Ứng dụng số phức trong đại số và tổ hợp

1 Mở ñầu 1. ðặt vấn ñề Số phức ra ñời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải phương trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuật khác. Lịch sử số phức bắt ñầu từ thế kỉ XVI, ñó là thời kì phục hưng của toán học châu Âu sau ñêm dài trung cổ. Các ñại lượng ảo xuất hiện ñầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của các nhà toán học Italy, G.Cardano (1501-1576) và của R.Bombelli (1530-1572). Sau ñó ñược Gauss gọi là số phức và ñược kí hiệu: a + bi trong ñó 2 1 i = − và ñược L.Euler ñưa vào năm 1777 ñược gọi là ñơn vị ảo. Quá trình thừa nhận và áp dụng số phức như là một công cụ giải toán của toán học ñã diễn ra rất chậm chạp. Cho ñến thế kỉ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức, khẳng ñịnh trong trường số phức ℂ mọi phương trình ña thức ñều có nghiệm. Từ ñó với ñịnh lí cơ bản của ñại số Gauss chứng minh ñược trường ℂ là một trường ñóng ñại số. Số phức ñóng vai trò như là một công cụ ñắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của hình học, giải tích, ñại số, số học và toán tổ hợp. Ngoài ra, các tính chất cơ bản của số phức và biến phức còn ñược sử dụng trong toán cao cấp, toán ứng dụng và trong nhiều mô hình thực tế. Số phức và biến phức thường ñược ñề cập dưới nhiều dạng phong phú thông qua các ñặc trưng và biến ñổi khác nhau của phương pháp giải vừa mang tính tổng hợp cao, vừa mang tính ñặc thù sâu sắc. Chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông hầu hết các nước ñều có phần kiến thức về số phức. Ở nước ta sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức ñã ñược ñưa vào chương trình phổ thông nhưng chỉ ở mức ñộ ñơn giản. Những ứng dụng của số phức trong việc giải toán sơ cấp ít ñược ñề cập. Việc sử dụng số phức trong nghiên cứu có nhiều thuận lợi, nhất là trong việc xem xét các vấn ñề liên quan ñến ñại số và tổ hợp. Từ ñó cho ta thấy rõ hơn những khía cạnh khác nhau của ñại số và tổ hợp. Tổ hợp là một khoa học ra ñời khá sớm. Tổ hợp nghiên cứu các bài toán thường ñược kết hợp bởi một số ràng buộc và có nhiều nghiệm, do việc mở rộng trong trường số phức ta sẽ tìm ñược ñầy ñủ các nghiệm của bài toán. Tổ hợp chỉ ra số lượng nghiệm, lớp các nghiệm cụ thể, hoặc lớp các nghiệm thỏa mãn thêm một số ñiều kiện nào ñó, hoặc nghiệm tối ưu bằng các thuật toán cụ thể. Các thuật toán tổ hợp ngày càng ñược biến ñổi hoàn thiện ñể dễ sử dụng và có ñộ phức tạp tính toán nhỏ dần. Tổ hợp ñược ứng dụng rộng rãi trong ñời sống thực tế, ñặc biệt trong xử 2 lí thông tin phi số, trong ñiều hành hệ thống, trong khoa học quân sự và an ninh,… Nhờ vào công cụ số phức những phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và bậc cao có thể giải ñơn giản hơn và tìm ñược ñầy ñủ các nghiệm. ðồng thời việc chứng minh các bài toán về ña thức có hướng ñi mới. Xuất phát từ quan ñiểm xem số phức là công cụ nghiên cứu các ñối tượng và tính chất của ñại số và tổ hợp sẽ cung cấp cho bạn ñọc một phương pháp bổ ích và lí thú khi nghiên cứu ñại số và tổ hợp. Từ ñó giúp cho người học có cơ hội, thúc ñẩy nhu cầu hiểu biết, chủ ñộng giải quyết các vấn ñề liên quan một cách có hiệu quả. Củng cố kiến thức và áp dụng vào các học phần khác. ðồng thời việc nghiên cứu giúp tôi tích lũy thêm những kiến thức mới trong quá trình nghiên cứu. Vì những lí do ñó tôi chọn “ Ứng dụng số phức trong ñại số và tổ hợp ” cho khóa luận tốt nghiệp ñại học của mình. 2. Mục tiêu của khóa luận • •• • Mục tiêu khoa học công nghệ: Hệ thống hóa các vấn ñề cơ bản về số phức; phân loại, tập hợp một số dạng bài tập về ñại số và tổ hợp có thể giải bằng công cụ số phức; ñưa ra những chỉ dẫn về lời giải, về cách thức nhận biết từng dạng bài tập. • •• • Sản phẩm khoa học công nghệ: Xây dựng tập tài liệu về ứng dụng số phức trong ñại số và tổ hợp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • •• • Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về số phức • •• • Hệ thống hóa những kiến thức số phức có thể vận dụng vào việc giải toán ñại số và tổ hợp. • •• • Phân loại, tập hợp một số dạng bài tập về ñại số và tổ hợp có thể giải bằng số phức, kèm theo chỉ dẫn về cách nhận biết dạng bài tập; ñưa ra lời giải chi tiết hoặc hướng dẫn giải cho các bài tập này. 4. Phương pháp nghiên cứu • •• • Phương pháp nghiên cứu lí luận: ðọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình về số phức (ở ñại học, ở phổ thông). ðọc các tài liệu liên quan ñến ứng dụng của số phức trong ñại số và tổ hợp rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức. • •• • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm bản thân, các bạn sinh viên trong quá trình học tập môn Hàm phức ở ñại học. Tổng kết kinh nghiệm của giáo viên dạy học môn Toán ở phổ thông qua quá trình dạy học chủ ñề Số phức trong chương trình toán phổ thông. 3 • •• • Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên giảng dạy môn Hàm phức ở trường ðại học Hùng Vương ñể hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận. 5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu • •• • ðối tượng: Nghiên cứu ứng dụng số phức vào giải toán ñại số và tổ hợp. • •• • Phạm vi: Nghiên cứu việc giải các dạng bài tập về ña thức, phương trình, hệ phương trình ñại số, các bài toán về tổ hợp. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia thành các chương. Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị 1.1. Số phức và các phép toán 1.1.1. ðịnh nghĩa số phức 1.1.2. Các phép toán của số phức 1.1.3. Số phức liên hợp và môñun của số phức 1.2. Các dạng biểu diễn của số phức 1.2.1. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức 1.2.2. Căn bậc n của ñơn vị và biểu diễn hình học số phức Chương 2. Ứng dụng của số phức trong ñại số 2.1. Phương trình và hệ phương trình ñại số 2.1.1. Phương trình bậc hai 2.1.2. Phương trình bậc ba 2.1.3. Phương trình bậc bốn 2.1.4. Một số bài toán về phương trình và hệ phương trình ñại số 2.2. Các bài toán về ña thức 2.2.1. ða thức bất khả quy 2.2.2. Bài toán về sự chia hết ña thức 2.3. Các bài tập áp dụng 2.3.1. Các bài tập có lời giải 2.3.2. Các bài tập ñề nghị Chương 3. Ứng dụng của số phức trong tổ hợp 3.1. Rút gọn một số tổng tổ hợp 3.2. Các bài toán ñếm 3.3. Các bài tập áp dụng 3.3.1. Các bài tập có lời giải 3.3.2. Các bài tập ñề nghị 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Số phức và các phép toán 1.1.1. ðịnh nghĩa số phức Xét ( ) { } 2 ; , . x y x y= × = ∈ ℝ ℝ ℝ ℝ Hai phần tử ( ) 1 1 ; x y và ( ) 2 2 ; x y của 2 ℝ ñược gọi là bằng nhau ⇔ 1 2 1 2 x x y y =   =  Ta xây dựng phép toán trong 2 ℝ như sau: ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 ; , ;z x y z x y∀ = = ∈ ℝ - Phép cộng: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ; ; ;z z x y x y x x y y+ = + = + + ∈ ℝ . - Phép nhân: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . ; . ; . . ; .z z x y x y x x y y x y x y= = − + ∈ ℝ . Cặp ( ) 0;1 ñược gọi là ñơn vị ảo, kí hiệu: 2 1 i = − . ðịnh nghĩa 1.1. Tập 2 ℝ cùng với hai phép toán cộng và nhân ñược ñịnh nghĩa như trên gọi là tập số phức ℂ , phần tử ( ) ,x y ∈ ℂ là m ộ t s ố ph ứ c. 1.1.2. Các phép toán của số phức ðịnh lý 1.1. ( ) , ,. + ℂ là một trường (nghĩa là trên ℂ với các phép toán ñã ñịnh nghĩa có các tính chất tương tự trên ℝ với các phép toán cộng nhân thông thường). Chứng minh. ðể chứng minh ( ) , ,. + ℂ là một trường ta chứng minh các tính chất sau. (i). Phép cộng có tính giao hoán: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; , ;z x y z x y ∀ = = ∈ ℂ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ; ; ; ; z z x y x y x x y y x x y y z z + = + = + + = + + = + . (ii). Phép c ộ ng có tính k ế t h ợ p: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ; , ; , ;z x y z x y z x y ∀ = = = ∈ ℂ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ; ; ; z z z x x y y x y x x x y y y + + = + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 2 3 1 2 3 ; ; .x y x x y y z z z = + + + = + + (iii). T ồ n t ạ i ph ầ n t ử không ( ) 0 0;0 . = ∈ ℂ Th ậ t v ậ y ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; , 0 ; 0;0 0; 0 ; z x y z x y x y x y z ∀ = ∈ + = + = + + = = ℂ . (iv). T ồ n t ạ i ph ầ n t ử ñố i ( ) ( ) ; , ; z x y z x y ∀ = ∈ ∃− = − − ℂ là ph ầ n t ử ñố i. Th ậ t v ậ y: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; 0;0 . z z x y x y x x y y + − = + − − = − − = (v). Phép nhân có tính giao hoán 5 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; , ; . z x y z x y ∀ = = ∈ ℂ Ta có: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 . . . ; . . . . ; . . . . z z x x y y x y x y x x y y x y x y z z = − + = − + = (vi). Phép nhân có tính k ế t h ợ p ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , , , ,z x y z x y z x y ∀ = = = ∈ ℂ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 . ; . ; . . ; . . ; z z z x x y y x y x y x y x x y y x x y x y y x x y y y x y x y x x x x y y x x y y x y y x x y y y y x x y x x y = − + = − − + − + + = − − − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 . ; ; . . ; . . ; z z z x y x x y y x y x y x x y y x x y x y y x y x y x x x y y y x x x y y x x y y x y y x x y y y y x x y x x y = − + = − − + + + − = − − − − + + ð i ề u này ch ứ ng t ỏ : ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 . . . z z z z z z = (vii). Phép nhân có ph ầ n t ử ñơ n v ị : T ồ n t ạ i ph ầ n t ử ñơ n v ị ( ) 1 1;0 = ∈ ℂ Th ậ t v ậ y ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; , 1. 1;0 . ; 1 0 ;1 0 ; ; . 1;0 .1 z x y z x y x y y x x y x y z z ∀ = ∈ = = − + = = = = ℂ . (viii). T ồ n t ạ i ph ầ n t ử ngh ị ch ñả o: ( ) ; , 0 z x y z ∀ = ∈ ≠ ℂ , ph ầ n t ử ngh ị ch ñả o c ủ a z là: 1 2 2 2 2 ; x y z x y x y −   = −   + +   sao cho 1 1 . . 1 z z z z − − = = . Th ậ t v ậ y gi ả s ử ( ) * ; z x y = ∈ ℂ , và ( ) 1 ; z x y − ′ ′ = là ph ầ n t ử ngh ị ch ñả o c ủ a nó. Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 . . 1 . 1 ; . ; 1;0 . . 0. x x y y z z x y x y y x x y − ′ ′ − =  ′ ′ = ⇔ = ⇒  ′ ′ + =  Gi ả i h ệ ta ñượ c 2 2 2 2 , x y x y x y x y ′ ′ = = − + + . V ậ y 1 2 2 2 2 1 ; x y z z x y x y −   = = −   + +   . Th ươ ng hai s ố ( ) ( ) * 1 1 1 ; , ;z x y z x y = = ∈ ℂ là ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . ; . ; ; z x y x x y y x y y x z z x y z x y x y x y x y −     + − + = = − = ∈     + + + +     ℂ . Phép toán tìm th ươ ng hai s ố ph ứ c g ọ i là phép chia. (ix). Phép nhân phân ph ố i v ớ i phép c ộ ng 6 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ; , ; , ;z x y z x y z x y ∀ = = = ∈ ℂ ta có: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 3 2 3 ; . ; z z z x y x x y y + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . ; . . x x x y y y x y y y x x = + − + + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 ; ; ; . x x x x y y y y x y x y y x y x x x y y x y y x x x y y x y y x z z z z = + − − + + + = − + + − + = + Vậy ta ñã chứng minh ñược ( ) , ,. + ℂ thỏ a mãn các tiên ñề c ủ a m ộ t tr ườ ng. Do ñ ó ( ) , ,. + ℂ là m ộ t tr ườ ng s ố . 1.1.3. Số phức liên hợp và Môñun của số phức ðịnh nghĩa 1.2. Cho số phức z x iy = + , số phức có dạng x iy − ñược gọi là số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu là z , nghĩa là z x yi x iy = + = − . Mệnh ñề 1.1. 1. z z z = ⇔ ∈ ℝ . 2. z z = . 3. z z ⋅ là số thực không âm. 4. 1 2 1 2 . z z z z + = + 5. 1 2 1 2 . . . z z z z = 6. ( ) 1 1 * , . z z z − − = ∈ ℂ 7. * 1 1 2 2 2 ; . z z z z z   = ∈     ℂ 8. Re ( ) ( ) , Im . 2 2 z z z z z z i + − = = Chứng minh. 1. Ta có : z z = nên suy ra 2 0 0 . x yi x yi yi y z x + = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∈ ℝ 2. Ta có: , . z x yi z x yi z = − ⇒ = + = 3. Ta có: ( ) ( ) 2 2 . 0. z z x yi x yi x y = + − = + ≥ 4. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 . z z x x y y i x x y y i x y i x y i z z + = + + + = + − + = − + − = + 5. Ta có: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z x x y y x y x y i ⋅ = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 . x x y y x y x y i x y i x y i z z = − − + = − ⋅ − = ⋅ 6. Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 z z z z z z z z − −     = ⇒ = ⇒ = ⇒ =         . 7. Ta có : 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 . . . z z z z z z z z z z       = = = =             . 8. ( ) ( ) 2 , z z x iy x iy x + = + + − = 7 ( ) ( ) 2 , z z x iy x iy iy − = + − − = Do ñó: ( ) ( ) Re , Im 2 2 z z z z z z i + − = = . ðịnh nghĩa 1.3. Cho số phức z x iy = + . Khi ñó 2 2 x y + gọi là môñun ( trị tuyệt ñối ) của số phức z ký hiệu 2 2 z x y = + . Mệnh ñề 1.2. 1. Re( ) ; Im( ) , z z z z z z − ≤ ≤ − ≤ ≤ 2. 0, 0 0, z z z ≥ = ⇔ = 3. , z z z = − = 4. 2 . , z z z = 5. 1 2 1 2 . , z z z z = 6. 1 2 1 2 1 2 , z z z z z z − ≤ + ≤ + 7. 1 1 * , , z z z − − = ∈ ℂ 8. * 1 1 1 2 2 2 ; , , z z z z z z = ∈ ℂ 9. 1 2 1 2 1 2 , z z z z z z − ≤ − ≤ + 10. ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 . z z z z z z+ + − = + Chứng minh. Các mệnh ñề từ 1 – 4 trực tiếp suy ra từ ñịnh nghĩa. ● (5) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 . . . . . . . . z z z z z z z z z z z z = = = ● (6) Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 ( ) . z z z z z z z z z z z z z z z z + = + + = + + = + + + Ngoài ra, 2 1 2 1 1 2 . . z z z z z z = = nên suy ra ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 . 2Re 2 2 . 2 . , z z z z z z z z z z z z + = ≤ = = Do ñ ó ( ) 2 2 1 2 1 2 z z z z + ≤ + hay 1 2 1 2 z z z z + ≤ + m ặ t khác, 1 1 2 2 1 2 2 z z z z z z z = + − ≤ + + suy ra 1 2 1 2 . z z z z − ≤ + ● (7) Ta có: 1 1 1 1 1 1z z z z z z = ⇒ = ⇒ = nên : 1 1 * , z z z − − = ∈ ℂ . ● (8) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 . . z z z z z z z z z z z z − − − = = = = = ● (9) Tương tự trong phần (6) ta cũng có: 1 1 2 2 1 2 2 z z z z z z z = − + ≤ − + nên suy ra: 1 2 1 2 z z z z − ≤ − ngoài ra ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 . z z z z z z z z − = + − ≤ + − = + ● (10) Ta có: 8 y x O M P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 . z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z + + − = + + + − − = + + + + − − + = + 1.2.Các dạng biểu diễn của số phức 1.2.1. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức Ở dạng này cho ta thấy tính chất ñặc biệt về lũy thừa của một số phức thông qua ñịnh lí Moivre. 1.2.1.1. Tọa ñộ cực của số phức. Trong mặt phẳng Ox y cho tọa ñộ diểm ( ) ; M x y khác gốc tọa ñộ. Số thực 2 2 . r z z z x y = = = + gọi là bán kính cực của ñiểm M , số ño [ ] 0;2 θ π ∈ của góc lượng giác ( ) 0 ;0 x M   g ọ i là agument c ủ a M . C ặ p có th ứ t ự ( ) ; r θ g ọ i là t ọ a ñộ c ự c c ủ a ñ i ể m M , vi ế t ( ) ; M r θ . Chú ý: Ánh x ạ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) : \ 0;0 0; 0;2 , , ; h h x y r π θ × → ∞ × → ℝ ℝ là m ộ t song ánh. ( ) ( ) ; ; x y r θ ֏ ð i ể m g ố c O là ñ i ể m duy nh ấ t có 0, r θ = không xác ñị nh. M ỗ i ñ i ể m M trong m ặ t ph ẳ ng có duy nh ấ t ñ i ể m ( ) 1; P θ là giao ñ i ể m c ủ a tia OM v ớ i ñườ ng tròn ñơ n v ị tâm O . S ử d ụ ng ñị nh ngh ĩ a sin và cosin ta th ấ y : cos , sin x r y r θ θ = = . Ngoài ra ta c ũ ng có th ể ñị nh ngh ĩ a agument c ủ a s ố ph ứ c z nh ư sau: Re Im 0,cos ,sin . z z z z z θ θ ∀ ≠ = = 1.2.1.2. Biểu diễn lượng giác của số phức. Cho s ố ph ứ c z x yi = + ta có th ể vi ế t z d ướ i d ạ ng c ự c : ( ) cos sin . z r i θ θ = + ðặ t 2 , k k α θ π = + ∈ ℤ , khi ñ ó ( ) cos sin z r i α α = + . T ứ c là v ớ i s ố ph ứ c z b ấ t kì ta luôn vi ế t ñượ c d ướ i d ạ ng: ( ) cos sin , 0, . z r t i t r t = + ≥ ∈ ℝ 1.2.1.3. Phép toán trong dạng lượng giác của số phức. Cho hai s ố ph ứ c 1 2 , 0 z z ≠ ,có bi ể u di ễ n d ạ ng l ượ ng giác ( ) 1 1 1 1 cos sin , z r t i t = + ( ) 2 2 2 2 cos sin z r t i t = + khi ñ ó : 9 Hai s ố 1 2 , z z g ọ i là b ằ ng nhau n ế u 1 2 r r = và 2 1 2 , . t t k k π − = ∈ ℤ Tích hai s ố ph ứ c 1 2 . z z là m ộ t s ố ph ứ c ñượ c xác ñị nh : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 . cos sin z z rr t t i t t = + + + . ðịnh lí 1.2. ( De Moivre ) Cho ( ) cos sin z r t i t = + và n ∈ ℕ , khi ñó ta có : ( ) cos sin n n z r nt i nt = + . Chú ý: Công thức De Moivre vẫn ñúng cho lũy thừa nguyên âm. 1.2.1.4. Dạng mũ của số phức Ngoài ( ) cos sin z r i θ θ = + còn ñược biểu diễn dưới dạng i z re θ = gọi là biểu diễn số phức dưới dạng mũ. Phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n ñược thực hiện theo công thức Moivre , n n in z r e θ = n ế u 1 r = thì công th ứ c Moivre có d ạ ng l ượ ng giác ñặ c bi ệ t ( ) cos sin cos sin n i n i n θ θ θ θ + = + . T ừ ñ ó ta có công th ứ c Euler: ( ) ( ) 1 1 cos ; sin . 2 2 i i i i e ie e e θ θ θ θ θ θ − − = + = − Mệnh ñề 1.3. Với mọi 1 2 , , φ φ φ ∈ ℝ ta có: 1. ( ) 1 2 1 2 i i i e e e φ φ φ φ + = , 2. ( ) 2 , i i e e φ π φ + = 3. i i e e φ φ − = , 4. 1. i e φ = Ch ứ ng minh. ðối với mệnh ñề từ 1– 4 suy ra trực tiếp từ ñịnh nghĩa và tính chất của lũy thừa. Ta chứng minh cho mệnh ñề 3. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin cos sin i i e i i i e φ φ φ φ φ φ φ φ − = + = − = − + − = . 1.2.2. Căn bậc n của ñơn vị và biểu diễn hình học số phức 1.2.2.1. Căn bậc n của số phức. ðịnh nghĩa 1.4. Cho số phức 0 w ≠ và số nguyên 2 n ≥ . Khi ñó nghiệm z của phương trình 0 n z w − = là căn bậc n của số phức z. Mệnh ñề 1.4. Cho số phức ( ) ( ) ( ) cos sinw r i θ θ = + , với 0 r > , [ ) 0;2 θ π ∈ . Khi ñó căn bậc n của số phức w gồm n số phân biệt xác ñịnh bởi: 2 2 cos sin , 0,1,2, , –1. n k k k z r i k n n n π π θ θ       = + + + =             Ch ứ ng minh . 10 Xét dạng lượng giác của số phức ( ) cos sin z i n ρ ϕ ϕ = + khi ñó ( ) cos sin n n z n i n ρ ϕ ϕ = + . Ngoài ra ta có: n z w = nên suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin n n i n r i ρ ϕ ϕ θ θ + = + . Do ñó: , 2 , n r n k k ρ ϕ θ π = = + ∈ ℤ . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 0 n z w − = có d ạ ng: ( ) cos sin , n k k k z r i k ϕ ϕ = + ∈ ℤ . Vì { } 0 1 1 0 2 , 0,1, , 1 n k nên k n ϕ ϕ ϕ π ϕ − ≤ < < < < ∈ − là argument c ự c. B ở i tính duy nh ấ t c ủ a t ọ a ñộ c ự c ta suy ra ph ươ ng trình có n nghi ệ m . M ặ t khác v ớ i s ố nguyên k tùy ý, g ọ i { } 0,1,2, , 1 r n ∈ − là h ệ th ặ ng d ư theo mô ñ un n ( ngh ĩ a là chia k cho n ta ñượ c các s ố d ư { } 0,1,2, , 1 n − ). Khi ñ ó ( ) 2 2 2 2 k r nq r r q q n n n n θ π θ π ϕ π ϕ π = + + = + + = + . ð i ề u này suy ra : k r z z = hay { } { } 0 1 1 , , , , k n z k z z z − ∈ = ℤ . ðịnh nghĩa 1.5. Nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 1 0 n z − = , g ọ i là căn bậc n của ñơn vị . Từ ñịnh nghĩa ta thấy rằng căn bậc n của ñơn vị là: 2 2 cos sin , 0,1, , 1 k k k w i k n n n π π = + = − . Người ta kí hiệu cho tập các căn bậc n của ñơn vị là { } 2 1 1, , , n n U w w w − = ( n U là nhóm nhân xyclic cấp n ). Số k n w U ∈ gọi là căn bậc nguyên thủy bậc n của ñơn vị nếu mọi số nguyên dương m n < ta có 1 m k w ≠ . 1.2.2.2. Biểu diễn hình học của số phức. ðịnh nghĩa 1.6. ðiểm ( ) ; M x y trong mặ t ph ẳ ng Oxy g ọ i là ñ i ể m biểu diễn hình học c ủ a s ố ph ứ c z x iy = + . S ố ph ứ c z x iy = + g ọ i là t ọ a ñộ ph ứ c c ủ a ñ i ể m ( ) ; M x y , ta dùng kí hi ệ u ( ) M z ñể ch ỉ t ọ a ñộ ph ứ c c ủ a ñ i ể m M là z . M ặ t ph ẳ ng t ọ a ñộ v ớ i vi ệ c bi ể u di ễ n s ố ph ứ c nh ư trên g ọ i là m ặ t ph ẳ ng ph ứ c. Ngoài ra, trên m ặ t ph ẳ ng ph ứ c ng ườ i ta c ũ ng ñồ ng nh ấ t s ố ph ứ c z x iy = + v ớ i v OM =   , ( ) ; M x y . ðịnh nghĩa 1.7. Cho số phức z x iy = + có biểu diễn hình học là ( ) M z , khi ñó [...]... s và lư ng giác 2.1.4 M t s bài toán v phương trình và h phương trình ñ i s M t phương trình v i n ph c f ( z ) = 0 và v i nghi m z = x + iy , có th gi i b ng cách tách ph n th c và ph n o, ta luôn có th ñưa v d ng h phương trình  h ( x, y ) = 0    g ( x, y ) = 0  Ch ng h n, ñ tìm căn b c ba c a s ph c 1 + i , ta tìm s ph c z = x + iy sao cho z 3 = 1 + i B ng cách tách ph n th c và ph n o trong. .. (do p là s nguyên t ) suy ra G ( b ) = ±1 và H ( b ) = ± p ho c G ( b ) = ± p và H ( b ) = ±1 Xét G ( b ) = 1 và gi s nghi m c a G ( x ) là ξ1 , ξ 2 , , ξ k (1 ≤ k < n) và ñ ng th i ξ1 , ξ 2 , , ξ k (1 ≤ k < n) cũng là nghi m c a P ( x ) Khi ñó 1 G ( x ) = c ( x − ξ1 )( x − ξ 2 ) ( x − ξ k ) và Re ξi < b − , 2 ñây c là h s cao nh t c a G ( x ) Vì G ( b ) = 1 và G ( b − 1) ∈ℤ * , ta có b t ñ ng th c... a vành P [ x ] M i ña th c b c n > 0 c a vành P [ x ] ñ u phân tích ñư c thành tích c a nh ng ña th c b t kh quy trên P và s phân tích ñó là duy nh t n u không k ñ n th t các nhân t và các nhân t b c không Trên trư ng s ph c, ch có các nh th c b c nh t là ña th c b t kh quy Trên trư ng s th c, các nh th c b c nh t và các tam th c b c hai v i bi t th c ∆ < 0 và ch chúng là các ña th c b t kh quy Ta... ñó ñ ng nh t h s ta ñư c:  2m − p = a  −2 pn = b  2 2 m − pn = c T (1) ta có m = (1) ( 2) ( 3) p+a −b , t (2) ta có n = , th vào (3) ta ñư c 2 2p 18 ( p + a) 4 2 b2 − p 2 = c 4p ( 4) Trong phương trình (4) ta tìm ra p sau ñó thay vào phương trình (1) và (2) tìm m, n và gi i phương trình ñã cho ð gi i phương trình b c b n trên trư ng s ph c có d ng: z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0, a, b, c, d ∈ ℝ... ñơn v và bi u di n hình h c c a s ph c Trong ñó các phép toán s ph c, s ph c liên h p, môñun c a s ph c là nh ng ki n th c quan tr ng liên quan tr c ti p ñ n vi c thi t l p các phương trình, h phương trình ñ i s ; các ki n th c v xác ñ nh ph n th c, ph n o c a s ph c cũng t o cho ngư i ñ c liên tư ng ñ n vi c thi t l p h phương trình, h s khai tri n trong ñ i s t h p Các ki n th c ñư c trình bày trong. .. n và tr tuy t ñ i c a 24 nó, ho c có th ch a c ñơn v o i thì ta dùng cách ñ ng nh t ph n th c và ph n o r i ñưa v h phương trình ñ gi i 2.2 Các bài toán v ña th c 2.2.1 ða th c b t kh quy M t ña th c p ( x ) b c n ( n > 0 ) trên trư ng P ñư c g i là ña th c b t kh quy trên P (ho c không phân tích ñư c trên P ) n u nó không th vi t ñư c dư i d ng tích c a hai ña th c b c khác không và bé hơn n c a vành... b ≥ 3 là s nguyên và p là m t s nguyên t Ta vi t p trong h s cơ s b , nghĩa là p có d ng p = a0b n + a1b n-1 + + an , ñây n là s t nhiên, a0 ≠ 0 và 0 ≤ ai < b (i = 0,1, , n) Xét ña th c: P ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + + an Ch ng minh r ng P ( x ) b t kh quy trên ℤ[ x] (gi thi t p ≥ b vì v i p < b thì ña th c là h ng s ) L i gi i 26 Ta dùng tiêu ch n Perron Hi n nhiên P ( b ) = p và P ( b − 1) ≠ 0,... ta tìm ñư c z = 2 + i và z = 1 − i T ñó ta suy ra hai nghi m ( x; y ) c a h phương trình ñã cho là ( 2;1) ; (1; −1) Bài 2.10 Tìm s ph c z th a mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 L i gi i G i z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , ta có: z − ( 2 + i ) = ( a − 2 ) + ( b − 1) i T gi thi t ta có: 2 2 z − ( 2 + i ) = 10 ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 1) = 10 và z.z = 25 ⇔ a 2 + b 2 = 25 ( 2) T (1) và (2) ta có h phương trình... liên tư ng ñ n vi c thi t l p h phương trình, h s khai tri n trong ñ i s t h p Các ki n th c ñư c trình bày trong chương 1 là cơ s ñ ti p t c th c hi n chương 2 và chương 3 c a khóa lu n 13 CHƯƠNG 2 NG D NG C A S PH C TRONG ð I S 2.1 Phương trình và h phương trình ñ i s 2.1.1 Phương trình b c hai Cho tam th c b c hai v i h s th c : f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, ∆ = b 2 − 4ac Ta có: ● N u ∆ < 0 ,... 64 − 16 y ⇔  2 x + y 2 + 16 − 8 x  x = 6  =1 2 2  x + y + 64 − 16 x  Thay x = 6 vào phương trình th nh t ta ñư c y 2 − 25 y + 136 = 0 ⇔ y1 = 8, y2 = 17 V y h phương trình ñã cho có hai nghi m là z1 = 6 + 8i, z2 = 6 + 17i 22 Nh n xét: Nh ng h phương trình g m các phương trình có ch a d u tr tuy t ñ i và ch a i trong ñó, v còn l i là h ng s ta dùng cách ñ t n là m t s ph c Sau ñó dùng tính ch t