Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tử và lí thuyết trường lượng tử

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương I Hình thức luận tích phân đường học lượng tử I Phiếm hàm đạo hàm phiếm hàm Khái niệm phiếm hàm Đạo hàm phiếm hàm II Hàm truyền – Biểu diễn tích phân đường hàm truyền Hàm truyền học lượng tö Biểu diễn tích phân đường hàm truyền Một số tính chất tích phân đường III Lý thuyết nhiễu loạn ma trận S Chuỗi Born Ma trận tán xạ (ma trận S) IV Tán xạ Coulomb Biên độ tán xạ Tiết diện tán xạ Chương II Hình thức luận tích phân đường lý thuyết trường lượng tử I Phiếm hàm sinh trường vô hướng tự Phiếm hàm sinh trường vô hướng Hàm truyền trường vô hướng tự II Cám hàm Green trường vô hướng tự Khái niệm phiếm hàm sinh Tính tốn số hàm n-điểm III Phiếm hàm sinh trường tương tác Phương trình vi phân phiếm hàm sinh trường tương tác Dạng rút gọn phiếm hàm sinh trường tương tác KẾT LUẬN GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan Trang 5 7 11 16 16 20 23 23 24 27 27 27 28 29 31 29 33 33 35 38 SVTH:Phan ThÞ Thđy MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Trong hình thức luận thơng thường ca học lợng tử (CHLT), cỏc i lng ng lực đặc trưng cho hệ biểu diễn tốn tử tuyến tính hermite tác dụng khơng gian vector trạng thái chúng tuân theo hệ thức giao hốn định Bên cạnh CHLT lí thuyết trường lượng tử (gọi chung lí thuyết lượng tử) cịn có cách phát biểu khác dựa phương pháp tích phân phiếm hàm Feynman đề xuất năm 1948 Trong năm gần đây, hình thức luận tích phân phiếm hàm lí thuyết lượng tử quan tâm phát triển thu nhiều thành công việc nghiên cứu lĩnh vực khác vật lí đặc biệt trường hợp mà lí thuyết nhiễu loạn kinh điển tỏ hiệu lực Chính vậy, để có sở cho nghiên cứu xa sau này, chọn ®Ị tài “Hình thức luận tích phân đường học lượng tử lí thuyết trường lượng tử” II.Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường học lượng tử Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường lí thuyết trường lượng tử tập trung vào lí thuyết trường vô hướng, tương tự với trường vector, làm rõ điểm cần lưu ý áp dụng cho trường spinor,… Vận dụng tính tốn số q trình vật lí quen thuộc tán xạ Coulomb, hủy hạt, tán xạ pion – nucleon… GVHD: Th.S NguyÔn Thị Phơng Lan SVTH:Phan Thị Thủy III Nhim v nghiên cứu: Nghiên cứu hình thức luận tích phân đường học lượng tử lí thuyết trường lng t IV.i tng nghiờn cu: Cơ sở để trình bày CHLT dới dạng tích phân đờng Các đại lợng đặc trng cho trờng vô hớng tự tơng t¸c V.Phương pháp nghiên cứu: Tra cứu tài liệu Thảo luận, đánh giá LỜI CẢM ƠN GVHD: Th.S Ngun ThÞ Phơng Lan SVTH:Phan Thị Thủy Bỏo cỏo thc chun ngành với đề tài “Hình thức luận tích phân đường học lượng tử lí thuyết trường lượng tử” hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình Th.S Nguyễn Thị Phương Lan thầy cô tổ Vật lí lý thuyết Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành đến cô giáo Nguyễn Thị Phương Lan, người trực tiếp hướng dẫn chuyên môn q trình tìm hiểu đề tài Tơi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị cho t«i kiến thức vật lý sở quan trọng năm học qua Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn bè để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày……tháng năm 2012 Sinh viên thc hin Phan Th Thy GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan SVTH:Phan ThÞ Thđy Chương I HÌNH THỨC LUẬN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Hình thức luận tích phân phiếm hàm Feynman đề xuất từ năm 1948 nhằm mục đích mối quan hệ Cơ học lượng tử (CHLT) Cơ học cổ điển, để quan điểm CHLT dễ chấp nhận Tuy nhiên trình phát triển, sử dụng để trình bày lý thuyết trường lượng tử, người ta nhận thấy hình thức luận trở thành cơng cụ có hiệu nghiên cứu vấn đề vật lý đại Trong phần này, ta trình bày CHLT với hình thức luận tích phân phiếm hàm (cũng gọi tích phân đường) I Phiếm hàm đạo hàm phiếm hàm Khái niệm phiếm hàm Như biết khái niệm hàm số quy tắc cho tương ứng số với số Dưới dạng ngắn gọn viết: Hàm số: số → số Nếu gọi R tập hợp số thực theo ngơn ngữ tốn học hàm số xác định ánh xạ từ R n vào R m Ví dụ: Hàm số y = a x + bx + c ánh xạ R → R làm tương ứng giá trị thực biến x thuộc R với giá trị y thuộc R u r Giá trị cường độ điện trường gây điện tích điểm xác định E = q r r ánh xạ R → R làm tương ứng điểm không 4πεε0 r gian chiều với điểm khơng gian Tuy nhiên thường gặp quy tắc cho tương ứng hàm số với số Những quy tắc gọi phiếm hàm Như phiếm hàm ánh xạ từ tập hợp hàm số vào tập hợp số Ta viết dạng ngắn gọn: Phiếm hàm: Hm s s GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan SVTH:Phan ThÞ Thđy Lưu ý: phiếm hàm khơng phải hàm số hàm số (chính hàm hợp, mà thực hàm số) Để phân biệt với ký hiệu hàm số ƒ(x) ta kí hiệu phiếm hàm F hàm số φ F[ φ ] Ví dụ: x(t) tập hợp hàm số biến t biểu diễn phụ thuộc tọa độ vào thời gian hai điểm A B cho trước Di chuyển hạt từ A đến B theo quỹ đạo khác nhau, tương ứng với hàm số x(t) khác Với quỹ đạo công cần thiết để di chuyển vật từ A → B có giá trị khác Kí hiệu cơng di chuyển hạt quỹ đạo x(t) F F[x(t)] phiếm hàm theo định nghĩa Đạo hàm phiếm hàm Tương ứng với đạo hàm hàm số ƒ theo định nghĩa thông thường, người ta định nghĩa đạo hàm phiếm hàm sau: Đạo hàm phiếm hàm F[f] hàm ƒ(y) định nghĩa biểu thức: (1.1) Ví dụ: Xét phiếm hàm trên, biêu diễn dạng biểu thức tường minh sau: F[ƒ] = ∫ƒ(x)dx ( đổi kí hiệu x(t) thành f(x) ) – với f(x) hàm thực Phiếm hàm có dạng đạo hàm là: = ∫ δ (x-y)dx = Xét ví dụ khác: Cho phiếm hàm sau: F[ƒ] = ∫G(x,y) ƒ(y)dy với x tham số Đạo phiếm hàm: = ∫G(x,y) δ (y-x)dy = G(x-z) GVHD: Th.S Ngun ThÞ Phơng Lan SVTH:Phan Thị Thủy * Lu ý: Trong số sách có người ta định nghĩa đạo phiếm hàm sau: δ ∫ G ( x) f ( y )dy = G ( z ) δf ( z ) Định nghĩa có ý nghĩa tính tốn nhiều Từ dạng ta thấy mối liên hƯ tích phân theo biến thơng thường đạo phiếm II Hàm truyền – Biểu diễn tích phân đường hàm truyền Hàm truyền học lượng tử Trong học lượng tử trạng thái hệ vật lí biểu diễn hàm sóng ψ ( qi , t ) với q tọa độ không gian, t tọa độ thời gian Gọi ψ ( qi , ti ) hàm sóng thời điểm ti , ψ ( q f , t f ) hàm sóng thời điểm muộn t f hiển nhiên theo nguyên lý nhân quả: ψ ( qf ,t f ) = ∫ Κ (q f , t f ; qi , ti )ψ(qi , ti )dqi (1.2) Như Κ (q f , t f ; qi , ti ) cho phép xác định hàm sóng thời điểm t f biết hám sóng thời điểm ti Nó gọi hàm truyền, đại lượng quen thuộc CHLT: biên độ xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu ψ ( qi , ti ) sang trạng thái cuối ψ ( q f , t f ) Thật ta biết hàm sóng ψ ( qi , t ) biểu diễn tọa độ vector trạng thái ψ t 〉 (trong biểu diễn Schrodinger) liên hệ với vector trạng thái biểu diễn Heisenberg hệ thức: µ ψ t 〉 = e − i Htψt 〉 Trong CHLT biểu diễn viết là: ψ ( q, t ) = 〈 qψt 〉 s = 〈 qψt 〉 H Theo tính chất đầy đủ hệ sở vector trạng thái, hệ sở liên tục, ta có: 〈 q f t f ψ〉 = ∫ 〈 q f t f qiti 〉 〈 qitiψ〉 dqi Hay 〈 q f t f 〉 = ∫ 〈 q f t f qiti 〉 ψ( qi ,ti ) dqi Cuối so sánh với 91.2) rút ra: GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan SVTH:Phan Thị Thñy Κ (q f , t f ; qi , ti ) = 〈 q f t f qiti 〉 (1.3) Mặt khác theo tiên đề CHLT, xác suất chuyển dời lượng tử tử điểm qi thời điểm ti dến điểm q f thời điểm t f là: P (q f , t f ; qi , ti ) = Κ (q f , t f ; qi , ti )2 (1.4) Như hàm truyền biên độ xác suất chuyển rời lượng tử - điều ta phải chứng minh Biểu diễn tích phân đường hàm truyền Ta chia khoảng thời gian xảy trình xét ( t f , t f ) thành phần thời điểm trung gian t, tọa độ khơng gian lúc q, ta có: ψ ( q f , t f ) = ∫ Κ (q f , t f ; q, t ) K (q, t ; qi , ti )ψ(qi , ti )dqi d q (1.5) So sánh (1.5) với (1.2) rõ ràng: Κ (q f , t f ; qi , ti ) = ∫ Κ (q f , t f ; q, t ) K (q, t ; qi , ti )d q (1.6) Biên độ chuyển rời tử ( qi , ti ) đến ( q f , t f ) xem tích biên độ chuyển rời từ ( qi , ti ) đến điểm trung gian ( q, t ) biên dộ chuyển rời từ ( q, t ) ( q f , t f ) Tương tự chia khoảng thời gian thành (n+1) phần Mỗi khoảng dài τ, ta viết được: Κ (q f , t f ; qi , ti ) = ∫ d q1 d q2 d qn 〈 q f , t f qn ,tn 〉 〈 qn , tnqn−1tn−1 〉 〈 q1 , t1qn−itn−i 〉 (1.7) (Ta thay Κ〈 qn , tn ; qn−1tn−1〉 〈 qn , tnqn−1tn−1 〉 tương ứng) Để ý thấy tích phân lấy theo “quỹ đạo” q(t) Tuy nhiên cần nhấn mạnh, tích phân theo nghĩa thơng thường GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan SVTH:Phan Thị Thủy mi on 〈 qi , ti ; q j −1t j −1〉 ta lại chia thành đoạn nhỏ hơn, khơng tồn đạo hàm Ở vế phải (1.7) có n lớp tích phân với (n+1) hàm truyền, tương ứng với (n+1) phần nhỏ “quỹ đạo” Ta tính giá trị hàm truyền phần nhỏ Từ liên hệ vector trạng thái biểu diễn Schrodinger biểu diễn Heisenberg µ qt 〉 = e − i Ht / h 〉 q (1.8) Ta có: µ 〈 q j +1 , t j +1 ; q j t j 〉 = 〈 q j +1 − i Ht / τ j 〉 e q i µ = 〈 q j +11− H τ + Ο(τ2 )q j 〉 h iτ h Hq = δ(q j +1 − q j ) − 〈 q j +1  ˆ  j 〉 = i p j ( q j +1 − q j ) iτ dp j e h − q j +1  ˆ  j Hq ∫ 2πh h (1.9) Ở sử dụng khai triển Fourier hàm delta δ(q j +1 − q j ) = i p j ( q j +1 − q j ) dp j e h ∫ 2π h Với p j xung lượng khoảng t j t j +1 Hq Ta tính q j +1  ˆ  j trường hợp phi tương đối tính, Hamiltonian hạt có dạng: ˆ2 ˆ p + V (q) ˆ H= 2m (1.10) Đầu tiên tính: ˆ p2 q j +1   j = ∫ dp ' j dp j q j +1 p ' j q 2m Sử dụng: − ˆ p2 p ' j  p j 2m pj  j q 〈 q j +1 p '〉 = (2π h) exp(ip ' q j +1 / h)  ˆ p2 dp ' dp i  pj q j +1   j = ∫ q exp  ( p ' q j +1 − pq j  δ( p − p ') m 2π h h 2m GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan SVTH:Phan ThÞ Thđy i  p exp  p j (q j +1 − q j  j =∫ 2π h h  2m dp (1.11) ˆ Ta cần ý vế trái có chứa tốn tử P vế phải chữ số Tương tự vậy:  q j +1 + q j  ÷ q j +1 q j   q j +1ˆ  j V(q) q = V  q j +1 + q j  = V = i dp ∫ 2π h exp  h p(q  j +1  ÷δ( q j +1 − q j )   − q j ) V ( p j , q j )  (1.12) Kết hợp (1.11) (1.12) ta có: ˆq q j +1 Η j = d pi i ∫ 2π h exp  h  p (q   j j +1  − q j ) − τH ( p j , q j )    Và (1.9) trở thành: 〈 q j +1t j +1 j t j 〉 = q ∫ DqDp d pj i ∫ 2π h exp  h  p (q   j j +1  − q j ) − τH ( p j , q j )    (1.13) Thay (1.12) vào (1.7) chuyển qua giới hạn số điểm chia tiến tới vô hạn ta thu biểu thức cho hàm truyền đầy đủ: n n j =1 j =0 〈 q f t f i ti 〉 = lim ∫ ∏ dqi ∏ q n →∞ i n  dpi x exp  ∑  p j (q j +1 − q j ) − τH ( p j , q j )   (1.14)   2π h  h j =0  Có thể viết kế dạng ký hiệu: tf  Dq Dp i exp  ∫ dt  pq − H ( p, q )   〈 q f t f  i ti 〉 = ∫ q  (2π h) h  ti     (1.15) Với q( ti ) = qi ; q( t f ) = q f Khi chuyển qua giới hạn n → ∞, q trở thành hàm số cuat t tích phân trở thành “tích phân theo hàm số” (giống “tích phân theo biến”) Mỗi q(t) biểu diễn đường cong không gian pha Biểu thức (1.14) biểu diễn tích phân (theo) đường biên độ chuyển rời dời từ ( qi , ti ) đến ( q f , t f ) hay hàm truyền K ( q f , t f ; qi , ti ) Nó GVHD: Th.S Ngun ThÞ Phơng Lan 10 SVTH:Phan Thị Thủy r ( h) r r r r r δ ( p f − p ) ( 2π h ) δ ( q '− q1 ) Tích phân theo q q ' khử số hạng theo t1 t0: A=− Với Ei , f = Pi ,2j 2m i r i r r r  ∫ exp  h ( pi − p f ) x − ( Ei − E f ) t  V ( x,τ )dxdt   hτ  (1.56) Ze Với Coulbomb: V = tích phân theo t cho: 4πε A=−  E − E f  Ze i  i r r r r 2πδ  i ÷ ∫ exp  h ( pi − p f ) x  r dx hτ    h  4πε (1.57) Tích phân cuối khơng hội tụ vơ cực, đưa hệ số e− ar r r r 4π h cho a → 0, giá trị tích với q = pi − p f q Vậy A = − i 2π Ze 2τ  Ei − E f  δ ÷ hτ ε q  h  (1.58) Đây biên độ tán xạ mà từ ta tính tiết diện tán xạ σ Tiết diện tán xạ Vì A xác suất để hạt có xung lượng p f nên A τ dp f ( 2π h ) xác suất để hạt có xung lượng khoảng từ p f đến p f + dp f Nếu tương tác kết dp f A τ thúc sau thời gian T (*) số hạt giây xuất T ( 2π h ) khoảng động lượng Để tính tiết diện tán xạ, ta chia đại lượng (*) cho dịng tới tích phân r theo Pf Hạt tới có vận tốc pi p mật độ hạt Vậy mật độ dịng i m τ τm hạt/1s.m2 GVHD: Th.S Ngun Thị Phơng Lan 24 SVTH:Phan Thị Thủy r A τ m τ dp f T pi ( 2π h ) Khi tiết diện tán xạ là: σ = ∫ (1.59) Trong A có thừa số δ ( Ei − E f ) / h  Để biến đổi nó, ý đến   2 định nghĩa δ ( x)  E − Ef  δ i lim ÷ = T →∞ 2π  h  ∫ T /2 −T /2 exp i ( Ei − E f )t / h  dt   sin ( Ei − E f ) T / 2h lim = T →∞ π ( Ei − E f ) h (E − E f ) T δ( i ) 2π h = = lim( Ở sử dụng công thức α →∞ Th δ ( Ei − E f ) 2π sin α x ) = πδ ( x) αη Thay hệ thức vào (1.59) ta có: σ= mZ 2e 4π 2ε ∫ 1 mZ e4 δ ( E f − Ei )d p f = pi q 4π 2ε 1 d pf δ ( E f − Ei )d Ω i q ∫p p2 Bây sử dụng E = để viết p dp f = ( 2m3 E f ) dE f tích phân theo f 2m E f ta có: σ= mz e4 dΩ 4π 2ε Ở ta có có hàm delta nên pi = p f = p0 r θ Vì q = p sin ( ) với θ góc tạo p p f r Cuối đặt p=mv ta thu được: dδ ze =( )2 d Ω 8πε mv sin (θ ) Đây công thc Rutherford quen thuc GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 25 SVTH:Phan ThÞ Thđy Như với phương pháp dùng dạng tích phân đường hàm truyền ta thu lại kết biết CHLT Điều cho thấy hình thức luận phù hợp chặt chẽ, đồng thời gợi ý khả mở rộng cho lý thuyết trường lượng tử Liệu xét trường lượng tử, hình thức luận có cho thuận lợi giải vấn đề mà gp nhiu khú khn? GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 26 SVTH:Phan ThÞ Thđy Chương II HÌNH THỨC LUẬN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG Tö Một cách tương ứng, lý thuyết trường lượng tử, ngồi hình thức luận tắc dựa việc lượng tủ hóa tốn tử sinh hủy, cịn có hình thức luận tích phân đường, lượng tủ hóa trường tích phân đường, đẻ đơn giản ta xét trường vơ hướng Các kết thu suy cho trường khác: spinor, vector… I Phiếm hàm sinh trường vô hướng tự Ở phần trước ta có phiếm hàm sinh hạt, mục ta tìm phiếm hàm sinh trường lượng tử Từ tìm hàm truyền cho trường đại lượng khác Đây phép lượng tử hóa trường lượng tử tích phân đường Z0[J] – Phiếm hàm sinh trường vô hướng Nếu gọi J nguồn trường vô hướng φ ( x) Chương I có phiếm hàm sinh hạt, ta tương tự viết phiếm hàm sinh cho trường cách thay q(t ) → φ ( x µ ) , thay chia thời gian thành đoạn nhỏ ta chia không gian thời gian, tức không gian Minkowski thành hình lập phương 4-chiều thể tích δ mà hàm trường φ số φ → φ ( xi , y j , zk , tl ) Ngoài đạo hàm lấy gần ∂φ ∂x = i , j , k ,l φ ( xi + δ , y j , zk , tl ) − φ ( xi , y j , zk , tl )   δ Bây thay số (i, j, k , l ) ách hình thức số n kí hiệu Ln là: L ( φ ( xi , y j , zk , tl ), ∂ µφ ( xi , y j , zk , tl ) ) = L ( φn , ∂ µφn ) = Ln Mỗi số (i, j, k , l ) lấy N giá trị n lấy N4 giá trị, tác dụng S trở thành: N4 S = Ld ≈ ∑ δ Ln x GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 27 n =1 SVTH:Phan Thị Thủy Và biên độ chuyển dời CK – CK Z[J] viết lại dạng tổng sau: N4 N4 n =1 n =1 i lim Z[J] = N →∞ ∫ ∏ dφn ( x) exp i ∑ δ ( Ln + φn J n + εφn2 ) Ta tính tốn cho trường tự do, tức Lagranian có dạng: (∂ µφ∂ µφ − m 2φ ) Biên độ CK – CK tương ứng (lấy giới hạn N → ∞ ) là: L0 = { } Z [J ] = ∫ Dφ exp i ∫  ∂ µφ∂ µφ − (m − iε )φ  + φ  + φ J d x     (2.2) Chú ý: ∫ ∂ φ∂ φ d µ µ x = ∫ ∂ µ (φ∂ µφ )d x − ∫ φ W d x đưa số hạng vế phải dạng φ tích phân mặt, (dùng dạng chiều định lý Gaus) số hạng bề mặt triệt tiêu φ → ∞ , ta có: ∫ ∂ φ∂ φ d µ µ x = −∫ φW d x φ (2.3) Do (2.2) cho:  1   Z [J ] = ∫ Dφ exp −i ∫  φ (W m − iε )φ − φ J d x  +    2 (2.4) Đó biểu thức phiếm hàm sinh cho trường vô hướng tự Rõ ràng phiếm hàm sinh hàm truyền trường (trong CHLT Z [J ] hàm truyền CK – CK) Vậy ý nghĩa Z [J ] gì? Vì lại gốn phiếm hàm sinh? Hàm truyền trường vô hướng tự Để tính Z[J], ta thực biến đổi: φ ( x) → φ ( x) + φ0 ( x) Sử dụng: + ∫φ ( W m − iε )φ d x = ∫ φ ( W m − iε )φ0 d x (2.5) ta có: + + ∫ φ ( W m  → + ∫[ φ ( W m (2.5) − iε ) φ  − φ d x  − iε ) φ + φ ( W m − iε ) φ0 + φ0 ( W m − iε ) φ0 − φ J − φ0 J ]d x + + Nếu chọn φ0 ( x) thỏa mãn hệ thức: GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 28 SVTH:Phan Thị Thủy + (Wm − iε ) φ0 ( x) = J ( x) (2.6) Thì biểu thức trở thành: 1 + ∫ 2φ ( W m   − iε ) φ − φ0 J d x  (2.7) Nghiệm (2.6) là: φo ( x) = − ∫ ∆ F ( x − y ) J ( y )d y (2.8) Trong đó: ∆ F ( x − y ) gọi hàm truyền Feynman thỏa mãn: + (Wm − iε ) ∆ F ( x ) = −δ ( x ) (2.9) Thay (2.9) vào (2.7) ta thấy biểu thức e mũ (2.2) là: 1  −i  ∫ φ ( W m − iε ) φ d x + ∫ J ( x)∆ F ( x − y )J ( y )d xd y  + 2  (2.10) Như ta viết Z [ J ] dạng sau:  i   i  Z [J ] = exp  − ∫ J ( x)∆ F ( x − y ) J ( y )dxdy  ∫ Dφ exp  − ∫ φ (W m − iε )φ dx  +     (2.11) Điểm đặc sắc dạng Z [ J ] tách thành phần, phần chứa hàm trường φ , phần chứa nguồn J Tích phân theo φ lấy hàm φ , nên số, mà ta kí hiệu N Cuối ta có:  i  Z [ J ] = N exp  − ∫ J ( x)∆ F ( x − y ) J ( y ) dxdy    (2.12) Vì ta quan tâm đến biên độ chuyển dời chuẩn hóa, giá trị N xác định sau Ta nhận thấy hàm truyền Feynan ∆ F ( x − y ) có mặt biểu thức e mũ Z [ J ] Ta tìm hiểu ý nghĩa hàm truyền trường vô hướng II Các hàm Green trường vô hướng tự Cho đến ta đưa biểu thức phiếm hàm sinh hàm truyền trường vô hướng tự mà chưa giải thích ý nghĩa đại lượng Trong mục ta làm rõ vấn để Khái niệm phiếm hàm sinh Với Z [ J ] (2.12) ta viết nú di dng khai trin: GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 29 SVTH:Phan ThÞ Thđy  i Z [ J ] = N 1 − ∫ J ( x )∆ F ( x − y ) J ( y )dxdy  2 + 1 i   − ∫ J ( x)∆ F ( x − y ) J ( y )dxdy ÷ 2!    1 i   +  − ∫ J ( x)∆ F ( x − y ) J ( y )dxdy ÷ +  3!     Để hiểu chuỗi khai triển phiếm hàm, ta nhắc lại khai triển lũy thừa hàm số F(y1,…yk) với k biến y1,…yk ∞ ∂ n F { y} Ở Tn = ∂y ∂y n k k ∑∑ ∑ n !T ( i F{y} = F(y1,…yk) = n = i1 = in = n i ) yi1 , yin 1, n y =0 Khi chuyển sang trường hợp liên tục thì: i → xi ; yi → y ( x) , −∞ < x < ∞ ∑ → ∫ dx Ta có khai triển chuỗi lũy thừa phiếm hàm: i ∞ F [ y ] = ∑ ∫ dx1 dxn n =0 δ Tn ( x1 xn ) y ( x1 ) y ( xn ) n! δ Trong đó: Tn ( x1 xn ) = δ y ( x ) δ y ( x ) F [ y ] n y =0 Khi F [ y ] gọi phiếm hàm sinh hàm số Tn ( x1 xn ) Bây trở lại Z [ J ] Vì Z [ J ] biên độ chuyển dời CK – CK với có mặt nguồn J, nên ta chuẩn hóa cho Z [ J=0] = Trong trường hợp ta viết được: Z [ J ] = 0, ∞ 0, −∞ J Dễ thấy điều kiện Z[0] = tự động thỏa mãn (2.11) viết lại là:  Z [J ] =   − iε )φ − φ J dx    1  + ∫ Dφ exp − i ∫  φ (W m − iε )φ dx    1 + ∫ Dφ exp −i ∫  φ (W m   GVHD: Th.S NguyÔn Thị Phơng Lan 30 (2.13) SVTH:Phan Thị Thủy  Và Z [ J ] = exp  − ∫ J ( x)∆ F ( x − y ) J ( y )dxdy    i (2.14) Dễ dàng thấy Z [ J ] dạng (2.14) phiếm hàm sinh cho hàm τ sau: δ n Z [J ] τ ( x1 xn ) = n i δ J ( x1 ) δ J ( xn ) (2.15) j =0 Sử dụng tính chất phiếm hàm (tính chất tích phân đường xét chương I) ta có: δ n Z [J ] δ J ( x1 ) δ J ( xn ) Hay = i n T (φ ( x1 ) φ ( xn )) (2.16) j =0 δ n Z [J ] T (φ ( x1 ) φ ( xn )) = n i δ J ( x1 ) δ J ( xn ) (2.17) j =0 So sánh (2.15) (2.17) có: τ ( x1 xn ) = T (φ ( x1 ) φ ( xn )) Những đại lượng này-giá trị chân không T-tích tốn tử trường gọi hàm Green n-điểm lý thuyết Phần sau ta thấy chúng liên quan gần gũi đến thành phần ma trận tán xạ S Vậy áp dụng công thức khai triển phiếm hàm ta viết Z [ J ] sau: Z0 [ J] = ∞ ∑ n =0 ( −i / ) n n! ∫ dx dx J ( x ) J ( x )τ ( x x ) n n n (2.18) Dạng cho ta thấy rõ Z phiếm hàm sinh cho hàm Green τ Từ ta tìm hàm Green n-điểm trường tự 2.Tính tốn số hàm n-điểm Một cách hình thức, hàm Green n-điểm định nghĩa từ n=1, 2,… Tuy nhiên, chất hàm Green hàm truyền tương tác (như thấy dươi đây), hàm 1-điểm khơng có ý nghĩa nên ta bắt đầu với hàm Green 2-điểm • Hàm 2-điểm Ta có cơng thức tổng qt xác định hàm Green τ với n GVHD: Th.S Ngun ThÞ Phơng Lan 31 SVTH:Phan Thị Thủy p dng cho n=2, viết được: τ ( x, y ) = − δ Z [y ] δ J ( x)δ J ( y ) J =0 Với Z [ J ] cho ta có: δ Z [J] δ  i  = exp  − ∫ dx1dx2 J ( x1 )∆ F ( x1 − x2 ) J ( x2 )  i δ J ( x) i δ J ( x)     = − ∫ ∆ F ( x − x1 ) J ( x1 )dx1 x exp  − ∫ dx1dx2 J ( x1 ) ∆ F ( x1 − x2 ) J ( x2 )    i δ δ  i  Z [J ] = i∆ F ( x − y ) exp  − ∫ J ∆ F J ÷ i δ J ( x) i δ J ( y )     + ∫ ∆ F ( x − x1 ) J ( x1 )dx1 ∫ ∆ F ( y − x1 ) J ( x1 )dx1 x exp  − ∫ J ∆ F J ÷   i Cuối cùng, cách đặt J = ta được: δ δ Z [J ] = i∆ F ( x − y ) i δ J ( x) i δ J ( y ) J =0 Vậy τ ( x, y ) = i∆ F ( x − y ) (2.19) Hàm Green 2-điểm hàm truyền Feynman nhân them thừa số i ta kiểm chứng lại hệ thức cách viết hàm truyền Feynman hàm 2-điểm dạng tường minh tích phân hàm trường • Hàm 3-điểm τ ( x1 , x2 , x3 ) = δ δ δ Z [J ] i δ J ( x1 ) i δ J ( x2 ) i δ J ( x3 ) J =0 Ta có δ δ i Z [J ] = i∆ F ( x2 − x3 ) exp  − ∫ J ∆ F J   ÷ i δ J ( x2 ) i δ J ( x3 )    + ∫ ∆ F ( x2 − x) J ( x1 )dx ∫ ∆ F ( x3 − x) J ( x1 )dx x exp  − i  ∫ J ∆F J ÷   Đạo phiếm hàm lần theo J ( x) có: δ δ δ i Z [J ] = −i∆ F ( x2 − x3 ) ∫ ∆ F ( x1 − x ) J ( x )dx exp  − ∫ J ∆ F J   ÷ i δ J ( x1 ) i δ J ( x2 ) i δ J ( x3 )    i  −i∆ F ( x2 − x1 ) ∫ ∆ F ( x3 − x ) J ( x )dx exp  − ∫ J ∆ F J ÷  GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 32 SVTH:Phan ThÞ Thđy  i  −i∆ F ( x1 − x1 ) ∫ ∆ F ( x2 − x) J ( x)dx exp  − ∫ J ∆ F J ÷   + ∫ ∆ F ( x2 − x) J ( x)dx ∫ ∆ F ( x3 − x) J ( x1 )dx x ∫∆ F  i  ( x1 − x ) J ( x )dx exp  − ∫ J ∆ F J ÷   Đặt J = vế trái rút gọn τ ( x1 , x2 , x3 ) = T (φ ( x1 )φ ( x3 )φ ( x3 )) = (2.20) • Hàm 4-điểm Hàm 4-điểm đạo phiếm hàm bậc phiếm hàm sinh Z [ J ] : δ δ i Z [J ] = − ∆ F ( x2 − x3 ) ∆ F ( x1 − x4 ) exp  − ∫ J ∆ F J   ÷ i δ J ( x1 ) i δ J ( x4 )    i  − ∆ F ( x2 − x4 )∆ F ( x3 − x4 ) exp  − ∫ J ∆ F J ÷    i  − ∆ F ( x3 − x1 )∆ F ( x2 − x4 ) exp  − ∫ J ∆ F J ÷ + …   Vậy ta có: τ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = T (φ ( x1 )φ ( x3 )φ ( x3 )φ ( x4 )) = − [ ∆ F ( x1 − x2 )∆ F ( x3 − x4 ) + ∆ F ( x1 − x3 )∆ F ( x2 − x4 ) + ∆ F ( x1 − x4 )∆ F ( x2 − x3 ) ] (2.21) Từ kết tổng quát sau: τ =0 - Nếu n lẻ thì: - Nếu n chẵn thì: τ ( x1 , x2 , x2 n ) = ∑ τ (x hoanvi p1 , x p2 ) ( x p2 n−1 , x p2 n ) τ τ ( x, y ) = i ∆ F ( x − y ) Như lý thuyết trường lượng tử, ham truyền Feynman khơng cịn biên đọ chuyển dời Z [ J ] CHLT Từ hàm truyền ta tính tất hàm Green n-điểm trường từ xác định đai lượng quan trọng khác III Phiếm hàm sinh trường tương tác 1.Phương trình vi phân phiếm hàm sinh trường tương tác GVHD: Th.S Ngun ThÞ Phơng Lan 33 SVTH:Phan Thị Thủy Xột trng vụ hng mô tả Lagrangian L = L0 + Lint , với 1 L0 = ∂ µφ∂ µφ − m 2φ Cịn Lint mơ tả tương tác Phiếm hàm sinh dạng 2 chuẩn hóa là: Z [ J] = ∫ Dφ exp ( iS + i ∫ J φ dS ) ∫ Dφ e (2.22) iS ta tìm biểu thức cho Z [ J ] với dạng tương tự (2.13) trường vơ hướng Muốn ta phải tìm phương trình vi phân mà Z [ J ] thỏa mãn Trước hết nhận xét từ (2.12):  Z [J ] =   − iε )φ − φ J dx    1  + ∫ Dφ exp − i ∫  φ (W m − iε )φ dx    1 + ∫ Dφ exp −i ∫  φ (W m   (2.12) Có: δ  i  Z [J]= − ∫ ∆ F ( x − y ) J ( y )dy exp  − ∫ J ∆ F Jdxdy ÷ i δ J ( x)   (2.23) + Vì ∆ F thỏa mãn phương trình (W m − iε )−1 = −∆ F ( x − y ) nên ta viết: (W m ) + δ Z [J ] = J ( x) Z [J ] i δ J ( x) (2.24) Đây phương trình vi phân mà Z [J ] phải thỏa mãn Trở lại trường tương tác, tương tự trường tự do, từ (2.22) ta có: ( ) δ Z [J ] ∫ exp iS + i ∫ J φ dx φ ( x)φ = iS i δ J ( x) ∫ e Dφ Ta tiến hành biến đổi phương trình này: Định nghĩa phiếm hàm sau eiS ˆ Z [φ ] = iS ∫e φ Khi đó: (2.25) ˆ Z [J ] = ∫ Z [φ ]exp i ∫ J ( x )φ ( x)dx Dφ   Chú ý tác dụng S cú biu thc: GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 34 SVTH:Phan ThÞ Thđy 1  S = ∫  φ (W m )φ − Lint d x + 2  Ta có: i −1 δ ˆ δ   1  Z [J ] = i exp − i ∫  φ (W m )φ − Lint  d x  x  ∫ eiS Dφ  +  δφ ( x) δφ  2    ∂Lint ˆ ˆ + = (W m )φ ( x) Z [φ ]- ∂φ Z [φ ] ˆ ˆ + = (W m )φ ( x) Z [φ ]-L'int Z [φ ] (2.26) Dấu phẩy Lint có nghĩa phải lấy đạo hàm Lint theo biến Nhân hai vế biểu thức với exp i ∫ J ( x)φ ( x)dx lấy tích phân theo φ , vế phải trở thành: ( ) (W m )φ ( x ) exp iS + i ∫ J φ dS Dφ + ∫e iS Dφ + = (W m ) - ( ) L 'int (φ ) exp iS + i ∫ J φ dS Dφ ∫e iS Dφ δ Z [J ] 1 δ  − L 'int (φ )  Z [J ] i δ J ( x) i δ J   Biến L 'int đổi từ φ sang (2.27) δ tác dụng lên Z [J ] Còn vế trái i δJ cho: i δ ˆ Z [φ ]exp i ∫ J (φ )dx Dφ = i exp δφ ( x) ( ) ( ∫ Jφ dx ) Dφ φ →∞ ( = J ( x ) Z [J ] Như phương trình vi phân cho Z [J ] là: (W m ) + ) ˆ + ∫ J ( x) Z [φ ]exp i ∫ J (φ ) dx φ (2.28) δ Z [J ] 1 δ  − L 'int (φ )  Z [J ] = J ( x) Z [J ] i δ J ( x) i δ J   (2.29) Giải phương trình ta phiếm hàm sinh cho trường tương tác Nhận xét trường tự L 'int = phương trình suy biến về: (W m ) + δ Z [J ] = J ( x) Z [J ] i δ J ( x) Đó phương trình cho Z [J ] 2.Dạng rút gọn phiếm hàm sinh trường tương tác GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 35 SVTH:Phan Thị Thủy Cú thể chứng minh nghiệm (2.29) có dạng:  1 δ Z [ J ] = N exp i ∫ Lint  i δJ    ÷dx  Z [ J ]   (2.30) Trong N thừa số chuẩn hóa Việc chứng minh gồm bước sau: Trước hết chứng minh hệ thức:  1 δ exp  −i ∫ Lint  i δJ     1 δ ÷dy  J ( x) exp i ∫ Lint    i δJ    ÷dy    δ  ÷ i δJ   = J ( x) − L 'int   (2.31) ∂  Từ giao hoán tử:  xi ,  = iδ ij i ∂x  i   Ta suy dạng phiếm hàm tương ứng  J ( x),  δ  = iδ ( x − y ) i δ J ( y)   Lặp lại đến lũy thừa n ta có: n n −1 n −1  1 δ   1 δ  1 δ   δ   J ( x),   J ( x),  ÷  = iδ ( x − y )  ÷ − ÷  + i δ J ( y)    i δ J ( y)    i δ J ( y)   i δ J ( y)       n −1 1 δ  = iδ ( x − y )n  ÷  i δ J ( y)  Với phép khai triển hàm thành chuỗi K (φ ) = F (0) + φ F '(0) + ∞ φ2 n φn F (0) + = ∑ (0) 2! n=0 n ! δ  ÷ ta có: i δJ   Và tiến hành thay φ →   1 δ   1 δ   J ( x), ∫ F  ÷dy  = iF '  ÷  i δ J ( y)    i δ J ( x)   Áp dụng công thức Hausdorff   e A Be − A = B +  A, B +  A, [ A, B ]   +   2!   (2.32) GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 36 SVTH:Phan Thị Thđy Với A,B tốn tử, đặt: 1 δ  ÷dy  i δ J ( y)  A = −i ∫ Lint  B = J ( x) Thì A giao hốn với [ A, B ] nên có hai số hạng khai triển vế phải (2.32) có mặt (2.31) chứng minh Bây vận dụng hệ thức (2.31) ta chứng minh dạng hàm Z [ J ]  1 δ Z [ J ] = N exp i ∫ Lint  i δJ    ÷dx  Z [ J ]   Thật vậy:  1 δ   J ( x) Z [J ] = NJ ( x) exp  ∫ iLint  ÷dy  Z [ J ]  i δ J ( x)      1 δ    δ  ÷dy  x  J ( x) − L 'int  ÷ Z [J ]  i δ J ( x)    i δ J ( x)    = N exp i ∫ Lint   Số hạng thứ biểu thức biến đổi theo hệ thức (2.31) Trong số hạng thứ hai, thứ tự exp i ∫ Lint L 'int đổi chỗ cho nên:  1 δ J ( x) Z [J ] = N exp i ∫ Lint  i δJ  δ Z0   + ÷dx  (W m ) i δ J ( x)   1 δ   1 δ   − NL 'int  ÷exp i ∫ Lint  ÷dx  Z [J ] i δJ     i δ J ( x)  + = (W m ) 1 δ  δ Z [J ] − L 'int (φ )   Z [J ] i δ J ( x)  i δ J ( x)  Đẳng thức (2.29) nghiệm (2.30) chứng minh Những kết vận dụng để xét trường tương quan quen g thuộc, trường v h-íng tự tương tác với Lagrangian tương tác l µ − φ (lý 4! thuyt ) GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 37 SVTH:Phan ThÞ Thđy KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc tích cực học tập làm việc hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Phương Lan, đến tơi hồn thành đề tài đạt mục đích đề Cụ thể là: Chương I: Đã xây dựng dạng tích phân đường hàm truyền tương tác, từ trình bày CHLT hình thøc luận tích phân phiếm hàm Vận dụng kết tính tốn cho trường hợp tán xạ trường Coulomb, thu kết giống phương pháp khác Chương II: Trình bày lý thuyết trường lượng tử hình thức luận tích phân đường Nội dung chương tập chung lượng tử hóa trường vơ hướng tự tương tác Các cơng thức tính hàm truyền tương ứng rút có đối chiếu biểu thức thu với hình thức luận tắc Những kết bước đầu trình tìm hiểu hình thức luận tích phân phiếm hàm, có ý nghĩa quan trọng sở cho nghiên cứu tương lai Mặc dù cố gắng nỗ lc ht mỡnh, nhng vỡ l ln u đợc lm cơng tác nghiên cứu khoa học, thân tơi cịn nhiều bỡ ngỡ, khơng tránh khỏi thiếu sót lập luận trình bày Tơi mong đóng góp ý kiến thầy bn đề tài c hon thin hn Xin chõn thnh cm n ! GVHD: Th.S Nguyễn Thị Phơng Lan 38 SVTH:Phan ThÞ Thđy ... ? ?Hình thức luận tích phân đường học lượng tử lí thuyết trường lượng tử? ?? II.Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường học lượng tử Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường lí. .. Thủy Chng I HÌNH THỨC LUẬN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Hình thức luận tích phân phiếm hàm Feynman đề xuất từ năm 1948 nhằm mục đích mối quan hệ Cơ học lượng tử (CHLT) Cơ học cổ điển,... LUẬN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG Tö Một cách tương ứng, lý thuyết trường lượng tử, ngồi hình thức luận tắc dựa việc lượng tủ hóa tốn tử sinh hủy, cịn có hình thức luận tích phân đường,