Báo cáo tổng hợp kết quả thực hiện đề tài khoa học công nghệ MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN TRONG VÀNH K[X]

44 535 0
Báo cáo tổng hợp kết quả thực hiện đề tài khoa học công nghệ MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN TRONG VÀNH K[X]

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

UBND T NH PHÚ TH TRƯ NG Đ I H C HÙNG VƯƠNG BÁO CÁO T NG H P K T QU TH C HI N Đ TÀI KHOA H C CÔNG NGH M I QUAN H GI A T P Đ I S VÀ IĐÊAN TRONG VÀNH K [ X ] Ch nhi m đ tài: ThS Hà Ng c Phú C ng tác viên: ThS Nguy n Th Thanh Tâm Phú Th , 2013 M CL C M Đ U Lý ch n đ tài 2 M c tiêu nghiên c u 3 Nhi m v nghiên c u Đ i tư ng ph m vi nghiên c u .3 Phương pháp nghiên c u .3 Ý nghĩa khoa h c th c ti n c a đ tài B c c c a đ tài Chương T P Đ I S .5 1.1 Vành đa th c .5 1.1.1 Vành đa th c m t n 1.1.2 Vành đa th c nhi u n 1.2 T p đ i s 1.2.1 Đ nh nghĩa 10 1.2.2 Tính ch t c a t p đ i s .11 1.2.3 Tham s hóa t p đ i s 12 1.3 Tô pô Zariski, t p b t kh qui 13 1.3.1 Tô pô Zariski 13 1.3.2 T p b t kh qui 15 Chương 18 IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA TH C 18 2.1 Đ nh nghĩa m t s tính ch t .18 2.2 Iđêan c a t p m 21 2.3 Iđêan iđêan nguyên t 23 2.3.1 Iđêan 23 2.3.2 Iđêan nguyên t 25 Chương 30 M I QUAN H GI A T P Đ I S VÀ IĐÊAN 30 3.1 M i quan h gi a phép toán t p h p 30 3.2 Tính Noether c a vành đa th c K [ X ] An 32 3.2.1 Đ nh lý Hilbert v s .32 3.2.2 Tính Noether c a khơng gian tơ pơ An .34 3.3 Tương ng gi a t p đ i s iđêan 36 3.4 M t s ví d 39 K T LU N .42 TÀI LI U THAM KH O .43 M Đ U Lý ch n đ tài Đ i s giao hoán chuyên ngành toán h c nghiên c u c u trúc vành giao hốn v i khn m u vành đa th c Hình h c đ i s chuyên ngành nghiên c u hình hình h c có xu t x t h phương trình đa th c Vì v y hai chuyên ngành có m i liên quan m t thi t Hình h c đ i s dùng cơng c đ i s đ nghiên c u hình h c thơng qua dùng h phương trình đa th c đ mơ t hình hình h c quy v n đ hình h c v nghiên c u t p nghi m h phương trình đa th c T p đ i s đư c coi m t t p nghi m c a m t h phương trình đa th c m i t p đ i s đ u t p nghi m c a m t iđêan Đi u cho phép thay h phương trình đa th c b ng iđêan th c hi n phép tốn đ i s nghiên c u hình h c c a t p đ i s Bên ngồi tr c quan hình h c đ i s hình th c có v đ i l p nhau, s phát tri n c a hình h c đ i s th k 20 ch ng minh u ngư c l i: m t ngôn ng đ i s phù h p có th di n đ t tr c quan hình h c m t cách r t xác đ i s giao hốn tr thành cơng c hình h cđ is Các k t qu v Hình h c đ i s đư c R Hartshorne trình bày cu n sách Algebra Geometry Khái ni m b n đư c trình bày trư c tiên khái ni m t p đ i s (đa t p afin) không gian afin K n , v i K m t trư ng đóng đ i s Nó t p nghi m c a m t h phương trình đa th c, mà hình nh quen thu c đư c gi i thi u nhi u tài li u đ th c a hàm đa th c, hàm n, … Đó khái ni m dùng đ mô t nhi u đ i tư ng hình h c khác Các t p đ i s có nhi u tính ch t đa d ng v i phép toán v t p h p, làm cho K n thành m t không gian tôpô Nhưng xét m t t p đ i s V v i tư cách m t t p nghi m c a h phương trình đa th c rõ ràng có nhi u h phương trình đa th c xác đ nh t p đ i s T d n đ n nghiên c u t p đa th c nh n V làm t p nghi m, iđêan IV , iđêan xác đ nh t p đ i s V Và v y ta có th s d ng tính ch t c a iđêan đ quay l i nghiên c u t p đ i s Tuy nhiên n y sinh v n đ t p đa th c IV có h u h n sinh có nghi m hay không, u đư c đ m b o trư ng K đóng đ i s Khi m i iđêan đ u có nghi m, t c đ u xác đ nh m t t p đ i s có th thi t l p tương ng – gi a hai nhóm đ i tư ng Xét m i quan h gi a l p t p đ i s không gian K n v i t p iđêan vành đa th c K [ x1 , x2 , , xn ] s làm sâu s c tính ch t c a chúng t giúp tăng tính tr c quan cho m t s khái ni m đ i s hình h c T có th m r ng xét m t s tính ch t tương t c a m i quan h trư ng h p trư ng K khơng đóng đ i s M c tiêu nghiên c u - Nghiên c u tính ch t c a t p đ i s ; tính ch t c a iđêan - Làm rõ m i quan h gi a t p đ i s iđêan - T m t s tính ch t c a t p đ i s iđêan K [ x1 , x2 , , xn ] , v i K trư ng đóng đ i s ki m tra s t n t i tính ch t tương t K trư ng khơng đóng đ i s Nhi m v nghiên c u - Nghiên c u t p đ i s tính ch t c a t p đ i s - Nghiên c u iđêan vành đa th c m t s tính ch t c a chúng gi a t p đ i s - Nghiên c u m i quan h iđêan K [ x1 , x2 , , xn ] , xét tương t trư ng K khơng đóng đ i s Đ i tư ng ph m vi nghiên c u Đ i tư ng nghiên c u bao g m: t p đ i s , iđêan vành K [ x1 , x2 , , xn ] , iđêan c a m t t p m Ph m vi nghiên c u c a đ tài t p trung vào tính ch t c a t p đ i s , c a iđêan xác đ nh t p đ i s Phương pháp nghiên c u - T p h p, nghiên c u tài li u, phân tích tính ch t c a t p đ i s , tính ch t c a iđêan xác đ nh t p đ i s vành đa th c K [ x1 , x2 , , xn ] - Phân tích, so sánh tính ch t tương đ ng c a t p đ i s v i iđêan đ làm rõ m i liên h gi a chúng thông qua xem xét th hi n phép toán t p h p, vi c thi t l p tương ng V ֏ IV IV ֏ Z ( IV ) Sau xét tính ch t tương t K không trư ng đóng đ is Ý nghĩa khoa h c th c ti n c a đ tài Các k t qu c a đ tài thu đư c giúp làm rõ nh ng tính ch t c a t p đ i s m i liên h v i iđêan vành đa th c K [ x1 , x2 , , xn ] , giúp gi m tính tr u tư ng c a m t s khái ni m c a đ i s giao hốn hình h cđ is B c c c a đ tài Báo cáo đ tài g m chương: Chương c a đ tài trình bày làm rõ m t s ki n th c v vành đa th c, v t p đ i s , c u trúc tính ch t c a t p đ i s khơng gian affin K n Chương trình bày m t s ki n th c v iđêan, làm rõ m t s tính ch t c a iđêan vành đa th c, iđêan xác đ nh t p đ i s Chương trình bày m i quan h gi a t p đ i s t p iđêan vành đa th c trư ng K , đưa m t s ví d minh h a cho m i quan h gi a hai đ i tư ng Chương T PĐ IS Chương trình bày m t s ki n th c v vành đa th c, t p nghi m c a m t h đa th c – t p đ i s tính ch t c a t p đ i s , bao g m: vành đa th c m t bi n, nhi u bi n; t p đ i s ; tôpô Zariski 1.1 Vành đa th c 1.1.1 Vành đa th c m t n Gi s A m t vành giao hốn, có đơn v G i P t p h p dãy (a0 , a1 , , an , ) ∈ A v i m i i ∈ ℕ b ng t t c tr m t s h u h n Như v y P m t b ph n c a lũy th a Đ Aℕ Ta đ nh nghĩa phép c ng phép nhân P sau: (a0 , a1 , , an , ) + (b0 , b1 , , bn , ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) (1) (a0 , a1 , , an , ) (b0 , b1 , , bn , ) = (c0 , c1 , , cn , ) v i ck = (2) ∑ a b , k = 0,1,2, i j i + j =k + (1) (2) cho ta hai phép toán c ng nhân P + P m t vành giao hoán có đơn v + Xét dãy x = (0,1,0, ,0., ) , ta có theo qui t c nhân (2) : x = (0,0,1,0, ,0., ) x = (0,0,0,1,0, ,0., ) ⋮ x n = (0,0, ,0,1,0, ) n Ta quy c vi t x = (1,0, ,0., ) M t khác, xét ánh x A → P, a ֏ (a,0, ,0, ) , m t đơn c u vành Ta đ ng nh t ph n t a ∈ A v i dãy (a,0, ,0, ) ∈ P Vì v y A m t vành c a vành P + M i ph n t c a vành P m t dãy (a0 , a1 , , an , ) ∈ A v i m i i ∈ ℕ b ng t t c tr m t s h u h n, m i ph n t c a P có d ng (a0 , a1 , , an ,0, ) a0 , a1 , , an ∈ A không nh t thi t khác + Vi c đ ng nh t a ∈ A v i dãy (a,0, ,0, ) ∈ P vi c đưa vào dãy x cho phép ta vi t (a0 , a1 , , an ,0, ) = a0 x + a1 x + a2 x + + an x n = a0 + a1 x + a2 x + + an x n + Ngư i ta kí hi u ph n t c a P vi t dư i d ng a0 + a1 x + a2 x + + an x n b ng f ( x), g ( x), Đ nh nghĩa 1.1 Vành P g i vành đa th c n x l y h t A, hay v n t t vành đa th c c a n x A, kí hi u A[x] Các ph n t c a vành g i đa th c c a n x l y h t A Trong m t đa th c f ( x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n , i = 0,1, , n g i h t c a đa th c Các xi g i h ng t c a đa th c, đ c bi t a0 x = a0 g i h ng t t Ví d 1.1 Các vành ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x] vành đa th c m t n x Đ nh lý 1.1 N u A m t mi n nguyên, f ( x) ≠ 0, g ( x) ≠ c a vành A[x] f ( x).g ( x) ≠ deg ( f ( x).g ( x)) = deg f ( x) + deg g ( x) Ch ng minh Gi s f ( x), g ( x) ∈ A[ x] , f ( x) ≠ 0, g ( x) ≠ f ( x) = a0 + a1 x + + am x m , (am ≠ 0) g ( x) = b0 + b1 x + + bn x n , (bn ≠ 0) Theo quy t c nhân đa th c ta có f ( x) g ( x) = a0b0 + + (a0bk + a1bk −1 + + ak b0 ) x k + + ambn x n+ m Do am bn khác nên ambn khác (do A mi n nguyên), f ( x).g ( x) ≠ deg ( f ( x).g ( x)) = m + n = deg f ( x) + deg g ( x) H qu 1.1 N u A mi n nguyên A[x] mi n nguyên ph n t kh ngh ch c a A[x] ph n t kh ngh ch c a A Vành đa th c m t n có tính ch t quan tr ng là: Đ nh lý 1.2 Gi s A m t trư ng, f ( x) ≠ 0, g ( x) ≠ , th bao gi t n t i nh t hai đa th c q ( x), r ( x) ∈ A[ x] cho f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x), deg r ( x) < deg g ( x) n u r ( x) ≠ Vi c tìm đa th c thương q ( x) dư r ( x) đư c th c hi n b ng thu t toán sau: Input: g ( x), f ( x) Output: q ( x), r ( x) q ( x) := 0; r ( x) := f ( x); While r ( x) ≠ and deg g ( x) ≤ deg f ( x) q ( x) := q ( x) + in(r ( x)) / in( g ( x)) r ( x) := r ( x) − (in(r ( x)) / in( g ( x))) g ( x) Trong in( f ( x)) = an x n v i f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 Nh n xét 1.1 N u A không m t trư ng mà A ch m t vành giao hốn có đơn v ta v n có th th c hi n đư c phép chia đa th c f ( x) cho g ( x) v i u ki n đa th c g ( x) có h t cao nh t b ng đơn v 1.1.2 Vành đa th c nhi u n Vành đa th c nhi u n l y h t m t vành A có th đ nh nghĩa b ng quy n p Đ nh nghĩa 1.2 Gi s A m t vành giao hốn, có đơn v Khi n = 1, ta đ nh nghĩa vành đa th c A[x1] c a n x1 A Đ t A1 = A[x1], A1 vành giao hốn, có đơn v Vì th l i đ nh nghĩa đư c vành A2 = A1[x2] c a n x2 A1 ta kí hi u A2 = A[x1, x2] g i vành đa th c c a hai n x1, x2 A, c ti p t c v y: A3 = A2[x3],… Gi s ta đ nh nghĩa đư c vành đa th c A[x1,x2, …, xn-1] c a n -1 n x1, x2, …, xn-1 A Đ t An-1 = A[x1, …, xn-1] Khi An-1 vành giao hốn, có đơn v Do ta đ nh nghĩa vành An = An-1[xn] kí hi u A[x1, x2,…., xn], g i vành đa th c c a n n x1, x2,…xn l y h t vành A Khi vành A m t trư ng K , vành đa th c n n K [ x1 , x2 , , xn ] cịn đư c kí hi u K [X ] M t ph n t c a An g i m t đa th c c a n n x1, x2,…xn l y h t vành A, kí hi u f ( x1 , x2 , xn ) ho c f M i ph n t f ( x1 , x2 , xn ) c a An = A[x1, x2,…, xn] có d ng α α α α α α α α α f ( x1 , x2 , , xn ) = c1 x1 11 x2 12 xn 1n + c2 x1 21 x2 22 xn n + + cm x1 m1 x2 m .xn mn ci ∈ A, α i1 , α i , ,α in ∈ N , (α i1 , α i , .,α in ) ≠ (α j1 , α j , ,α jn ) : i ≠ j , j = 1, m α Các ci đư c g i h t , ci x1 i1 x αi2 x αin , i = 1, m đư c g i h ng n t c a đa th c f ( x1 , x2 , xn ) Khái ni m b c c a m t đa th c khác vành đa th c nhi u n đư c xem xét dư i nhi u góc đ B c c a đa th c f ( x1 , x2 , xn ) đ i v i n xi s mũ cao nh t mà xi có đư c h ng t c a đa th c Ho c: B c c a h ng t α α α ci x1 i1 x2 i xn in t ng s mũ α i1 + α i + + α in c a n B c c a đa th c (đ i v i t t c n) s l n nh t b c c a h ng t c a đa th c Ngồi ta cịn có th dùng quan h th t khác s p x p h ng t c a đa th c nhi u bi n B đ 1.1 N u A m t mi n nguyên vành đa th c A[x1, x2,…, xn] m t mi n nguyên Xét f m t đa th c vi t dư i d ng α α α α α α α α α f ( x1 , x2 , , xn ) = c1 x1 11 x2 12 xn 1n + c2 x1 21 x2 22 xn n + + cm x1 m1 x2 m .xn mn v i h t m t trư ng K ng v i m i m a = (a1 , a2 , , an ) ∈ K n ta có giá tr α α α α α α α α α f (a ) = c1a1 11 a2 12 an 1n + c2 a1 21 a2 22 an n + + cm a1 m1 a2 m an mn Có th coi f hàm s t K n vào K Đi m a g i nghi m c a f n u f (a ) = , ta nói f tri t tiêu t i a Nh n xét 1.2 N u K trư ng có vơ h n ph n t hai đa th c khác s cho hai hàm khác Đ th y u này, ta dùng b đ sau B đ 1.2 Cho K trư ng vô h n N u f (a ) = v i m i a ∈ K n f = Ch ng minh N u n = ta có k t lu n c a b đ m i đa th c m t bi n khác ch có h u h n nghi m N u n > , ph n ch ng gi s f ≠ gi thi t f ch a bi n xn Vi t đa th c f dư i d ng m f = f + f1 xn + + f m xn v i f , f1 , , f m ∈ K [ x1 , , xn−1 ] , f m ≠ Dùng qui n p, gi thi t t n t i m (α1 ,α , ,α n−1 ) ∈ K n−1 cho f m (α1 ,α , ,α n−1 ) ≠ Khi m f (α1 , ,α n−1 , xn ) = f (α1 , ,α n−1 ) + f1 (α1 , ,α n−1 ) xn + + f m (α1 , ,α n−1 ) xn m t đa th c khác m t bi n xn Nó ch có h u h n nghi m Đi u mâu thu n v i gi thi t f (a ) = v i m i a ∈ K n H qu 1.2 Cho K trư ng vô h n N u f , g ∈ K [X] th a mãn u ki n f (a ) = g (a ) v i m i a ∈ K n f = g N u K trư ng h u h n tính ch t khơng cịn n a Ch ng h n: N u K trư ng h u h n, K = {α1 ,α , ,α n } đa th c f = ( x − α1 )( x − α ) ( x − α n ) đa th c khác f l i tri t tiêu toàn b K 1.2 T p đ i s Nhi u hình hình h c đư c mơ t b i h phương trình đa th c Ch ng h n m t ph ng đư ng th ng đư c mô t b i đa th c Do K [ x] vành nhân t hóa nên ta có th áp d ng liên ti p đ nh lý đ nh n đư c k t qu H qu 2.2 K [X ] vành nhân t hóa Như v y m i đa th c f ∈ K [X ] đ u tích c a đa th c b t kh quy Đi u cho phép ta quy vi c nghiên c u siêu m t Z ( f ) v trư ng h p f đa th c b t kh quy Khi đó, ( f ) iđêan ngun t Vì v y ta có u ki n cho tính b t kh quy c a Z ( f ) sau Đ nh lý 2.11 Cho f đa th c b t kh quy K [X ] N u I Z ( f ) = ( f ) Z ( f ) t p b t kh quy Ví d 2.6 Các đa th c x − y, x3 − y b t kh quy K [ x, y ] Do I Z ( x2 − y ) = ( x − y ) I Z ( x3 − y ) = ( x3 − y ) nên đư ng cong x − y = x − y = b t kh quy Có th tìm th y đa th c b t kh quy f mà Z ( f ) khơng t p b t kh quy Ví d 2.7 Đa th c f = x + b t kh quy ℝ[x, y ] Z ( f ) = ∅ không ph i t p b t kh quy 29 Chương M I QUAN H GI A T P Đ I S VÀ IĐÊAN Chương 1, cho phép đ t tương ng m i t p đ i s V K n v i iđêan IV K [X ] m i iđêan IV K [X ] v i t p không m Z ( IV ) c a K n Hai m i quan h cho ta m t m i tương ng − gi a t p đ i s iđêan d ng IV , V → IV → Z ( IV ) = V Vì th , ta có th chuy n vi c nghiên c u t p đ i s sang iđêan d ng IV Chương trình bày m i quan h gi a t p đ i s iđêan th hi n s liên h gi a phép toán v t p h p; tính Noether c a vành đa th c K [X ] K n ; tương ng – gi a t p đ i s iđêan c a K [X ] M t s k t qu c a hình h c đ i s đư c trình bày đ nh lý Hilbert v s (H qu 3.4), đ nh lý nghi m Hilbert (Đ nh lý 3.6) theo [2] 3.1 M i quan h gi a phép toán t p h p B đ 3.1 Cho S m t h đa th c K [X ] iđêan I = ( S ) Khi có Z ( I ) = Z (S ) Ch ng minh Do S ⊂ I nên Z( I ) ⊂ Z ( S ) Đ o l i, gi s a ∈ Z ( S ) tùy ý V i m i f ∈ I ta vi t f = h1 f1 + h2 f + + hr f r f1 , f , , f r ∈ S Vì f1 (a ) = f (a ) = = f r (a ) = nên f (a ) = Suy a ∈ Z ( I ) V y Z ( S ) ⊂ Z( I ) Suy u c n ch ng minh Ta th y phép toán v i t p đ i s ph n ánh phép toán v i iđêan Đ nh lý 3.1 Cho I, J hai iđêan tùy ý K [X ] Ta có: (i) Z ( I ) ∪ Z ( J ) = Z ( I ∩ J ) = Z ( IJ ) (ii) Z ( I ) ∩ Z ( J ) = Z ( I + J ) Ch ng minh 30 (i) Đ t S = { fg | f ∈ I , g ∈ J } Do S ⊂ IJ ⊂ I ∩ J ⊂ I , J nên Z ( I ) ∪ Z ( J ) ⊂ Z ( I ∩ J ) ⊂ Z ( IJ ) ⊂ Z ( S ) Theo b đ 1.2 Z ( I ) ∪ Z ( J ) = Z ( S ) Suy Z ( I ) ∪ Z ( J ) = Z ( I ∩ J ) = Z ( IJ ) (ii) Ta có Z ( I ) ∩ Z ( J ) = Z ( I ∪ J ) theo b đ 1.6 l i iđêan I + J sinh b i I ∪ J nên Z ( I ) ∩ Z ( J ) = Z ( I + J ) Nh n xét 3.1 Cho đa th c g , g1 , g ∈ K [ X ] g = g1 g Z ( f , g ) = Z ( f , g1 ) ∪ Z ( f , g ) v i m i f ∈ K [ X ] Đ nh lý 3.2 Cho V W hai t p tuỳ ý An Khi ta có : (i) N u V ⊂ W IV ⊃ IW (ii) IV ∩ IW = IV ∪W Ch ng minh (i) N u f ∈ IW f (α ) = v i m i α ∈ W Do V ⊆ W nên f (α ) = v i m i α ∈ V Vì v y f ∈ IV V y IV ⊃ IW (ii) Do V ∪ W ⊃ V , W nên IV ∪W ⊂ IV , IW Do IV ∪W ⊂ IV ∩ IW Đ o l i, n u f ∈ IV ∩ IW f (α ) = v i m i α ∈ V α ∈ W Do f (α ) = v i m i α ∈ V ∪ W Vì v y f ∈ I V ∪W Suy IV ∩ IW ⊂ IV ∪W V y IV ∩ IW = IV ∪W Nh n xét 3.2 Ta ln có IV + IW ⊂ IV ∩W IV + IW ≠ IV ∩W k c V W nh ng t p đ i s Ch ng h n: Cho V đư ng th ng x = W đư ng cong x − y = m t ph ng K Ta có IV = ( x ) IW = ( x3 − y ) Do IV + IW = ( x , x − y ) M t khác, V ∩ W = {( 0,0 )} nên IV ∩W = ( x, y ) Suy IV + IW ≠ IV ∩W H qu 3.1 Cho V W hai t p đ i s An Ta có V = W ch IV = IW 31 3.2 Tính Noether c a vành đa th c K [X ] An 3.2.1 Đ nh lý Hilbert v s Như ta đ c p chương 1, t p đ i s t p nghi m c a m t h phương trình đa th c H có th g m m t s vơ h n phương trình Tuy nhiên ngư i ta ch đư c m i t p đ i s t p nghi m c a m t h h u h n đa th c Đi u có đư c m i t p đ i s đư c xác đ nh b i m t iđêan K [X ] , mà K [X ] l i vành Noether Đ nh nghĩa 3.1 Vành A đư c g i vành Noether n u m i iđêan c a A đ u h u h n sinh Có th đ c trưng vành Noether b ng nhi u cách B đ 3.2 Các kh ng đ nh sau tương đương (i) A vành Noether (ii) M i chu i tăng iđêan A: I1 ⊂ I ⊂ ⊂ I j ⊂ đ u d ng, có nghĩa I j = I j +1 t m t ch s j tr (iii) M i h iđêan A đ u có nh t m t iđêan t i đ i T có h qu H qu 3.2 M i h sinh c a iđêan vành Noether đ u ch a h sinh h u h n Vành Noether có tính ch t Đ nh lý 3.3 Cho A vành Noether M i iđêan I ≠ A đ u có th phân tích đư c thành giao c a m t s h u h n iđêan nguyên t không bao hàm Các iđêan đư c xác đ nh m t cách nh t chúng iđêan nguyên t t i ti u ch a I (không ch a b t kỳ m t iđêan nguyên t khác ch a I) Ch ng minh G i S t p h p t t c iđêan không giao c a m t s h u h n iđêan nguyên t Gi s S ≠ ∅ Khi S có m t iđêan t i đ i Q Do Q khơng iđêan ngun t 32 Vì Q khơng iđêan nguyên t nên ta có th vi t Q = Q1 ∩ Q2 v i Q1 Q2 nh ng iđêan l n Q T tính l n nh t c a Q cho th y Q1 Q2 đ u giao h u h n c a m t s iđêan nguyên t Th Q s giao h u h n c a m t s iđêan nguyên t Đi u mâu thu n gi thi t Q ∈ S V y S = ∅ , t c m i iđêan đ u phân tích đư c thành giao c a m t s h u h n iđêan nguyên t Gi s iđêan I có hai s phân tích thành giao iđêan nguyên t không bao hàm I = I1 ∩ ∩ I r = J1 ∩ ∩ J s Do I1 I r ⊂ I ⊂ J1 nên I t ⊂ J1 v i m t ch s t Tương t ta có J i ⊂ I t v i m t ch s I T suy J i ⊂ J1 , i = có đư c I t = J1 Như v y ta có J1 ∈ { I1 , , I r } L p lu n tương t có J i ∈ { I1 , , I r } , i = 1, 2, , s I t ∈ { J1 , , J s } , t = 1,2, , r V y { I1 , , I r } = { J1 , , J s } H qu 3.3 Cho A vành Noether M i iđêan I ⊂ A ch có h u h n iđêan nguyên t t i ti u ch a I I giao c a iđêan nguyên t Đ nh lý 3.4 Gi s A vành giao hốn có đơn v N u A vành Noether vành đa th c A[ x] vành Noether Ch ng minh Gi s A[ x] có m t iđêan I khơng h u h n sinh Ta xây d ng m t dãy đa th c fi I b ng quy n p sau: Đ t f1 = , gi s có f1 , , f i−1 Do I ≠ ( f1 , , f i −1 ) nên có th ch n fi đa th c có b c nh nh t t p I \ ( f1 , , f i −1 ) Gi s ni = deg f i ci h t cao nh t c a fi Do deg f i ≤ deg f i+1 nên n1 ≤ n2 ≤ Xét chu i iđêan 33 ( c1 ) ⊂ ( c1, c2 ) ⊂ ⊂ ( c1, , ci ) ⊂ Chu i d ng gi thi t vành A Noether nên ta có ci ∈ ( c1 , , ci −1 ) v i m t ch s i Khi có ci = u1c1 + + ui −1ci −1 v i u1 , , ui −1 ∈ A Xét đa th c ( g = f i − u1 x ni −n1 f1 + + ui −1 x ni −ni −1 f i −1 ) Đa th c khơng cịn h ng t ch a x ni Vì th deg g < ni = deg f i Do g ∈ I \ ( f1 , , fi−1 ) nên mâu thu n v i cách ch n fi V y vành đa th c A[ x] vành Noether H qu 3.4 (Đ nh lý Hilbert v s ) Vành đa th c K [X ] vành Noether Như v y t k t qu c a H qu 3.4 ta th y vành đa th c K [X ] có đ y đ tính ch t c a vành Noether như: tính d ng c a dãy gi m nh ng t p đ i s , s phân tích t p đ i s thành h p t p đ i s b t kh qui, … 3.2.2 Tính Noether c a khơng gian tô pô An Đ nh nghĩa 3.2 M t không gian tôpô X đư c g i không gian tôpô Noether n u th a mãn u ki n m i dãy gi m nh ng t p đóng c a X đ u d ng, nghĩa v i dãy b t kỳ nh ng t p đóng Y1 ⊃ Y2 ⊃ ⊃ Y j ⊃ ta đ u có Y j = Y j +1 t ch s j tr V i tôpô Zariski, An m t không gian tôpô t đ nh lý Hilbert v s cho ta th y ý nghĩa v m t hình h c Đ nh lý 3.5 (i) M i t p đ i s đ u giao c a m t s h u h n siêu m t d ng Z ( f ) (ii) M i chu i gi m t p đ i s V1 ⊃ V2 ⊃ ⊃ V j ⊃ đ u d ng (có nghĩa V j = V j +1 t m t ch s j tr đi) (iii) M i h t p đ i s đ u có nh t m t t p đ i s t i ti u (không ch a b t kỳ m t t p đ i s c a h ) 34 Ch ng minh (i) Xét t p đ i s V tùy ý Ta suy IV có h sinh h u h n S Vì v y V = Z ( IV ) = Z ( S ) = ∩ Z ( f ) f ∈S (ii) Đ t I j = IV j , t gi thi t ta có I1 ⊂ I ⊂ ⊂ I j ⊂ m t chu i tăng iđêan K [X ] Vì K [X ] vành Noether nên j tr Do V j = V j +1 t ch s I j = I j +1 t m t ch s (iii) Xét h t p đ i s {V } , xác đ nh h j j tr { } iđêan tương ng IV j { } Do K [X ] vành Noether nên h iđêan IV j có nh t m t iđêan t i đ i IVr ( ) {V } Đ t Vr = Z IVr t p đ i s t i ti u c a h j Kh ng đ nh (ii) c a đ nh lý 3.5 cho ta bi t An không gian tôpô Noether Hơn n a t k t lu n (i) c a đ nh lý suy m t tính ch t quan tr ng c a tô pô Zariski: Nh n xét 3.3 M i ph m c a m t t p m không gian affin đ u ch a m t ph h u h n Th t v y: Gi s {U i } m t ph m c a t p m T , gi thi t U i = D ( fi ) = k n \ Z ( f i ) v i m i i G i I iđêan sinh b i h đa th c fi , ta có I h u h n sinh, t c I = ( f1 , f , , f s ) Khi s s T ⊂ ∪ D ( f i ) = K n − ∩ Z ( fi ) = K n − Z ( I ) = K n − ∩ Z ( fi ) = ∪ D ( f i ) i =1 i =1 Nh n xét 3.3 cho bi t m i t p m không gian affin K n đ u t p compact 35 3.3 Tương ng gi a t p đ i s iđêan Khi nghiên c u t p đ i s V ⊂ K n ta chuy n sang nghiên c u iđêan IV = { f ∈ K [ X ] | f ( a ) = ∀a ∈V } , t c t n t i tương ng t t p đ i s An vào t p iđêan c a K [X ] , đ t V ֏ IV Ngư c l i, v i m i iđêan I c a K [X ] , ta xác đ nh đư c t p đ i s tương ng V = Z ( I ) = {( a1 , a2 , , an ) ∈ K n | f ( a1 , a2 , , an ) = ∀f ∈ I } T c t n t i tương ng t p iđêan vào t p t p đ i s , I ֏ V = Z ( I ) Như v y ta có tương ng gi a t p đ i s iđêan Nh n xét 3.4 Tương ng đư c thi t l p không m t – m t Th t v y: Trong vành đa th c m t n K [ x] , hai iđêan ( x ) ( x ) khác xác đ nh m t t p đ i s V = Z ( x ) = Z ( x ) = {0} Ho c trư ng K khơng trư ng đóng đ i s , xét đa th c 1,1 + x ∈ ℝ[x] ( K = ℝ ) Chúng sinh hai iđêan khác I1 = (1) = ℝ[x] ≠ (1 + x ) = I Z ( I1 ) = Z ( I ) = ∅ Tương ng không m t – m t tính ch t c a iđêan I s t n t i nghi m c a nó, t c ph thu c vào tính đóng đ i s c a trư ng K Đ nh lý 3.6 (Đ nh lý nghi m c a Hilbert) N u K trư ng đóng đ i s m i iđêan I ≠ K [ X ] đ u có nghi m K n Ch ng minh: xem [2], đ nh lý 4.5 T Đ nh lý nghi m c a Hilbert ta suy đư c cách xác đ nh iđêan đ nh nghĩa c a t p đ i s Đ nh lý 3.7 Cho K trư ng đóng đ i s V i m i t p S ⊂ K [X ] ta có IZ(S) = (S ) Ch ng minh Đ t V = Z(S) Do (S) ⊂ IV IV iđêan nên ( S ) ⊂ IV Đ o l i, cho f đa th c tùy ý IV Ta xét iđêan J:= (S,xn+1f – 1) vành đa th c k[x1,…,xn+1] Theo đ nh lý nghi m c a Hilbert, J có nghi m An+1 Cho 36 (α1,…,αn+1) m t nghi m c a J Đ t a = (α1,…,αn) Ta th y a ∈ Z(S) = V αn+1f(a) – = Do f ∈ IV nên f(a) = 0, d n đ n – = m t u vơ lý V y ta ph i có J = K[x1,…,xn+1] T suy = p + (xn+1f – 1)q v i p ∈ Sk[x1,…,xn+1] Ta có th coi p đa th c c a bi n xn+1 v i h s (S) t n t i m t lũy th a fm cho ta có th vi t fmp = (xn+1f – 1)h + v v i v ∈ (S) Vì v y fm = fmp + fm(xn+1f – 1)q = (xn+1f – 1)(h + fmq) + v Chú ý đ ng th c v i m i giá tr c a xn+1 Do đa th c f v không ch a bi n xn+1 nên n u ta đ t xn+1 = 1/f fm = v Do v ∈ (S) nên f ∈ Vì v y Iv ⊂ (S ) (S ) H qu 3.5 Cho k trư ng đóng đ i s I iđêan k[X] (i) I iđêan c a t p đ i s ch I iđêan (ii) I iđêan c a t p b t kh quy ch I iđêan nguyên t Ch ng minh (i) Ta th y iđêan c a t p đ i s ph i iđêan Đ o l i, n u I iđêan I = I = I Z ( I ) (ii) Ta có iđêan c a t p b t kh quy ph i iđêan nguyên t Đ o l i, n u I iđêan nguyên t IZ(I) = I Vì v y Z(I) ph i t p b t kh quy H qu 3.6 Có m t tương ng m t – m t gi a t p đ i s K n iđêan vành đa th c K [X ] xác đ nh b i V ֏ IV I ֏ Z ( I ) T tương ng 1-1 gi a t p đ i s ( hay t p b t kh quy) iđêan (hay iđêan nguyên t ) cho phép chuy n vi c nghiên c u hình hình h c v vi c nghiên c u iđêan ngư c l i Đ ng th i ta có th nh n bi t m t t p đ i s có b t kh quy hay khơng thơng qua tính ch t c a iđêan đ nh nghĩa c a 37 Đ c bi t ta có m i tương ng 1- gi a m iđêan c c đ i c a vành K [X ] H qu 3.7 Cho K trư ng đóng đ i s Các iđêan c c đ i c a K [X ] iđêan d ng (x1 – α1 , , xn – αn), α1,…, αn ∈ K Trong h qu u ki n đóng đ i s c a trư ng K không th thi u Nh n xét 3.5 N u K trư ng khơng đóng đ i s K [X ] có iđêan c c đ i khơng có d ng (x1 – α1 , , xn – αn), α1,…, αn ∈ K Ch ng h n vành đa th c m t bi n ℝ[x] , đa th c f = + x b t kh qui, iđêan I = (1 + x ) t i đ i Đ nh lý 3.8 T p đ i s V b t kh quy ch IV iđêan nguyên t Ch ng minh Gi s V t p b t kh quy N u IV không ph i iđêan nguyên t IV = I1 ∩ I v i I1 , I nh ng iđêan l n IV Khi V = Z ( IV ) = Z ( I1 ) ∪ Z ( I ) Vì v y V = Z ( I1 ) hay V = Z ( I ) , d n đ n I1 ⊆ IV hay I ⊆ IV T suy I1 = IV hay I = IV , mâu thu n v i Đ o l i, gi s V không t p b t kh quy Khi V = V1 ∪ V2 v i V1 V2 nh ng t p đ i s nh V Do IV1 , IV2 nh ng iđêan l n IV nên ta có th tìm th y ph n t f ∈ IV1 \ IV g ∈ IV2 \ IV Do fg ∈ IV1 ∩ IV2 = IV nên IV khơng th iđêan ngun t Ví d 3.1 (i) T p ch g m m t m a b t kh quy I a iđêan c c đ i nguyên t (ii) Không gian An t p b t kh quy I An = iđêan nguyên t Không ph i iđêan nguyên t K [X ] iđêan c a m t t p b t kh quy Như ta th y cu i Chương 2, m i iđêan nguyên t vô nghi m đ u không th iđêan c a b t kì m t t p đ i s 38 H qu 3.8 Cho K trư ng đóng đ i s M t siêu m t b t kh qui ch t p nghi m c a m t đa th c b t kh qui 3.4 M t s ví d Ví d 3.2 Gi s V = Z ( y − x , z − x ) ⊂ R Khi IV = ( y − x , z − x3 ) Th t v y: Ta có y − x , z − x3 ∈ IV nên ( y − x , z − x3 ) ⊂ IV Ngư c l i, xét đơn th c b t kỳ xα y β z γ , ta vi t đư c ( = xα β γ ) ( x + ( z − x )) ( x + g ( y − x )) ( x + g ( z − x )) = h ( y − x ) + h ( z − x ) + x xα y β z γ = xα x + ( y − x ) 2β 3 3β 2 α + β +γ = h1 ( y − x ) + h2 ( z − x ) + r Trong g1 ∈ R[ x, y ], g ∈ R[ x, z ] ; h1 , h2 ∈ R[ x, y, z ] r ∈ R[ x] T suy v i f ∈ R[ x, y, z ] vi t đư c f = h1 ( y − x ) + h2 ( z − x3 ) + r h1 , h2 ∈ R[ x, y, z ] r ∈ R[ x] Do n u f ∈ IV f ( x, x , x3 ) = = r ( x ) v i m i x ∈ R Suy r = , t c f ∈ ( y − x , z − x3 ) V y IV ⊂ ( y − x , z − x3 ) Ví d 3.3 Trong R3 hai t p đ i s V = Z ( y − x , z − x3 ) , W =Z (( y − x ) + ( z − x ) ) th a mãn V = W hai iđêan xác đ nh chúng (( y − x ) + ( z − x ) ) th c s c a iđêan ( y − x , z − x3 ) 2 2 3 R[x, y, z ] Ví d 3.4 (i) Cho iđêan t i đ i I ⊂ R[X ] Khi V := Z ( I ) t p r ng ho c t p g m m t m R n (ii) Đưa ví d v iđêan t i đ i R[ X ] mà có V := Z ( I ) = ∅ 39 Th t v y (i) N u iđêan I khơng có nghi m R n V := Z ( I ) = ∅ N u V ≠ ∅ ∃a = ( x1 − a1 , , xn − an ) ∈V ⊂ R n Ta có I a = ( x1 − a1 , , xn − an ) V i f ∈ I có f ( a ) = , f ∈ I a Như v y I ⊂ I a V y ta có I ⊂ I a ⊂ R[X ] , I a t p th c s c a R[X ] Suy I = I a V = {a} (ii) Xét iđêan I = ( x12 + 1, x2 , , xn ) ⊂ R[ X ] , I iđêan t i đ i Z ( I ) = ∅ Nh n xét 3.6 N u K không trư ng đóng đ i s , I iđêan t i đ i c a K [X ] V := Z ( I ) t p r ng ho c t p g m m t m K n Ví d 3.5 Xét đa th c f ∈ C[X ], f = f1a1 f 2a2 f rar Khi V = Z ( f ) = Z ( f1 ) ∪ ∪ Z ( f r ) IV = ( f1 f r ) Th t v y: a) Ta có f = ⇔ f1a1 f 2a2 f rar = ⇔ ∃i ∈ {1, 2, , r} : f i = Suy V = Z ( f ) = Z ( f1 ) ∪ ∪ Z ( f r ) b) Ta có IV = I Z ( f ) = ( f ) = ( f1 fr ) Ví d 3.6 Ch ng minh r ng m i t p đ i s V = Z ( I ) ⊂ R n , I m t iđêan c a R[X ] , đư c xác đ nh b i m t phương trình (M i t p đ i s R n đ u đư c xác đ nh b i m t iđêan chính) Th t v y: Gi s I = ( g1 , g , , g r ) Khi a = ( a1 , a2 , , an ) ∈V = Z ( I ) ⇔ gi ( a ) = ∀i = 1, 2, , r r Xét đa th c f = ∑ g i2 ta có f ( a ) = ⇔ gi ( a ) = ∀i = 1, 2, , r i =1 Do Z ( g1 , g , , g r ) = Z ( f ) Ví d 3.7 Xác đ nh t p đ i s xác đ nh b i h phương trình 40  x2 + y + z =  x + y + z = x + y + z2 =  Xét iđêan I = ( x + y + z − 1, x + y + z − 1, x + y + z − 1) Ta xác đ nh đư c s Groebner đ i v i th t t n lex g m đa th c (s d ng Maple 9.5 v i câu l nh gbasis(G, plex(x,y,z)), G h đa th c sinh c a iđêan I): [4*z^3-4*z^4+z^6-z^2, 2*y*z^2+z^4-z^2, y^2+z-y-z^2, x+y+z^2-1] Gi i phương trình xác đ nh b i đa th c đ u tiên tìm đư c nghi m 0, 0, 1, 1, -1 + , -1 - T phương trình cịn l i tìm đư c nghi m c a s , t c nghi m c a h ban đ u (1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) , ( −1 + )( ) 2, −1 + 2, −1 + , −1 − 2, −1 − 2, −1 − V y t p đ i s ban đ u g m m 41 K T LU N V i vi c nghiên c u v m i quan h gi a t p đ i s iđêan vành đa th c K [ x1 , x2 , , xn ] đ tài đ t đư c m t s k t qu sau: Đã làm rõ tính ch t c a t p đ i s không gian afin K n , c u trúc c a t p đ i s , s phân tích m t t p đ i s thành thành ph n b t kh qui, u ki n b t kh qui c a m t siêu m t (nh n xét 1.5) Trình bày m t s tính ch t đ c thù c a iđêan vành đa th c tính ch t (i), (ii) rút t đ nh nghĩa 2.2, nh n xét 3.1 Rút m t s tính ch t tương t xét trư ng K khơng đóng đ i s nh n xét 2.3, 3.5, 3.6, ví d 3.4, 3.6 Đ tài ch rõ m i quan h gi a t p đ i s iđêan K [ x1 , x2 , , xn ] K trư ng đóng đ i s mà t p đ i s đ i di n cho đ i tư ng hình h c, minh h a vi c s d ng m i liên h b ng m t s ví d làm cho m t s khái ni m tr nên tr c quan T k t qu v m i quan h gi a t p đ i s iđêan K [ x1 , x2 , , xn ] có th ti p t c nghiên c u vi c s d ng tính tốn hình th c c a đ i s máy tính (cơ s Groebner) vào gi i quy t m t s toán như: gi i h phương trình đa th c, tìm m t i h n tốn c c tr có u ki n, … 42 TÀI LI U THAM KH O Ti ng Vi t [1] Hồng Xn Sính (2006), Đ i s đ i cương, NXB Giáo d c [2] Ngô Vi t Trung (2012), Nh p môn Đ i s giao hốn Hình h c đ i s , NXB Khoa h c T nhiên Công ngh [3] Nguy n Ti n M nh, Hà Ng c Phú (2010), Nh p môn Lý thuy t đ i đ ng u đ a phương, Trư ng Đ i h c Hùng Vương Ti ng Anh [4] M.F Atiyah, I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addision – Wesley Publishing Company [5] R Hartshorne (1977), Algebra Geometry, Springer [6] Serge Lang (2002), Algebra (Revised third edition), Springer [7] David Cox, John Little, Donald O’Shea (2006), Ideal, varieties and algorithms (third edition), Springer 43 ... Cho A vành nhân t hóa f ∈ A Iđêan ( f ) iđêan nguyên t ch f ph n t b t kh quy Đ nh lý 2.10 Vành iđêan vành nhân t hóa Ta th y vành đa th c nhi u bi n K [ X ] = K [ x1 , x2 , , xn ] trư ng K vành. .. Cho A vành Noether M i iđêan I ⊂ A ch có h u h n iđêan nguyên t t i ti u ch a I I giao c a iđêan nguyên t Đ nh lý 3.4 Gi s A vành giao hốn có đơn v N u A vành Noether vành đa th c A[ x] vành. .. fi V y vành đa th c A[ x] vành Noether H qu 3.4 (Đ nh lý Hilbert v s ) Vành đa th c K [X ] vành Noether Như v y t k t qu c a H qu 3.4 ta th y vành đa th c K [X ] có đ y đ tính ch t c a vành Noether

Ngày đăng: 22/12/2014, 19:51

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan