7. Bố cục của đề tài
3.2.1.Định lý Hilbert về cơ sở
Như ta đã đề cập ở chương 1, tập đại số là tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức. Hệ này có thể gồm một số vô hạn các phương trình. Tuy nhiên người ta chỉ ra được là mọi tập đại số là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các đa thức. Điều này có được là do mỗi tập đại số được xác định bởi một iđêan trong K X[ ], mà K X[ ] lại là vành Noether.
Định nghĩa 3.1. Vành A được gọi là vành Noether nếu mọi iđêan của A đều
là hữu hạn sinh.
Có thể đặc trưng vành Noether bằng nhiều cách.
Bổ đề 3.2. Các khẳng định sau là tương đương
(i) A là vành Noether.
(ii) Mọi chuỗi tăng các iđêan trong A: I1⊂I2 ⊂...⊂Ij ⊂... đều dừng, có nghĩa là Ij =Ij+1 từ một chỉ số j nào đó trởđi.
(iii) Mọi hệ iđêan trong A đều có ít nhất một iđêan tối đại.
Từ đó có hệ quả.
Hệ quả 3.2. Mọi hệ sinh của các iđêan trong vành Noether đều chứa hệ sinh hữu hạn.
Vành Noether có tính chất.
Định lý 3.3. Cho A là vành Noether. Mọi iđêan căn I ≠ A đều có thể phân tích được thành giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố không bao hàm nhau. Các iđêan này được xác định một cách duy nhất và chúng chính là các iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I (không chứa bất kỳ một iđêan nguyên tố nào khác chứa I).
Chứng minh
Gọi S là tập hợp tất cả các iđêan căn không là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố.
Vì Q không là iđêan nguyên tố nên ta có thể viết Q=Q1∩Q2 với Q1 và Q2 là những iđêan căn lớn hơn Q.
Từ tính lớn nhất của Q cho thấy Q1 và Q2 đều là giao hữu hạn của một số các iđêan nguyên tố. Thế thì Q sẽ là giao hữu hạn của một số các iđêan nguyên tố. Điều này mâu thuẫn giả thiết Q∈S. Vậy S = ∅, tức là mọi iđêan căn đều phân tích được thành giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố.
Giả sử iđêan I có hai sự phân tích thành giao các iđêan nguyên tố không bao hàm nhau.
1 ... r 1 ... s
I =I ∩ ∩I =J ∩ ∩J
Do I1...Ir ⊂ ⊂I J1 nên It ⊂J1 với một chỉ số t nào đó. Tương tự ta cũng có Ji ⊂ It với một chỉ số I nào đó.
Từ đó suy ra Ji ⊂J1, do đó i=1 và có được It =J1. Như vậy ta có
{ }
1 1,..., r
J ∈ I I
Lập luận tương tự có Ji∈{I1,...,Ir},i=1,2,...,s và It∈{J1,...,Js},t=1,2,...,r. Vậy {I1,...,Ir}={J1,...,Js}.
Hệ quả 3.3. Cho A là vành Noether. Mọi iđêan I ⊂ A chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I và I là giao của các iđêan nguyên tố này.
Định lý 3.4. Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị. Nếu A là vành Noether thì vành đa thức A x c[ ] ũng là vành Noether.
Chứng minh
Giả sử [ ]A x có một iđêan I không hữu hạn sinh.
Ta xây dựng một dãy các đa thức fi trong I bằng quy nạp như sau:
Đặt f1 =0, giả sử đã có f1,..., fi−1. Do I ≠(f1,..., fi−1) nên có thể chọn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
i
f là đa thức có bậc nhỏ nhất trong tập I \ (f1,..., fi−1). Giả sử ni =deg fi và ci là hệ tử cao nhất của fi.
Do deg fi ≤deg fi+1 nên n1≤n2 ≤...
( ) (c1 ⊂ c c1, 2)⊂...⊂(c1,...,ci)⊂...
Chuỗi này dừng do giả thiết vành A là Noether nên ta có ci∈(c1,...,ci−1) với một chỉ số i nào đó. Khi đó có 1 1 ... 1 1 i i i c =u c + +u c− − với u1,...,ui−1∈A Xét đa thức ( 1 1 ) 1 ni n 1 ... 1 ni ni 1 i i i g f u x − f u x − − f − − = − + +
Đa thức này không còn hạng tử chứa ni x .
Vì thế degg<ni =deg fi. Do g∈ I \ ( f1,..., fi−1)nên mâu thuẫn với cách chọn fi.
Vậy vành đa thức [ ]A x cũng là vành Noether.
Hệ quả 3.4. (Định lý Hilbert về cơ sở). Vành đa thức K X là vành Noether[ ] . Như vậy từ kết quả của Hệ quả 3.4 ta thấy vành đa thức K X[ ] có đầy đủ các tính chất của vành Noether như: tính dừng của dãy giảm những tập đại số, sự phân tích tập đại số thành hợp các tập đại số bất khả qui, …
3.2.2. Tính Noether của không gian tô pô n
A
Định nghĩa 3.2. Một không gian tôpô X được gọi là không gian tôpô Noether
nếu thỏa mãn điều kiện mọi dãy giảm những tập con đóng của X đều dừng, nghĩa là với dãy bất kỳ những tập con đóng Y1 ⊃Y2 ⊃...⊃Yj ⊃... ta đều có
1
j j
Y =Y+ từ chỉ số j nào đó trở đi. Với tôpô Zariski, n
A là một không gian tôpô và từ định lý Hilbert về cơ sở cho ta thấy ý nghĩa về mặt hình học.
Định lý 3.5.
(i) Mọi tập đại số đều là giao của một số hữu hạn siêu mặt dạng Z f( ).
(ii) Mọi chuỗi giảm các tập đại số V1⊃V2 ⊃...⊃Vj ⊃... đều dừng (có nghĩa là Vj =Vj+1 từ một chỉ số j nào đó trở đi).
Chứng minh
(i) Xét tập đại số V tùy ý. Ta suy ra IV có hệ sinh hữu hạn S. Vì vậy ( )V ( ) ( ) f S V Z I Z S Z f ∈ = = =∩ . (ii) Đặt j j V I =I , từ giả thiết ta có 1 2 ... j ... I ⊂I ⊂ ⊂I ⊂
là một chuỗi tăng các iđêan trong K X[ ]. Vì K X[ ] là vành Noether nên
1
j j
I =I + từ một chỉ số j nào đó trở đi. Do đó Vj =Vj+1 từ chỉ số j trở đi. (iii) Xét hệ tập đại số { }Vj , xác định hệ iđêan tương ứng { }IVj . Do K X[ ] là vành Noether nên hệ iđêan { }IVj có ít nhất một iđêan tối đại
r V I
Đặt Vr =Z I( )Vr thì nó chính là tập đại số tối tiểu của hệ { }Vj . Khẳng định (ii) của định lý 3.5 cho ta biết n
A là không gian tôpô Noether.
Hơn nữa từ kết luận (i) của định lý trên suy ra một tính chất quan trọng của tô pô Zariski: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhận xét 3.3. Mọi phủ mở của một tập điểm trong không gian affin đều chứa
một phủ con hữu hạn.
Thật vậy: Giả sử { }Ui là một phủ mở của tập điểm T, giả thiết
( ) n \ ( )
i i i
U =D f =k Z f với mọi i.
Gọi I là iđêan sinh bởi hệ các đa thức fi, ta có I là hữu hạn sinh, tức là
( 1, ,...,2 s) I = f f f . Khi đó ( ) ( ) ( ) ⊂∪ = n −∩ = n − i i T D f K Z f K Z I ( ) ( ) 1 1 = = = n −∩s =∪s i i i i K Z f D f .
Nhận xét 3.3 cho biết mọi tập điểm trong không gian affin n
K đều là tập compact.