Sử dụng phần mềm Maple tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Chiến lược phát triển giáo dục Đại học - Cao đẳng từ năm 2005 đến 2020 là từng bước đổi mới nội dung, chương trình, giáo trình và phương pháp dạy học. Một trong những khâu then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học là rèn luyện kĩ năng tự học - tự thích ứng cho sinh viên. Trong dạy toán, việc sử dụng các phần mềm Mathematic, Maple, Cabri Geometry, Mathcad…vào hỗ trợ dạy học, tự nghiên cứu của sinh viên là vấn đề rất cần thiết. Từ đó định hướng được cách dạy của người dạy cho người học và cách học của người học trên sự hỗ trợ của phần mềm toán học. Hiện nay, công nghệ thông tin được sử dụng rộng rãi, những ứng dụng của công nghệ thông tin vào dạy học trong nhà trường đang phát triển rất mạnh mẽ, mỗi ngành học đều có thể sáng tạo cho riêng mình những phần mềm hoặc sử dụng một phần mềm nào đó của chương trình có sẵn nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong giáo dục và đào tạo…theo hướng sử dụng công nghệ thông tin như một công cụ đắc lực nhất cho đổi mới phương pháp giáo dục, học tập ở tất cả các môn học. Đặc biệt đối với bộ môn giải tích là một môn toán cơ bản, là cơ sở để sinh viên đi sâu vào nghiên cứu toán học. Với yêu cầu cao của việc học hiện nay, nếu giải toán bằng những cách thông thường thì sẽ mất nhiều thời gian, đòi hỏi mỗi sinh viên phải tính toán với độ chính xác cao. Tuy nhiên, việc đưa ra kết quả cuối cùng có thể đúng hoặc sai. Vì vậy, sử dụng phần mềm Maple vào tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số sẽ giúp sinh viên tiết kiệm thời gian làm bài, đưa ra kết quả với độ chính xác cao. Do đó, ứng dụng Maple vào tự học, tự nghiên cứu sinh viên có thể kiểm tra được kiến thức toán học của mình và tạo ra những tư duy mới về toán học. Ngoài ra, phần mềm Maple hỗ trợ chúng ta biên soạn những bài giảng theo giáo trình điện tử một cách sinh động, góp phần vào đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Vì vậy, chúng tôi nghiên cứu đề tài: “ Sử dụng phần mềm Maple tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số” 2. Mục đích , nhiệm vụ nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu - Tích cực hoá hoạt động tự học của sinh viên góp phần nâng cao hiệu quả học tập, chất lượng học tập của sinh viên. - Xử lý các bài tập phức tạp một cách đơn giản hơn. • Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu những tài liệu, giáo ttrình liên quan đến phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. - Nghiên cứu cách sử dụng phần mềm Maple tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. Từ đó áp dụng giải một số ví dụ và bài tập để củng cố lí thuyết. 3. Đối tượng, phạm vi ngiên cứu Đối tượng nhiên cứu: Vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng phần mềm Maple nghiên cứu học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu, giáo trình, tạp chí giới thiệu về phần mềm Maple và ứng dụng vào tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút ra được các kinh nghiệm để giải một số bài toán bằng phần mềm Maple. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phần mềm tính vi phân và tích phân trên máy tính mà cụ thể là sử dụng phần mềm Maple. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương: Chương 1: Giới thiệu phần mềm Maple Chương này đã giới thiệu các Menu cơ bản trong màn hình làm việc của Maple và nhóm các câu lệnh tính toán, xử lí các vấn đề trong phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. Chương 2: Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số Chương này trình bày một số định nghĩa: hàm nhiều biến số, giới hạn, đạo hàm riêng, vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. Cách tính tổng quát và một số ví dụ. Chương 3: Sử dụng phần mềm Maple tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số Chương này trình bày cách sử dụng phần mềm Maple vẽ đồ thị của hàm hai biến số, cách tính giới hạn, đạo hàm riêng, vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số, các ví dụ minh hoạ. Một số bài tập áp dụng. Chương 1 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM MAPLE 1.1. Giao diện và môi trường làm việc của Maple 1.1.1. Phần mềm Maple là kết quả của nhóm các nhà khoa học trường đại học Waterloo – Canada và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay. MAPLE là một phần mềm có một môi trường tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình thức, …do đó ta dễ dàng tính được các giá trị gần đúng, rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, biến đổi ma trận, khai triển các chuỗi, tính toán thống kê, xử lí số liệu, số phức, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng…và lập trình giải các bài toán với cấu trúc chương trình đơn giản. Ngoài ra với phần mềm này ta dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản mà không cần đến sự hỗ trợ của bất kỳ một phần mềm nào khác (chẳng hạn PageText, Word, FrontPage…). Với chức năng trên, Maple là công cụ đắc lực hỗ trợ cho những người làm toán. 1.1.2. Làm việc với Maple • Khởi động Maple Nếu Maple được cài đặt đúng quy trình, để làm việc với Maple ta chọn: Start → Programs → Maple 9.5 → Classic Worksheet Maple 9.5 hoặc bấm chuột vào biểu tượng của Maple 9 trên màn hình. • Thoát khỏi Maple Để thoát khỏi Maple ta vào menu File → Exit (hoặc nhấn Alt + F4 hoặc nháy vào biểu tượng [X] phía trên góc phải cửa sổ chương trình). Nếu nội dung làm việc chưa được lưu trữ, Maple sẽ nhắc ta có lưu trữ hay không. Ta chọn Yes hoặc No để ghi hoặc không ghi lại, chọn Cancel là tiếp tục làm việc. Giao diện của cửa sổ làm việc của Maple Giao diện làm việc của Maple gồm các thành phần cơ bản như sau: + Title Bar (Thanh tiêu đề): Dòng chứa tên chương trình và tệp đang mở. + Menu Bar (Thực đơn ngang): Dòng chứa các chức năng, ứng với mỗi chức năng là một thực đơn dọc tương ứng. + Tool Bar (Thanh công cụ): Chứa một số biểu tượng (Icon) thể hiện một số lệnh thông dụng để người sử dụng thao tác nhanh. + Status line (Thanh trạng thái): Cho biết thời gian thực hiện lệnh, dung lượng nhớ cho các biến chiếm khi thực hiện chương trình và dung lượng bộ nhớ còn trống. + Ngoài ra trong chế độ văn bản Maple còn có thanh công cụ Formatting Bar dùng để định dạng văn bản. 1.1.3. Các thao tác cơ bản trong Maple  Quản lý thông tin với Maple Với Maple, các thao tác cơ bản như: lưu trữ tệp, mở một tệp đã có, mở một tệp mới…hoàn toàn tương tự như các phần mềm quen thuộc trong môi trường Windows như Winword, Excell… + Lưu trữ tệp: Cách 1: → FILE → SAVE Cách 2: Bấm vào biểu tượng Cách 3: Nhấn đồng thời hai phím CTRL và S Nếu là lần đầu lưu trữ, xuất hiện cửa sổ để ta nhập tên tệp, nhập tên tệp xong thì nhấn chuột vào nút SAVE để thực hiện. + Mở một tệp đã có trên đĩa Cách 1: → FILE → OPEN Cách 2: Bấm vào biểu tượng Cách 3: Nhấn đồng thời hai phím CTRL và O Sẽ xuất hiện cửa sổ để ta chọn thư mục lưu trữ tệp và tên tệp. Ta chỉ chọn tên tệp cần mở, nhấn vào nút OPEN. + Mở một tệp mới Cách 1: → FILE → NEW Cách 2: Bấm vào biểu tượng Cách 3: Nhấn đồng thời hai phím CTRL và N + Đóng tệp → FILE → CLOSE Nếu tệp chưa được lưu trữ, Maple sẽ nhắc ta có lưu hay không (Yes/No) + Kết thúc phiên làm việc Cách 1: → FILE → EXIT Cách 2: Nhấn đồng tthời hai phím ALT và F4 Cách 3: Nhấn vào nút CLOSE[x] để đóng cửa sổ soạn thảo  Các thao tác hỗ trợ khi soạn thảo với Maple + Đánh dấu đoạn • Đánh dấu bằng chuột: Đặt con trỏ vào đầu đoạn văn bản cần chọn đồng thời ấn và giữ phím trái rồi rê tới cuối đoạn cần chọn sau đó buông phím trái ra. Nếu muốn huỷ phần vừa chọn hãy dịch trỏ chuột thoát ra khỏi vùng vừa chọn rồi ấn phím trái. Phần vừa chọn sẽ bị huỷ bỏ và trở lại trạng thái bình thường. • Đánh dấu bằng bàn phím: Đưa con trỏ đến vị trí đầu đoạn, bấm giữ phím Shift và di chuyển con trỏ đến vị trí cuối đoạn (Bằng các phím điều khiển con trỏ). • Đánh dấu cả tệp: Từ bàn phím gõ vào tổ hợp phím Ctrl + A hoặc kích chuột vào Menu Edit, chọn Seclect All. + Cắt xoá đoạn • Đánh dấu đoạn cần xoá • Nháy chuột vào Menu Edit, chọn Cut hoặc bấm Ctrl + X từ bàn phím. • Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào • Từ bàn phím ta còn có thể nhấn phím Del + Sao chép một đoạn • Đánh dấu đoạn cần sao chép • Nháy chuột vào Menu Edit, chọn Copy hoặc nhấn Ctrl + C từ bàn phím. Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào • Đặt con trỏ chuột vào nơi cần sao chép đến • Nháy chuột vào Menu Edit, chọn Paste hoặc nhấn Ctrl + V từ bàn phím. Nếu dùng trên thanh công cụ thì ta chọn vào hoặc có thể đặt con trỏ chuột vào đoạn đã được chọn cần chọn đồng thời phím Ctrl và giữ phím trái rồi rê tới nơi cần sao chép đến sau đó buông chuột ra.  Định dạng các đối tượng trong Maple Để định các đối tượng trong Maple, như thay đổi kiểu chữ của các dòng lệnh, các dòng thông báo kết quả, lề,…ta tiến hành như sau: Bước 1: Lựa chọn đối tượng Bước 2: → Format → Paragraph. Khi đó có bảng để chọn các tham số. Để thay đổi các thông số ngầm định, ta chọn: → Format → Styles. Xuất hiện bảng để ta khai báo các thông số cần xác định.  Các đối tượng cơ bản tích hợp trong một tệp tin của Maple + Worksheet là môi trường mà sử dụng có thể tính toán, thực hành – còn được gọi là trang công tác. Khi sử dụng lưu trữ các kết quả lên đĩa từ, Worksheet được ghi thành một File phần mở rộng ngầm định là: MWS Worksheet của Maple thường có những thành phần sau: • Cụm xử lí (Execution group): Bao gồm các đối tượng cơ bản của Maple như: Lệnh, kết quả tính toán của Maple, đồ thị,… Để tạo một cụm xử lí ta kích chuột vào biểu tượng [> trên thanh công cụ hoặc chọn: → Insert → Excecution Group → After cusor • Đoạn (Paragraph): Khái niệm Paragraph với Maple được hiểu như khái niệm Paragraph của phần mềm soạn thảo văn bản Winword. Để tạo một Paragraph mới ta thao tác: Insert → Paragraph → After cursor • Mục (Section): Mục có thể coi như các modul thành phần cấu thành nên trang công tác. Một trang có thể gồm nhiều mục, mỗi mục có thể chứa những đoạn và những mục con. Biểu tượng của mục là dấu [+], nếu ta nháy chuột vào biểu tượng này thì nội dung của mục được trải ra và biểu tượng của mục sẽ biến thành [-], nếu ta nháy chuột vào biểu tượng [-] này thì nội dung của mục sẽ thu lại. Để tạo mục mới ta chọn: → Insert → Section • Siêu liên kết (Hyperlink): Khái niệm siêu liên kết chúng đã trở nên rất quen thuộc với chúng ta trong thời đại bùng nổ internet. Một siêu liên kết là đối tượng nếu ta kích hoạt vào đó thì sẽ dẫn ta đến một đoạn, một mục hay một Worksheet nào khác. Để tạo siêu liên kết ta chọn đối tượng mang siêu liên kết sau đó chọn: → Format → Convert to → Hyperlink. Tại mục: Link Target có các sự lựa chọn: URL: Liên kết đến một địa chỉ websize nào đó. Worksheet: Liên kết đến một tệp nào đó của Maple. Help Topic: Chuyển đến chủ đề nào đó trong nội dung Help của Maple. Bookmark: Chuyển đến một bookmark nào đó đã được định nghĩa trước đó. Có thể nhấn Browse để tìm kiếm địa chỉ đích của mối liên kết. Khai báo song nhấn OK để hoàn tất. • Văn bản (Text): Là đối tượng được sử dụng rất nhiều trong Maple với mục đích cung cấp thông tin dưới dạng văn bản. Để tạo đoạn văn bản mới ta kích chuột vào biểu tượng chữ [T] trên thanh Tool Bar hoặc có thể chọn: → Insert → Text. • Lệnh và kết quả của Maple (Maple Input and Output) Lệnh của Maple (Maple Input) là những từ tựa tiếng anh được sử dụng theo một nghĩa nhất định và phải tuân theo cú pháp của Maple. Lệnh được nhập sau dấu nhắc lệnh “[>” và kết thúc bởi dấu “:” hoặc “;” Mỗi câu lệnh của Maple nếu kết thúc lệnh bằng dấu (;) kết quả sẽ hiển thị ngay ra màn hình, nếu kết thúc lệnh bằng dấu (:) thì Maple vẫn tiến hành tính toán bình thường nhưng kết quả không hiển thị ra màn hình. Lệnh được thực hiện khi con trỏ ở trong hoặc ở cuối dòng lệnh mà ta nhấn Enter. Lệnh của Maple có hai loại: Lệnh trơ và lệnh trực tiếp. Lênh trơ và lệnh trực tiếp chỉ khác nhau ở chữ cái đầu tiên của lệnh trơ viết in hoa, lệnh trực tiếp cho kết quả ngay còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng. Kết quả tính toán (Maple Output) sẽ được đưa ra màn hình, thường là màu xanh cô ban khi ta nhấn phím entrer để thực hiện câu lệnh. Tuy nhiên, Maple cũng có chế độ cho phép thực hiện nhóm các câu lệnh để người sử dụng thực hiện một nhóm các câu lệnh nhằm giải quyết một số vấn đề nào đó. Đồ thị (Graph): Maple cho phép vẽ và hiển thị đồ thị trong trang công tác, tính năng này được gọi là “ Khả năng đồ hoạ trực tiếp”. 1.2. Nhóm các câu lệnh tính toán, xử lý các vấn đề trong phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số Lệnh của Maple có hai loại lệnh trơ và lệnh trợc tiếp: Lệnh trơ và lệnh trực tiếp chỉ khác nhau ở chữ cái đầu tiên của lệnh trơ viết in hoa, lệnh trực tiếp cho kết quả ngay còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng. + Giới hạn của hàm hai biến số: [> limit(f(x, y), {x = x 0 , y = y 0 }); [> Limit(f(x, y), {x = x 0 , y = y 0 }); + Đạo hàm [> diff(f(x, y), x); [> diff(f(x, y), x$2); [> diff(f(x, y), x, y); hoặc [> diff(f(x, y), y); [> diff(f(x, y), y$2); [> diff(f(x, y), y, x); + Đồ thị [> plot3d(f(x,y), x=a b, y=c d); + Tích phân bội hai ( , )dxd D f x y y ∫∫ với ( ) { } , \ ,D x y a x b c x d= ≤ ≤ ≤ ≤ With( student): Doubleint(f, x, y): tích phân bất định hoặc Doubleint(f, x, y, Domain) hoặc Doubleint( f(x, y), x = a b, y = c d ): Tích phân xác định. + Tích phân bội ba with(student): Tripleint(f, x, y, z): Tích phân bất định Tripleint(f, x, y, z, Domain) Tripleint( f(x, y, z), x = a b, y = c d, z = p q ); Tích phân xác định + Tích phân lặp Tích phân lặp 2 của hàm hai biến [> int(int(f(x, y), y = y[1](x) y[2](x)), x = a b); Tích phân lặp 3 của hàm ba biến [> int(int(int(f(x, y, z),z = z[1](x, y) z[2](x, y)), y = y[1](x) y[2](x)), x = a b); 1.3. Các Menu cơ bản trong màn hình làm việc của Maple 1.3.1. File Chứa các lệnh liên quan tới làm việc với một file cụ thể: • New: Tạo một file mới (di mũi tên về biểu tượng New, nháy chuột trái). • Open: Mở một file đã có (di mũi tên vào biểu tượng Open, nháy chuột trái, chọn file đã có cần mở, nháy đúp chuột trái). • Save: Ghi các thông tin đang soạn thảo. • Save As: Ghi file đang mở sang một file mới và đặt tên cho file mới này. • Export As: Chuyển đổi file đã soạn thảo bằng Maple sang một số dạng khác như Plain Text, Latex, HTML,… • Close: Đóng file đang làm việc. • Print: In file đang làm việc. • Exit: Thoát khỏi Maple. 1.3.2. Edit Menu này chứa các lệnh liên quan tới coppy, cắt dán, xoá bỏ,…các đoạn khi đang làm việc với một file. 1.3.3. View Menu này chứa tập hợp các lệnh liên quan tới giao diện làm việc của Maple. Sau đây là một vài chức năng: • Toolbar: Chứa các lệnh tắt khi làm việc với văn bản thể hiện bằng biểu tượng. Ví dụ khi kích chuột trái vào ô có chứa chữ T tương đương với việc đưa về soạn thảo văn bản (Insert text). • Context Bar: Chứa tập hợp lệnh hỗ trợ cho việc định dạng văn bản (in đậm, in nghiêng, chọn font, cỡ chữ,…). • Zoom Factor: Chứa các lệnh về điều khiển kích cỡ của font chữ của trang đang làm việc trên màn hình. • Expand All Sections: Mở tất cả các mục trong trang đang làm việc. • Collapse All Sections: Đóng tất cả các mục của trang đang làm việc. 1.3.4. Insert Đây là menu chứa các lệnh về chèn thêm thông tin vào một file đang làm việc. • Text Input: (tương đương với nháy đơn chuột trái vào chữ T trên thanh công cụ) chuyển sang chế độ soạn tảo văn bản. • Maple Input: Chuyển từ text sang dạng lệnh của Maple (thực hiện các việc liên quan tới toán học). • Execution Group: Chèn một cụm xử lí trước vị trí con trỏ (before cursor) hoặc phím sau con trỏ (after cursor). • Paragraph: Chèn một đoạn văn bản mới trước (nếu chọn before cursor) con trỏ hoặc sau con trỏ (nếu chọn after cursor). • Section: Chèn một mục mới. • Subsection: Chèn một mục con (của mục đang chứa con trỏ). • Math input: Chèn trực tiếp một biểu thức toán học vào vị trí con trỏ. • Hyperlink: Liên kết với các file đã có hoặc dịch chuyển con trỏ giữa các trang làm việc. 1.3.5. Fomat Chứa các lệnh về định dạng các thành phần văn bản của trang đang làm việc. • Style: Định dạng các thành phần của trang làm việc như các đoạn, các tiêu đề,… • Paragraph: Định dạng các thành phần của đoạn văn bản. • Character: Định dạng một cụm kí tự. [...]... Chương 3 SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TỰ HỌC HỌC PHẦN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Đồ thị của hàm hai biến số 3.1.1.Định nghĩa Đồ thị của hàm số z = f ( x, y ) xác định trên tập D ⊂ R 2 là một tập hợp gồm các điểm trong không gian R 3 xác định bởi toạ độ ( x, y, z ) với ( x, y ) ∈ D G = { ( x, y, z ) : x → x0 , y → y0 \ z = f ( x, y ),( x, y ) ∈ D} 3.1.2.Vẽ đồ thị của hàm hai biến. .. giúp của Maple đã được mở trước đó Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 2.1 Hàm nhiều biến số 2.1.1 Định nghĩa Giả sử D là một tập hợp của n số thực ( x1 , x2 , , xn ) Một hàm số thực f trên D là một biểu thức (quy tắc toán học) ứng mỗi phần tử của D xác định một giá trị thực r = f ( x1 , x2 , , xn ) r = f ( x1 , x2 , , xn ) Ký hiệu: f: D → R Khi đó f là một hàm số của n biến. .. những điểm đó hàm số được xác định Vì vậy, miền xác định của hàm số hai biến thường được biểu diễn hình học Tập hợp các giá trị w được xác định bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàm số 2.1.2 Giới hạn của hàm hai biến số • Định nghĩa Cho hàm số f : E ⊂ R 2 → R ( x , y ) a z = f ( x, y ) Và P0(x0, y0) ∈ R2 ( P0 là điểm tụ của tập E ) L∈ R được gọi là giới hạn của hàm f khi x → x0, y → y0 và ký hiệu... Đạo hàm riêng của hàm hai biến số 1 ≤ x với ∀( x, y ) ≠ (0,0) y • Định nghĩa Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định trên miền D và điểm M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D ⊂ R 2 + Nếu hàm số z = f ( x, y0 ) có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của hàm số z = f ( x, y ) tại điểm ( x0 , y0 ) và ký hiệu: f x' ( x0 , y0 ) hoặc δ ( x0 , y0 ) δx + Nếu hàm số z = f ( x0 , y ) có đạo hàm tại y0 thì đạo hàm đó... biến x [> diff(f(x, y), x$2); Đạo hàm cấp hai theo biến x [> diff(f(x, y), x, y); Đạo hàm theo biến x rồi theo biến y hoặc [> diff(f(x, y), y); Đạo hàm cấp một theo biến y [> diff(f(x, y), y$2); Đạo hàm cấp hai theo biến y [> diff(f(x, y), y, x); Đạo hàm theo biến y rồi theo biến x 3.3.2 Tính đạo hàm riêng của hàm hai biến số Ví dụ 3.8: Cho hàm số f ( x, y ) = x y tính ∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f... 3.9: Tính x ∂f ∂f x , của hàm số sau: f ( x, y ) = − e arctan y y ∂x ∂y > f(x,y):=x/y-exp(x)*arctan(y); f(x, y) := x e x arctan(y) y > diff(f(x,y),x); 1 x - e arctan(y) y > diff(f(x,y),y); - x ex y2 1 + y2 3.4 Tích phân bội Trên Maple người ta chỉ xây dựng thuật toán tính trực tiếp tích phân bội hai và bội ba Khi tính tích phân bội có số chiều lớn hơn ta có thể hạ thấp số chiều nhờ các công thức tính tích. .. toán học đã biết thì ta xem giá trị xấp xỉ ( dưới dạng thập phân ) của nó bằng lệnh: [>evalf(%); Trong đó: + f: Biểu thức lấy tích phân + x, y: Các biến của f + a, b, c, d: Cận lấy tích phân + Domain: Tên miền lấy tích phân Ví dụ 3.10: Vi t công thức tính tích phân bất định sau: > with(student): Doubleint(f(x,y),x,y); ⌠⌠ x2 y2   2 2   x y + ( x − y ) 2 dx dy  ⌡⌡ Ví dụ 3.11: Tính tích phân sau:... Ta sẽ gọi là vi phân của hàm số u = f ( x, y ) tại điểm P(x, y) biểu thức dạng: du = A∆x + B∆y (2.1) Trong đó A và B không phụ thuộc vào ∆x , ∆y (nhưng nói chung phụ thuộc vào x, y) và ∆u − du = 0( p) khi p = ∆x 2 + ∆y 2 → 0 (2.2) Với ∆u = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) Nếu hàm số u = f ( x, y ) có vi phân tại điểm P ( x, y ) ∈ D thì ta bảo u khả vi tại điểm đó Ví dụ 2.10: Tính vi phân z = e x (cos(... z): Tích phân bất định Tripleint(f, x, y, z, Domain) Tripleint( f(x, y, z), x = a b, y = c d, z = p q ); Tích phân xác định Trong đó: + f: Biểu thức dưới dấu tích phân + x, y, z: Các biến lấy tích phân + a, b, c, d, p, q: Các cận của miền lấy tích phân + Domain: Miền lấy tích phân Muốn biết giá trị của biểu thức trên ta dùng lệnh: [> value(%); Nếu giá trị này không biểu diễn được các kí hiệu toán học. .. (2.7) được gọi là công thức đổi biến số trong tích phân ba lớp Loại đổi biến số trong tích phân ba lớp thường gặp nhiều nhất là đổi biến số trong toạ độ trụ và đổi biến số trong toạ độ cầu + Đổi biến số trong toạ độ cầu Nếu ánh xạ (2.6) có dạng x = r cos ϕ , y = r s inϕ , z = z , (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ) thì cosϕ J(r, ϕ , z) = sin ϕ 0 −r sin ϕ 0 rcosϕ 0 = r 0 1 và công thức (2.7) cho ta ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz . hàm riêng, vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. Cách tính tổng quát và một số ví dụ. Chương 3: Sử dụng phần mềm Maple tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến. quan đến phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. - Nghiên cứu cách sử dụng phần mềm Maple tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. Từ đó áp dụng giải một số ví dụ và bài. phạm vi ngiên cứu Đối tượng nhiên cứu: Vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng phần mềm Maple nghiên cứu học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến