Báo cáo tổng hợp kết quả thực hiện đề tài khoa học công nghệ MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN TRONG VÀNH K[X]

Hình học đại số dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình học thông qua dùng hệ các phương trình đa thức để mô tả các hình hình học và quy các vấn đề hình học về nghiên cứu tập nghiệm c

UBND TỈNH PHÚ THỌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ

MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN

TRONG VÀNH [ ] K X

Chủ nhiệm đề tài: ThS Hà Ngọc Phú Cộng tác viên: ThS Nguyễn Thị Thanh Tâm

Phú Thọ, 2013

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục tiêu nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 4

7 Bố cục của đề tài 4

Chương 1 5

TẬP ĐẠI SỐ 5

1.1 Vành đa thức 5

1.1.1 Vành đa thức một ẩn 5

1.1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 7

1.2 Tập đại số 9

1.2.1 Định nghĩa 10

1.2.2 Tính chất của tập đại số 11

1.2.3 Tham số hóa các tập đại số 12

1.3 Tô pô Zariski, tập bất khả qui 13

1.3.1 Tô pô Zariski 13

1.3.2 Tập bất khả qui 15

Chương 2 18

IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA THỨC 18

2.1 Định nghĩa và một số tính chất 18

2.2 Iđêan của tập điểm 21

2.3 Iđêan căn và iđêan nguyên tố 23

2.3.1 Iđêan căn 23

2.3.2 Iđêan nguyên tố 25

Chương 3 30

MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN 30

3.1 Mối quan hệ giữa các phép toán tập hợp 30

3.2 Tính Noether của vành đa thức [ ]K X và n A 32

3.2.1 Định lý Hilbert về cơ sở 32

3.2.2 Tính Noether của không gian tô pô n A 34

3.3 Tương ứng giữa tập đại số và iđêan 36

3.4 Một số ví dụ 39

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số giao hoán là chuyên ngành toán học nghiên cứu cấu trúc vành giao hoán với khuôn mẫu là vành đa thức Hình học đại số là chuyên ngành nghiên cứu các hình hình học có xuất xứ từ hệ phương trình các đa thức Vì vậy hai chuyên ngành này có mối liên quan mật thiết

Hình học đại số dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình học thông qua dùng hệ các phương trình đa thức để mô tả các hình hình học và quy các vấn đề hình học về nghiên cứu tập nghiệm các hệ phương trình đa thức Tập đại số được coi là một tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức và mỗi tập đại số đều là tập nghiệm của một iđêan Điều này cho phép thay hệ phương trình đa thức bằng iđêan và thực hiện các phép toán đại số khi nghiên cứu hình học của các tập đại số

Bên ngoài trực quan hình học và đại số hình thức có vẻ đối lập nhau, nhưng sự phát triển của hình học đại số trong thế kỷ 20 đã chứng minh điều ngược lại: một ngôn ngữ đại số phù hợp có thể diễn đạt trực quan hình học một cách rất chính xác và đại số giao hoán trở thành công cụ chính trong hình học đại số

Các kết quả chính về Hình học đại số được R Hartshorne trình bày trong cuốn sách Algebra Geometry Khái niệm cơ bản được trình bày trước tiên chính là khái niệm tập đại số (đa tạp afin) trong không gian afin n

K , với

K là một trường đóng đại số Nó là tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức, mà hình ảnh quen thuộc đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu là các đồ thị của các hàm đa thức, hàm ẩn, … Đó cũng chính là khái niệm dùng để mô

tả nhiều đối tượng hình học khác Các tập đại số có nhiều tính chất đa dạng với các phép toán về tập hợp, làm cho n

K thành một không gian tôpô Nhưng khi xét một tập đại số V với tư cách là một tập nghiệm của hệ phương trình đa thức thì rõ ràng là có nhiều hệ phương trình đa thức xác định tập đại số này

Từ đó dẫn đến nghiên cứu tập các đa thức nhận V làm tập nghiệm, đó chính là

chất của iđêan để quay lại nghiên cứu các tập đại số Tuy nhiên nảy sinh vấn

đề là tập các đa thức I V có hữu hạn sinh và có nghiệm hay không, điều này

được đảm bảo khi trường K là đóng đại số Khi đó mỗi iđêan đều có nghiệm,

tức đều xác định một tập đại số thì có thể thiết lập tương ứng 1 – 1 giữa hai nhóm đối tượng này

Xét mối quan hệ giữa lớp các tập đại số trong không gian n

K với tập các iđêan trong vành đa thức K x x[ , , , ]1 2 x n sẽ làm sâu sắc hơn các tính chất của chúng từ đó giúp tăng tính trực quan cho một số khái niệm đại số cũng như hình học Từ đó có thể mở rộng xét một số tính chất tương tự của các mối

quan hệ trên trong trường hợp trường K không là đóng đại số

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu các tính chất của tập đại số; các tính chất của iđêan

- Làm rõ mối quan hệ giữa các tập đại số và các iđêan

- Từ một số tính chất của tập đại số và các iđêan trong K x x[ , , , ]1 2 x n ,

với K là trường đóng đại số kiểm tra sự tồn tại tính chất tương tự khi K là

trường không đóng đại số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu tập đại số và các tính chất của tập đại số

- Nghiên cứu iđêan trong vành đa thức và một số tính chất của chúng

- Nghiên cứu mối quan hệ giữa tập đại số và iđêan trong

1 2

K x x x , xét tương tự khi trường K không đóng đại số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu bao gồm: tập đại số, iđêan trong vành

1 2

K x x x , iđêan của một tập điểm

Phạm vi nghiên cứu của đề tài tập trung vào các tính chất của các tập đại số, của iđêan xác định tập đại số

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tập hợp, nghiên cứu tài liệu, phân tích các tính chất của các tập đại

số, các tính chất của iđêan xác định tập đại số trong vành đa thức

( )

I ֏Z I Sau đó xét tính chất tương tự khi K không là trường đóng

đại số

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Các kết quả của đề tài thu được giúp làm rõ hơn những tính chất của tập đại số trong mối liên hệ với các iđêan trong vành đa thức K x x[ , , , ]1 2 x n , giúp giảm tính trừu tượng của một số khái niệm của đại số giao hoán và hình học đại số

7 Bố cục của đề tài

Báo cáo đề tài gồm 3 chương:

Chương 1 của đề tài trình bày và làm rõ một số kiến thức về vành đa thức,

về tập đại số, cấu trúc và tính chất của tập đại số trong không gian affin n

K Chương 2 trình bày một số kiến thức về iđêan, làm rõ một số tính chất của iđêan trong vành đa thức, iđêan xác định tập đại số

Chương 3 trình bày mối quan hệ giữa các tập đại số và tập các iđêan trong vành đa thức trên trường K , đưa ra một số ví dụ minh họa cho mối

quan hệ giữa hai đối tượng này

hữu hạn Như vậy P là một bộ phận của lũy thừa Đề các Aℕ

Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân trong P như sau:

+ (1) và (2) cho ta hai phép toán cộng và nhân trong P

+ P là một vành giao hoán có đơn vị

+ Xét dãy x=(0,1,0, ,0., ), ta có theo qui tắc nhân (2) :

+ Mỗi phần tử của vành P là một dãy ( , , , , )a a0 1 a n trong đó các a i∈ với A

mọi i ∈ℕ và bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, cho nên mỗi phần tử của P có dạng ( , , , ,0, )a a0 1 a n trong đó a a0, , ,1 a n∈ không nhất thiết khác 0 A

+ Việc đồng nhất a A∈ với dãy ( ,0, ,0, )a ∈ và việc đưa vào dãy x cho P

Định nghĩa 1.1 Vành P gọi là vành đa thức ẩn x lấy hệ tử trong A, hay vắn

tắt vành đa thức của ẩn x trên A, và kí hiệu A[x] Các phần tử của vành đó gọi

là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A

Hệ quả 1.1 Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên và các phần tử

khả nghịch của A[x] là các phần tử khả nghịch của A.

Vành đa thức một ẩn có tính chất quan trọng là:

Định lý 1.2 Giả sử A là một trường, f x( ) 0, ( ) 0≠ g x ≠ , thế thì bao giờ cũng tồn tại duy nhất hai đa thức q x r x( ), ( )∈A x[ ] sao cho

f x =g x q x +r x trong đó deg ( ) deg ( )r x < g x nếu r x( ) 0≠

Việc tìm đa thức thương q x( ) và dư r x( ) được thực hiện bằng thuật toán sau:

Nhận xét 1.1 Nếu A không là một trường mà A chỉ là một vành giao hoán có

đơn vị thì ta vẫn có thể thực hiện được phép chia đa thức f x( ) cho g x( ) với điều kiện đa thức g x( ) có hệ tử cao nhất bằng đơn vị

1.1.2 Vành đa thức nhiều ẩn

Vành đa thức nhiều ẩn lấy hệ tử trong một vành A có thể định nghĩa bằng quy nạp

Định nghĩa 1.2 Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị

Khi n = 1, ta định nghĩa vành đa thức A[x1] của ẩn x1 trên A

Đặt A1 = A[x1], A1 là vành giao hoán, có đơn vị Vì thế lại định nghĩa được vành A2 = A1[x2] của ẩn x2 trên A1 ta kí hiệu A2 = A[x1, x2] và gọi là vành đa thức của hai ẩn x1, x2 trên A, cứ tiếp tục như vậy: A3 = A2[x3],…

Giả sử ta đã định nghĩa được vành đa thức A[x1,x2, …, xn-1] của n -1 ẩn

x1, x2, …, xn-1 trên A

Đặt An-1 = A[x1, …, xn-1] Khi đó An-1 là vành giao hoán, có đơn vị

Do đó ta định nghĩa vành An = An-1[xn] kí hiệu là A[x1, x2,…., xn], gọi là vành

đa thức của n ẩn x1, x2,…xn lấy hệ tử trên vành A

Khi vành A là một trường K , vành đa thức n ẩn K x x[ , , , ]1 2 x n còn được kí hiệu là [ ]K X

Một phần tử của An gọi là một đa thức của n ẩn x 1 , x 2 ,…x n lấy hệ tử trong vành A, kí hiệu là f x x( , , )1 2 x n hoặc f

Mỗi phần tử f x x( , , )1 2 x n của An = A[x1, x2,…, xn] có dạng

f a = , khi đó ta nói f triệt tiêu tại a

Nhận xét 1.2 Nếu K là trường có vô hạn phần tử thì hai đa thức khác nhau

sẽ cho hai hàm khác nhau Để thấy điều này, ta dùng bổ đề sau

Bổ đề 1.2 Cho K là trường vô hạn Nếu f a( ) 0= với mọi ∈ n

a K thì f =0.

Chứng minh

Nếu n=1 thì ta có kết luận của bổ đề vì mọi đa thức một biến khác 0 chỉ có hữu hạn nghiệm

Nếu n>1, phản chứng giả sử f ≠0 và giả thiết f chứa biến x n

Viết đa thức f dưới dạng

f α α − x = f α α − + f α α − x + + f α α − x là một đa thức khác 0 một biến x n Nó chỉ có hữu hạn nghiệm Điều này mâu thuẫn với giả thiết f a( ) 0= với mọi ∈ n

f =ax+by+c, đường tròn xác định bởi đa thức 2 2 2

là một tập đại số, còn gọi là đa tạp tuyến tính

Nhận xét 1.3 Cho S là một hệ đa thức trong [ ]K X Kí hiệu Z( )S là tập nghiệm của S Ta có

Tức là: mọi tập đại số khác rỗng đều là giao của các siêu mặt

Các tập dạng Z( )f trong K chỉ có thể là tập rỗng, tập hữu hạn hay K

Xét giao của các tập này ta thấy các tập đại số trong K chỉ có thể là tập rỗng,

K Vận dụng Bổ đề 1.3 ta có kết quả: Giao của một họ những tập đại số chứa tập V cho trước (họ này hiển nhiên khác rỗng) cũng là một tập đại số Đây là tập đại số nhỏ nhất có tính chất này, kí hiệu V , gọi là bao đóng của V

a b K K là nghiệm của S∪T khi và chỉ khi a là nghiệm của S và

b là nghiệm của T nên ta có ngay điều phải chứng minh

1.2.3 Tham số hóa các tập đại số

thuộc V, ta nói r r1, , ,2 r n là một biểu diễn tham số hóa hữu tỷ của tập đại số

V Nếu các r r1, , ,2 r n là các hàm đa thức thì chúng còn được gọi là một tham

số hóa đa thức của V

Ví dụ 1.4 Đường tròn đơn vị x2+ y2 − =1 0 có biểu diễn tham số

2 2

2

1121

t x

t t y

1.3 Tô pô Zariski, tập bất khả qui

1.3.1 Tô pô Zariski

Bổ đề 1.3, 1.4 và định nghĩa 1.3 cho ta kết quả: Hợp của hai tập đại số

là một tập đại số, giao của một họ những tập đại số là một tập đại số, tập rỗng

và bản thân không gian n

A cũng là một tập đại số Các tính chất này gợi ý

cho việc xây dựng một cấu trúc tôpô trên n

A bằng việc coi các tập đại số là các tập đóng

A là giao của những tập đóng dạng Z( )f nên mọi tập mở trong n

A là hợp của những tập mở dạng D( ) : n ( ) { n| ( ) 0}

f =k −Z f = a∈k f a ≠

Vì thế các tập ( )D f lập thành một cơ sở cho tôpô Zariski Các tập ( )D f

được gọi là các tập mở chính của n

A Với n= , trong không gian afine 1- chiều 1 A1 các tập đại số chỉ có thể

là 1

A , các tập con hữu hạn của 1

A hoặc là tập rỗng Điều này có thể dễ dàng suy ra từ việc tập nghiệm của một đa thức f một biến chỉ có thể là 1

A (nếu f

là đa thức không), một tập hữu hạn trong 1

A (nếu f có bậc dương) hoặc là tập rỗng (nếu f là một số khác không trong k)

Tôpô Zariski có đặc tính sau:

Bổ đề 1.6 Giao của hai tập mở không rỗng của n

A luôn luôn là một tập mở không rỗng

Z fg K

Vì vậy n \ ( ) ≠ ∅

Nhận xét 1.4 Hợp tùy ý các tập đại số không phải là một tập đại số Hiệu hai

tập đại số không phải là một tập đại số

1.3.2 Tập bất khả qui

Trong hình học người ta thường tìm cách phân tích một tập đại số thành

hợp các tập đại số nhỏ hơn để nghiên cứu Nếu một tập đại số khác rỗng

không thể phân tích thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì ta gọi tập đại số

đó là tập bất khả qui

Định nghĩa 1.5 Cho V là tập đại số khác rỗng trong n

A , V được gọi là tập

bất khả qui nếu V không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn,

nghĩa là nếu V = V1∪ V2 với V1, V2 là những tập đại số thì suy ra

A là tập đại số bất khả qui vì nếu n

A là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của hai phần bù này là tập rỗng, mâu thuẫn với Bổ đề 1.6

Tập hợp V ={( ,α α2) |α∈ℝ} là tập đại số bất khả qui trong 2

Aℝ

Nhận xét 1.5 Từ định nghĩa 1.5 và bổ đề 1.3 ta rút ra kết quả: Khi K là

trường đóng đại số, một siêu mặt là bất khả qui khi và chỉ khi nó là tập

nghiệm của một đa thức bất khả qui

Định lý 1.4 Mọi tập đại số đều có thể phân tích thành hợp của một số hữu

hạn các tập đại số bất khả quy không bao nhau Các tập bất khả quy trong sự

phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất

Vì V M∈ nên V không là tập đại số bất khả qui, vì nếu V bất khả quy thì

V = V là một sự phân tích, điều này là vô lý

Như vậy ta viết được V = V1 ∪ V2 với V1 và V2 là những tập đại số con thật

sự của V Từ tính chất nhỏ nhất của V ta thấy V1 và V2 không thuộc M, do đó

V1 và V2 có thể phân tích được thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả

quy Như vậy V cũng là hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy

Điều này mâu thuẫn với giả thiết V nằm trong M Vậy M phải rỗng Điều này

là hai sự phân tích một tập đại số V thành hợp các tập bất khả quy không bao

nhau Với mọi i = 1, , r ta có

Vi = Vi ∩ (W1∪ ∪W s) = (V i ∩W1) ∪(V i ∩W s)

Do Vi là tập bất khả quy nên ta phải có Vi = Vi ∩Wj với một chỉ số j nào đó Suy ra Vi ⊆ Wj Lý luận tương tự ta cũng có Wj ⊆ Vt với mỗi chỉ số t nào đó

Vì vậy Vi = Vt dẫn đến Vi = Wj Điều này chứng tỏ mọi tập đại số Vi đều xuất

hiện trong W1, , Ws Tương tự, mọi tập đại số Wj cũng xuất hiện trong

V1, ,Vr

Vậy hai tập hợp {V1, ,V r} và {W1, , Ws} phải bằng nhau

Suy ra điều phải chứng minh

f =x − y gồm hai đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ hai

Nhận xét 1.6 Định lý trên cho thấy tính chất tương tự đã biết: mọi đa thức

đều có thể phân tích được thành tích của các đa thức bất khả quy

Các tập bất khả quy xuất hiện trong sự phân tích một tập đại số V thành hợp các tập bất khả quy được gọi là các thành phần bất khả quy của V

Mọi đa thức bất khả quy chỉ có một thành phần bất khả quy là chính nó

Có thể đặc trưng các thành phần bất khả quy như sau

Hệ quả 1.3 Các thành phần bất khả quy của một tập đại số V chính là các

tập bất khả quy lớn nhất trong V

Chứng minh

Giả sử V = V1 ∪ ∪ V r là một sự phân tích duy nhất V thành hợp của một

số hữu hạn các tập bất khả quy không bao nhau Với mọi tập bất khả quy không rỗng tuỳ ý W trong V ta có

V = V ∪ W = V1 ∪ ∪ Vr ∪ W

Theo tính chất duy nhất của sự phân tích V thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy không bao nhau thì W phải nằm trong một tập V i nào đó Từ

đây ta thấy mỗi tập V i phải là một tập bất khả quy lớn nhất trong V

Nếu W là một tập bất khả quy lớn nhất trong V thì từ điều kiện W ⊆ Vi ta suy

ra được W = Vi Vậy {V1, ,Vr} chính là tập các tập đại số bất khả quy lớn nhất

trong V

Chương 2

IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA THỨC

Chương này tập trung trình bày một số tính chất của iđêan trong vành

đa thức: các phép toán của các iđêan; iđêan của một tập điểm; iđêan căn và iđêan nguyên tố Từ cơ sở đó rút ra một số nhận xét làm rõ hơn tính chất của chúng Các nội dung trình bày trên cơ sở tham khảo [2], [3] và [7]

2.1 Định nghĩa và một số tính chất

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị

Định nghĩa 2.1 Tập I trong A được gọi là một iđêan trong A nếu 0 I∈ và I thỏa mãn các điều kiện:

(i) f + ∈g I với mọi ,f g∈I

(ii) hf ∈I với mọi h∈A f, ∈I

Tập chỉ gồm phần tử 0 là iđêan của A, gọi là iđêan không, kí hiệu là 0 Vành A cũng là iđêan của A Các iđêan khác của A gọi là các iđêan thực sự

Chú ý rằng 1 I∈ ⇔ =I A

Định nghĩa 2.2 Cho hai iđêan ,I J tùy ý trong A Iđêan sinh bởi các phần tử

của I ∪J được gọi là iđêan tổng của I và J, kí hiệu là I J+ Iđêan sinh bởi

các tích fg với f ∈I và g J∈ được gọi là iđêan tích của I và J, kí hiệu là IJ

Từ định nghĩa ta thấy ngay:

Nếu iđêan I =( f1, , f r) và J =(g1, ,g s), thì

(i) I +J =( f1, , , , ,f g r 1 g s)

Nói riêng I =(f1, , f r) ( )= f1 + +( )f r

(ii) IJ =( f g i j |1≤ ≤i r,1≤ ≤j s)

Định lý 2.1 Giao của một họ những iđêan của A là một iđêan của A

Từ định lý 2.1 rút ra ngay được kết quả: Giao của một họ những iđêan chứa tập U là một iđêan của vành A chứa tập U Đó là iđêan nhỏ nhất có tính

Khi tập U là tập đơn tử, U ={ }f , iđêan sinh bởi U gọi là iđêan chính

sinh bởi f , kí hiệu ( ) f và ( )f ={hf h| ∈A}

Khi tập U ={f f1, , ,2 f n}, ( )U ={h f1 1+h f2 2+ +h f n n | , , ,h h1 2 h n∈A}

là iđêan sinh bởi các phần tử f f1, , ,2 f n

Dễ thấy hợp của một họ những iđêan không là một iđêan của A Hợp của họ những iđêan lồng nhau là một iđêan của A

Nhận xét 2.1 Với hai iđêan ,I J tùy ý trong A ta có

IJ ⊂ ∩I J nhưng bao hàm thức ngược lại không đúng

I ∩J =IJ nếu có điều kiện I J+ = A

Ví dụ 2.1 Trong vành đa thức [ , ]K x y , I =(x y, 2) và J =( )y là hai iđêan của vành này

K X t sinh bởi các đa thức f t p x( ) ( ), , ( ) ( )1 f t p x r

Vì đa thức ( , )g x t là tổng của các đa thức dạng ( , ) ( ) ( )h x t f t p x với ( , )∈ [ , ], ∈

ta có bao hàm thức I ∩J ⊂(tI +(1−t J) )∩K X[ ]

Ngược lại, giả sử f ∈(tI +(1−t J) )∩K X[ ]

Do f ∈tI +(1−t J) nên ( )f x =g x t( , )+h x t( , )với ( , )g x t ∈tI, h x t( , )∈(1−t J) Cho t =0, vì mọi phần tử của tI là bội của t nên suy ra ( ,0) 0g x =

Định lý 2.4 Với mọi iđêan , , I J K của vành A ta có (I +J K) =IK +JK

Như vậy từ định nghĩa 2.2 ta có 3 phép toán (cộng, giao, nhân) và chúng có tính chất giao hoán, kết hợp Định lý 2.2 cho ta biết phép nhân phân phối đối với phép cộng Giữa phép toán giao và phép cộng ta có luật modular

I ∩ J +K = ∩I J + ∩I K nếu I ⊇ J hoặc I ⊇K

2.2 Iđêan của tập điểm

Theo định nghĩa 1.3, tập đại số là một tập nghiệm của hệ phương trình

đa thức Nhưng như ta thấy hệ đa thức xác định tập đại số này không duy nhất Thay vì xem xét một hệ xác định nào đó ta quan tâm đến iđêan sinh bởi các đa thức của hệ Từ đó có:

Định lý 2.5 Cho V là một tập điểm tùy ý trong n

Khi đó I V là một iđêan của K X [ ]

Chứng minh: suy ra ngay từ định nghĩa 2.1

Định lý 2.3 cho ta biết I V là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V Từ

đó ta có định nghĩa

Định nghĩa 2.3 Cho V là một tập điểm tùy ý trong n

A Iđêan I V được gọi là iđêan của tập điểm V trong K X[ ]

Nếu V chỉ bao gồm 1 điểm a thì ta dùng kí hiệu I a thay cho I{ }a