Bước đầu tìm hiểu một số nội dung về đại số tổ hợp trên các từ

Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 1 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận ñược sự giúp ñỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Công nghệ, Trường ðại học Hùng Vương. ðặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.S Hà Ngọc Phú -Giảng viên bộ môn Toán ứng dụng - Khoa Toán – Công nghệ - Trường ðại học Hùng Vương. Thầy ñã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ñồng thời thầy còn là người giúp tôi lĩnh hội ñược những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học. Qua ñây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Công nghệ, tới gia ñình, bạn bè là những người luôn sát cánh bên tôi, ñã nhiệt tình giúp ñỡ, chia sẻ, ñộng viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này. Mặc dù ñã rất cố gắng xong khóa luận không khỏi có những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận ñược sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn ñể khóa luận ñược hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Việt trì, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Hồng Hải Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 2 MỤC LỤC CHƯƠNG I: VĂN PHẠM VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC 6 1.1. Nửa nhóm 6 1.2. Khái niệm ngôn ngữ 6 1.3. Văn phạm và ngôn ngữ sinh bởi văn phạm 11 1.4. Một số tính chất của ngôn ngữ 18 BÀI TẬP CHƯƠNG I 24 CHƯƠNG II: AUTOMATA HỮU HẠN VÀ NGÔN NGỮ CHÍNH QUY 26 2.1. Automata hữu hạn 26 2.2. Quan hệ giữa Automata hữu hạn và ngôn ngữ chính quy 34 2.3. Biểu thức chính quy 39 2.4. Cực tiểu hóa Automata hữu hạn 41 BÀI TẬP CHƯƠNG II 50 CHƯƠNG III: TỪ STURMIAN 52 3.1. Từ Sturmian 52 3.2. Từ cơ học, nhân tử của từ Sturmian 58 BÀI TẬP CHƯƠNG III 62 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 3 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài Tổ hợp là một nhánh của toán học liên quan ñến việc nghiên cứu cấu trúc rời rạc hữu hạn hay ñếm ñược của một tập hợp. Vấn ñề tổ hợp phát sinh trong nhiều lĩnh vực của toán học thuần túy ñặc biệt là trong ñại số, lý thuyết xác suất, cấu trúc liên kết và hình học. Tổ hợp cũng có nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa, khoa học máy tính, lý thuyết ergodic và vật lý thống kê. Toán học tổ hợp liên quan ñến cả khía cạnh giải quyết vấn ñề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, trong ñó “ðại số tổ hợp trên các từ” là một lĩnh vực khá mới mẻ, phát triển ñộc lập trong một số ngành của toán học như lý thuyết số, lý thuyết nhóm và xác suất… “Tổ hợp trên từ” xuất hiện thường xuyên trong các vấn ñề của khoa học máy tính lý thuyết, lý thuyết thiết bị tự ñộng, ñộng lực biểu tượng và ngôn ngữ hình thức. Cách ñây khoảng 30 năm, các vấn ñề về lý thuyết “Tổ hợp trên từ” vẫn chưa ñược nghiên cứu một cách kỹ càng hoặc thậm chí còn chưa ñược biết tới. Nội dung thống nhất của lý thuyết này chính thức xuất hiện lần ñầu tiên trong cuốn “Tổ hợp trên từ” của Lothaire vào năm 1983, kể từ ñó lĩnh vực này ngày càng phát triển nhanh chóng. “Tổ hợp trên từ” ñã nghiên cứu các vấn ñề xung quanh một chuỗi ký tự rút ra từ một bảng chữ cái cố ñịnh, ñây là một kết quả ñáng ngạc nhiên trong toán học và ngày càng có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các ngành khoa học khác, ñặc biệt là tin học. Các khái niệm về từ, ngôn ngữ, văn phạm và các phép toán xây dựng trên chúng hay những nghiên cứu về Automata, mối quan hệ giữa Automata và ngôn ngữ chính quy, từ Sturmian là một trong những kiến thức chung nhất về “ðại số tổ hợp trên các từ”. Bước ñầu tìm hiểu về những vấn ñề này giúp ta hình dung ñược rõ hơn một số mô hình, cấu trúc ñại số ñược xây dựng trên các từ và những ứng dụng của lý thuyết này trong các ngành khoa học có liên quan. Là một sinh viên theo học chuyên ngành toán, tôi nhận thức ñược sự cần thiết và tiềm năng phát triển của vấn ñề này trong tương lai không xa. Do ñó, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn ñề tài “Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ” làm ñề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp với mong muốn có ñược những hiểu biết chung nhất về ñại số tổ hợp trên từ ñồng thời hy vọng ñây có thể là tài liệu tham khảo bước ñầu ñưa sinh viên chuyên ngành toán tiếp cận với lĩnh vực mới mẻ này. Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 4 2. Mục ñích nghiên cứu “Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ” nhằm ñưa ra các khái niệm liên quan ñến ngôn ngữ hình thức, các phép toán ñược xây dựng trên các từ và tính chất của chúng. Từ ñó giúp ta phần nào hiểu ñược những ứng dụng của lý thuyết này trong các ngành khoa học có liên quan ñặc biệt là trong lĩnh vực công nghệ thông tin. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu các khái niệm về ngôn ngữ hình thức, các phép toán trên các mô hình, không gian hay cấu trúc ñại số xây dựng trên các từ và một số tính chất của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc giáo trình, tài liệu liên quan ñến lý thuyết ngôn ngữ hình thức, ñại số tổ hợp, ñại số tổ hợp trên từ, từ ñó tổng hợp, ñưa ra các khái niệm, tính chất cơ bản của ñối tượng ñược nghiên cứu - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết và hệ thống hóa các kiến thức về vấn ñề nghiên cứu một cách khoa học, ñầy ñủ và chính xác. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác ñể hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khoá luận. 5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu ðối tượng chính mà khóa luận nghiên cứu là những vấn ñề chung nhất về ñại số tổ hợp trên các từ mà cụ thể là: Văn phạm và ngôn ngữ hình thức, Automata, và từ Sturmian. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Khóa luận là tài liệu tham khảo phần nào trợ giúp cho sinh viên chuyên ngành toán muốn bước ñầu tìm hiểu về ñại số tổ hợp trên từ. Ý nghĩa thực tiễn: ðề tài giúp tôi bước ñầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, ñồng thời, giúp tôi hiểu những kiến thức cơ bản nhất về ñại số tổ hợp trên các từ. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài các phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận bao gồm 3 chương: Chương I: Văn phạm và ngôn ngữ hình thức 1.1. Nửa nhóm 1.2. Khái niệm ngôn ngữ Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 5 1.3. Văn phạm và ngôn ngữ sinh bởi văn phạm 1.4. Một số tính chất của ngôn ngữ Bài tập chương I Chương II: Automata hữu hạn và ngôn ngữ chính quy 2.1. Automata hữu hạn 2.2. Quan hệ giữa Automata hữu hạn và ngôn ngữ chính quy 2.3. Biểu thức chính quy 2.4. Cực tiểu hóa Automata hữu hạn Chương III: Từ Sturmian 3.1. Từ Sturmian 3.2. Từ cơ học, nhân tử của từ Sturmian Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 6 CHƯƠNG I: VĂN PHẠM VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC 1.1. Nửa nhóm 1.1.1. ðịnh nghĩa: Nửa nhóm là một tập hợp ñược trang bị một phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp. Ví dụ 1: Tập hợp các số hữu tỉ ℚ cùng với phép cộng thông thường làm thành một nửa nhóm. 1.1.2. ðịnh nghĩa: Cho X là một nửa nhóm, A là một tập con của X. A ñược gọi là nửa nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh trên X làm thành một nửa nhóm. Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên ℕ là một nửa nhóm con của tập các số hữu tỉ ℚ . 1.1.3. ðịnh nghĩa: Cho (X, .) và (Y, .) là hai nửa nhóm. Một ánh xạ f ñi từ nửa nhóm X ñến nửa nhóm Y : f X Y → thỏa mãn : ( ) ( ) ( ) , f uv f u f v u v X = ∀ ∈ ñược gọi là một cấu xạ. 1.1.4. ðịnh nghĩa : Cho (X, .) là một nửa nhóm, X ε ∈ ñược gọi là phần tử trung lập của X nếu : x X x x x ε ε ∀ ∈ = = . Ví dụ 3 : 0 là phần tử trung lập của nửa nhóm ( ℕ ,+) 1.1.5. ðịnh nghĩa : Một nửa nhóm tồn tại phần tử trung lập ñược gọi là vị nhóm. Phần tử trung lập ñó ñược gọi là phần tử ñơn vị của vị nhóm. 1.1.6. ðịnh nghĩa : X và Y là hai tập con của nửa nhóm S. Tích của X và Y là một tập hợp : { , } XY xy x X y Y = ∈ ∈ Khi ñ ó, t ậ p X + ñượ c ñị nh ngh ĩ a : 1 2 { 1, } n i X x x x n x X + = ≥ ∈ c ũ ng là n ử a nhóm con c ủ a X. N ế u S là m ộ t v ị nhóm v ớ i ph ầ n t ử ñơ n v ị ε thì * { } X X ε + = ∪ c ũ ng là m ộ t v ị nhóm v ớ i ph ầ n t ử ñơ n v ị ε . 1.2. Khái niệm ngôn ngữ C ả ngôn ng ữ l ậ p trình l ẫ n ngôn ng ữ t ự nhiên ñề u có th ể xem nh ư t ậ p các t ừ , t ứ c là t ậ p các xâu h ữ u h ạ n các ph ầ n t ử c ủ a m ộ t b ộ ch ữ cái c ơ s ở nào ñ ó. Khái ni ệ m ngôn ng ữ ñượ c ñư a vào trong ch ươ ng này r ấ t t ổ ng quát, bao hàm c ả ngôn ng ữ t ự nhiên l ẫ n ngôn ng ữ l ậ p trình, và c ả nh ữ ng ngôn ng ữ vô ngh ĩ a mà ta có th ể ngh ĩ ñế n. V ề m ặ t truy ề n th ố ng, lý thuy ế t ngôn ng ữ hình th ứ c liên quan Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 7 ñến các ñặc tả cú pháp của ngôn ngữ nhiều hơn là ñến những vấn ñề ngữ nghĩa. Ở ñây, ta xem các bảng chữ cái, các từ, các ngôn ngữ, văn phạm… như là những ñối tượng của ñại số tổ hợp, việc xây dựng trên chúng các phép toán và nghiên cứu tính chất của chúng có tác dụng ñặc biệt quan trọng trong lĩnh vực công nghệ thông tin. 1.2.1. ðịnh nghĩa: Một bảng chữ cái là một tập hữu hạn khác rỗng. Các phần tử của một bảng chữ cái ∑ ñược gọi là các chữ cái hay các kí hiệu. Ví dụ 4: Dưới ñây là các bảng chữ cái: { , , , , } a b c z ∑ = { } , , , , , , , , , , , , , , , U α β χ δ ε ϕ γ η λ µ π σ ω ξ ψ ζ = V= {0, 1} 1.2.2. ðịnh nghĩa: Một từ trên bảng chữ cái ∑ là một dãy (xâu) hữu hạn gồm một số lớn hơn hay bằng không các chữ của ∑ , trong ñó một chữ có thể xuất hiện vài lần. Từ không có chữ nào gọi là từ rỗng (xâu rỗng) và ñược ký hiệu là ε . Hai từ 1 2 n a a a α = và 1 2 m b b b β = là bằng nhau, kí hiệu α β = , nếu n = m và 1,2, , i i a b i n = ∀ = . Tập mọi từ (tương ứng từ khác rỗng) trên bảng chữ cái ∑ ñược ký hiệu là * ∑ (tương ứng là + ∑ ). Các tập * ∑ và + ∑ là vô hạn ñối với bất kỳ ∑ nào. Về mặt ñại số, * ∑ là một vị nhóm tự do với ñơn vị là từ rỗng ε sinh bởi ∑ và + ∑ là một nửa nhóm tự do sinh bởi ∑ . ðối với các từ * * , ' ' α α ∈∑ ∈ ∑ , việc ñặt α và ' α cạnh nhau ñể có từ mới ' ( ') αα ∈ ∑∪∑ ñược gọi là phép ghép α với ' α . Từ rỗng là phần tử ñơn vị ñối với phép ghép: ωε εω ω ω = = ∀ ∈∑ . Vì phép ghép có tính kết hợp, nghĩa là với mọi từ , , α β γ ta có ( ) ( ) αβ γ α βγ = , nên ký hiệu n ω , với n là số tự nhiên, ñược dùng theo nghĩa quen thuộc 1 0 1 . 1 n n khin khin khin ε ω ω ω ω −  =  = =   >  Ví dụ 5: ε , 0, 01, 101, 1010, 110011 là các từ trên bảng chữ cái V={0,1}. daisotohoptrentu là một từ trên bảng chữ cái ∑ ={a, b, c,…, z}. Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 8 Trên bảng chữ cái ∑ ={a, b, c,…, z}, nếu α là từ daiso và β là từ tohop thì αβ là từ daisotohop. 1.2.3. ðịnh nghĩa: ðộ dài của một từ ω , kí hiệu là ω hay d( ω ), là số các chữ cái có mặt trong ω . Theo ñịnh nghĩa, 0 ε = Hàm ñộ dài có một số tính chất của lôgarit. Với mọi từ α , β và số tự nhiên n: αβ α β = + ; n n α α = . Gương (hay từ ngược, từ ñảo) của từ ω có ñược bằng cách viết các chữ cái của ω theo chiều ngược lại. Nếu 1 2 n a a a ω = là một từ trên bảng chữ cái ∑ thì từ ngược của ω , kí hiệu là R ω là 2 1 R n a a a ω = . ω ñượ c g ọ i là từ không ñảo n ế u ω = R ω T ừ α ñượ c g ọ i là từ con hay m ộ t nhân tử c ủ a t ừ β n ế u có các t ừ u và v sao cho u v β α = . Ngoài ra, n ế u u ε = (t ươ ng ứ ng v ε = ) thì α ñượ c g ọ i là từ con ñầu hay tiền tố (t ươ ng ứ ng từ con cuối hay hậu tố ) c ủ a β . S ố nguyên 1 p ≥ ñượ c g ọ i là chu kì c ủ a t ừ 1 2 ( ) n i a a a a ω = ∈∑ n ế u p là s ố nguyên nh ỏ nh ấ t sao cho , 1,2, i i p a a i n p + = ∀ = − . Khi ñ ó ω ñượ c g ọ i là từ có chu kì . N ế u t ồ n t ạ i hai nhân t ử u, v c ủ a ω , t ồ n t ạ i s ố nguyên d ươ ng k sao cho m uv ω = thì ω ñượ c g ọ i là từ có chu kì cuối . Ví dụ 6: Từ ω = 010111001 trên bảng chữ cái {0,1} có ñộ dài là 9,trong ñó 0101 là tiền tố và 11001 là hậu tố của ω . Tập các từ con của từ ω ñược ký hiệu là ( ) F ω , tập các từ con có ñộ dài n của ω ñược ký hiệu là ( ) n F ω 1.2.4. Mệnh ñề: Nếu ∑ là bảng chữ cái thì * ∑ là tập vô hạn ñếm ñược. Chứng minh: Do mỗi số tự nhiên n ñều tồn tại một từ trên * ∑ có ñộ dài n nên * ∑ là một tập vô hạn. Giả sử { } 1 2 , , , n a a a ∑ = . Xét ánh xạ f từ * ∑ vào tập hợp ℕ các số tự nhiên xác ñịnh bởi * ( ) 0; ( ) ; ( ) ( 1). ( ) i i f f a i f a n f i ε α α α = = = + + ∀ ∈∑ 0 1 i i ik a a a α = , 0 1 j j jh b b b β = và ( ) ( ) f f α β = . Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 9 Khi ñó 1 0 1 1 1 0 1 1 ( 1) . ( 1) . ( 1). ( 1) . ( 1) . ( 1). k k k k h h h h n i n i n i i n j n j n j j − − − − + + + + + + + = + + + + + + + Trong ñó 2 vế là khai triển của một số nguyên theo cơ số n+1. Do ñó k = h và u u i j = với 1 u k ≤ ≤ hay α β = . Vì vậy f là một ñơn ánh. Từ ñó suy ra * ∑ là một tập ñếm ñược. 1.2.5. ðịnh nghĩa: Mỗi tập con của * ∑ ñược gọi là một ngôn ngữ hình thức hay ngắn gọn hơn là ngôn ngữ trên ∑ . ðặc biệt, tập ∅ là một ngôn ngữ trên ∑ , gọi là ngôn ngữ rỗng; tập { } ε cũng là một ngôn ngữ trên ∑ , ñây là ngôn ngữ chỉ chứa từ rỗng và * ∑ là ngôn ngữ gồm tất cả các từ trên ∑ . Ví dụ 7: L 1 ={ ε , a, b, ab, aab, aabb, abbb} L 2 ={a n b n n N ∈ } là các ngôn ngữ trên bảng chữ cái ∑ ={a,b} trong ñó, L 1 là ngôn ngữ hữu hạn, L 2 là ngôn ngữ vô hạn. Các họ ngôn ngữ cụ thể thường ñược ñặc trưng một cách tiện lợi qua các phép toán xác ñịnh trên ngôn ngữ, họ ñó gồm các ngôn ngữ nhận ñược bằng việc tổ hợp từ một số ngôn ngữ cho trước bởi một số phép toán nào ñó. Vì ngôn ngữ là tập hợp nên ta có các phép toán: phép giao, phép hợp, phép hiệu, phép lấy phần bù. Chẳng hạn, với L 1 và L 2 cho ở trên thì ta có các ngôn ngữ mới sau cũng trên bảng chữ cái ∑ : * 1 2 1 2 1 2 1 ; ; \ ; \ L L L L L L L ∩ ∪ ∑ . Ngoài ra, ta còn có các phép toán khác nh ư : phép ghép, phép c ấ u x ạ ñượ c ñị nh ngh ĩ a d ướ i ñ ây. 1.2.6. ðịnh nghĩa: Cho hai ngôn ngữ 1 L trên bảng 1 ∑ và 2 L trên bảng 2 ∑ . Ghép hay tích của hai ngôn ngữ 1 L và 2 L là ngôn ngữ trên bảng chữ 1 2 ∑ ∪∑ , kí hiệu là 1 L 2 L , ñược xác ñịnh bởi: L 1 L 2 = 1 2 { , } L L αβ α β ∈ ∈ Dễ dàng thấy rằng, phép ghép có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi ngôn ngữ L 1 , L 2 , L 3 ta luôn có: (L 1 L 2 ) L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) Ngoài ra, với mọi ngôn ngữ L, ta có: ; { } { } L L L L L ε ε ∅ = ∅ = ∅ = = và phép ghép có tính chất phân phối ñối với phép hợp, nghĩa là Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 10 L 1 (L 2 ∪ L 3 )= L 1 L 2 ∪ L 1 L 3 ; (L 2 ∪ L 3 )L 1 = L 2 L 1 ∪ L 3 L 1 Vì phép ghép ngôn ngữ có tính chất kết hợp nên kí hiệu L n ñược dùng cho mọi ngôn ngữ L và mọi số tự nhiên n theo nghĩa quen thuộc như sau: 1 { } 0 1 . 1 n n khi n L L khi n L L khi n ε −  =  = =   >  Lặp hay bao ñóng ghép của ngôn ngữ L, kí hiệu là L * , ñược ñịnh nghĩa là hợp của mọi lũy thừa của L: * 0 n n L L ∞ = = ∪ Lặp không - ε hay bao ñóng ghép không - ε của L, kí hiệu là L + , ñược ñịnh nghĩa là hợp của mọi lũy thừa dương của L: 1 n n L L ∞ + = = ∪ Ví dụ 8: 1) Xét các ngôn ngữ trên bảng chữ cái {0,1} ∑ = : { } { } { } { } { } { } { } { } 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 0,01 , 01,10 , 0 010,100 ; ( ) 0,01,010,100 0,01,10 ; 0,01 ;( )( ) 00,001,010,0101,100,101 0 L L L L L L L L L L L L L L L L = = = = ∪ = ∪ = ∪ = ∪ ∪ = Do ñó 1 2 3 1 2 1 3 ( ) ( )( ) L L L L L L L ∪ ≠ ∪ ∪ tức là phép hợp không có tính chất phân phối ñối với phép ghép. { } { } { } 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 ; ( ) 001,010,0101,0110 ; 00,010 ;( ) ( ) 010 L L L L L L L L L L L L L ∩ = ∅ ∩ = ∅ = = ∩ = Do ñó 1 2 3 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) L L L L L L L ∩ ≠ ∩ , tức là phép ghép không có tính chất phân phối ñối với phép giao. { } 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 ( ) ; {01}; {0}; ( )( ) 010 L L L L L L L L L L L ∩ = ∅ ∩ = ∩ = ∩ ∩ = Do ñó 1 2 3 1 2 1 3 ( ) ( )( ) L L L L L L L ∩ ≠ ∩ ∩ , tức là phép giao không có tính chất phân phối ñối với phép ghép. 2) Xét ngôn ngữ L={0, 1} trên bảng chữ cái {0,1} ∑ = : Ta có: { } 2 00,01,10,11 L = - Tập hợp tất cả các xâu nhị phân có ñộ dài bằng 2. [...]... cho hay không 11 Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t Trong lý thuy t văn ph m, ngư i ta ch ng minh ñư c r ng ba cách th c trên là tương ñương nhau hay văn ph m làm vi c theo các cách trên là tương ñương nhau Vì v y, ñây ta quan tâm ñ n cách th nh t, t c là xét văn ph m như m t “thi t b t ñ ng” sinh ra các t Vì l ñó, ngư i ta còn g i các “thi t b t ñ ng” ñó là văn ph m sinh 1.3.1... có th xen c các quy t c 2 và 3, cu i cùng là quy t c 4, ta có: S − 0 A = 0ω A − 0ω 0 1.3.10 ð nh nghĩa: T các ñ nh nghĩa trên, ta th y l p văn ph m t ng quát là 16 Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t r ng nh t, nó ch a ñ ng các văn ph m c m ng c nh, l p văn ph m c m ng c nh ch a các văn ph m phi ng c nh và l p văn ph m phi ng c nh ch a các văn ph m chính quy H th ng các l p văn... Do ñó văn ph m sinh ra ngôn ng L* là 22 Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t G’’= Trong ñó P '' = {S → 0, S ' → 0, S ' → 0S , S → 0 A, S ' → 0 A, A → 1S , A → 1B, B → 1, B → 1S , B → 1C , C → 1, C → 1S , S ' → ε } 23 Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t BÀI T P CHƯƠNG I 1 Tìm các ngôn ng L1, L2, L3 sao cho : a) ( L1L2 )* ≠ L1*... không ch a S’ nên các suy d n tr c ti p trong α G ' ω ch s d ng các quy t c c a P V y ta có S G ω hay ω ∈ L(G ) 1.3.6 ð nh nghĩa : Văn ph m G =< ∑, ∆, S , P > mà không có m t ràng bu c nào trên các quy t c c a nó ñư c g i là văn ph m t ng quát hay văn ph m nhóm 0 Như v y, G là văn ph m nhóm 0 khi và ch khi các quy t c c a nó có d ng 14 Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t * α Aβ →... t trong các cách th c sau: Cách 1: ð i v i m i t thu c ngôn ng ñã cho, ta có th ch n m t quy cách ho t ñ ng c a “thi t b t ñ ng” ñ sau m t s bư c làm vi c h u h n, nó d ng và sinh ra chính t ñó Cách 2: “Thi t b t ñ ng” có kh năng l n lư t sinh ra t t c các t trong ngôn ng ñã cho Cách 3: V i m i t ω cho trư c, “thi t b t ñ ng” có th cho bi t t ñó có thu c ngôn ng ñã cho hay không 11 Bư c ñ u tìm hi u...Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t L3 = {000,001,010,011,100,101,110,111} - T p h p t t c các xâu nh phân có ñ dài b ng 3 Tương t : Ln là t p h p t t c các xâu nh phân có ñ dài b ng n V y L* là t p h p t t c các xâu nh phân 1.2.7 ð nh nghĩa: Cho hai b ng ch cái ∑ và ∑ ' Ánh x f: ∑*  '* th a →∑... c) L = {ω ∈ ∑* trong ω ch a ñúng m t ch s 0} d) L = {ω ∈ ∑* ω không k t thúc b ng hai ch s 1} 6 Hãy tìm văn ph m phi ng c nh sinh ra ngôn ng sau: L = {a nb m n ≥ 0, m ≥ 0, n ≠ m} 7 Hãy xây d ng các văn ph m chính quy sinh ra các ngôn ng dư i ñây: 24 Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t a) L = {(baa ) m ( aab) n n ≥ 1, m ≥ 1} b) L = {1}*{010}*(0)* c) L = {010}* ∪ {1100}* d) L =... u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t - δ : Q × ∑  P(Q) , (P(Q) là t p h p các t p con c a Q) g i là ánh x → chuy n; - q0 ∈ Q ñư c g i là tr ng thái ñ u; - F ⊂ Q , ñư c g i là t p các tr ng thái k t thúc Trong trư ng h p δ (q, a) ≠ ∅, ∀q ∈ Q, ∀a ∈ ∑ ta nói A là ñ y ñ N u δ (q, a) = { p1 , p2 , , pk } thì ta nói Automata A tr ng thái q g p kí hi u a thì có th chuy n ñ n m t trong các. .. y D dàng th y r ng các c u x fi fj = fj fi có tính ch t giao hoán: f i ∀i, j ∈ N và f 26−i f i = f 0 ∀i ≥ 1 1.3 Văn ph m và ngôn ng sinh b i văn ph m Ta có th hình dung m t văn ph m như m t “thi t b t ñ ng” mà nó có kh năng sinh ra m t t p h p các t trên m t b ng ch cái cho trư c M i t ñư c sinh ra sau m t s h u h n bư c th c hi n các quy t c c a văn ph m Vi c xác ñ nh m t ngôn ng trên b ng ch cái cho... thì s có m t cung t q t i p ñư c gán nhãn a ð nh vào c a ñ th chuy n là ñ nh ng v i tr ng thái ban ñ u q0 Các ñ nh ñư c khoanh b i các vòng tròn, t i ñ nh q0 có mũi tên ñi vào, riêng v i ñ nh tr ng thái k t thúc ñư c khoanh b i vòng tròn ñ m 27 Bư c ñ u tìm hi u m t s n i dung v ñ i s t h p trên các t ð mô t quá trình ñoán nh n m t t , ngư i ta ñưa vào khái ni m ánh x m r ng δ ' t t p con c a Q × ∑* . tài Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ làm ñề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp với mong muốn có ñược những hiểu biết chung nhất về ñại số tổ hợp trên từ ñồng. 110011 là các từ trên bảng chữ cái V={0,1}. daisotohoptrentu là một từ trên bảng chữ cái ∑ ={a, b, c,…, z}. Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 8 Trên bảng chữ. quan Bước ñầu tìm hiểu một số nội dung về ñại số tổ hợp trên các từ 7 ñến các ñặc tả cú pháp của ngôn ngữ nhiều hơn là ñến những vấn ñề ngữ nghĩa. Ở ñây, ta xem các bảng chữ cái, các từ, các