7. Bố cục của đề tài
2.3.2. Iđêan nguyên tố
Định nghĩa 2.5. Cho I là một iđêan thực sự của vành A. Ta gọi I là iđêan
nguyên tố nếu từ điều kiện fg∈I kéo theo f ∈I hoặc g∈I.
Ví dụ 2.4
(i) Iđêan 0 là iđêan nguyên tố trong K[ ]x .
(ii) Iđêan ( )h sinh bởi một đa thức bất khả quy h cũng là iđêan nguyên tố. Thật vậy, nếu fg ∈ ( )h thì fg = ah với a ∈ K[ ]x . Do mọi đa thức đều có
thể phân tích một cách duy nhất thành tích của các đa thức bất khả quy nên f hay g phải chia hết cho h.
Suy ra f ∈ ( )h hay g ∈ ( )h . Ta có ngay một tính chất.
Định lý 2.7. Một iđêan P≠ A của A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thương A P/ là một miền nguyên.
Dễ thấy rằng mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn. Ta có tiêu chuẩn sau để iđêan căn là iđêan nguyên tố.
Bổ đề 2.6. Iđêan căn I ≠ A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao của hai iđêan căn lớn hơn I thực sự.
Chứng minh.
Giả sử I là iđêan nguyên tố. Nếu I =J1∩J2 thì J J1, 2 ⊆I. Vì vậy J1 và
2
J không thể đồng thời chứa các phần tử không thuộc I. Từ đây suy ra
1
J ⊆ Ihay J2 ⊆ I .
Đảo lại, giả sử I không phải là iđêan nguyên tố. Khi đó tồn tại ,f g∉I sao cho fg∈I . Đặt J1= ( , )I f và J2 = ( ,g)I . Rõ ràng là I ⊆ J1∩J2. Cho h∈J1∩J2 tùy ý. Ta có m ( , ) ( , ) h ∈ I f ∩ I g với một số m>0 nào đó. Từ đây suy ra 2m ( , )( , ) 2 ( ) ( ) ( ) h ∈ I f I g =I +I f +I g + fg ⊆ I
Sau đây ta sẽ thấy mọi iđêan I ≠ A đều được xác định bởi các iđêan nguyên tố chứa I. Trước tiên ta phải xét lớp iđêan sau.
Định nghĩa 2.6. Iđêan I ≠ A được gọi là iđêan cực đại nếu I không nằm trong một iđêan thực sự nào khác của A.
Dễ thấy rằng I là cực đại khi và chỉ khi ( , )I f = A với mọi f ≠I.
Định lý 2.8. Một iđêan I ≠ A của A là iđêan tối đại khi và chỉ khi vành thương A I/ là một trường.
Ví dụ 2.5. Iđêan Ia =(x1−α1, ,… xn −αn) là iđêan cực đại trong K X[ ]. Để thấy điều này ta có thể giả thiết a =0. Khi đó Ia =( , , )x1 … xn . Với mọi đa thức f ∉Ia ta có
1 1 n n
f =h x +⋯+h x +c
với c∈k c, ≠0. Vì vậy c∈( , )Ia f =K X[ ].
Nhận xét 2.5.
Nếu I ≠ A thì I ≠ A. Do I ⊆ I nên mọi iđêan cực đại phải bằng căn của nó. Mặt khác, mọi iđêan cực đại chỉ có một iđêan căn lớn hơn là vành
A nên chúng không thể là giao của hai iđêan căn lớn hơn. Vì vậy mọi iđêan căn cực đại phải là iđêan nguyên tố.
Với mọi chuỗi tăng các iđêan tăng thực sự I1 ⊆I2 ⊆⋯⊆Ij ⊆⋯ ta thấy ∪Ij cũng là iđêan thực sự. Vì vậy ta có thể áp dụng Bổ đề Zorn để thấy mọi iđêan thực sự đều nằm trong ít nhất một iđêan cực đại. Từ đây suy ra mọi iđêan thực sự đều nằm trong ít nhất một iđêan nguyên tố.
Tính nguyên tố của một iđêan chính được xác định bởi điều kiện sau.
Định lý 2.9. Cho A là vành nhân tử hóa và f ∈A. Iđêan ( )f là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi f là phần tử bất khả quy.
Định lý 2.10. Vành iđêan chính là vành nhân tử hóa.
Ta thấy vành đa thức nhiều biến K X[ ]=K x x[ , ,..., ]1 2 xn trên trường K là vành nhân tử hóa. Ta kiểm chứng điều này từ vành đa thức một biến: vành đa thức 1 biến [ ]K x là vành chính nên là vành nhân tử hóa.
Bổ đề 2.7. Cho I ≠0 là iđêan của vành đa thức một biến K x . Ta có [ ] ( )
I = g với mọi đa thức g có bậc nhỏ nhất trong I.
Do K X[ ] là vành đa thức của biến xn với hệ số trong K x[ , ,1 … xn−1] nên ta chỉ cần xét tính nhân tử hóa của các vành đa thức một biến [ ]A x trên một miền nguyên A. Để làm điều này người ta xây dựng một trường chứa A.
Ký hiệu ( )Q A là tập các biểu thức /f g của A ( ,f g∈A g, ≠0) với quan hệ tương đương f1/ g1 = f2 /g2 nếu f g1 2 = f g2 1. Định nghĩa các phép cộng và nhân trong ( )Q A như sau:
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 : , . : f f f g f g g g g g f f f f g g g g + + = =
Có thể kiểm tra thấy Q A( ) là một trường. Các phần tử của Q A( )được gọi là phân thức và Q A( ) là trường phân thức của A. ta có thể đồng nhất A với vành của các phân thức dạng f / 1 trong Q A( ).
Do ta có thể đặt k =Q A( ) nên vành đa thức một biến Q A x( )[ ] là vành nhân tử hóa. Dùng điều này khẳng định được tính nhân tử hóa của [ ]A x .
Bổ đề 2.8. Cho u là phần tử của vành A. Nếu (u) là iđêan nguyên tố trong A thì uA x c[ ] ũng là iđêan nguyên tố.
Chứng minh
Cho g h, ∈A x[ ] sao cho gh∈uA x[ ]. Nếu g h, ∉uA x[ ], ta có thể giả thiết
1
i
g =x g và j 1
h=x h với g h1, 1 là những đa thức có hệ số tự do không thuộc vào ( )u .
Khi đó i j 1 1 [ ]
x+ g h ∈uA x . Từ đây suy ra g h1 1∈uA x[ ] và do đó hệ số tự do của
1 1
g h phải thuộc vào ( )u . Hệ số này là tích của hai hệ số tự do của g h1, 1 nên ta nhận được một điều mâu thuẫn với tính nguyên tố của ( )u .
Do [ ]K x là vành nhân tử hóa nên ta có thể áp dụng liên tiếp định lý trên để nhận được kết quả.
Hệ quả 2.2. K X là vành nhân t[ ] ử hóa.
Như vậy là mọi đa thức f ∈K[X] đều là tích của các đa thức bất khả quy. Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu các siêu mặt Z f( ) về trường hợp f là đa thức bất khả quy. Khi đó, ( )f là iđêan nguyên tố. Vì vậy ta có điều kiện cho tính bất khả quy của Z f( ) như sau.
Định lý 2.11. Cho f là đa thức bất khả quy trong K X . N[ ] ếu IZ f( ) =( )f thì
( )
Z f là tập bất khả quy.
Ví dụ 2.6. Các đa thức x2 −y x, 3 − y2 bất khả quy trong K x y[ , ]. Do 2 2 ( ) ( ) Z x y I − = x −y và 3 2 3 2 ( ) ( ) Z x y
I − = x −y nên các đường cong x2 −y =0
và x3− y2 =0 là bất khả quy.
Có thể tìm thấy các đa thức bất khả quy f mà Z f( )không là tập bất khả quy.
Ví dụ 2.7. Đa thức f =x2 +1 bất khả quy trong ℝ[ , ]x y nhưng Z f( )= ∅ không phải là tập bất khả quy.
Chương 3
MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN
Chương 1, 2 cho phép đặt tương ứng mỗi tập đại số V trong n
K với iđêan IV trong K X[ ] và mỗi iđêan IV trong K X[ ] với tập không điểm
( )V
Z I của nó trong n
K . Hai mối quan hệ này cho ta một mối tương ứng 1 1− giữa các tập đại số và các iđêan dạng IV, V →IV →Z I( )V =V. Vì thế, ta có thể chuyển việc nghiên cứu các tập đại số sang các iđêan dạng IV.
Chương 3 trình bày mối quan hệ giữa các tập đại số và iđêan thể hiện trong sự liên hệ giữa các phép toán về tập hợp; tính Noether của vành đa thức
[ ]
K X và n
K ; tương ứng 1 – 1 giữa các tập đại số và iđêan căn của K X[ ]. Một số kết quả chính của hình học đại số được trình bày như định lý Hilbert về cơ sở (Hệ quả 3.4), định lý nghiệm Hilbert (Định lý 3.6) theo [2].