7. Bố cục của đề tài
3.1.Mối quan hệ giữa các phép toán tập hợp
Bổ đề 3.1. Cho S là một hệ đa thức trong K X và iđêan [ ] I =( )S . Khi đó có
( ) ( )
Z I =Z S
Chứng minh
Do S⊂ I nên Z( )I ⊂Z S( ).
Đảo lại, giả sử a∈Z S( ) tùy ý. Với mọi f ∈I ta viết
1 1 2 2 ... r r
f =h f +h f + +h f trong đó f f1, ,...,2 fr∈S.
Vì f a1( )= f a2( ) ...= = f ar( ) 0= nên f a( ) 0= . Suy ra a∈Z I( ). Vậy Z S( )⊂Z( )I . Suy ra điều cần chứng minh.
Ta thấy các phép toán với tập đại số phản ánh các phép toán với iđêan.
Định lý 3.1. Cho I, J là hai iđêan tùy ý trong K X . Ta có: [ ] (i) Z I( )∪Z J( )=Z I( ∩J)=Z IJ( )
(i) Đặt S={fg f| ∈I g, ∈J}.
Do S⊂ IJ ⊂ ∩I J ⊂I J, nên Z I( )∪Z J( )⊂Z I( ∩J)⊂Z IJ( )⊂Z S( ). Theo bổ đề 1.2 thì Z I( )∪Z J( )=Z S( ).
Suy ra Z I( )∪Z J( )=Z I( ∩J)=Z IJ( ).
(ii) Ta có Z I( )∩Z J( )=Z I( ∪J) theo bổ đề 1.6. lại do iđêan I +J
sinh bởi I ∪J nên Z I( )∩Z J( )=Z I( +J).
Nhận xét 3.1. Cho các đa thức g g g, ,1 2∈K X[ ] và g=g g1 2 thì
( , ) ( , 1) ( , 2)
Z f g =Z f g ∪Z f g với mọi f ∈K X[ ].
Định lý 3.2. Cho V và W là hai tập tuỳ ý trong A . Khi đó ta cón : (i) Nếu V ⊂W thì IV ⊃IW
(ii) IV ∩IW =IV W∪ .
Chứng minh.
(i) Nếu f ∈IW thì f( )α = 0 với mọi α ∈ W. Do V ⊆ W nên f( )α = 0
với mọi α ∈V. Vì vậy f ∈IV . Vậy IV ⊃IW .
(ii) Do V ∪W ⊃V, W nên IV W∪ ⊂ IV,IW. Do đó IV W∪ ⊂IV ∩IW. Đảo lại, nếu f ∈IV ∩IW thì f( )α = 0 với mọi α∈V và α ∈ W.
Do đó f( )α = 0 với mọi α ∈ V ∪ W. Vì vậy f ∈ IV W∪ . Suy ra IV ∩IW ⊂ IV W∪ . Vậy IV ∩IW =IV W∪ .
Nhận xét 3.2. Ta luôn có IV +IW ⊂IV W∩ nhưng IV +IW ≠ IV W∩ kể cả khi V và
W là những tập đại số. Chẳng hạn: Cho V là đường thẳng x=0 và W là
đường cong x3− y2 =0 trong mặt phẳng 2
K . Ta có IV =( )x và ( 3 2) W I = x − y . Do đó IV +IW =(x x, 3 −y2) Mặt khác, do V ∩W ={(0,0)} nên IV W∩ =(x y, ). Suy ra IV +IW ≠ IV W∩ .
Hệ quả 3.1. Cho V và W là hai tập đại số trong A . Ta có n
3.2. Tính Noether của vành đa thức K X[ ] và n
A
3.2.1. Định lý Hilbert về cơ sở
Như ta đã đề cập ở chương 1, tập đại số là tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức. Hệ này có thể gồm một số vô hạn các phương trình. Tuy nhiên người ta chỉ ra được là mọi tập đại số là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các đa thức. Điều này có được là do mỗi tập đại số được xác định bởi một iđêan trong K X[ ], mà K X[ ] lại là vành Noether.
Định nghĩa 3.1. Vành A được gọi là vành Noether nếu mọi iđêan của A đều
là hữu hạn sinh.
Có thể đặc trưng vành Noether bằng nhiều cách.
Bổ đề 3.2. Các khẳng định sau là tương đương
(i) A là vành Noether.
(ii) Mọi chuỗi tăng các iđêan trong A: I1⊂I2 ⊂...⊂Ij ⊂... đều dừng, có nghĩa là Ij =Ij+1 từ một chỉ số j nào đó trởđi.
(iii) Mọi hệ iđêan trong A đều có ít nhất một iđêan tối đại.
Từ đó có hệ quả.
Hệ quả 3.2. Mọi hệ sinh của các iđêan trong vành Noether đều chứa hệ sinh hữu hạn.
Vành Noether có tính chất.
Định lý 3.3. Cho A là vành Noether. Mọi iđêan căn I ≠ A đều có thể phân tích được thành giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố không bao hàm nhau. Các iđêan này được xác định một cách duy nhất và chúng chính là các iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I (không chứa bất kỳ một iđêan nguyên tố nào khác chứa I).
Chứng minh
Gọi S là tập hợp tất cả các iđêan căn không là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố.
Vì Q không là iđêan nguyên tố nên ta có thể viết Q=Q1∩Q2 với Q1 và Q2 là những iđêan căn lớn hơn Q.
Từ tính lớn nhất của Q cho thấy Q1 và Q2 đều là giao hữu hạn của một số các iđêan nguyên tố. Thế thì Q sẽ là giao hữu hạn của một số các iđêan nguyên tố. Điều này mâu thuẫn giả thiết Q∈S. Vậy S = ∅, tức là mọi iđêan căn đều phân tích được thành giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố.
Giả sử iđêan I có hai sự phân tích thành giao các iđêan nguyên tố không bao hàm nhau.
1 ... r 1 ... s
I =I ∩ ∩I =J ∩ ∩J
Do I1...Ir ⊂ ⊂I J1 nên It ⊂J1 với một chỉ số t nào đó. Tương tự ta cũng có Ji ⊂ It với một chỉ số I nào đó.
Từ đó suy ra Ji ⊂J1, do đó i=1 và có được It =J1. Như vậy ta có
{ }
1 1,..., r
J ∈ I I
Lập luận tương tự có Ji∈{I1,...,Ir},i=1,2,...,s và It∈{J1,...,Js},t=1,2,...,r. Vậy {I1,...,Ir}={J1,...,Js}.
Hệ quả 3.3. Cho A là vành Noether. Mọi iđêan I ⊂ A chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I và I là giao của các iđêan nguyên tố này.
Định lý 3.4. Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị. Nếu A là vành Noether thì vành đa thức A x c[ ] ũng là vành Noether.
Chứng minh
Giả sử [ ]A x có một iđêan I không hữu hạn sinh.
Ta xây dựng một dãy các đa thức fi trong I bằng quy nạp như sau:
Đặt f1 =0, giả sử đã có f1,..., fi−1. Do I ≠(f1,..., fi−1) nên có thể chọn
i
f là đa thức có bậc nhỏ nhất trong tập I \ (f1,..., fi−1). Giả sử ni =deg fi và ci là hệ tử cao nhất của fi.
Do deg fi ≤deg fi+1 nên n1≤n2 ≤...
( ) (c1 ⊂ c c1, 2)⊂...⊂(c1,...,ci)⊂...
Chuỗi này dừng do giả thiết vành A là Noether nên ta có ci∈(c1,...,ci−1) với một chỉ số i nào đó. Khi đó có 1 1 ... 1 1 i i i c =u c + +u c− − với u1,...,ui−1∈A Xét đa thức ( 1 1 ) 1 ni n 1 ... 1 ni ni 1 i i i g f u x − f u x − − f − − = − + +
Đa thức này không còn hạng tử chứa ni x .
Vì thế degg<ni =deg fi. Do g∈ I \ ( f1,..., fi−1)nên mâu thuẫn với cách chọn fi.
Vậy vành đa thức [ ]A x cũng là vành Noether.
Hệ quả 3.4. (Định lý Hilbert về cơ sở). Vành đa thức K X là vành Noether[ ] . Như vậy từ kết quả của Hệ quả 3.4 ta thấy vành đa thức K X[ ] có đầy đủ các tính chất của vành Noether như: tính dừng của dãy giảm những tập đại số, sự phân tích tập đại số thành hợp các tập đại số bất khả qui, …
3.2.2. Tính Noether của không gian tô pô n
A
Định nghĩa 3.2. Một không gian tôpô X được gọi là không gian tôpô Noether
nếu thỏa mãn điều kiện mọi dãy giảm những tập con đóng của X đều dừng, nghĩa là với dãy bất kỳ những tập con đóng Y1 ⊃Y2 ⊃...⊃Yj ⊃... ta đều có
1
j j
Y =Y+ từ chỉ số j nào đó trở đi. Với tôpô Zariski, n
A là một không gian tôpô và từ định lý Hilbert về cơ sở cho ta thấy ý nghĩa về mặt hình học.
Định lý 3.5.
(i) Mọi tập đại số đều là giao của một số hữu hạn siêu mặt dạng Z f( ).
(ii) Mọi chuỗi giảm các tập đại số V1⊃V2 ⊃...⊃Vj ⊃... đều dừng (có nghĩa là Vj =Vj+1 từ một chỉ số j nào đó trở đi).
Chứng minh
(i) Xét tập đại số V tùy ý. Ta suy ra IV có hệ sinh hữu hạn S. Vì vậy ( )V ( ) ( ) f S V Z I Z S Z f ∈ = = =∩ . (ii) Đặt j j V I =I , từ giả thiết ta có 1 2 ... j ... I ⊂I ⊂ ⊂I ⊂
là một chuỗi tăng các iđêan trong K X[ ]. Vì K X[ ] là vành Noether nên
1
j j
I =I + từ một chỉ số j nào đó trở đi. Do đó Vj =Vj+1 từ chỉ số j trở đi. (iii) Xét hệ tập đại số { }Vj , xác định hệ iđêan tương ứng { }IVj . Do K X[ ] là vành Noether nên hệ iđêan { }IVj có ít nhất một iđêan tối đại
r V I
Đặt Vr =Z I( )Vr thì nó chính là tập đại số tối tiểu của hệ { }Vj . Khẳng định (ii) của định lý 3.5 cho ta biết n
A là không gian tôpô Noether.
Hơn nữa từ kết luận (i) của định lý trên suy ra một tính chất quan trọng của tô pô Zariski:
Nhận xét 3.3. Mọi phủ mở của một tập điểm trong không gian affin đều chứa
một phủ con hữu hạn.
Thật vậy: Giả sử { }Ui là một phủ mở của tập điểm T, giả thiết
( ) n \ ( )
i i i
U =D f =k Z f với mọi i.
Gọi I là iđêan sinh bởi hệ các đa thức fi, ta có I là hữu hạn sinh, tức là
( 1, ,...,2 s) I = f f f . Khi đó ( ) ( ) ( ) ⊂∪ = n −∩ = n − i i T D f K Z f K Z I ( ) ( ) 1 1 = = = n −∩s =∪s i i i i K Z f D f .
Nhận xét 3.3 cho biết mọi tập điểm trong không gian affin n
K đều là tập compact.
3.3. Tương ứng giữa tập đại số và iđêan
Khi nghiên cứu tập đại số ⊂ n
V K ta chuyển sang nghiên cứu iđêan
( )
{ [ ]| 0 }
= ∈ = ∀ ∈
V
I f K X f a a V , tức là tồn tại tương ứng từ các tập đại số trong n
A vào tập các iđêan của K X[ ], đặt V ֏IV.
Ngược lại, với mỗi iđêan I của K X[ ], ta xác định được tập đại số tương ứng = ( )={( 1, ,...,2 )∈ n| ( 1, ,...,2 )= ∀ ∈0 }
n n
V Z I a a a K f a a a f I . Tức là tồn tại
tương ứng tập các iđêan vào tập các tập đại số, I ֏V =Z I( ). Như vậy ta có tương ứng giữa các tập đại số và các iđêan.
Nhận xét 3.4. Tương ứng được thiết lập ở trên không là một – một.
Thật vậy: Trong vành đa thức một ẩn [ ]K x , hai iđêan ( )x và ( )2
x là khác nhau nhưng xác định cùng một tập đại số V =Z x( )=Z x( )2 ={ }0 .
Hoặc khi trường K không là trường đóng đại số, xét các đa thức
2
1,1+x ∈ℝ[ ]x (K =ℝ). Chúng sinh ra hai iđêan khác nhau
( ) ( 2)
1 1 [ ] 1 2
I = =ℝ x ≠ +x =I trong khi đó Z I( )1 =Z I( )2 = ∅.
Tương ứng trên không là một – một là do tính chất của iđêan I và sự tồn tại nghiệm của nó, tức phụ thuộc vào tính đóng đại số của trường K .
Định lý 3.6. (Định lý nghiệm của Hilbert) Nếu K là trường đóng đại số thì mọi iđêan I ≠K X đ[ ] ều có nghiệm trong K . n
Chứng minh: xem [2], định lý 4.5.
Từ Định lý nghiệm của Hilbert ta suy ra được cách xác định iđêan định nghĩa của tập đại số.
Định lý 3.7. Cho K là trường đóng đại số. Với mọi tập S ⊂ K X ta có [ ]
IZ(S) = ( )S
Chứng minh
(α1,…,αn+1) là một nghiệm của J. Đặt a = (α1,…,αn). Ta thấy a ∈ Z(S) = V và αn+1f(a) – 1 = 0. Do f ∈ IV nên f(a) = 0, dẫn đến – 1 = 0 là một điều vô lý. Vậy ta phải có J = K[x1,…,xn+1]. Từ đây suy ra
1 = p + (xn+1f – 1)q
với p ∈ Sk[x1,…,xn+1]. Ta có thể coi p là đa thức của biến xn+1 với hệ số trong (S) tồn tại một lũy thừa fm sao cho ta có thể viết
fmp = (xn+1f – 1)h + v với v ∈ (S).
Vì vậy
fm = fmp + fm(xn+1f – 1)q = (xn+1f – 1)(h + fmq) + v
Chú ý là đẳng thức này đúng với mọi giá trị của xn+1. Do các đa thức f và v không chứa biến xn+1 nên nếu ta đặt xn+1 = 1/f thì fm = v.
Do v ∈ (S) nên f ∈ ( )S . Vì vậy Iv ⊂ ( )S .
Hệ quả 3.5. Cho k là trường đóng đại số và I là iđêan trong k[X]
(i) I là iđêan của tập đại số khi và chỉ khi I là iđêan căn
(ii) I là iđêan của tập bất khả quy khi và chỉ khi I là iđêan nguyên tố.
Chứng minh
(i) Ta đã thấy iđêan của tập đại số phải là iđêan căn. Đảo lại, nếu I là iđêan căn thìI = I =IZ I( ).
(ii) Ta có iđêan của tập bất khả quy phải là iđêan nguyên tố. Đảo lại, nếu I là iđêan nguyên tố thì IZ(I) = I. Vì vậy Z(I) phải là tập bất khả quy.
Hệ quả 3.6. Có một tương ứng một – một giữa các tập đại số trong K và n các iđêan căn trong vành đa thức K X xác đ[ ] ịnh bởi V ֏IV và I ֏Z I( ). Từ tương ứng 1-1 giữa các tập đại số ( hay tập bất khả quy) và các iđêan căn (hay các iđêan nguyên tố) cho phép chuyển việc nghiên cứu các hình hình học về việc nghiên cứu các iđêan căn và ngược lại. Đồng thời ta có thể nhận biết một tập đại số có là bất khả quy hay không thông qua tính chất của iđêan định nghĩa của nó.
Đặc biệt là ta có mối tương ứng 1- 1 giữa các điểm và các iđêan cực đại của vành K X[ ].
Hệ quả 3.7. Cho K là trường đóng đại số. Các iđêan cực đại của K X[ ] là các iđêan dạng (x1 – α1 , ..., xn – αn), α1,…, αn ∈K.
Trong hệ quả trên điều kiện đóng đại số của trường K là không thể thiếu.
Nhận xét 3.5. Nếu K là trường không đóng đại số thì K X[ ] có iđêan cực đại không có dạng (x1 – α1 , ..., xn – αn), α1,…, αn∈K.
Chẳng hạn như trong vành đa thức một biến [ ]ℝ x , đa thức f = +1 x2 là bất khả qui, iđêan I =(1+x2) là tối đại.
Định lý 3.8. Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi IV là iđêan nguyên tố.
Chứng minh
Giả sử V là tập bất khả quy. Nếu IV không phải là iđêan nguyên tố thìIV =I1∩I2 với I I1, 2 là những iđêan lớn hơn IV.
Khi đó V =Z I( )V =Z I( )1 ∪Z I( )2 . Vì vậy V =Z I( )1 hay V =Z I( )2 , dẫn đến
1 V
I ⊆ I hay I2 ⊆IV. Từ đây suy ra I1 =IV hay I2 =IV, mâu thuẫn với trên. Đảo lại, giả sử V không là tập bất khả quy. Khi đó V =V1∪V2 với V1 và V2 là những tập đại số nhỏ hơn V. Do
1, 2
V V
I I là những iđêan lớn hơn IV nên ta có thể tìm thấy các phần tử 1 \ V V f ∈I I và 2 \ V V g∈I I . Do 1 2 V V V fg∈I ∩I =I nên V
I không thể là iđêan nguyên tố.
Ví dụ 3.1
(i) Tập chỉ gồm một điểm a bất khả quy vì Ia là iđêan cực đại và do đó là nguyên tố.
(ii) Không gian n
A là tập bất khả quy vì IAn =0 là iđêan nguyên tố. Không phải iđêan nguyên tố nào trong K X[ ] cũng là iđêan của một tập bất khả quy. Như ta đã thấy ở cuối Chương 2, mọi iđêan nguyên tố vô nghiệm đều không thể là iđêan của bất kì một tập đại số nào.
Hệ quả 3.8. Cho K là trường đóng đại số. Một siêu mặt là bất khả qui khi và chỉ khi nó là tập nghiệm của một đa thức bất khả qui.
3.4. Một số ví dụ
Ví dụ 3.2. Giả sử V =Z y( −x z2, −x3)⊂ R3. Khi đó IV =(y−x z2, −x3). Thật vậy:
Ta có y−x z2, −x3∈IV nên (y−x z2, −x3)⊂ IV.
Ngược lại, xét đơn thức bất kỳ x y zα β γ, ta viết được
( ) ( 2 2 ) ( 3 ( 3)) x y zα β γ =xα x + y−x β x + z−x γ ( ) ( 2 2 )( 3 ( 3)) 1 2 xα x β g y x x β g z x = + − + − = ( 2) ( 3) 2 1 2 h y−x +h z−x +xα+ β γ+ = ( 2) ( 3) 1 2 h y−x +h z−x +r Trong đó g1∈R x y g[ , ], 2∈R x z[ , ]; h h1, 2∈R x y z[ , , ] và r∈R x[ ].
Từ đó suy ra với f ∈R x y z[ , , ] luôn viết được ( 2) ( 3)
1 2
f =h y−x +h z−x +r
trong đó h h1, 2∈R x y z[ , , ] và r∈R x[ ].
Do đó nếu f ∈IV thì f x x x( , ,2 3)= =0 r x( ) với mọi x∈R. Suy ra r =0, tức là f ∈(y−x z2, −x3). Vậy IV ⊂(y−x z2, −x3).
Ví dụ 3.3. Trong 3
R hai tập đại số V =Z y( −x z2, −x3),
( ) ( )
( 2 2 3 2)
W =Z y−x + z−x thỏa mãn V =W nhưng hai iđêan xác định chúng (( 2) (2 3)2)
y−x + z−x là con thực sự của iđêan (y−x z2, −x3) trong
[ , , ]
R x y z .
Ví dụ 3.4.
(i) Cho iđêan tối đại I ⊂ R X[ ]. Khi đó V :=Z I( ) là tập rỗng hoặc tập gồm một điểm trong n
R .
Thật vậy
(i) Nếu iđêan I không có nghiệm trong n
R thì V :=Z I( )= ∅. Nếu V ≠ ∅ thì ( 1 1,..., ) n n n a x a x a V R ∃ = − − ∈ ⊂ . Ta có Ia =(x1−a1,...,xn −an).
Với f ∈I có f a( )=0, do đó f ∈Ia. Như vậy I ⊂ Ia. Vậy ta có I ⊂ Ia ⊂R X[ ], Ia là tập con thực sự của [ ]R X . Suy ra I =Ia và V ={ }a .