Tích phân xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG                     NGUYỄN THỊ KIM HUYỀN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn. Phản biện 2: PGS. TS Nguyễn Gia Định Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Trong chương trình toán học phổ thông và ñại học vấn ñề về tích phân chiếm một vị trí quan trọng và không thể thiếu ñược trong khối kiến thức của bất kỳ học sinh – sinh viên nào. Với tính ñặc thù và ñộ hay, khó, cùng với sự ñòi hỏi về tư duy trừu tượng cao, các bài toán liên quan ñến tích phân trở thành một trong những chuyên ñề quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và tuyển sinh ñại học, cao ñẳng, trung cấp Hơn thế, lý thuyết và các bài toán về tích phân còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và là công cụ tính toán hữu hiệu khoa học lý thuyết. Vì vậy tôi chọn ñề tài : Tích phân xác ñịnh và ứng dụng trong hình học và vật lý. 2. Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống về tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng cùng với một vài ứng dụng trong hình học và vật lý. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng và ứng dụng trong hình học và vật lý. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Thực hiện nghiên cứu tích phân xác ñịnh và ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý của các hàm một biến thực. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu, sách tham khảo, chuyên khảo về tích phân và ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Luận án có thể sử dụng như là tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy phần tích phân xác ñịnh thuộc môn toán khối phổ thông trung học. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn ñược chia làm 02 chương: Chương 1: Các kiến thức cơ sở Trình bày các kiến thức cơ bản về tích phân xác ñịnh: ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh, các tính chất của tích phân xác ñịnh, các ñịnh lý về giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh Là cơ sở cho 4 chương sau khi áp dụng các phép tính của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý. Chương 2: Ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý: xác ñịnh diện tích của hình phẳng trong hệ tọa ñộ Đề - các và hệ tọa ñộ cực; thể tích của vật thể nhận ñược khi quay quanh trục Ox, Oy; xác ñịnh ñộ dài của ñường cong; xác ñịnh trọng tâm của ñường cong, trọng tâm của vật thể; moment của vật thể, áp suất của chất lỏng lên bề mặt của phiến mỏng; công cần bỏ ra ñể nâng một vật lên một ñộ cao nào ñó . 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) , xác ñịnh liên tục trên khoảng ñóng [a, b] , ngoài ra giả sử f(x) không âm trên [a, b] . Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi ñồ thị của hàm số f(x) trên [a, b] , các ñường thẳng x = a, x = b và trục hoành Ox, ta ñặt vấn ñề ñịnh nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB. Hình 1.1 Ta chia ñoạn [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia: 0 1 2 i-1 i n x a < x < x < . < x < x < . < x b.≡ ≡ Các ñiểm chia i x (i = 0, 1, ., n) ñược chọn tuỳ ý theo thứ tự tăng dần và ñiểm ñầu 0 x trùng với a, ñiểm cuối cùng n x trùng với b. Từ các ñiểm chia i x (i = 0, 1, ., n) ta dựng các ñường thẳng i x = x , như thế ta ñã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ i 1 i 1 i i P x x P (i = 1, n) − − (Hình 1.1), mỗi hình thang cong nhỏ ñó có ñáy là i i i 1 ∆x = x x (i = 1, n) − − . Chọn các ñiểm i i 1 i ξ [x , x ] − ∈ . Thay mỗi hình thang cong nhỏ i 1 i 1 i i P x x P (i = 1, n) − − bằng một hình chữ nhật có cùng ñáy i ∆x và chiều cao là i f(ξ ) . Diện tích các hình chữ nhật là: 1 1 2 2 i i n n f(ξ )∆x , f(ξ )∆x , ., f(ξ )∆x , ., f(ξ )∆x . 6 Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần ñúng diện tích cần tìm S của hình thang cong AabB ñã cho. Nói một cách khác, ta có thể viết: n i i i = 1 S f(ξ )∆x≈ ∑ . Ta nhận thấy nếu số ñoạn chia càng nhiều sao cho ñộ lớn của các ñoạn chia càng nhỏ thì tổng n i i i = 1 f(ξ )∆x ∑ càng gần giá trị ñúng S. Từ ñó có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n → ∞ sao cho i ∆x 0 (i = 1, n)→ thì giá trị giới hạn của tổng chính là diện tích S cần tìm của hình thang cong AabB ñã cho: i n i i max∆x 0 i = 1 S = lim f(ξ )∆x → ∑ (1.1) 1.2. Định nghĩa tích phân xác ñịnh Cho hàm số f(x) xác ñịnh và bị chặn trong khoảng ñóng [a, b] , chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia 0 1 2 i 1 i n x a < x < x < .< x < x < .< x b − ≡ ≡ . Đặt i i i 1 ∆x = x x − − và i i λ = max∆x , i = 1, 2, ., n. Ta gọi các ñiểm chia i τ = {x } là một phân hoạch của ñoạn [a, b] và λ là ñường kính phân hoạch. Trong mỗi ñoạn nhỏ i 1 i [x , x ] − lấy một ñiểm i ξ tuỳ ý: i 1 i i x ξ x , (i = 1, 2, ., n) − ≤ ≤ , và lập tổng: n i i i = 1 σ = f(ξ )∆x ∑ , i i i 1 ∆x = x x , (i = 1, n) − − . (1.2) Ta thấy tổng n i i i = 1 σ = f(ξ )∆x ∑ là một số xác ñịnh, số ñó phụ thuộc vào phân hoạch τ = {x } i và các ñiểm i ξ trong i 1 i [x , x ] − . Đại 7 lượng trên ñược gọi là tích phân Riman của hàm số f(x) theo phân hoạch i τ = {x } trên ñoạn [a, b] . Nếu khi n tăng vô hạn ( n → ∞ ) sao cho i 1 i n max = λ, λ 0x ≤ ≤ ∆ → , σ có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này không phụ thuộc vào phân hoạch i τ = {x } trên ñoạn [a, b] và cách chọn ñiểm i ξ : n i i λ 0 i = 1 (n ) lim f(ξ )∆x = I → →∞ ∑ (1.3) thì I ñược gọi là tích phân xác ñịnh của hàm số f(x) (theo Riman) lấy trên khoảng [a, b] và kí hiệu là b a f(x)dx, ∫ như vậy: b a I = f(x)dx. ∫ (1.4) 1.3. Các tính chất của tích phân xác ñịnh Định lý 1.3.1. (Tính chất tuyến tính) Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a, b] thì αf + βg cũng khả tích trên [a, b] , trong ñó α, β = const và: [ ] b b b a a a αf(x) + βg(x) dx = α f(x)dx + β g(x)dx. ∫ ∫ ∫ (1.5) Định lý 1.3.2. Cho 3 khoảng ñóng [a, b] , [a, c] , [c, b] , nếu f(x) khả tích trên khoảng có ñộ dài dài nhất thì cũng khả tích trên hai khoảng còn lại và: b c b a a c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. ∫ ∫ ∫ (1.6) Định lý 1.3.3. Nếu f(x) khả tích trên [a, b], f(x) 0 x [a, b],≥ ∀ ∈ a < b thì b a f(x)dx 0.≥ ∫ Định lý 1.3.4. Nếu f(x) g(x) x [a, b]≤ ∀ ∈ thì b b a a f(x)dx g(x)dx.≤ ∫ ∫ 8 Định lý 1.3.5. Nếu m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên [a, b] thì: b a m(b a) f(x)dx M(b a).− ≤ ≤ − ∫ (1.8) 1.4. Các ñịnh lý về giá trị trung bình Định lý 1.4.1. Giả sử f(x) khả tích trên [a, b] , (a < b) và x [a, b] m = inf f(x); ∈ x [a, b] M = sup f(x). ∈ Khi ñó tồn tại µ [m, M]∈ thỏa mãn: b f(x)dx = µ (b a). a − ∫ (1.9) Định lý 1.4.2. Giả sử: a) f(x) và f(x)g(x) khả tích trên [a, b] ; b) m f(x) M, x [a, b];≤ ≤ ∀ ∈ c) g(x) không ñổi dấu trên [a, b] . Khi ñó với m µ M≤ ≤ ta có: b b g(x)f(x)dx = µ g(x)dx. a a ∫ ∫ (1.10) 1.5. Nguyên hàm và tích phân xác ñịnh Định nghĩa 1.5.1. Cho hàm số f:[a, b] R→ . Hàm số khả vi F:[a, b] R→ ñược gọi là nguyên hàm của hàm f nếu F'(x) = f(x) x [a,b]∀ ∈ . Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) ñược kí hiệu là f(x)dx ∫ và ñược gọi là tích phân không xác ñịnh của f(x). Định nghĩa 1.5.2. Cho hàm f(x) khả tích trên [a, b] . Khi ñó với mọi x [a, b]∈ hàm f(x) khả tích trên [a, x] . Xét hàm :[a, b] RΦ → cho bởi: x Φ(x) = f(t)dt. a ∫ (1.12) Hàm Φ(x) ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là tích phân xác ñịnh như hàm của cận trên. Định lý 1.5.1. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì Φ(x) là một nguyên hàm của f(x), tức là: Φ'(x) = f(x) x [a, b].∀ ∈ (1.13) 9 Định lý 1.5.2. Nếu f(x) khả tích trên [a, b] thì Φ(x) liên tục trên [a, b] . Định lý 1.5.3. Giả sử f(x) liên tục trên [a, b] và Φ(x) là một nguyên hàm của f(x). Khi ñó: b b f(x)dx = Φ(b) Φ(a) = Φ(x) . a a − ∫ (1.14) 1.6. Một vài phương pháp tính tích phân xác ñịnh 1.6.1. Phương pháp ñổi biến số 1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần 1.7. Tích phân suy rộng 1.7.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn) 1.7.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn) 10 CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ 2.1. Sơ ñồ áp dụng tích phân xác ñịnh Giả sử ta cần xác ñịnh giá trị của một ñại lượng hình học hoặc vật lý A nào ñó (diện tích của mảnh, thể tích của khối, áp suất của chất lỏng lên bề mặt phiến…), với việc thay ñổi trên ñoạn [a, b] ñược mô tả bởi biến ñộc lập x. Giả sử ñại lượng A là cộng tính, khi ñó ñể xác ñịnh ñược ñại lượng A ta tiến hành như sau: - Các ñiểm 0 1 n x = a, x , ., x = b chia ñoạn [a, b] thành n phần tương ứng với việc ñại lượng A ñược phân thành n “số hạng thành phần” i ∆A , i = 1, 2, ., n . Như vậy: 1 2 n A = ∆A + ∆A + . + ∆A . (2.1) - Biểu diễn mỗi một số hạng thành phần dưới dạng tích của một vài hàm nào ñó (phụ thuộc vào ñiều kiện bài toán), sau ñó tính toán tại một ñiểm bất kỳ tương ứng với ñoạn ñó và giá trị của hàm: i i i ∆A f(ξ )∆x . ≈ Trong việc xác ñịnh giá trị gần ñúng i ∆A ta chấp nhận một vài ñiểm ước lượng sau: cung trên một phần ñủ nhỏ ñược thay bằng dây mà nối hai ñầu mút của nó; vận tốc biến thiên trên một ñoạn ñủ nhỏ coi như là hằng số…. Ta nhận ñược giá trị gần ñúng của ñại lượng A dưới dạng tổng: 1 1 2 2 n n A f(ξ )∆x + f(ξ )∆x + . + f(ξ )∆x .≈ (2.2) - Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược giá trị của ñại lượng A: b n i i n i = 1 a A = lim f( ξ ) ∆ x = f(x)dx. →∞ ∑ ∫ (2.3) 2.2. Tính diện tích hình phẳng 2.2.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] (f(x) nằm trên trục Ox), hai ñường thẳng x = a, x = b và trục Ox từ bài toán xác ñịnh diện tích hình thang cong ta có ngay: b S = f(x)dx. a ∫ (2.4) 11 Như vậy ta có nội dung của ñịnh lý sau ñây: Định lý 2.2.1. Nếu y = f(x) 0 ≥ và liên tục trên ñoạn [a, b] thì diện tích của hình thang cong tạo bởi ñồ thị của hàm số y = f(x) và trục Ox ñược xác ñịnh bởi công thức (2.4). Hệ quả 2.2.1. Chú ý rằng nếu như hình thang cong D nằm dưới trục Ox: D = {(x, y): a x b, y = f(x) < 0}, ≤ ≤ thì khi ñó diện tích D S của hình thang cong D bằng diện tích của hình thang * D ñối xứng với D qua trục Ox: ( ) * D D b b S = S = f(x) dx = f(x)dx. a a − − ∫ ∫ (2.5) Như vậy gộp cả hai trường hợp trên ta viết công thức xác ñịnh diện tích hình phẳng ñược viết dưới dạng: b S = f(x) dx a ∫ (2.6) Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số x = φ (y) liên tục trên ñoạn [c, d], hai ñường thẳng y = c và y = d và trục Oy” (Hình 2.1). Hình 2.1 Khi ñó, công thức tính diện tích là: d c S = φ(y) dy ∫ (2.7) 2.2.2. Nếu hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số 1 2 y = f (x), y = f (x) liên tục trên ñoạn [a, b] , hai ñường thẳng x = a, x = b, (a < b) (Hình 2.4) thì diện tích của nó ñược xác ñịnh bằng: b 1 2 a S = f (x) f (x) dx− ∫ (2.8) 12 Hình 2.4 2.2.3. Giả sử miền xác ñịnh ñược cho trong tọa ñộ cực. Gọi miền D hình quạt cong, ñược giới hạn bởi các tia φ = α , φ = β và ñường cong r = r( φ ) (Hình 2.6) Hình 2.6 Định lý 2.2.2. Nếu hàm r = r( φ ) 0≥ và liên tục trên [ α , β ] thì diện tích của hình quạt cong ñược tính bởi công thức: β 2 α 1 S = r (φ)dφ. 2 ∫ 2.2.4 Nếu diện tích của miền cần tính ñược giới hạn bởi các ñường cong ñược cho dưới dạng tham số: x = φ(t) y = ψ(t)    ở ñây 1 2 t t t ,≤ ≤ thì bằng phép ñổi biến ta ñưa ñược tích phân cần tính về dạng: 2 1 φ(t ) b a φ(t ) S = f(x)dx = ψ(t)φ'(t)dt. ∫ ∫ (2.11) 2.3. Tính ñộ dài ñường cong Giả sử ta có ñường cong AB ñược cho bởi ñồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] (Hình 2.12). Ta chia ñoạn [a, b] thành n mảnh nhỏ bởi các ñiểm chia: i 0 1 i i+1 n x : a = x < x < .< x < x < .< x = b. 13 Hình 2.12 Ta dựng các ñường thẳng i x = x , i = 1, 2, ., n-1. Như thế cung AB sẽ bị chia thành n cung nhỏ bởi các ñiểm 0 1 i n A = M , M , ., M , ., M = B theo hướng từ A ñến B. Nối các ñiểm trên với nhau bằng các ñường thẳng ta nhận ñược một ñường gấp khúc 0 1 n M M .M . Kí hiệu n L là ñộ dài của ñường gấp khúc nhận ñược, ñộ dài của mỗi mẩu nhỏ là i i 1 i n ∆l , λ = max ∆l . ≤ ≤ Định nghĩa 2.3.1. Đường cong AB ñược gọi là cầu trường (nắn thẳng) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của các ñường gấp khúc mô tả ñường cong AB khi λ 0.→ Giới hạn trên ta gọi là ñộ dài cung AB của ñường cong và kí hiệu là AB L . Như vậy: AB n λ 0 L = limL . → (2.12) Định lý 2.3.1. Nếu ñường cong AB cho bởi ñồ thị của hàm số y = f(x) , ở ñây f(x) và f '(x) liên tục trên ñoạn [a, b], khi ñó AB là cầu trường và: b 2 AB a L = 1+[f '(x)] dx. ∫ (2.13) Hệ quả 2.3.1. Nếu như AB ñược cho dưới dạng tham số: x = x(t) y = y(t)    ở ñây α t β; A(x(α),y(α)), B(x(β),y(β)).≤ ≤ Giả sử x = x(t); y = y(t) là các hàm khả vi liên tục trên [α, β]. Khi ñó công thức (2.13) viết ñược dưới dạng: b 2 AB a L = 1 + [y '(x)] dx. ∫ Ta tiến hành ñổi biến trong tích phân nhận ñược: x = x(t) , khi ñó: 14 dy y'(t) y'(x) = = ; dx = x'(t)dt. dx x'(t) Từ ñây ta suy ra: ( ) ( ) 2 β β 2 2 AB α α y'(t) L = 1 + x'(t)dt = x'(t) + y'(t) dt. x'(t) ∫ ∫       (2.14) Hệ quả 2.3.2. Nếu như AB ñược cho trong tọa ñộ cực r = r(φ), φ [α, β].∈ Khi ñó ta có thể tham số hóa phương trình của ñường cong bằng cách: { x = r(φ)cosφ y = r(φ)sinφ với φ [α, β].∈ Khi ñó từ công thức (2.14) ta nhận ñược: ( ) ( ) β 2 2 AB α L = r(φ) + r'(φ) dφ. ∫ (2.15) 2.4. Tính thể tích vật thể 2.4.1. Tính thể tích vật thể khi biết diện tích thiết diện ngang: Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñiểm x = a, x = b, a < b (Hình 2.15) Hình 2.15 Giả sử ta biết diện tích S của thiết diện của vật thể trên một mặt phẳng vuông góc với trục Ox là S = S(x), trong ñó x là hoành ñộ của giao ñiểm của mặt phẳng cắt trục Ox, giả sử S(x) là một hàm số liên tục trong khoảng ñóng [a, b] . Ta sẽ ñịnh nghĩa thể tích vật thể nói trên. Chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia: 0 1 i 1 i n a = x < x < .< x < x < .< x = b. − 15 Qua mỗi ñiểm chia i x , i = 0, n ta dựng một mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng ñó chia vật thể thành n vật thể nhỏ. Trên mỗi ñoạn [ ] i 1 i x , x − lấy một ñiểm i ξ tuỳ ý, dựng hình trụ ñứng giới hạn bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñiểm i 1 i x = x , x = x − và mặt trụ có ñường sinh song song với trục Ox, ñi qua biên của thiết diện vật thể ñã cho bởi mặt phẳng i x = ξ , thể tích của hình trụ ñó là i i i i i 1 S(ξ )∆x , ∆x = x x . − − Thể tích của tất cả các hình trụ ñó ứng với mọi i, i = 1, 2, ., n là: n i i i = 1 S(ξ )∆x ∑ . Khi ñó giới hạn của tổng n i i i = 1 S(ξ )∆x ∑ khi n → ∞ sao cho i max∆x 0→ ñược gọi là thể tích vật thể ñã cho. Theo ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh, giới hạn ñó chính là b a S(x)dx ∫ , tích phân này tồn tại vì S(x) ñược giả thiết liên tục trong [a, b] . Vậy, nếu gọi V là thể tích vật thể nói trên ta ñược: b a V = S(x)dx. ∫ (2.16) 2.4.2. Thể tích vật thể tròn xoay: Giả sử phải tìm thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình thang cong AabB giới hạn bởi ñường [ ] y = f(x), x a, b∈ , trục Ox, các ñường thẳng x = a, x = b khi quay nó quanh trục Ox (Hình 2.18). Hình 2.18 16 Giả sử f(x) liên tục trong [a, b] , khi ñó mọi thiết diện vuông góc với trục Ox ñều là mặt tròn có tâm nằm trên Ox và có bán kính là y = f(x) nên diện tích S(x) của thiết diện ứng với hoành ñộ x là: 2 S(x) = π y . Do ñó, từ công thức b a V = S(x)dx ∫ ta suy ra công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox là: b 2 a V = π f (x)dx. ∫ (2.17) Nếu như cần tính thể tích của vật thể nhận ñược khi quay AabB quanh trục Oy (Hình 2.19) ta lập luận như sau: Hình 2.19 Ta chia vật thể thành các hình trụ với bán kính 0 1 i 1 i n a = x < x < .< x < x < .< x = b − , chiều cao i f(x ) . Thể tích của khối ñược tạo bởi hai hình trụ liền kề nhau bằng: 2 2 i i i 1 i 1 πx f(x ) πx f(x ). − − − (2.18) Gọi i i 1 i ξ [x , x ] (i = 1, n). − ∈ Nếu phép chia cho ta các phần bán kính rất nhỏ, nhỏ ñến mức mà các ñiểm i 1 i i i 1 i x , x , ξ [x , x ] − − ∈ rất gần nhau, do ñó ta có thể thay thế i 1 i x , x − bằng i ξ , khi ñó biểu thức (2.18) viết ñược dưới dạng: 2 2 i i i 1 i 1 i i i πx f(x ) πx f(x ) 2πξ f(ξ )∆x . − − − ≅ Lập tổng của các thể tích và chuyển qua giới hạn khi n → ∞ tương ứng với i max∆x 0→ . Ta nhận ñược: b y a V = 2π xf(x)dx. ∫ (2.19) 17 2.5. Diện tích mặt tròn xoay Tiến hành xem xét mặt nhận ñược khi quay ñường cong y = f(x) (hàm y = f(x) ñược giả thiết là không âm và khả vi liên tục trên [ ] a, b ) quanh trục Ox. Ta cần xác ñịnh diện tích của mặt tròn xoay nhận ñược. Trước tiên ta sẽ làm sáng tỏ câu hỏi, hiểu thế nào là diện tích của mặt ñược hình thành khi quay một ñường cong quanh trục Ox? Ta chia ñoạn [a, b] một cách tùy ý thành n phần: i 0 1 i i+1 n x : a = x < x < .< x < x < .< x = b. Tại ñây mỗi một ñiểm i x xác ñịnh một ñiểm ( ) i i i M x , f(x ) trên ñường cong. Nối tất cả các ñiểm i M ta nhận ñược ñường gấp khúc mô tả ñường cong ñã cho. Xét trường hợp ñơn giản nhất, trên một mẩu i 1 i M M − của ñường gấp khúc. Khi quay ñường ñã cho quanh trục Ox ta nhận ñược một hình nón cụt mà diện tích bề mặt của nó bằng i 1 i i π (y + y ) ∆ l , − ở ñây i ∆ l là ñộ dài của ñoạn i 1 i M M − . Kí hiệu n P là tổng diện tích bề mặt của tất cả các hình nón trên: n n i 1 i i i = 1 P = π(y + y )∆l . − ∑ Định nghĩa 2.5.1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn n P khi i 1 i n λ = max∆x 0, ≤ ≤ → thì ta sẽ gọi nó là diện tích bề mặt của vật thể tròn xoay và kí hiệu là P: n λ 0 P = limP . → (2.21) Định lý 2.5.1 Nếu hàm số y = f(x) khả vi liên tục trên [a, b] thì diện tích bề mặt P của vật thể tròn xoay ñược xác ñịnh theo công thức: ( ) b 2 a P = 2π f(x) 1 + f '(x) dx. ∫ (2.22) 2.6. Khối lượng, moment và tọa ñộ trọng tâm của ñường cong Giả sử ñường cong L ñược cho dưới dạng: y = y(x), x [a, b], ∈ (2.25) hoặc dưới dạng tham số: 18 { x = x(t) y = y(t) với 1 2 t [t , t ].∈ Các hàm y(x), x = x(t), y = y(t) ñược xác ñịnh như trên ñược giả thiết là khả vi liên tục. Chúng ta sẽ xem xét ñường cong trên như là một sợi dây vật chất (có khối lượng). Giả sử khối lượng ñược phân bổ dọc theo sợi dây với mật ñộ bằng ñơn vị, tức là khối lượng của mỗi một mẩu của ñoạn dây trên bằng với ñộ dài của nó. Khi ñó moment của ñường cong tương ứng với trục Ox, kí hiệu là x M ñược xác ñịnh bởi công thức: b 2 x a M = y(x) 1 + y'(x) dx, ∫ (2.26) và trong trường hợp tham số: 2 1 t 2 2 x t M = y(t) x'(t) + y'(t) dt. ∫ (2.27) Moment của ñường cong tương ứng với trục Oy, kí hiệu là y M ñược xác ñịnh bởi công thức: b 2 a xM = 1 + y'(x) dx, y ∫ (2.28) và trong trường hợp tham số: 2 1 t 2 2 y t M = x(t) x'(t) + y'(t) dt. ∫ (2.29) Ta biết rằng moment của một chất ñiểm bất kỳ với khối lượng m tương ứng với trục (tọa ñộ) nào ñó bằng tích khối lượng của nó với ñộ dài từ chất ñiểm ñến trục. Trong trường hợp hệ có k chất ñiểm thì moment sẽ bằng tổng các moment của các ñiểm riêng biệt. Nếu như các khối lượng không tập trung tại các ñiểm riêng biệt mà phân bổ một cách trù mật (liên tục) thì ñể mô tả moment ta cần ñưa vào tích phân xác ñịnh. Giả sử ñường cong L cho bởi phương trình (2.25). Ta chia ñoạn [ ] a, b thành các mảnh nhỏ bởi các ñiểm chia 0 1 2 n x = a < x < x < .< x = b. 19 Phép chia ñoạn trên sẽ tương ứng với phép chia ñường cong thành những mảnh nhỏ. Tại mỗi phần nhỏ ñó ta lấy tùy ý các ñiểm i M với tọa ñộ i i (ξ , y(ξ )). Khi ñó khối lượng của mảnh thứ i bằng với ñộ dài của nó và bằng i i 1 x 2 x 1 + y'(x) dx. − ∫ Theo ñịnh lý về giá trị trung bình ta có: i i 1 x 2 2 i i x 1 + y'(x) dx = 1 + y'(ξ ) ∆x , − ∫ ở ñây i i i M (ξ , y(ξ )) là một ñiểm nào ñó trên ñoạn thứ i của ñường cong, còn i i i 1 ∆ x = x x . − − Ta sẽ giả ñịnh rằng khối lượng của mảnh thứ i là trù mật tại ñiểm i M . Khi ñó moment của mảnh thứ i tương ứng với trục Ox bằng tích của khối lượng mảnh này với khoảng cách từ ñiểm i M ñến trục Ox, hay 2 i i i y(ξ ) 1 + y'(ξ ) ∆x . Để nhận ñược moment của cả ñường cong ta cần lấy tổng của tất cả các moment của các mảnh nhỏ. Như thế ta nhận ñược tổng tích phân của tích phân xác ñịnh: b 2 a y(x) 1 + y'(x) dx. ∫ Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược công thức (2.26). Lý luận tương tự cho ta các công thức (2.27) và (2.28). Như vậy ta phát biểu ñược ñịnh lý sau ñây: Định lý 2.6.1. Giả sử ñường cong L ñược cho dưới dạng y = y(x), x [a, b], ∈ khả vi liên tục trên [a, b]. Khi ñó moment của L theo trục Ox, kí hiệu là x M ñược xác ñịnh theo công thức (2.26) và moment của L theo trục Oy, kí hiệu là y M ñược xác ñịnh theo công thức (2.28). Bây giờ ta giả sử trọng tâm của ñường cong có tọa ñộ là 0 0 (x , y ) . Nếu cho rằng m là khối lượng của cả ñường cong ñược phân bổ một cách trù mật tại một ñiểm, là trọng tâm của ñường cong, thì moment của chất ñiểm trên có khối lượng m tương ứng với trục Ox bằng 20 0 my . Mặt khác, ñây cũng chính là moment x M của cả ñường cong tương ứng với trục Ox, suy ra: x 0 M = my , từ ñó: x 0 M y = . m (2.30) Một cách tương tự ta tính ñược: y 0 M x = , m (2.31) ở ñây khối lượng m của ñường cong L chính bằng ñộ dài của ñường cong ñó: b 2 a m = 1 + y'(x) dx, ∫ và trong trường hợp ñường cong ñược cho dưới dạng tham số: 2 1 t 2 2 t m = x'(t) + y'(t) dt. ∫ Ta phát biểu ñược ñịnh lý sau: Định lý 2.6.2. Trọng tâm của ñường cong L, kí hiệu là 0 0 M(x , y ) , ñược xác ñịnh theo công thức (2.30) – (2.31). Chú ý: Nếu trong trường hợp khối lượng phân bổ dọc theo ñường cong với hàm mật ñộ ρ (x) thì trong các công thức ñối với x y m, M , M dưới dấu tích phân ta thêm vào hàm ρ (x) . Từ công thức ñối với tọa ñộ trọng tâm của ñường cong ta nhận ñược hệ quả hình học có ý nghĩa sau ñây: nếu ta nhân cả hai vế của ñẳng thức x 0 M = my với 2π ta nhận ñược: x 0 2πM = 2πmy , Hay: b 2 0 a 2π y(x) 1 + y'(x) dx = 2πmy . ∫ Khi ñó vế trái của biểu thức nhận ñược chính là diện tích của bề mặt tròn xoay, nhận ñược khi ta quay ñường cong