Một số ứng dụng tích phân của hàm một biến trong hình học và vật lý

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên, Năm 2015 i Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Ngọc, thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình làm luận văn này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Khoa Học, các thầy cô giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập tại trường. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, các bạn học viên trong lớp cao học toán K7b đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập cùng nhau. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ sự biết ơn vô hạn đối với cha mẹ, các anh chị em và người thân trong gia đình mình đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015 Học viên Nguyễn Thu Hòa ii Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Tích phân xác định 3 1.1 Tích phân xác định và lớp hàm khả tích Riemann . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Các định lý về giá trị trung bình tích phân . . . . . . . . 8 1.3 Tích phân xác định và nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên . . . . . . . . 9 1.3.2 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz. Tích phân của các hàm chẵn, hàm lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Đổi biến trong tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Đổi biến trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học 27 2.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iii 2.1.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Tính thể tích của khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Tính chiều dài của một đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Tính diện tích của một mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong Vật lý 40 3.1 Sơ đồ tổng quát ứng dụng tích phân giải bài toán Vật lý . . . . 40 3.1.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Lược đồ ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . 41 3.2 Moment và trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 Moment tĩnh và moment quán tính của hệ điểm . . . . . 42 3.2.2 Moment của một cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.3 Moment của một hình thang cong thuần nhất . . . . . . 43 3.2.4 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Ứng dụng tích phân trong các bài tập điện . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Cường độ điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2 Điện trở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.3 Từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.4 Điện xoay chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 Một số vấn đề khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.1 Công . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.2 Lực-Áp suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 Phân hủy-Phóng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1 Mở đầu Trong luận văn này chúng ta sẽ giải thích định nghĩa của tích phân xác định của hàm thực xác định trên một khoảng compăc. Ta có cái nhìn gần hơn về các loại hàm có thể lấy tích phân và ta trình bày phân tích định tính của hàm khả tích, theo cách chính xác hơn so với tính toán thông thường. Tích phân được định nghĩa và nghiên cứu ở đây được biết đến với tên tích phân Riemann. Cauchy (1823) miêu tả một cách nghiệm ngặt tích phân của hàm liên tục như giới hạn của một tổng. Riemann (1854), chỉ đơn thuần là một phần bên ngoài trong luận án nổi tiếng của ông về chuỗi lượng giác, định nghĩa tích phân cho các hàm tổng quát hơn. Trong phần tiếp theo chúng ta miêu tả ngắn gọn lý thuyết tích phân Riemann và mở rộng của nó bởi Bois-Reymond và Darboux. Lý thuyết tổng quát hơn của Lebesgue (1902) không được khảo sát ở đây. Trong định nghĩa của tích phân xác định đã sử dụng tiếp cận tính diện tích của một hình phẳng cũng như tính khối lượng của một vật phẳng khi biết hàm mật độ khối. Vì thế, tích phân xác định từ nội tại đã có những ứng dụng Hình học và Vật lý. Ứng dụng tích phân trong hình học, như tính diện tích của một hình phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tích của mặt tròn xoay, v.v đã được đề cập khá nhiều trong các sách giáo khoa, sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thi vào Đại học nhiều năm. Vật lý học là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, các công thức của Vật lý thường được xây dựng trên các biểu thức Toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. Việc sử dụng Toán học có hiệu quả trong việc giải các bài toán của Vật lý là việc rất khó đối với học sinh phổ thông, kể cả các học sinh khá, giỏi. So với những ứng dụng của tích phân trong Hình học sơ cấp thì tài liệu giới thiệu về ứng dụng của tích phân giải các bài toán của Cơ học và Vật lý sơ cấp chưa có nhiều và khá sơ sài.Vì vậy chúng tôi đã chọn đề tài về ứng dụng 2 của tích phân trong Hình học, Cơ học và Vật lý làm Luận văn Thạc sĩ Khoa học. Theo chúng tôi được biết, đề tài trên đây cũng đã được đề cập trong Luận văn Thạc sĩ Khoa học [5], năm 2011. Tuy nhiên trong tài liệu này chỉ thấy trình bày lý thuyết tóm tắt của tích phân trong Hình học và Cơ học mà chưa thấy có các bài toán áp dụng, đặc biệt là các bài toán khó và các bài toán của vật lý sơ cấp. Luận văn này gồm có; Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann. Kiến thức của chương này có thể tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép tính vi phân và tích phân. Chương 2 trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình học. Nội dung của chương này dựa trên nhiều tài liệu, đặc biêt là các tài liệu [1], [4] và các đề tuyển sinh Đại học trong nhiều năm. Chương 3 trình bày ứng dụng phép tính tích phân trong các bài toán của vật lý. Chương này là nội dung chính của luận văn. Mục 3.1 trình bày sơ đồ tổng quát áp dụng tích phân xác định vào các bài toán của cơ học và vật lý. Ngoài việc hiểu các kiến thức cần thiết của Vật lý còn phải biết Toán học hóa bài toán của Vật lý, như đưa vào các biến cần thiết, xét hệ tọa độ thích hợp. Vấn đề quan trọng trong ứng dụng phép tính tích phân là trước hết phải biết vi phân các đại lượng, sau đó dùng các định luật của Vật lý thiết lập các đại lượng vi phân nguyên tố, sau đó mới tích phân các đại lượng vi phân nguyên tố này, v.v 3 Chương 1 Tích phân xác định Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann. Kiến thức của chương này có thẻ tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến, đặc biệt là các tài liệu [1], [4]. 1.1 Tích phân xác định và lớp hàm khả tích Rie- mann 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định • Một phân hoạch của khoảng [a, b] thành các khoảng con là tập hữu hạn các điểm ∆ = {x 0 , x 1 , . . . , x n }, trong đó a = x 0 < x 1 < ··· < x n = b. Một phân hoạch ∆  của [a, b] được gọi là sự làm mịn của ∆ nếu nó chứa tất cả các điểm của ∆, tức là ∆  ⊃ ∆. • Giả sử f : [a, b] → R là một hàm tùy ý. Nếu ∆ = {x 0 , x 1 , . . . , x n }, là một phân hoạch của [a, b], khi đó một cách lựa chọn gắn với ∆ là một lớp hữu hạn ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ) sao cho ξ i−1 ≤ ξ i ≤ ξ i+1 với i = 1, . . . , n. Ta gắn với f, ∆ và ξ tổng Riemann S(f; ∆, ξ) xác định bởi S(f; ∆, ξ) = n  i=1 f(ξ i )(x i − x i−1 ). • Ta nói rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu tồn tại một số thực I với tính chất sau: với bất kỳ ε > 0, tồn tại một phân hoạch ∆ của [a, b] sao cho 4 |S(f; ∆, ξ) − I| < ε, với mọi cách lựa chọn ξ gắn với ∆. Số I được gọi là tích phân của f trên [a, b] và ký hiệu bằng  b a f(x)dx. Như vậy, theo định nghĩa ta có  b a f(x)dx = lim max ∆x i →0 n  i=1 f(ξ i )∆x i , ∆x i = x i − x i−1 . (1.1) Chú ý 1.1. Tích phân xác định không phụ thuộc vào sự lựa chọn biến lấy tích phân:  b a f(x)dx =  b a f(y)dy =  b a f(t)dt, . 1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann • Nếu tích phân xác định trên [a, b] của hàm f tồn tại, thì ta nói hàm f khả tích trên [a, b]. Chúng ta có các lớp hàm sau khả tích trên đoạn [a, b]: f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b], f(x) liên tục trên [a, b], f(x) liên tục từng khúc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên đoạn [a, b]. Đặc biệt, nếu ta thay đổi giá trị của một hàm khả tích tại hữu hạn điểm, thì hàm số vẫn khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi. Hàm bị chặn có thể không khả tích. Để minh họa, xét hàm Dirichlet sau đây. Ví dụ 1.1. Hàm Dirichlet được xác định bởi công thức f(x) =    1 nếu x ∈ Q 0 nếu x ∈ R\Q. Chúng ta sẽ chứng tỏ hàm f không khả tích trên bất kỳ khoảng [a, b]. Thật vậy, với bất kỳ phân hoạch ∆ = {x 0 , x 1 , . . . , x n } của [a, b], mỗi khoảng [x i−1 , x i ] chứa cả số hữu tỷ và số vô tỷ. Do đó, tồn tại hai cách chọn ξ và ξ  gắn với ∆ sao cho S(f; ∆, ξ) = b − a và S(f; ∆, ξ  ) = 0. Do đó, f không khả tích trên [a, b]. Ta cũng chỉ ra rằng hàm này gián đoạn toàn phần, tức là gián đoạn tại mọi điểm. 5 • Trong phần tiếp theo chúng tôi miêu tả một phương pháp tiếp cận tính khả tích Riemann khác. Ta định nghĩa tổng Darboux dưới và tổng Darboux trên gắn với f : [a, b] → R và cách chia ∆ = {x 0 , x 1 , . . . , x n } của [a, b] là S − (f; ∆) = n  i=1 m i (x i − x i−1 ), S + (f; ∆) = n  i=1 M i (x i − x i−1 ), trong đó m i = inf x i−1 ≤x≤x i , M i = sup x i−1 ≤x≤x i . Khi đó S − (f; ∆) ≤ S + (f; ∆), và ngoài ra, S − (f; ∆) ≤ S(f; ∆, ξ) ≤ S + (f; ∆), với cách chọn ξ gắn với cách chia ∆. Hơn nữa, nếu ∆  là phép làm mịn của ∆, thì S − (f; ∆) ≤ S − (f; ∆  ) ≤ S + (f; ∆  ) ≤ S + (f; ∆), nếu ∆ 1 và ∆ 2 là hai cách chia tùy ý, thì S − (f; ∆ 1 ) ≤ S + (f; ∆ 2 ). Điều này chỉ ra tập các tổng Darboux dưới của f bị chặn trên bởi mọi tổng Darboux trên và tập các tổng Darboux trên của một hàm nhất định được bị chặn dưới bởi bất kỳ tổng Darboux dưới. Do đó, ta khảo sát cận trên đúng của tổng Darboux dưới và cận dưới đúng của tổng Darboux trên. Ta định nghĩa tích phân Darboux dưới  b a f(x)dx := sup ∆ S − (f; ∆) và tích phân Darboux trên  b a f(x)dx := inf ∆ S + (f; ∆). Các tiêu chuẩn tích phân sau là của Darboux Định lý 1.1. Một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi với bất kỳ ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho S + (f; ∆) −S − (f; ∆) < ε, với mọi phân hoạch ∆ = {x 0 , x 1 , . . . , x n } với max i (x i − x i−1 ) < δ. [...]... hàm của một hàm số trong nhiều trường hợp lại rất phức tạp Trong một số trường hợp, mặc dù không tìm được nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, nhưng vẫn có thể tính được tính phân xác định dễ dàng nhờ 12 tính chất nào đó của hàm dưới dấu tích phân, nhất là tính chất chẵn-lẻ của hàm số Để minh họa, xét một số bài toán sau đây Mệnh đề 1.1 Cho hàm f (x) b f (x) dx = x −b a + 1 b f (x)dx (1.10) 0 Chứng... cần phải chứng minh 1.3.2 Nguyên hàm • Hàm F (x) xác định theo công thức (1.7) là một nguyên hàm của hàm f (x) Hai nguyên hàm bất kỳ của một hàm số sai khác nhau bởi một hằng số tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x) được ký hiệu là f (x)dx và được gọi là tích phân bất định của hàm số f (x) Như vây f (x)dx = F (x) + C (1.8) • Bảng tích phân bất định Như thường lệ, ta quy ước hiểu C là hằng số 1 2 3... dx −a −a −a a a = a 2 dxdy (2.2) −a Rõ ràng là tích phân của hàm hai biến F (x, y) = e−(x 2 +y 2 ) theo hình vuông [−a ≤ x ≤ a] × [−a ≤ y ≤ a] nhỏ hơn tích phân của hàm số này theo hình tròn ngoại tiếp hình vuông nói trên và lớn hơn tích phân của hàm số này theo hình tròn nội tiếp hình vuông nói trên Để tính các tích phân theo các hình tròn, chúng ta sử dụng tọa độ cực (r, θ) : x = r cos θ, y = r sin... + C 2 2 1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân 1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz Tích phân của các hàm chẵn, hàm lẻ Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên đoạn [a, b] thì ta có công thức Newton- Leibnitz: b b = F (b) − F (a) f (x)dx = F (x) a (1.9) a Như vậy việc tính tích phân xác định trở thành đơn giản nếu biết nguyên hàm ( tích phân bất định )của hàm số dưới dấu tích phân ở dạng hiển Tuy... trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình học Nội dung của chương này dựa trên nhiều tài liệu, đặc biêt là các tài liệu [1], [4] và các đề tuyển sinh Đại học trong nhiều năm 2.1 Tính diện tích hình phẳng 2.1.1 Cơ sở lý thuyết • Xét đường cong y = f (x), x ∈ [a, b] Với x ∈ (a, b) xét hình chữ nhật nguyên tố với cạnh nằm ngang là dx, cạnh thẳng ứng |y| = |f (x)| Khi đó diện tích của hình chữ... −1 9 = 2 2 Tích phân J2 có điểm kỳ dị x = 1 Tuy nhiên hàm dưới dấu tích phân có 1 nguyên hàm F (x) = (arcsin x)2 liên tục tai x = 1, do đó 2 1 0 1 arcsin x √ dx = (arcsin x)2 2 1 − x2 1 0 π2 = 8 2 Tích phân J3 có kỳ dị x = 0, hàm dưới dấu tích phân có nguyên hàm F (x) = x ln x − x → 0 khi x → +0 Do đó 1 1 lnxdx = (xlnx − x) = −1 0 0 27 Chương 2 Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học Chương... nói các tích phân suy rộng loại một này hội tụ Ngược lại, nếu các giới hạn tương ứng của các tích phân không tồn tại hoặc bằng vô cùng, ta nói các tích phân suy rộng này phân kỳ Mệnh đề 1.3 Giả sử với mọi x ∈ [a, ∞), 0 ≤ f (x) ≤ g(x) Khi đó từ 1 ∞ ∞ g(x)dx suy ra hội tụ của hội tụ của a ∞ ∞ f (x)dx suy ra sự phân kỳ của g(x)dx a 2 f (x)dx, từ sự phân kỳ của a a Nếu hàm f (x) khả tích trên một đoạn... diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm 2 số f (x) = e−x và các đường thẳng x = −a, x = a, y = 0 Chứng minh bất đẳng thức π(1 − e−a2 ) < S < π(1 − e−2a2 ) (2.1) Giải Diện tích của hình phẳng được tính theo công thức a 2 e−x dx S = S(a) = −a Tích phân trên đây không thể tính bằng các phương pháp thông thường Để tính tích phân này chúng ta vận dụng phương pháp tính tích phân Gauss trong. .. x2 − a2 | + C 2 2 17 1.4.4 Đổi biến trong tích phân xác định Định lý 1.8 Giả sử cần tính tích phân xác định ∈b f (x)dx, trong đó f (x) là a hàm liên tục trong khoảng [a, b] Thực hiện đổi biến x = ϕ(t) với ϕ(t) thỏa mãn các yêu cầu sau đây 1) ϕ(t) xác định và liên tục trong khoảng [α, β] và nhận giá trị trong khoảng [a, b] 2) ϕ(α) = a, ϕ(β) = β 3)Tồn tại trong [α, β] đạo hàm liên tục ϕ (t) Khi đó có đẳng... diện tích của hình elip có các bán trục a, b Giải Hình elip giới hạn bởi elip có phương trình x2 y 2 + = 1 a2 b2 Do tính chất đối xứng của elip qua các trục tọa độ và do phương trình tham số của elip: x = a cos t; y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, nên ta có: π 2 S=4 a.b sin2 tdt = πab 0 Bài toán 2.3 Hãy tính diện tích của hình giới hạn bởi trục hoành và một nhịp của đường Cycloid, cho bởi phương trình tham số: . có những ứng dụng Hình học và Vật lý. Ứng dụng tích phân trong hình học, như tính diện tích của một hình phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tích của mặt tròn. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HÒA MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người