Sử dụng phần mềm Maple tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số

Vì vậy, sử dụng phần mềm Maple vào tính vi phân và tích phân của hàm nhiềubiến số sẽ giúp sinh viên tiết kiệm thời gian làm bài, đưa ra kết quả với độ chínhxác cao.. Vì vậy, chúng tôi ng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Chiến lược phát triển giáo dục Đại học - Cao đẳng từ năm 2005 đến 2020 làtừng bước đổi mới nội dung, chương trình, giáo trình và phương pháp dạy học.Một trong những khâu then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học làrèn luyện kĩ năng tự học - tự thích ứng cho sinh viên Trong dạy toán, việc sửdụng các phần mềm Mathematic, Maple, Cabri Geometry, Mathcad…vào hỗ trợdạy học, tự nghiên cứu của sinh viên là vấn đề rất cần thiết Từ đó định hướngđược cách dạy của người dạy cho người học và cách học của người học trên sự

hỗ trợ của phần mềm toán học Hiện nay, công nghệ thông tin được sử dụngrộng rãi, những ứng dụng của công nghệ thông tin vào dạy học trong nhà trườngđang phát triển rất mạnh mẽ, mỗi ngành học đều có thể sáng tạo cho riêng mìnhnhững phần mềm hoặc sử dụng một phần mềm nào đó của chương trình có sẵnnhằm nâng cao chất lượng dạy và học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tintrong giáo dục và đào tạo…theo hướng sử dụng công nghệ thông tin như mộtcông cụ đắc lực nhất cho đổi mới phương pháp giáo dục, học tập ở tất cả cácmôn học Đặc biệt đối với bộ môn giải tích là một môn toán cơ bản, là cơ sở đểsinh viên đi sâu vào nghiên cứu toán học

Với yêu cầu cao của việc học hiện nay, nếu giải toán bằng những cáchthông thường thì sẽ mất nhiều thời gian, đòi hỏi mỗi sinh viên phải tính toán với

độ chính xác cao Tuy nhiên, việc đưa ra kết quả cuối cùng có thể đúng hoặc sai

Vì vậy, sử dụng phần mềm Maple vào tính vi phân và tích phân của hàm nhiềubiến số sẽ giúp sinh viên tiết kiệm thời gian làm bài, đưa ra kết quả với độ chínhxác cao

Do đó, ứng dụng Maple vào tự học, tự nghiên cứu sinh viên có thể kiểm trađược kiến thức toán học của mình và tạo ra những tư duy mới về toán học.Ngoài ra, phần mềm Maple hỗ trợ chúng ta biên soạn những bài giảng theo giáotrình điện tử một cách sinh động, góp phần vào đổi mới phương pháp dạy họchiện nay

Vì vậy, chúng tôi nghiên cứu đề tài: “ Sử dụng phần mềm Maple tự học

học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số”

2 Mục đích , nhiệm vụ nghiên cứu

 Mục đích nghiên cứu

- Tích cực hoá hoạt động tự học của sinh viên góp phần nâng cao hiệuquả học tập, chất lượng học tập của sinh viên.

- Xử lý các bài tập phức tạp một cách đơn giản hơn

 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo ttrình liên quan đến phép tính vi phân

và tích phân của hàm nhiều biến số

- Nghiên cứu cách sử dụng phần mềm Maple tính vi phân và tích phâncủa hàm nhiều biến số Từ đó áp dụng giải một số ví dụ và bài tập để củng cố líthuyết

3 Đối tượng, phạm vi ngiên cứu

Đối tượng nhiên cứu: Vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số

Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng phần mềm Maple nghiên cứu học phần phéptính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu, giáo trình, tạp chí giớithiệu về phần mềm Maple và ứng dụng vào tính vi phân và tích phân của hàmnhiều biến số

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáotrình rút ra được các kinh nghiệm để giải một số bài toán bằng phần mềmMaple

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìmhiểu sâu hơn về các phần mềm tính vi phân và tích phân trên máy tính mà cụ thể

là sử dụng phần mềm Maple

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương:

Chương 1: Giới thiệu phần mềm Maple

Chương này đã giới thiệu các Menu cơ bản trong màn hình làm việc củaMaple và nhóm các câu lệnh tính toán, xử lí các vấn đề trong phép tính vi phân

và tích phân của hàm nhiều biến số

Chương 2: Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số

Chương này trình bày một số định nghĩa: hàm nhiều biến số, giới hạn, đạohàm riêng, vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số Cách tính tổng quát vàmột số ví dụ

Chương 3: Sử dụng phần mềm Maple tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số

Chương này trình bày cách sử dụng phần mềm Maple vẽ đồ thị của hàm haibiến số, cách tính giới hạn, đạo hàm riêng, vi phân và tích phân của hàm nhiềubiến số, các ví dụ minh hoạ Một số bài tập áp dụng

Chương 1 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM MAPLE1.1 Giao diện và môi trường làm việc của Maple

1.1.1 Phần mềm Maple là kết quả của nhóm các nhà khoa học trường đại học

Waterloo – Canada và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử dụngrộng rãi nhất hiện nay

MAPLE là một phần mềm có một môi trường tính toán khá phong phú, hỗtrợ hầu hết các lĩnh vực của toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình thức,

…do đó ta dễ dàng tính được các giá trị gần đúng, rút gọn biểu thức, giảiphương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tíchphân của hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, biến đổi ma trận, khai triểncác chuỗi, tính toán thống kê, xử lí số liệu, số phức, phương trình vi phân,phương trình đạo hàm riêng…và lập trình giải các bài toán với cấu trúc chươngtrình đơn giản Ngoài ra với phần mềm này ta dễ dàng biên soạn các sách giáokhoa điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản màkhông cần đến sự hỗ trợ của bất kỳ một phần mềm nào khác (chẳng hạnPageText, Word, FrontPage…) Với chức năng trên, Maple là công cụ đắc lực

hỗ trợ cho những người làm toán

1.1.2 Làm việc với Maple

 Khởi động Maple

Nếu Maple được cài đặt đúng quy trình, để làm việc với Maple ta chọn:

Start Programs Maple 9.5 Classic Worksheet Maple 9.5 hoặc bấm chuộtvào biểu tượng của Maple 9 trên màn hình

 Thoát khỏi Maple

Để thoát khỏi Maple ta vào menu File Exit (hoặc nhấn Alt + F4 hoặc nháyvào biểu tượng [X] phía trên góc phải cửa sổ chương trình) Nếu nội dung làmviệc chưa được lưu trữ, Maple sẽ nhắc ta có lưu trữ hay không Ta chọn Yeshoặc No để ghi hoặc không ghi lại, chọn Cancel là tiếp tục làm việc

Giao diện của cửa sổ làm việc của Maple

Giao diện làm việc của Maple gồm các thành phần cơ bản như sau:

+ Title Bar (Thanh tiêu đề): Dòng chứa tên chương trình và tệp đang mở + Menu Bar (Thực đơn ngang): Dòng chứa các chức năng, ứng với mỗi

chức năng là một thực đơn dọc tương ứng

+ Tool Bar (Thanh công cụ): Chứa một số biểu tượng (Icon) thể hiện một số

lệnh thông dụng để người sử dụng thao tác nhanh

+ Status line (Thanh trạng thái): Cho biết thời gian thực hiện lệnh, dung

lượng nhớ cho các biến chiếm khi thực hiện chương trình và dung lượng bộ nhớcòn trống

+ Ngoài ra trong chế độ văn bản Maple còn có thanh công cụ FormattingBar dùng để định dạng văn bản

1.1.3 Các thao tác cơ bản trong Maple

 Quản lý thông tin với Maple

Với Maple, các thao tác cơ bản như: lưu trữ tệp, mở một tệp đã có, mở mộttệp mới…hoàn toàn tương tự như các phần mềm quen thuộc trong môi trườngWindows như Winword, Excell…

Cách 3: Nhấn vào nút CLOSE[x] để đóng cửa sổ soạn thảo

 Các thao tác hỗ trợ khi soạn thảo với Maple

+ Đánh dấu đoạn

 Đánh dấu bằng chuột: Đặt con trỏ vào đầu đoạn văn bản cầnchọn đồng thời ấn và giữ phím trái rồi rê tới cuối đoạn cần chọn sau đó buôngphím trái ra Nếu muốn huỷ phần vừa chọn hãy dịch trỏ chuột thoát ra khỏi vùngvừa chọn rồi ấn phím trái Phần vừa chọn sẽ bị huỷ bỏ và trở lại trạng thái bìnhthường

 Đánh dấu bằng bàn phím: Đưa con trỏ đến vị trí đầu đoạn,bấm giữ phím Shift và di chuyển con trỏ đến vị trí cuối đoạn (Bằng các phímđiều khiển con trỏ)

 Đánh dấu cả tệp: Từ bàn phím gõ vào tổ hợp phím Ctrl + Ahoặc kích chuột vào Menu Edit, chọn Seclect All

+ Cắt xoá đoạn

 Đánh dấu đoạn cần xoá

 Nháy chuột vào Menu Edit, chọn Cut hoặc bấm Ctrl + X từ bàn phím

 Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào

 Từ bàn phím ta còn có thể nhấn phím Del

+ Sao chép một đoạn

 Đánh dấu đoạn cần sao chép

 Nháy chuột vào Menu Edit, chọn Copy hoặc nhấn Ctrl + C từ bàn phím.Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào

 Đặt con trỏ chuột vào nơi cần sao chép đến

 Nháy chuột vào Menu Edit, chọn Paste hoặc nhấn Ctrl + V từ bàn phím.Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào hoặc có thể đặt con trỏ chuột vàođoạn đã được chọn cần chọn đồng thời phím Ctrl và giữ phím trái rồi rê tới nơicần sao chép đến sau đó buông chuột ra

 Định dạng các đối tượng trong Maple

Để định các đối tượng trong Maple, như thay đổi kiểu chữ của các dòng lệnh,các dòng thông báo kết quả, lề,…ta tiến hành như sau:

Bước 1: Lựa chọn đối tượng

Bước 2: Format Paragraph Khi đó có bảng để chọn các tham số

Để thay đổi các thông số ngầm định, ta chọn: Format Styles Xuất hiệnbảng để ta khai báo các thông số cần xác định

 Các đối tượng cơ bản tích hợp trong một tệp tin của Maple

+ Worksheet là môi trường mà sử dụng có thể tính toán, thực hành – còn

được gọi là trang công tác Khi sử dụng lưu trữ các kết quả lên đĩa từ,Worksheet được ghi thành một File phần mở rộng ngầm định là: MWS

Worksheet của Maple thường có những thành phần sau:

 Cụm xử lí (Execution group): Bao gồm các đối tượng cơ bản của Maple

như: Lệnh, kết quả tính toán của Maple, đồ thị,…

Để tạo một cụm xử lí ta kích chuột vào biểu tượng [> trên thanh công cụ hoặcchọn: Insert Excecution Group After cusor

 Đoạn (Paragraph): Khái niệm Paragraph với Maple được hiểu như khái

niệm Paragraph của phần mềm soạn thảo văn bản Winword Để tạo mộtParagraph mới ta thao tác: Insert Paragraph After cursor

 Mục (Section): Mục có thể coi như các modul thành phần cấu thành nên

trang công tác Một trang có thể gồm nhiều mục, mỗi mục có thể chứa nhữngđoạn và những mục con Biểu tượng của mục là dấu [+], nếu ta nháy chuột vàobiểu tượng này thì nội dung của mục được trải ra và biểu tượng của mục sẽ biếnthành [-], nếu ta nháy chuột vào biểu tượng [-] này thì nội dung của mục sẽ thulại

Để tạo mục mới ta chọn: Insert Section

 Siêu liên kết (Hyperlink): Khái niệm siêu liên kết chúng đã trở nên rất

quen thuộc với chúng ta trong thời đại bùng nổ internet Một siêu liên kết là đốitượng nếu ta kích hoạt vào đó thì sẽ dẫn ta đến một đoạn, một mục hay mộtWorksheet nào khác Để tạo siêu liên kết ta chọn đối tượng mang siêu liên kếtsau đó chọn: Format Convert to Hyperlink

Tại mục: Link Target có các sự lựa chọn:

URL: Liên kết đến một địa chỉ websize nào đó.

Worksheet: Liên kết đến một tệp nào đó của Maple.

Help Topic: Chuyển đến chủ đề nào đó trong nội dung Help của Maple.

Bookmark: Chuyển đến một bookmark nào đó đã được định nghĩa trước đó.

Có thể nhấn Browse để tìm kiếm địa chỉ đích của mối liên kết Khai báo songnhấn OK để hoàn tất

 Văn bản (Text): Là đối tượng được sử dụng rất nhiều trong Maple với

mục đích cung cấp thông tin dưới dạng văn bản

Để tạo đoạn văn bản mới ta kích chuột vào biểu tượng chữ [T] trên thanhTool Bar hoặc có thể chọn: Insert Text

 Lệnh và kết quả của Maple (Maple Input and Output)

Lệnh của Maple (Maple Input) là những từ tựa tiếng anh được sử dụng theomột nghĩa nhất định và phải tuân theo cú pháp của Maple Lệnh được nhập saudấu nhắc lệnh “[>” và kết thúc bởi dấu “:” hoặc “;”

Mỗi câu lệnh của Maple nếu kết thúc lệnh bằng dấu (;) kết quả sẽ hiển thịngay ra màn hình, nếu kết thúc lệnh bằng dấu (:) thì Maple vẫn tiến hành tínhtoán bình thường nhưng kết quả không hiển thị ra màn hình Lệnh được thựchiện khi con trỏ ở trong hoặc ở cuối dòng lệnh mà ta nhấn Enter

Lệnh của Maple có hai loại: Lệnh trơ và lệnh trực tiếp Lênh trơ và lệnh trựctiếp chỉ khác nhau ở chữ cái đầu tiên của lệnh trơ viết in hoa, lệnh trực tiếp chokết quả ngay còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng

Kết quả tính toán (Maple Output) sẽ được đưa ra màn hình, thường là màuxanh cô ban khi ta nhấn phím entrer để thực hiện câu lệnh

Tuy nhiên, Maple cũng có chế độ cho phép thực hiện nhóm các câu lệnh đểngười sử dụng thực hiện một nhóm các câu lệnh nhằm giải quyết một số vấn đềnào đó

Đồ thị (Graph): Maple cho phép vẽ và hiển thị đồ thị trong trang công tác,

tính năng này được gọi là “ Khả năng đồ hoạ trực tiếp”

1.2 Nhóm các câu lệnh tính toán, xử lý các vấn đề trong phép tính vi phân

và tích phân của hàm nhiều biến số

Lệnh của Maple có hai loại lệnh trơ và lệnh trợc tiếp: Lệnh trơ và lệnh trựctiếp chỉ khác nhau ở chữ cái đầu tiên của lệnh trơ viết in hoa, lệnh trực tiếp chokết quả ngay còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng

+ Giới hạn của hàm hai biến số:

[> diff(f(x, y), x, y);

hoặc [> diff(f(x, y), y);

[> diff(f(x, y), y$2);

[> diff(f(x, y), y, x);

+ Đồ thị

[> plot3d(f(x,y), x=a b, y=c d);

+ Tích phân bội hai

( , )dxd

D

f x y y

 với D x y a x b c x d,  \   ,   

With( student):

Doubleint(f, x, y): tích phân bất định

hoặc Doubleint(f, x, y, Domain)

hoặc Doubleint( f(x, y), x = a b, y = c d ): Tích phân xác định

Tích phân lặp 2 của hàm hai biến

[> int(int(f(x, y), y = y[1](x) y[2](x)), x = a b);

Tích phân lặp 3 của hàm ba biến

[> int(int(int(f(x, y, z),z = z[1](x, y) z[2](x, y)), y = y[1](x) y[2](x)), x = a b);

1.3 Các Menu cơ bản trong màn hình làm việc của Maple

1.3.1 File

Chứa các lệnh liên quan tới làm việc với một file cụ thể:

 New: Tạo một file mới (di mũi tên về biểu tượng New, nháy chuột trái)

 Open: Mở một file đã có (di mũi tên vào biểu tượng Open, nháy chuột trái,chọn file đã có cần mở, nháy đúp chuột trái)

 Save: Ghi các thông tin đang soạn thảo

 Save As: Ghi file đang mở sang một file mới và đặt tên cho file mới này

 Export As: Chuyển đổi file đã soạn thảo bằng Maple sang một số dạngkhác như Plain Text, Latex, HTML,…

 Close: Đóng file đang làm việc

 Print: In file đang làm việc

 Exit: Thoát khỏi Maple

 Toolbar: Chứa các lệnh tắt khi làm việc với văn bản thể hiện bằng biểutượng Ví dụ khi kích chuột trái vào ô có chứa chữ T tương đương với việc đưa

về soạn thảo văn bản (Insert text)

 Context Bar: Chứa tập hợp lệnh hỗ trợ cho việc định dạng văn bản (inđậm, in nghiêng, chọn font, cỡ chữ,…)

 Zoom Factor: Chứa các lệnh về điều khiển kích cỡ của font chữ của trangđang làm việc trên màn hình

 Expand All Sections: Mở tất cả các mục trong trang đang làm việc

 Collapse All Sections: Đóng tất cả các mục của trang đang làm việc

 Subsection: Chèn một mục con (của mục đang chứa con trỏ)

 Math input: Chèn trực tiếp một biểu thức toán học vào vị trí con trỏ

 Hyperlink: Liên kết với các file đã có hoặc dịch chuyển con trỏ giữa cáctrang làm việc

Chứa các lệnh về sắp xếp tầng các trang làm việc hoặc đóng các trang làmviệc đã được mở.

 Cascade: Xếp tầng các trang làm việc được mở

 Tile: Xếp kề các trang làm việc đang được mở

 Horizontal: Xếp tầng những trang làm việc theo chiều ngang

 Close All: Sau khi thực hiện lệnh này tất cả các trang đã mở sẽ bị đóng lại

 Close All Help: Đóng tất cả các trợ giúp của Maple đã được mở trước đó

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ2.1 Hàm nhiều biến số

Khi đó f là một hàm số của n biến số độc lập x x1, , ,2 x xác định trên D Trong n

trường hợp hàm hai biến số ta dùng kí hiệu: z f x y( , )

Tập hợp tất cả các giá trị x x1, , ,2 x làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi n

là miền xác định của hàm số f Kí hiệu: Df

Nếu tương ứng cặp giá trị ( , )x y với một điểm M x y( , ) trong mặt phẳngOxy thì miền xác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳngtrên tại những điểm đó hàm số được xác định Vì vậy, miền xác định của hàm sốhai biến thường được biểu diễn hình học Tập hợp các giá trị w được xác định

bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàm số

2.1.2 Giới hạn của hàm hai biến số

1

x y





(*) 2 ( , )

2( , )

Có thể xảy ra là: Một trong hai giới hạn tồn tại, giới hạn kia không.

Ví dụ 2.4: Xét giới hạn lặp của hàm số f x y( , ) xsin1

+ Nếu hàm số zf x y( , )0 có đạo hàm tại x thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm0

riêng của hàm số zf x y( , ) tại điểm ( , )x y và ký hiệu: 0 0 '

+ Nếu hàm số zf x y( , )0 có đạo hàm tại y0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm

riêng của hàm số zf x y( , ) tại điểm ( , )x y và ký hiệu: 0 0 '

 Tính đạo hàm riêng của hàm hai biến số

(x0, y0) là một điểm bất kì thuộc D nên khi tính đạo hàm ta thường tính trực tiếp

từ công thức zf x y( , ) bằng cách coi x hoặc y là hằng số Chỉ sau đó mới

thay các giá trị x , 0 y khi cần tính đạo hàm tại một điểm xác định.0

Giả sử hàm số uf x y( , ) xác định trong một miền mở D nào đó và giả sử

ta dịch chuyển điểm P x y( , )D sang điểm P’(x x y,  y)D Ta sẽ gọi là

vi phân của hàm số u f x y( , ) tại điểm P(x, y) biểu thức dạng:

du A x B y    (2.1)Trong đó A và B không phụ thuộc vào x, y (nhưng nói chung phụthuộc vào x, y) và  u du 0( )p khi p x2  y2  0 (2.2)

+ Miền lấy tích phân D giới hạn bên trái, bên phải các đường thẳng, x (a )

x a b b và giới hạn dưới và trên bởi các đường cong liên tục

x b

y d

 bằng phương pháp tích phân lặp theo cácthứ tự tích phân khác nhau Trong đó D giới hạn bởi các đường: x = 2, y = x vàhypebol xy = 1

y x x

( , )

n

k k k k

Nếu tồn tại giới hạn (2.5) thì giới hạn đó được gọi là tích phân hai lớp của hàm

số f(x, y) trên miền D và ký hiệu là:

x b

( , )

y d

Do đó miền D được biểu diễn

D={(x,y):-2 y 4;y2   x y 4} I=

2

4 4 2

y y

dy xydx



  =

4 22

( 2

x y

Tại các điểm đối xứng với đường chéo x y  của hình vuông

0 x ,0 y  hàm f x y( , )= os(c x y ) nhận những giá trị bằng nhau nên:

+ Đổi biến trong tích phân kép

Đổi biến tổng quát

Giả sử x x u v ( , ), yy u v( , ) là hai hàm có đạo hàm riêng liên tục trênmiền đóng, bị chặn D uv

Gọi D = xy  x y, / x x u v y y u v u v ( , );  ( , ),( , )D uv

Nếu f x y khả tích trên  ,  D và định thức Jacobi xy

r rc