Mối liên hệ giữa tích phân đường tích phân mặt tích phân bội

Tích phân ñường và tích phân mặt là sự mở rộng của tích phân bội trên hai phương diện: lấy tích phân trên các cung cong thay cho trên ñoạn thẳng, tính tích phân trên mặt cong thay cho tr

MỤC LỤC

MỞ ðẦU 0

1 Lí do chọn ñề tài khoá luận 2

2 Mục tiêu khoá luận 2

3 Nhiêm vụ nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Ý nghĩa khoa học 3

7 Bố cục của khóa luận 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Tích phân bội 5

1.1.1 Tích phân hai lớp 5

1.1.2 Tích phân ba lớp 11

1.2 Tích phân ñường 18

1.2.1 Tích phân ñường loại một 18

1.2.2 Tích phân ñường loại hai 19

1.3 Tích phân mặt 21

1.3.1 Tích phân mặt loại một 21

1.3.2 Tích phân mặt loại hai 22

CHƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN BỘI - TÍCH PHÂN ðƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT 26

2.1 Mối liên hệ giữa tích phân bội và tích phân ñường 26

2.1.1 Công thức Green 26

2.1.2 Ví dụ minh hoạ 28

2.2 Mối liên hệ giữa tích phân ñường và tích phân mặt

2.2.1 Công thức Stokes 35

2.2.2 Một số ví dụ minh hoạ 38

2.3 Mối liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân bội 42

2.3.1 Công thức Ostrogradski 42

2.3.2 Ví dụ minh hoạ 43

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 46

3.1 Bài tập có lời giải 46

3.2 Bài tập ñề nghị 55

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

MỞ ðẦU

1 Lí do chọn ñề tài khoá luận

Tích phân là một khái niệm toán học mà cùng với nghịch ñảo của nó (vi phân) ñóng vai trò là hai phép tính cơ bản và chủ chốt trong giải tích Các khái niệm tích phân bội ñều dựa trên sơ ñồ vi phân (tính yếu tố vi phân rồi lấy tổng) Tích phân ñường và tích phân mặt là sự mở rộng của tích phân bội trên hai phương diện: lấy tích phân trên các cung cong thay cho trên ñoạn thẳng, tính tích phân trên mặt cong thay cho trên miền phẳng Chính vì thế, ý nghĩa thực tế của tích phân ñường và tích phân mặt là rất lớn Hầu hết các bài toán

kỹ thuật liên quan ñến trường vectơ ñều liên quan ñến tích phân ñường và tích phân mặt như: tính công của lực, tính thông lượng của trường …

Tuy nhiên, trong quá trình học thì không ít sinh viên gặp khó khăn trong việc tính các tích phân này Do ñó, việc ñưa các tích phân này về các tích phân ñơn giản hơn và tìm hiểu mối liên hệ giữa chúng ñã ñược các nhà toán học như Sofia Kovalevskaia (1850 – 1891) - nhà nữ toán học người Nga

và Georiel Gabriel Stokes (1819 – 1903) - nhà toán học người Ireland quan tâm; và nó ñược thể hiện rõ nét ở ba ñịnh lí: ðịnh lí Green, ñịnh lí Stokes và ñịnh lí Ostrogradski

Với lí do trên và với sự ñam mê nghiên cứu giải tích cổ ñiển của bản

thân, em ñã quyết ñịnh nghiên cứu “Mối liên hệ giữa tích phân ñường – tích phân mặt – tích phân bội” ñể làm khoá luận tốt nghiệp

2 Mục tiêu khoá luận

Làm rõ mối quan hệ giữa ba loại tích phân là tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt thông qua việc phân tích, hệ thống ví dụ minh hoạ và hệ thống bài tập áp dụng

3 Nhiêm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về tích phân như tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt

- Nghiên cứu mối liên hệ giữa ba loại tích phân là tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt

- ðưa ra hệ thống ví dụ và bài tập ñể làm rõ mối liên hệ tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình

có liên quan ñến tích phân ñường, tích phân mặt, tích phân bội, ñịnh lý, công thức Green, Ostrogradski và Stokes và áp dụng vào một số ví dụ cụ thể

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu lý luận, tác giả

hệ thống lại các kiến thức ñã nghiên cứu

5 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

ðối tượng nghiên cứu: Tích phân ñường, tích phân mặt, tích phân bội Phạm vi nghiên cứu: Mối liên hệ thống giữa ba loại tích phân là tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt

6 Ý nghĩa khoa học

Khóa luận ñược hoàn thành có thể là tài liệu tham khảo tốt cho giảng viên và sinh viên ngành Toán, ñặc biệt là sinh viên năm thứ 2 ñại học

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia thành 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Mối liên hệ giữa tích phân bội – tích phân ñường – tích phân mặt Chương 3: Bài tập áp dụng

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương 1, khoá luận trình bày các kiến thức cơ sở liên quan về tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt: ðịnh nghĩa, cách tính, … Các

kiến thức trong chương này ñược trích từ các tài liệu [1], [3]

Trên mỗi mảnh (∆Si) lấy ñiểm M tuỳ ý: i M x , yi( i i) (∈ ∆Si)

gọi là tổng tích phân của hàm f x, y trên miền D ứng với phép chia miền D ( )

và cách chọn các ñiểm Mi như ñã nêu

Gọi di là ñường kính của mảnh (∆Si):

d =d ∆S =Sup MN : M, N∈ ∆S Nếu khi n → ∞ sao cho Max d( )i →0, In dần ñến giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn các ñiểm Mi trên (∆Si)

- D là miền lấy tích phân; f x, y là hàm dưới dấu tích phân ( )

b) Cách tính tích phân hai lớp trong toạ ñộ Descates

M =supf x,y

∈

, ta có mij≤f x, y( )≤Mij với mọi (x, y)∈ ∆xi× ∆yj ðặc biệt mij≤f ξ , y( i )≤Mij với mọi y∈ ∆yj

Công thức trên cho phép tính tích phân hai lớp (của hàm hai biến) ở vế

trái thông qua tích phân lặp (hai lần tính tích phân, lần ñầu theo biến y, lần

sau theo biến x) ở vế phải ðể cho gọn người ta còn hay viết vế phải là

* Miền lấy tích phân có dạng bất kỳ

- Nếu D là hình thang cong có ñáy song song với trục Oy:

[a,b , hàm ] f x, y liên tục trên D, thì ( )

( )

( ) ( )

c) Phép ñổi biến số trong tích phân hai lớp

* Công thức ñổi biến tổng quát

Phải thoả mãn các giải thiết sau:

- x u, v , ( ) y u, v là các hàm liên tục, có các ñạo hàm riêng liên tục ( )trong miền ñóng, giới nội D'⊂Oxy (D' có diện tích);

- (1.8) xác ñịnh một song ánh (ñơn ánh) từ D' →D⊂Oxy;

* Công thức ñổi biến trong toạ ñộ cực

Xét ñổi biến toạ ñộ cực x rcosθ

ðịnh thức Jacobi của phép biến ñổi là

' '

r θ ' '

Trên mỗi mảnh (∆Vi) lấy ñiểm Mi tuỳ ý: M x , y ,zi( i i i) (∈ ∆Vi)

Lập tổng n n ( i i i) i

i =1

và gọi là tổng tích phân của hàm f x, y,z trên miền V ứng với phép chia ( )miền V và cách chọn các ñiểm Mi như ñã nêu

Gọi di là ñường kính của mảnh (∆Vi):

- V là miền lấy tích phân; f x, y, z là hàm dưới dấu tích phân ( )

b) Cách tính tích phân ba lớp trong toạ ñộ Descates

* Miền lấy tích phân là hình hộp

* Miền lấy tích phân có dạng hình trụ cong

( )S : z z x, y ;1 = 1( ) ( )S : z z x, y ;2 = 2( ) (x, y)∈D⊂Oxytrong ñó z x, y1( ), z x, y2( ) là các hàm liên tục trên miền D ñóng, giới nội và

I=∫∫∫f x, y, z dxdydz=∫dx ∫ dy ∫ f x, y, z dz (1.14)

* Tính tích phân theo thiết diện

Giả sử vật thể V ñược giới hạn bởi các mặt x a= , x b= (a < b) và mặt cong S sao cho mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox và cắt trục Ox tại ñiểm N(x, 0, 0) (a x b≤ ≤ ) sẽ cắt vật thể theo thiết diện T(x) với diện tích dt(T(x))

là hàm liên tục theo x trên [a, b ðặt ] S x( )={ ( y, z : x, y, z) ( )∈V} Nếu

c) Phép ñổi biến số trong tích phân ba lớp

* Công thức ñổi biến tổng quát

Giống như tích phân hai lớp, ñể tính tích phân ba lớp

- (1.16) xác ñịnh một song ánh (ñơn ánh) từ V→V' ⊂Oxyz;

* Công thức ñổi biến trong toạ ñộ trụ

ðối với ñiểm M(x, y, z) trong hệ toạ ñộ Descates vuông góc Oxyz, toạ

ñộ trụ của nó là bộ ba số (r, θ, z), trong ñó (r, θ) là toạ ñộ cực của hình chiếu

ðịnh thức Jacobi của phép ñổi biến (1.19) là

Công thức còn ñúng khi miền V chứa những ñiểm trên trục Oz

Khi miền V có dạng hình trụ cong và hình chiếu của nó lên mặt phẳng Oxy có dạng hình quạt thì

f x, y, z dxdydz= dφ dr f rcosθ, r sinθ, z rdz

* Công thức ñổi biến trong toạ ñộ cầu

- Toạ ñộ cầu: Cho ứng mỗi ñiểm M(x, y, z) trong hệ toạ ñộ Descates vuông góc Oxyz với bộ ba số (r, θ, φ Bộ ba số ) (r, θ, φ ñược gọi là toạ ñộ )cầu của ñiểm M Nhận thấy rằng:

Gốc toạ ñộ O ứng với r 0= , θ và φ tuỳ ý

Các ñiểm còn lại trên trục Oz có r xác ñịnh, θ tuỳ ý, φ 0= hoặc φ π= ðối với các ñiểm còn lại có tương ứng 1 – 1 giữa toạ ñộ cực và toạ ñộ cầu:

3−Oz↔ r, θ, φ : 0 < r, 0 θ 2π, 0 φ <π≤ < ≤

ℝ

(Cũng có thể chọn khoảng biến thiên của θ là π θ π− ≤ < )

(x, y, z) ñược biểu diễn qua (r, θ, φ theo công thức )

Khi không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết M(x, y, z) với ngụ ý rằng ñiểm M

có toạ ñộ Descartes, hoặc M(r, θ, φ) với ngụ ý rằng, ñiểm M có toạ ñộ cầu (r, θ, φ )

- ðổi biến số dùng toạ ñộ cầu: Dùng ñổi biến toạ ñộ cầu (1.21) ñể tính tích phân ba lớp rất hiệu quả ðịnh thức Jacobi của phép ñổi biến là

2

cosθsinφ rsinθsinφ rcosθcosφ

J det sinθsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ r sinφ

1 1 1

φ φ r θ, φ θ

2

θ φ φ r θ, φ

I= ∫dθ ∫ dφ ∫ f rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ r sinφdr (1.24)

- Toạ ñộ cầu co giãn: ðể tính tích phân ba lớp người ta cũng hay dùng toạ ñộ cầu co giãn:

I abc= ∫∫∫f rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ r sinφdrdθdφ (1.26)

Cũng có thể sử dụng toạ ñộ cầu dịch chuyển, thậm chí là toạ ñộ cầu co giãn dịch chuyển:

0 0 0

Lập tổng n n ( i) i

i =1

I =∑f M ∆s gọi là một tổng tích phân

Nếu khi n → ∞ sao cho i

i =1, ,n

Max s∆ →0 mà tổng tích phân dần ñến giới hạn hữu hạn I xác ñịnh, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn các ñiểm M thì: i

- Giới hạn I ñược gọi là tích phân ñường (loại một) của hàm f M( ) trên cung AB , và ký hiệu là ( )

 AB

- Hàm f M( ) ñược gọi là khả tích trên cung AB

b) Cách tính tích phân ñường loại một

Cho AB là cung trơn từng khúc và cho bởi phương trình tham số ( )

x x t= , y y t= ( ), z z t= ( ), a t b≤ ≤ ; f(x, y, z) là hàm liên tục trên cung



b

'2 a

Trong mặt phẳng Oxy xét ñường cong ñịnh hướng L AB= (chiều ñường cong ñi từ A ñến B) Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñịnh trên cung

- Giới hạn I ñược gọi là tích phân ñường loại hai của các hàm P(x, y),

Q(x, y) trên cung AB và ký hiệu là

- Các hàm P(x, y), Q(x, y) ñược gọi là khả tích trên AB

b) Cách tính tích phân ñường loại hai

* ðường cong cho dưới dạng tham số

Nếu ñường cong L AB= cho dưới dạng tham số: x x t= ( ), y y t= ( ),

a t b≤ ≤ ( t a= ứng với ñiểm ñầu A, t b= ứng với ñiểm cuối B); các hàm

* ðường cong cho dưới dạng phương trình hiện

Giả sử L cho bởi phương trình y y x= ( ), a x b≤ ≤ , trong ñó y(x) là hàm liên tục, khả vi từng khúc; x a= ứng với ñiểm ñầu; x b= ứng với ñiểm cuối của ñường; P(x, y), Q(x, y) là những hàm liên tục trên L Như vậy có thể coi dạng tham số của L là y y x= ( ), x x= , a x b≤ ≤ , áp dụng (1.30) ta ñược

và diện tích của chúng lần lượt là ∆S1,…,∆Sn

Trên mảnh (∆Si) lấy ñiểm M x , y , z tuỳ ý i( i i i)

Lập tổng I =∑n f M( )∆S

Gọi di là ñường kính của mảnh (∆Si) Nếu khi n → ∞ sao cho

i

Max(d )→0 mà các tổng In ñều dần ñến một giới hạn I hữu hạn xác ñịnh

i 1, ,n= , không phụ thuộc vào cách chia mặt S cũng như cách chọn các ñiểm

x

z , ' y

z liên tục trên D, D là miền ñóng, giới nội, có diện tích Khi ñó

Trong G cho mặt ñịnh hướng S, ở ñó vectơ pháp tuyến ñơn vị tại ñiểm

M S∈ là n n M= ( )=(cosα M , cosβ M , cosγ M( ) ( ) ( ) )

Chia S thành n các mảnh nhỏ (∆S1),…,(∆Sn) không dẫm lên nhau và gọi diện tích tương ứng của chúng là ∆S1,…,∆Sn Trên mảnh (∆Si) chọn một ñiểm M tuỳ ý Lập itổng sau ñây, gọi là tổng tích phân:

phân mặt loại hai của các hàm P M , ( ) Q M , ( ) R M trên S và ñược ký hiệu ( )

b) Cách tính tích phân mặt loại hai

- Sử dụng công thức liên hệ hai loại tích phân mặt

( )

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= Pcosα+Qcosβ+Rcosγ dS= F.ndS

ñể chuyển sang tích phân mặt loại một sẽ là cách làm hiệu quả

- Mặt cho bởi phương trình z z x, y= ( )

ðể tính tích phân mặt loại hai (1.34) trước hết giả sử mặt S cho bởi phương trình z z x, y= ( ), (x, y)∈D (D là hình chiếu của S xuống mặt Oxy),

N= −z , z ,1−



(thành phần thứ ba của pháp tuyến lớn hơn hoặc bằng 0), pháp tuyến ñơn vị tương ứng là

' '

y x

y x

z trên miền ñóng, giới nội, có diện tích

D trong ℝ2 Cũng giả sử rằng P, Q, R là những hàm liên tục trên (S) Khi ñó

(D : hình chiếu của S xuống Oyz) yz

Nếu mặt ñịnh hướng từng mảnh S ñược chia thành một số hữu hạn mảnh nhỏ, mỗi mảnh có một trong các dạng như trên, ta lấy tích phân trên các mảnh ñó rồi cộng các kết quả lại

CHƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN BỘI – TÍCH PHÂN ðƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT

Trong chương 2, khóa luận trình bày về các ñịnh lý Green, ñịnh lý Stokes và ñịnh lý Ostrogradski, ñể từ ñó có thể thấy rõ mối quan hệ giữa tích phân bội , tích phân ñường, tích phân mặt Bên cạnh ñó, khóa luận cũng ñưa

ra và phân tích các ví dụ cụ thể ñể hiểu hơn các ñịnh lý và thấy rõ hơn mối quan hệ giữa ba loại tích phân trên.[1], [2], [3], [3], [4], [5], [6], [7]

2.1 Mối liên hệ giữa tích phân bội và tích phân ñường

2.1.1 Công thức Green

- Miền liên thông: Miền E ⊂ ℝn ñược gọi là liên thông (liên thông ñường) nếu ta có thể nối hai ñiểm bất kỳ của nó bằng một ñường gấy khúc nằm hoàn toàn trong E

Nếu E mở thì có thể thay cụm từ “ñường gẫy khúc” bằng “ñường cong trơn từng khúc”

- Miền ñơn liên: Miền liên thông U trong ℝ2 ñược gọi là miền ñơn liên nếu mọi ñường cong kín, có ñộ dài (ño ñược Jordan) ñều bao một miền nằm hoàn toàn trong U Nói cách ñơn giản, miền ñơn liên là miền “không có lỗ thủng” và không thể chứa hai mẩu riêng biệt Miền không ñơn liên (miền có

“lỗ thủng”) gọi là miền ña liên

- Hướng dương của biên miền liên thông D (ñơn liên cũng như ña liên)

là hướng mà một người ñi hướng ñó sẽ thấy phần miền D gần nhất luôn ở phía bên trái

ðịnh lý 2.1 (Công thức Green) Cho D là miền ñóng, bị chặn, liên thông có

biên L gồm một số hữu hạn ñường cong kín, trơn từng khúc, rời nhau ñôi một

và có hướng dương Giả sử P(x, y), Q(x, y) và các ñạo hàm riêng cấp một của chúng là những hàm liên tục trên D Khi ñó ta có công thức

( )

2

2 1 1

- Nếu D là hình thang cong có ñáy song song với trục Ox thì chứng minh tương tự

- Bây giờ giả sử D là miền ña liên Ta chia nhỏ D thành các miền

trong ñó Li là biên ñịnh hướng dương của miền Di

Khi tách các biên Li thành các khúc nhỏ, những khúc là danh giới của hai miền ñược tính hai lần với chiều ngươc nhau, tổng tương ứng của chúng bằng không Khi ghép lại những khúc chỉ ñược tính một lần, ta sẽ ñược biên của miền D với hướng dương ñã quy ước Kết quả nhận ñược sẽ là:

a a

(Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ)

Trong ví dụ này rất may hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ, nếu không chúng ta lại phải tính thêm một bước nữa rất là dài Trong trường hợp này nếu

ta sử dụng cách tính trực tiếp sẽ ngắn hơn rất nhiều

Cách 2: Tính tích phân trực tiếp

0 0

abcostsint +acost +bsint sint abcostsint +acost bsint bcost dt

a bsin td sint a b sintd sint ab cos2t cos td cost

2cos t sin t sin t cos t+sin t cost dt

2cos t sin t+sin t +cos t +sin tcost dt=

sin t +cos t dt=2 sin t +cos t dt

trong ñó D là miền giới hạn bởi ñường tròn (L)

Chuyển sang toạ ñộ cực ta có: x rcosφ 0 r 1; 0 φ 2π

Ta thấy rằng việc tính trực tiếp tích phân trên không hề ñơn giản

Ta cũng thấy các dữ kiện ñã cho trong ví dụ thoả mãn các ñiều kiện của công thức Green Do ñó, ta có thể áp dụng công thức Green cho các hàm

ñó ñược thể hiện trong ví dụ sau:

Ví dụ 2.4 Chứng minh rằng diện tích miền D bao bởi ñường cong C ñược

Áp dụng công thức Green với f x, y( )=0, g x, y( )=x, ta có: