x i i i=1 Ta nhận thấy số ñoạn chia nhiều cho ñộ lớn n ñoạn chia nhỏ tổng ∑ f(ξ )∆x i i gần giá trị ñúng S i=1 Từ ñó nói chuyển giới hạn n → ∞ cho ∆x i → (i = 1, n) giá trị giới hạn tổng diện tích S cần tìm hình thang cong AabB ñã cho: n S= lim max∆x i →0 ∑ f(ξ )∆x i i (1.1) i=1 1.2 Định nghĩa tích phân xác ñịnh Cho hàm số f(x) xác ñịnh bị chặn khoảng ñóng [a, b] , chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ ñiểm chia Hình 1.1 Ta chia ñoạn [a, b] thành n ñoạn nhỏ ñiểm chia: x ≡ a < x1 < x < < x i-1 < x i < < x n ≡ b Các ñiểm chia x i (i = 0, 1, , n) ñược chọn tuỳ ý theo thứ tự tăng dần ñiểm ñầu x0 trùng với a, ñiểm cuối x n trùng với b Từ ñiểm chia x i (i = 0, 1, , n) ta dựng ñường thẳng x = x i , ta ñã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ Pi −1x i −1x i Pi (i = 1, n) (Hình 1.1), hình thang cong nhỏ ñó có ñáy ∆x i = x i − x i −1 (i = 1, n) Chọn ñiểm ξi ∈ [x i −1 , x i ] Thay hình thang cong nhỏ Pi −1x i −1x i Pi (i = 1, n) hình chữ nhật có ñáy ∆x i chiều cao f(ξi ) Diện tích hình chữ nhật là: f(ξ1 )∆x1 , f(ξ )∆x , , f(ξ i )∆x i , , f(ξ n )∆x n Footer Page of 126 x ≡ a < x1 < x < < x i −1 < x i < < x n ≡ b Đặt ∆x i = x i − x i −1 λ = max ∆x i , i = 1, 2, , n Ta gọi i ñiểm chia τ = {x i } phân hoạch ñoạn [a, b] λ ñường kính phân hoạch Trong ñoạn nhỏ [x i −1 , x i ] lấy ñiểm ξ i tuỳ ý: x i −1 ≤ ξ i ≤ x i , (i = 1, 2, , n) , lập tổng: n σ = ∑ f(ξ )∆x , ∆x i i i = x i − x i −1 , (i = 1, n) (1.2) i=1 n Ta thấy tổng σ = ∑ f(ξ i )∆x i số xác ñịnh, số ñó phụ i=1 thuộc vào phân hoạch τ = {x } ñiểm ξ i [x i −1 , x i ] Đại i lượng ñược gọi tích phân Riman hàm số f(x) theo phân Định lý 1.3.5 Nếu m M giá trị nhỏ lớn f(x) [a, b] thì: Header Page of 126 hoạch τ = {x i } ñoạn [a, b] Nếu n tăng vô hạn ( n → ∞ ) cho max ∆xi = λ, λ → , σ có giới hạn (hữu hạn) I, giới hạn I 1≤i ≤ n không phụ thuộc vào phân hoạch τ = {x i } ñoạn [a, b] cách chọn ñiểm ξ i : lim ∑ f(ξ )∆x i λ →0 (n →∞ ) i = i (1.3) =I I ñược gọi tích phân xác ñịnh hàm số f(x) (theo Riman) b lấy khoảng [a, b] kí hiệu f(x)dx, vậy: ∫ a b I = ∫ f(x)dx (1.4) a 1.3 Các tính chất tích phân xác ñịnh Định lý 1.3.1 (Tính chất tuyến tính) Nếu f, g hai hàm khả tích [a, b] αf + βg khả tích [a, b] , ñó α, β = const và: b b b a a a ∫ [αf(x) + βg(x)] dx = α ∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx (1.5) Định lý 1.3.2 Cho khoảng ñóng [a, b] , [a, c] , [c, b] , f(x) khả tích khoảng có ñộ dài dài khả tích hai khoảng lại và: b c b a a c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx (1.6) Định lý 1.3.3 Nếu f(x) khả tích [a, b], f(x) ≥ ∀x ∈ [a, b], b a < b ∫ f(x)dx ≥ a b b a a Định lý 1.3.4 Nếu f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] ∫ f(x)dx ≤ ∫ g(x)dx (1.8) a 1.4 Các ñịnh lý giá trị trung bình Định lý 1.4.1 Giả sử f(x) khả tích [a, b] , (a < b) m = inf f(x); M = sup f(x) Khi ñó tồn µ ∈ [m, M] thỏa mãn: x∈[a, b] n Footer Page of 126 b m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) x∈[a, b] b ∫ f(x)dx = µ(b − a) a (1.9) Định lý 1.4.2 Giả sử: a) f(x) f(x)g(x) khả tích [a, b] ; b) m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]; c) g(x) không ñổi dấu [a, b] Khi ñó với m ≤ µ ≤ M ta có: b b (1.10) ∫ g(x)f(x)dx = µ ∫ g(x)dx a a 1.5 Nguyên hàm tích phân xác ñịnh Định nghĩa 1.5.1 Cho hàm số f:[a, b] → R Hàm số khả vi F:[a, b] → R ñược gọi nguyên hàm hàm f F'(x) = f(x) ∀x ∈ [a,b] Tập hợp tất nguyên hàm f(x) ñược kí hiệu ∫ f(x)dx ñược gọi tích phân không xác ñịnh f(x) Định nghĩa 1.5.2 Cho hàm f(x) khả tích [a, b] Khi ñó với x ∈ [a, b] hàm f(x) khả tích [a, x] Xét hàm Φ : [a, b] → R cho bởi: x Φ(x) = ∫ f(t)dt (1.12) a Hàm Φ(x) ñược xác ñịnh ñược gọi tích phân xác ñịnh hàm cận Định lý 1.5.1 Nếu f(x) liên tục [a, b] Φ(x) nguyên hàm f(x), tức là: Φ'(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b] (1.13) 10 Định lý 1.5.2 Nếu f(x) khả tích [a, b] Φ(x) liên tục [a, b] Định lý 1.5.3 Giả sử f(x) liên tục [a, b] Φ(x) nguyên hàm f(x) Khi ñó: b b (1.14) ∫ f(x)dx = Φ(b) − Φ(a) = Φ(x) a a 1.6 Một vài phương pháp tính tích phân xác ñịnh 1.6.1 Phương pháp ñổi biến số 1.6.2 Phương pháp tích phân phần 1.7 Tích phân suy rộng 1.7.1 Tích phân suy rộng loại (Trường hợp cận lấy tích phân vô hạn) 1.7.2 Tích phân suy rộng loại (Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn) CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Header Page of 126 2.1 Sơ ñồ áp dụng tích phân xác ñịnh Giả sử ta cần xác ñịnh giá trị ñại lượng hình học vật lý A ñó (diện tích mảnh, thể tích khối, áp suất chất lỏng lên bề mặt phiến…), với việc thay ñổi ñoạn [a, b] ñược mô tả biến ñộc lập x Giả sử ñại lượng A cộng tính, ñó ñể xác ñịnh ñược ñại lượng A ta tiến hành sau: - Các ñiểm x = a, x1 , , x n = b chia ñoạn [a, b] thành n phần tương ứng với việc ñại lượng A ñược phân thành n “số hạng thành phần” ∆A i , i = 1, 2, , n Như vậy: A = ∆A1 + ∆A + + ∆A n (2.1) - Biểu diễn số hạng thành phần dạng tích vài hàm ñó (phụ thuộc vào ñiều kiện toán), sau ñó tính toán ñiểm tương ứng với ñoạn ñó giá trị hàm: ∆A i ≈ f(ξ i )∆x i Trong việc xác ñịnh giá trị gần ñúng ∆A i ta chấp nhận vài ñiểm ước lượng sau: cung phần ñủ nhỏ ñược thay dây mà nối hai ñầu mút nó; vận tốc biến thiên ñoạn ñủ nhỏ coi số… Ta nhận ñược giá trị gần ñúng ñại lượng A dạng tổng: (2.2) A ≈ f(ξ1 )∆x1 + f(ξ )∆x + + f(ξ n )∆x n - Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược giá trị ñại lượng A: n b i=1 a A = lim ∑ f(ξ i )∆x i = ∫ f(x)dx n →∞ (2.3) 2.2 Tính diện tích hình phẳng 2.2.1 Diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục ñoạn [a, b] (f(x) nằm trục Ox), hai ñường thẳng x = a, x = b trục Ox từ toán xác ñịnh diện tích hình thang cong ta có ngay: b S = ∫ f(x)dx (2.4) a Footer Page of 126 11 12 Header Page of 126 Như ta có nội dung ñịnh lý sau ñây: Định lý 2.2.1 Nếu y = f(x) ≥ liên tục ñoạn [a, b] diện tích hình thang cong tạo ñồ thị hàm số y = f(x) trục Ox ñược xác ñịnh công thức (2.4) Hệ 2.2.1 Chú ý hình thang cong D nằm trục Ox: D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, y = f(x) < 0}, ñó diện tích SD * hình thang cong D diện tích hình thang D ñối xứng với D qua trục Ox: b b SD = SD* = ∫ ( − f(x) ) dx = − ∫ f(x)dx (2.5) a a Như gộp hai trường hợp ta viết công thức xác ñịnh diện tích hình phẳng ñược viết dạng: b S = ∫ f(x) dx (2.6) a Nếu toán phát biểu dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số x = φ(y) liên tục ñoạn [c, d], hai ñường thẳng y = c y = d trục Oy” (Hình 2.1) Hình 2.4 2.2.3 Giả sử miền xác ñịnh ñược cho tọa ñộ cực Gọi miền D hình quạt cong, ñược giới hạn tia φ = α, φ = β ñường cong r = r(φ) (Hình 2.6) Hình 2.6 Định lý 2.2.2 Nếu hàm r = r(φ) ≥ liên tục [α, β] diện tích hình quạt cong ñược tính công thức: S= 1β ∫ r (φ)dφ 2α 2.2.4 Nếu diện tích miền cần tính ñược giới hạn ñường cong ñược cho dạng tham số:  x = φ(t)   y = ψ(t) Hình 2.1 Khi ñó, công thức tính diện tích là: d S = ∫ φ(y) dy (2.7) c 2.2.2 Nếu hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số y = f1 (x), y = f (x) liên tục ñoạn [a, b] , hai ñường thẳng x = a, x = b, (a < b) (Hình 2.4) diện tích ñược xác ñịnh bằng: b S= ∫ f (x) − f a Footer Page of 126 (x) dx (2.8) ñây t1 ≤ t ≤ t , phép ñổi biến ta ñưa ñược tích phân cần tính dạng: b φ(t ) a φ(t1 ) S = ∫ f(x)dx = ∫ ψ(t)φ'(t)dt (2.11) 2.3 Tính ñộ dài ñường cong Giả sử ta có ñường cong AB ñược cho ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục ñoạn [a, b] (Hình 2.12) Ta chia ñoạn [a, b] thành n mảnh nhỏ ñiểm chia: x i : a = x < x1 < < x i < x i+1 < < x n = b 13 14 Header Page of 126 y'(x) = dy dx = y'(t) ; dx = x'(t)dt x'(t) Từ ñây ta suy ra: β L AB = ∫ + α Hình 2.12 Ta dựng ñường thẳng x = x i , i = 1, 2, , n-1 Như cung AB bị chia thành n cung nhỏ ñiểm A = M , M1 , , Mi , , M n = B theo hướng từ A ñến B Nối ñiểm với ñường thẳng ta nhận ñược ñường gấp khúc M M1 M n Kí hiệu L n ñộ dài ñường gấp khúc nhận ñược, ñộ dài mẩu nhỏ ∆li , λ = max ∆li  y'(t)   x'(t)    λ →0 α + ( y'(t) ) dt (2.14) Hệ 2.3.2 Nếu AB ñược cho tọa ñộ cực r = r(φ), φ ∈ [α, β] Khi ñó ta tham số hóa phương trình ñường cong cách: { x = r(φ)cosφ y = r(φ)sinφ với φ ∈ [α, β] Khi ñó từ công thức (2.14) ta nhận ñược: 1≤ i ≤ n Định nghĩa 2.3.1 Đường cong AB ñược gọi cầu trường (nắn thẳng) tồn giới hạn hữu hạn ñường gấp khúc mô tả ñường cong AB λ → Giới hạn ta gọi ñộ dài cung AB ñường cong kí hiệu L AB Như vậy: (2.12) LAB = lim Ln ( x'(t) ) β x'(t)dt = ∫ β LAB = ∫ ( r(φ) ) + ( r'(φ) ) dφ (2.15) α 2.4 Tính thể tích vật thể 2.4.1 Tính thể tích vật thể biết diện tích thiết diện ngang: Cho vật thể giới hạn mặt cong hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox ñiểm x = a, x = b, a < b (Hình 2.15) Định lý 2.3.1 Nếu ñường cong AB cho ñồ thị hàm số y = f(x) , ñây f(x) f '(x) liên tục ñoạn [a, b], ñó AB cầu trường và: b L AB = ∫ 1+[f '(x)]2 dx (2.13) a Hệ 2.3.1 Nếu AB ñược cho dạng tham số:  x = x(t)   y = y(t) ñây α ≤ t ≤ β; A(x(α),y(α)), B(x(β),y(β)) Giả sử x = x(t); y = y(t) hàm khả vi liên tục [α, β] Khi ñó công thức (2.13) viết ñược dạng: b L AB = ∫ + [y '(x)]2 dx a Ta tiến hành ñổi biến tích phân nhận ñược: x = x(t) , ñó: Footer Page of 126 Hình 2.15 Giả sử ta biết diện tích S thiết diện vật thể mặt phẳng vuông góc với trục Ox S = S(x), ñó x hoành ñộ giao ñiểm mặt phẳng cắt trục Ox, giả sử S(x) hàm số liên tục khoảng ñóng [a, b] Ta ñịnh nghĩa thể tích vật thể nói Chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ ñiểm chia: a = x < x1 < < x i −1 < x i < < x n = b 15 16 Qua ñiểm chia x i , i = 0, n ta dựng mặt phẳng vuông góc với trục Ox, mặt phẳng ñó chia vật thể thành n vật thể nhỏ Trên Giả sử f(x) liên tục [a, b] , ñó thiết diện vuông góc với trục Ox ñều mặt tròn có tâm nằm Ox có bán kính y = f(x) nên diện tích S(x) thiết diện ứng với hoành ñộ x là: Header Page of 126 ñoạn [ x i −1 , x i ] lấy ñiểm ξ i tuỳ ý, dựng hình trụ ñứng giới S(x) = πy hạn mặt phẳng vuông góc với trục Ox ñiểm x = x i −1 , x = x i mặt trụ có ñường sinh song song với trục Ox, ñi qua biên thiết diện vật thể ñã cho mặt phẳng x = ξ i , thể tích b Do ñó, từ công thức V = ∫ S(x)dx ta suy công thức tính thể a tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox là: b hình trụ ñó S(ξ i )∆x i , ∆x i = x i − x i −1 Thể tích tất hình trụ ñó ứng với i, i = 1, 2, , n là: V = π ∫ f (x)dx (2.17) a Nếu cần tính thể tích vật thể nhận ñược quay AabB quanh trục Oy (Hình 2.19) ta lập luận sau: n ∑ S(ξi )∆x i i=1 n Khi ñó giới hạn tổng ∑ S(ξ )∆x i i n → ∞ cho i=1 max∆x i → ñược gọi thể tích vật thể ñã cho Theo ñịnh nghĩa b tích phân xác ñịnh, giới hạn ñó ∫ S(x)dx , tích phân tồn a S(x) ñược giả thiết liên tục [a, b] Vậy, gọi V thể tích vật thể nói ta ñược: b V = ∫ S(x)dx Hình 2.19 thể thành hình trụ với bán kính a = x < x1 < < xi−1 < x i < < x n = b , chiều cao f(x i ) Thể tích khối ñược tạo hai hình trụ liền kề bằng: (2.18) πxi 2f(xi ) − πxi −12f(x i−1 ) Ta (2.16) a chia vật 2.4.2 Thể tích vật thể tròn xoay: Giả sử phải tìm thể tích vật thể tròn xoay tạo hình thang cong AabB giới hạn ñường Gọi ξ i ∈ [x i −1 , x i ] (i = 1, n) Nếu phép chia cho ta phần bán kính nhỏ, nhỏ ñến mức mà ñiểm x i −1 , x i , ξ i ∈ [x i −1 , x i ] quay quanh trục Ox (Hình 2.18) gần nhau, ñó ta thay x i−1 , x i ξ i , ñó biểu thức (2.18) viết ñược dạng: y = f(x), x ∈ [ a, b] , trục Ox, ñường thẳng x = a, x = b πx i 2f(x i ) − πx i −12f(x i −1 ) ≅ 2πξ i f(ξ i )∆x i Lập tổng thể tích chuyển qua giới hạn n → ∞ tương ứng với max∆x i → Ta nhận ñược: b Vy = 2π ∫ xf(x)dx Hình 2.18 Footer Page of 126 a (2.19) 17 18 Header Page of 126 2.5 Diện tích mặt tròn xoay Tiến hành xem xét mặt nhận ñược quay ñường cong y = f(x) (hàm y = f(x) ñược giả thiết không âm khả vi liên tục [a, b] ) quanh trục Ox Ta cần xác ñịnh diện tích mặt tròn xoay nhận ñược Trước tiên ta làm sáng tỏ câu hỏi, hiểu diện tích mặt ñược hình thành quay ñường cong quanh trục Ox? Ta chia ñoạn [a, b] cách tùy ý thành n phần: x i : a = x < x1 < < x i < x i+1 < < x n = b Tại ñây ñiểm x i xác ñịnh ñiểm M i ( x i , f(x i ) ) ñường cong Nối tất ñiểm M i ta nhận ñược ñường gấp khúc mô tả ñường cong ñã cho Xét trường hợp ñơn giản nhất, mẩu M i −1M i ñường gấp khúc Khi quay ñường ñã cho quanh trục Ox ta nhận ñược hình nón cụt mà diện tích bề mặt π(y i −1 + y i )∆li , ñây ∆li ñộ dài ñoạn M i −1M i Kí hiệu i −1 + yi )∆li 1≤i ≤ n tròn xoay kí hiệu P: (2.21) P = lim P λ →0 n Định lý 2.5.1 Nếu hàm số y = f(x) khả vi liên tục [a, b] diện tích bề mặt P vật thể tròn xoay ñược xác ñịnh theo công thức: P = 2π ∫ f(x) + ( f '(x) ) dx (2.22) a 2.6 Khối lượng, moment tọa ñộ trọng tâm ñường cong Giả sử ñường cong L ñược cho dạng: y = y(x), x ∈ [a, b], (2.25) Footer Page of 126 Các hàm y(x), x = x(t), y = y(t) ñược xác ñịnh ñược giả thiết khả vi liên tục Chúng ta xem xét ñường cong sợi dây vật chất (có khối lượng) Giả sử khối lượng ñược phân bổ dọc theo sợi dây với mật ñộ ñơn vị, tức khối lượng mẩu ñoạn dây với ñộ dài Khi ñó moment ñường cong tương ứng với trục Ox, kí hiệu M x ñược xác ñịnh công thức: b M x = ∫ y(x) + y'(x) dx, (2.26) a trường hợp tham số: t2 2 M x = ∫ y(t) x'(t) + y'(t) dt (2.27) t1 Moment ñường cong tương ứng với trục Oy, kí hiệu M y (2.28) a Định nghĩa 2.5.1 Nếu tồn giới hạn hữu hạn Pn λ = max ∆x i → 0, ta gọi diện tích bề mặt vật thể dạng tham số: với t ∈ [t1 , t ] b i=1 b y = y(t) M y = ∫ x + y'(x) dx, n ∑ π(y x = x(t) ñược xác ñịnh công thức: Pn tổng diện tích bề mặt tất hình nón trên: Pn = { trường hợp tham số: t2 2 M y = ∫ x(t) x'(t) + y'(t) dt (2.29) t1 Ta biết moment chất ñiểm với khối lượng m tương ứng với trục (tọa ñộ) ñó tích khối lượng với ñộ dài từ chất ñiểm ñến trục Trong trường hợp hệ có k chất ñiểm moment tổng moment ñiểm riêng biệt Nếu khối lượng không tập trung ñiểm riêng biệt mà phân bổ cách trù mật (liên tục) ñể mô tả moment ta cần ñưa vào tích phân xác ñịnh Giả sử ñường cong L cho phương trình (2.25) Ta chia ñoạn [a, b] thành mảnh nhỏ ñiểm chia x = a < x1 < x < < x n = b 19 20 Phép chia ñoạn tương ứng với phép chia ñường cong thành mảnh nhỏ Tại phần nhỏ ñó ta lấy tùy ý ñiểm M i với tọa ñộ (ξ i , y(ξ i )) Khi ñó khối lượng mảnh thứ i với ñộ dài my Mặt khác, ñây moment M x ñường cong tương ứng với trục Ox, suy ra: M x = my , từ ñó: M y0 = x (2.30) m Một cách tương tự ta tính ñược: My x0 = , (2.31) m ñây khối lượng m ñường cong L ñộ dài ñường cong ñó: Header Page 10 of 126 xi ∫ + y'(x) dx x i −1 Theo ñịnh lý giá trị trung bình ta có: xi ∫ + y'(x) dx = + y'(ξ i ) ∆x i , x i−1 ñây M i (ξ i , y(ξ i )) ñiểm ñó ñoạn thứ i ñường cong, ∆x i = x i − x i −1 Ta giả ñịnh khối lượng mảnh thứ i trù mật ñiểm M i Khi ñó moment mảnh thứ i tương ứng với trục Ox tích khối lượng mảnh với khoảng cách từ ñiểm M i ñến trục Ox, hay y(ξ i ) + y'(ξ i ) ∆x i Để nhận ñược moment ñường cong ta cần lấy tổng tất moment mảnh nhỏ Như ta nhận ñược tổng tích phân tích phân xác ñịnh: b ∫ y(x) + y'(x) dx a Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược công thức (2.26) Lý luận tương tự cho ta công thức (2.27) (2.28) Như ta phát biểu ñược ñịnh lý sau ñây: Định lý 2.6.1 Giả sử ñường cong L ñược cho dạng y = y(x), x ∈ [a, b], khả vi liên tục [a, b] Khi ñó moment L theo trục Ox, kí hiệu M x ñược xác ñịnh theo công thức (2.26) moment L theo trục Oy, kí hiệu M y ñược xác ñịnh theo công thức (2.28) Bây ta giả sử trọng tâm ñường cong có tọa ñộ (x , y ) Nếu cho m khối lượng ñường cong ñược phân bổ cách trù mật ñiểm, trọng tâm ñường cong, moment chất ñiểm có khối lượng m tương ứng với trục Ox Footer Page 10 of 126 b m= ∫ + y'(x) dx, a trường hợp ñường cong ñược cho dạng tham số: t2 m= ∫ x'(t) + y'(t) dt t1 Ta phát biểu ñược ñịnh lý sau: Định lý 2.6.2 Trọng tâm ñường cong L, kí hiệu M(x , y ) , ñược xác ñịnh theo công thức (2.30) – (2.31) Chú ý: Nếu trường hợp khối lượng phân bổ dọc theo ñường cong với hàm mật ñộ ρ(x) công thức ñối với m, M x , M y dấu tích phân ta thêm vào hàm ρ(x) Từ công thức ñối với tọa ñộ trọng tâm ñường cong ta nhận ñược hệ hình học có ý nghĩa sau ñây: ta nhân hai vế ñẳng thức M x = my với 2π ta nhận ñược: 2πM x = 2πmy , Hay: b 2π ∫ y(x) + y'(x) dx = 2πmy0 a Khi ñó vế trái biểu thức nhận ñược diện tích bề mặt tròn xoay, nhận ñược ta quay ñường cong 21 22 y = y(x), x ∈ [a, b], y(x) ≥ quanh trục Ox, vế phải ñộ dài (chu vi) vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm ñường cong nhân với khối lượng ñường cong ñộ dài ñường cong Kết ñó cho ta nội dung ñịnh lý Guldin thứ sau ñây: Định lý 2.6.3 Diện tích mặt tròn xoay nhận ñược quay ñường cong L theo trục, tích chu vi vòng tròn, nhận ñược quay ñường cong ñó quanh trục, với tâm trùng với trọng tâm nhân với ñộ dài ñường cong ñó 2.7 Khối lượng, moment tọa ñộ trọng tâm vật thể Giả sử ta có vật thể nhẵn, phẳng Q ñược giới hạn bởi: Pi = {(x, y): x i−1 ≤ x ≤ x i , y1 (ξ i ) ≤ y ≤ y (ξ i )} y1 (x) ≤ y ≤ y (x); Như moment ñược xác ñịnh bằng: 2 y (ξ i ) − y1 (ξ i ) ρ(ξ i )∆x i Cộng tất thành phần nhận ñược cho ta tổng tích phân xác 1b 2 ñịnh: ∫ y (x) − y1 (x) ρ(x)dx Như moment M x vật 2a thể Q tương ứng với trục Ox ñược xác ñịnh bởi: 1b 2 M x = ∫ y (x) − y1 (x) ρ(x)dx (2.33) a Tương tự thế, moment mảnh Pi tương ứng với trục Oy tích khoảng cách từ trọng tâm ñến trục Oy với khối lượng nó: Header Page 11 of 126 a ≤ x ≤ b, ñây y1 (x), y (x) hàm liên tục ñoạn [ a, b ] Giả sử Q khối lượng ñược phân bổ theo hàm mật ñộ ρ(x) Khi ñó khối lượng vật thể Q cho bởi: b ( ) m = ∫ y (x) − y1 (x) ρ(x)dx a (2.32) Trong trường hợp riêng ρ(x) = khối lượng vật thể trùng với diện tích Để tính ñược moment ta tiến hành chia [a, b] thành ñiểm x = a< x1 < x < < x n = b, giả sử ξ i ∈ [x i −1 , x i ] Ta xếp vật thể ñã cho hình chữ nhật nhỏ ( ( Hiển nhiên trọng tâm hình chữ nhật nằm tâm Khoảng cách từ tâm hình chữ nhật nhỏ Pi theo cách xác ( ) y1 (ξ i ) + y (ξ i ) Moment hình chữ nhật Pi tương ứng với trục Ox tích khoảng cách từ trọng tâm ñến trục Ox với khối lượng ) (ξ i ) − y1 (ξ i ) ρ(ξ i )∆x i Footer Page 11 of 126 ) (x i−1 + x i ) ( y (ξ i ) − y1 (ξ i ) ) ρ(ξ i )∆x i Nếu phép chia cho ta mảnh nhỏ, nhỏ ñến mức mà ñiểm x i −1 , x i , ξ i ∈ [x i −1 , x i ] gần nhau, ñó ta thay x i −1 , x i ξ i , ñó (x i −1 + x i ) = ξ i Cộng tất thành phần nhận ñược cho ta tổng tích phân xác b ñịnh: ∫ x(y (x) − y1 (x) ) ρ(x)dx Như moment M y vật thể a Pi ={(x, y): x i −1 ≤ x ≤ x i , y1 (ξ i ) ≤ y ≤ y (ξ i )} (y ) ( Pi ñược xác ñịnh bởi: ñịnh ñến trục Ox ) Q tương ứng với trục Oy ñược xác ñịnh bởi: b M y = ∫ x ( y (x) − y1 (x) ) ρ(x)dx (2.34) a Tọa ñộ trọng tâm Q bằng: x0 = và: y0 = My m Mx , m Như ta nhận ñược nội dung ñịnh lý sau ñây: (2.35) (2.36) 23 24 Định lý 2.7.1 Moment vật theo Ox Oy ñược xác ñịnh theo công thức (2.33) – (2.34), trọng tâm tương ứng ñược xác ñịnh công thức (2.35) – (2.36) Nhân hai vế công thức M x = my với 2π (với ρ = ) ta nhận ñược: ñó g gia tốc rơi tự do, γ mật ñộ chất lỏng, S diện tích bị bao phủ chất lỏng, h ñộ sâu Áp suất bề mặt chất lỏng theo phương thẳng ñứng ñược giới hạn ñường: x = a, x = b, y1 = f1 (x), y = f (x) (Hình 2.26) tính ñược theo công thức ñiểm khác có ñộ sâu khác Header Page 12 of 126 b π ∫ ( y 2 (x) − y12 (x) ) ρ(x)dx = 2πmy a Vế trái công thức nhận ñược thể tích vật thể, nhận ñược quay quanh trục Ox, vế phải tích chu vi vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm vật thể nhân với diện tích vật thể Q Bằng cách ñó ta nhận ñược ñịnh lý Guldin thứ hai sau ñây: Định lý 2.7.2 Thể tích vật thể nhận ñược quay theo trục Ox, tích chu vi vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm vật thể nhân với diện tích vật thể ñó 2.8 Quãng ñường ñi qua vật thể chuyển ñộng Quãng ñường S mà vật thể ñi qua với vận tốc biến thiên v(t) khoảng thời gian [t , t ] ñược xác ñịnh tích phân xác ñịnh: t2 S = ∫ v(t)dt (2.37) t1 2.9 Công lực Công A lực thay ñổi, cho hàm số F = F(x) có hướng dọc theo trục Ox ñoạn [a, b] tích phân xác ñịnh: b A = ∫ F(x)dx (2.38) a Công A lực co giãn lò xo ñược xác ñịnh bởi: x2 A = k ∫ xdx, x1 ñây k hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào tính chất lò xo, x1 , x giá trị ñầu cuối trạng thái co (giãn) tương ứng 2.10 Áp suất chất lỏng lên bề mặt mỏng Theo ñịnh luật Pascal áp suất bề mặt chất lỏng theo phương nằm ngang ñược xác ñịnh theo công thức: P = gγSh, Footer Page 12 of 126 Hình 2.26 Giả sử ta nhấn chìm vật thể chất lỏng theo phương thẳng ñứng, ñược giới hạn ñường x = a, x = b, y1 = f1 (x), y = f (x) Hệ trục tọa ñộ ñược chọn theo hình vẽ 2.26 Giả sử phần áp suất phải tìm biểu diễn dạng hàm p = p(x) , p = p(x) áp suất lên phần vật thể tương ứng ñoạn [a, x] , ñây x ∈ [a, b], p(a) = 0, p(b) = P Cho ñối số x số gia ∆x = dx Hàm p(x) nhận số gia ∆p (trên hình vẽ 2.26 dải nhỏ với bề dày dx ) Ta ñi xác ñịnh vi phân dp hàm Do dx nhỏ nên ta coi dải hình chữ nhật, mà tất ñiểm ñều nằm ñộ sâu x, lúc phiến mỏng ta ñược coi nằm theo phương ngang, ñó theo ñịnh luật Pascal ta có ñược: dp = gγ(y − y1 )dx.x, ñây (y − y1 )dx ñóng vai trò S, x ñóng vai trò h Lấy tích phân hai vế hệ thức cuối [a, b] ta nhận ñược: b ( ) P = gγ ∫ x y (x) − y1 (x) dx a (2.39) 25 Header Page 13 of 126 KẾT LUẬN Luận văn “Tích phân xác ñịnh ứng dụng hình học vật lý” ñã thực ñược số vấn ñề sau ñây: - Trình bày kiến thức tích phân xác ñịnh: ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh, tính chất tích phân xác ñịnh, ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh - Xác ñịnh diện tích hình phẳng hệ tọa ñộ Đề - hệ tọa ñộ cực; - Thể tích vật thể nhận ñược quay quanh trục Ox, Oy; - Xác ñịnh ñộ dài ñường cong; - Xác ñịnh trọng tâm ñường cong, trọng tâm vật thể; moment vật thể; - Áp suất chất lỏng lên bề mặt phiến mỏng; công cần bỏ ñể nâng vật lên ñộ cao ñó Trong trình thực ñề tài ñã cố gắng hạn chế chuyên môn ñây bước khởi ñầu ñể tác giả làm quen với công việc nghiên cứu khoa học mặt hạn chế thời gian nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Cho nên thời gian tới, ñiều kiện cho phép, tác giả ñược mong muốn ñược tiếp cận nghiên cứu ñề tài cách sâu rộng Footer Page 13 of 126  ... chương sau áp dụng phép tính tích phân xác ñịnh hình học vật lý Chương 2: Ứng dụng tích phân xác ñịnh hình học vật lý: xác ñịnh diện tích hình phẳng hệ tọa ñộ Đề - hệ tọa ñộ cực; thể tích vật thể nhận... CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Header Page of 126 2.1 Sơ ñồ áp dụng tích phân xác ñịnh Giả sử ta cần xác ñịnh giá trị ñại lượng hình học vật lý A ñó (diện tích. .. khoa học lý thuyết Vì chọn ñề tài : Tích phân xác ñịnh ứng dụng hình học vật lý Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng với vài ứng dụng hình