Bước đầu tìm hiểu về không gian phức Hyperbolic

1 MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức, được S.Kobayashi đưa ra đầu những năm 70 là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số kết quả sâu sắc của lý thuyết này đã được chứng minh bởi S.Kobayashi, M.Kwack, J.Noguchi… Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích toán học đó là giải tích phức Hyperbolic. Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic đã tìm được những mối liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức và bài toán về hữu hạn của các tập ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó của các không gian phức. Lý thuyết các không gian phức Hyperbolic đã được nhiều thạc sĩ cũng như sinh viên nghiên cứu, như thạc sĩ Nguyễn Thị Bích Hằng đã nghiên cứu về “Họ S- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Hyperbolic của các không gian phức”. Thạc sĩ Tô Hải Bình đã nghiên cứu về “Một số lý thuyết thác triển lý thuyết hàm hình học” 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Trong quá trình học tập ở trường phổ thông và những năm đầu ở đại học chúng em chỉ biết đến hai loại hình học. Đó là hình học Euclide và hình học giải tích, các đối tượng được đề cập đến là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách, diện tích, Nhưng khi hoàn thành chương trình năm thứ hai của đại học em đã biết kiến thức ẩn chứa trong hình học vô cùng phong phú, mỗi một loại hình học có một nền tảng và cái hay riêng của nó, vì hình học được xây dựng từ nhiều hướng khác nhau như hình học đại số, hình học tôpô, hình học lồi, 2 Để tiếp cận các khái niệm, các tính chất của không gian phức Hyperbolic một trong những kiến thức cơ sở trong hình học tôpô chúng em đã chọn đề tài “Bước đầu tìm hiểu về không gian phức Hyperbolic ” làm đề tài nghiên cứu cho mình. 3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI 3.1. Mục tiêu của đề tài Hệ thống các kiến thức cơ sở về không gian phức, không gian tôpô, đa tạp phức,… Chứng minh chi tiết một số tính chất, tiêu chuẩn nhận biết không gian phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy. 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản, một số khái niệm cơ bản và tiêu chuẩn nhận biết không gian phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy. 4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4.1 Đối tượng nghiên cứu Không gian phức Hyperbolic. 4.2 Phạm vi nghiên cứu Một số tính chất và tiêu chuẩn để nhận biết không gian phức Hyperbolic. 5. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nội dung chính: Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 44 trang, bao gồm Chương 1. Kiến thức cơ sở 1.1. Không gian metric 1.2. Không gian phức 1.3. Không gian tôpô 1.4. Ánh xạ chỉnh hình và hàm phân hình 1.5. Đa tạp phức 1.6. Cung tham số 1.7. Tôpô mở compact và compact hóa một điểm 1.8. Hàm độ dài 3 1.9. Định lý thác triển Riemann 1.10. Định lí Ascoli 1.11. Phủ chỉnh hình 1.12. Không gian phân thớ 1.13. Hàm đa điều hòa dưới 1.14. Lân cận đa đĩa 1.15. Phân hoạch Chương 2. Không gian phức Hyperbolic 2.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 2.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi 2.3 Không gian phức Hyperbolic 2.4. Một số tiêu chuẩn nhận biết tính Hyperbolic của không gian phức 2.5. Không gian phức Hyperbolic đầy 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc các tài liệu liên quan đến không gian phức Hyperbolic để hiểu được và biết được vai trò của không gian phức Hyperbolic. 2. Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến không gian phức Hyperbolic một cách đầy đủ và khoa học. 3. Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: tham khảo trực tiếp ý kiến từ thầy hướng dẫn và một số thầy cô trong chuyên ngành giải tích. 4 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa không gian metric Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ : d X X R × → thỏa mãn: 1. d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y X (tính phân biệt dương) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y 2. d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y X (tính đối xứng) 3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z X (bất đẳng thức tam giác) Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X và cặp (X,d) được gọi là một không gian mêtric. Không gian metric (X,d) thường được viết là X với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn. Ví dụ: Hàm số ( ) , x y x y ρ = − là m ộ t metric trên t ậ p s ố th ự c R , và g ọ i là metric thông th ườ ng trên R . T ừ nay ta g ọ i t ậ p s ố th ự c R v ớ i metric thông th ườ ng là đườ ng th ẳ ng th ự c. 1.1.2. Tập compact T ậ p con A c ủ a m ộ t không gian metric X g ọ i là m ộ t t ậ p compact n ế u m ộ t dãy b ấ t k ỳ { } n x nh ữ ng ph ầ n t ử c ủ a A đề u có m ộ t dãy con { } k n x h ộ i t ụ đế n m ộ t ph ầ n t ử c ủ a A . T ậ p con c ủ a m ộ t t ậ p compact g ọ i là t ậ p compact t ươ ng đố i. 1.1.3. Các tính chất i) T ậ p compact là m ộ t t ậ p đ óng. ii) T ậ p con đ óng c ủ a t ậ p compact là t ậ p compact. 5 iii) T ậ p A là compact t ươ ng đố i khi và ch ỉ khi bao đ óng A c ủ a nó là m ộ t t ậ p compact. 1.1.4. Không gian đầy a) Định nghĩa dãy Cauchy Cho không gian metric ( ) , X d . Dãy { } n n x X ⊂ đượ c g ọ i là dãy cauchy (dãy c ơ b ả n) n ế u ( ) , lim , 0. m n n m d x x →∞ = Vậy { } n n x là dãy Cauchy ( ) 0, 0: , , . m n N m n N d x x ε ε ⇔ ∀ > ∃ > ∀ > ⇒ < Nhận xét Nếu { } n n x là dãy hội tụ thì { } n n x là dãy Cauchy. Điều ngược lại chưa chắc đã đúng. Ví dụ: Không gian [ ] 1 0,1 L là không gian các hàm khả tích Lebesgue trên đoạn [ ] 0,1 vớ i chu ẩ n 1 . . Ta có [ ] 0,1 C là t ậ p trù m ậ t trong [ ] 1 0,1 L . Nói cách khác [ ] 1 0,1 L là không gian có tiêu chu ẩ n Cauchy, theo chu ẩ n 1 . , bé nh ấ t ch ứ a [ ] 0,1 C . Vi ệ c ch ứ ng minh [ ] 1 0,1 L có tiêu chu ẩ n Cauchy h ơ i khác so v ớ i ch ứ ng minh thông th ườ ng vì: Dãy Cauchy trong [ ] 1 0,1 L ch ư a ch ắ c là dãy h ộ i t ụ . b) Định nghĩa không gian đầy Không gian metric (X,d) đượ c g ọ i là không gian metric đầ y n ế u m ọ i dãy Cauchy trong X đề u là dãy h ộ i t ụ . V ậ y X đầ y { } n n x ⇔ ∀ là dãy Cauchy { } , :lim . n n n x x X x X x x →∞ ⊂ ∃ ∈ = 6 Ví d ụ : Trong gi ả i tích c ổ đ i ể n ta đ ã bi ế t đườ ng th ẳ ng th ự c R là m ộ t không gian đầ y. Vì s ự h ộ i t ụ trong không gian Euclid k R là s ự h ộ i t ụ theo t ọ a độ nên t ừ tính đầ y c ủ a R d ễ dàng suy ra k R là không gian đầ y. 1.1.5. Ánh xạ liên tục a) Định nghĩa 1.1 Cho ( ) , X X d và dãy ( ) , Y Y d là hai không gian metric và ánh x ạ : . f X Y → f đượ c g ọ i là liên t ụ c t ạ i 0 x X ∈ n ế u v ớ i m ỗ i 0, 0 ε δ > ∃ > sao cho x X ∀ ∈ mà 0X d (x,x ) < δ thì ( ) ( ) ( ) 0 , . Y d f x f x ε < f đượ c g ọ i là liên t ụ c trên X n ế u f liên t ụ c t ạ i m ọ i x thu ộ c X. b) Định nghĩa 1.2 Ánh x ạ : X f Y → liên t ụ c t ạ i 0 x X ∈ khi và ch ỉ khi v ớ i m ọ i lân c ậ n ( ) ( ) 0 , Y S f x ε c ủ a ( ) 0 f x trong Y luôn t ồ n t ạ i m ộ t lân c ậ n ( ) 0 , X S x δ c ủ a 0 x trong X để ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , . X Y f S x S f x δ ε ⊂ c) Hội tụ đều Cho { } n f là m ộ t dãy hàm s ố liên t ụ c trên không gian metric X sao cho { } n f h ộ i t ụ đề u trên X v ề hàm s ố f, ngh ĩ a là 0, ε ∀ > có 0 1 n > sao cho ( ) ( ) 0 , n f x f x n n x X ε − < ∀ ≥ ∀ ∈ . d) Định lý 1.1 Cho hai không gian metric ( ) , X X d , ( ) , Y Y d và ánh x ạ : . f X Y → Khi đ ó f liên t ụ c t ạ i { } 0 0 , n n n x X x X x x ∈ ⇔ ∀ ⊂ → thì ( ) ( ) 0 . n f x f x → 7 e) Định lý 1.2 Cho ánh x ạ : X f Y → . Khi đ ó ba đ i ề u ki ệ n sau t ươ ng đươ ng: i) f liên t ụ c trên X. ii) Ngh ị ch ả nh c ủ a m ỗ i t ậ p đ óng trong Y là m ộ t t ậ p đ óng trong X. iii) Ngh ị ch ả nh c ủ a m ỗ i t ậ p m ở trong Y là m ộ t t ậ p m ở trong X. 1.1.6. Đồng liên tục Định nghĩa 1.3 Gi ả s ử X là t ậ p con compact c ủ a m ộ t không gian metric và Y là không gian metric đầ y. L ( X, Y ) là t ậ p các ánh x ạ liên t ụ c t ừ X vào Y v ớ i chu ẩ n sup đượ c g ọ i là đồ ng liên t ụ c t ạ i m ộ t đ i ể m 0 x X ∈ n ế u v ớ i m ọ i 0 ε > , t ồ n t ạ i 0 δ > sao cho v ớ i m ọ i x X ∈ mà ( ) 0 , , d x x δ < thì: ( ) ( ) ( ) 0 , , . d f x f x f F ε < ∀ ∈ H ọ F đượ c g ọ i là đồ ng liên t ụ c trên X n ế u F là đồ ng liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m . x X ∈ Ví d ụ : M ộ t t ậ p con X c ủ a L ( X, Y ) g ồ m h ữ u h ạ n ph ầ n t ử luôn là đồ ng liên t ụ c. Thêm vào đ ó n ế u các ph ầ n t ử c ủ a X là liên t ụ c đề u thì X là đồ ng liên t ụ c đề u. 1.2. Không gian phức 1.2.1. Định nghĩa 1.4 Gi ả s ử Z là đ a t ạ p ph ứ c. M ộ t không gian ph ứ c đ óng X là m ộ t t ậ p con đ óng c ủ a Z mà v ề m ặ t đị a ph ươ ng đượ c xác đị nh b ở i h ữ u h ạ n các ph ươ ng trình gi ả i tích. T ứ c là, v ớ i x o ∈ X t ồ n t ạ i lân c ậ n m ở V c ủ a x trong Z và h ữ u h ạ n các hàm ch ỉ nh hình φ 1 , φ 2 , , φ m trên V sao cho: X ∩ V= { x ∈ V | φ i (x) = 0,i = 1, ,m }. 8 Gi ả s ử X là m ộ t không gian con ph ứ c trong đ a t ạ p ph ứ c Z. Hàm f : X → C đượ c g ọ i là ch ỉ nh hình n ế u v ớ i m ỗ i đ i ể m x ∈ X t ồ n t ạ i m ộ t lân c ậ n U(x) ⊂ Z và m ộ t hàm ch ỉ nh hình trên U sao cho:  f | U ∩ X = f | U ∩ X. Gi ả s ử f : X → Y là ánh x ạ gi ữ a hai không gian ph ứ c X và Y. f đượ c g ọ i là ch ỉ nh hình n ế u v ớ i m ỗ i hàm ch ỉ nh hình g trên m ộ t t ậ p con m ở V c ủ a Y , hàm h ợ p g  f là hàm ch ỉ nh hình trên f -1 ( V ) Kí hi ệ u Hol ( X,Y ) là t ậ p các ánh x ạ ch ỉ nh hình t ừ X vào Y đượ c trang b ị tôpô compact m ở . K ế t qu ả c ơ b ả n sau đượ c ch ứ ng minh trong [ G-R ]: Gi ả s ử { f n : X → Y } là dãy các ánh x ạ ch ỉ nh hình gi ữ a các không gian ph ứ c X,Y. N ế u { f n } h ộ i t ụ đề u t ớ i f trong Hol ( X,Y ) thì f là ánh x ạ ch ỉ nh hình. Các khái ni ệ m hàm độ dài, kho ả ng cách sinh b ở i hàm độ dài trong không gian ph ứ c X đượ c đị nh ngh ĩ a t ươ ng t ự nh ư đố i v ớ i đ a t ạ p. 1.2.2. Điểm chính quy và điểm kỳ dị Gi ả s ử X là không gian ph ứ c . M ộ t đ i ể m a ∈ X đượ c g ọ i là đ i ể m chính quy c ủ a X n ế u a có m ộ t lân c ậ n U trong Z sao cho U ∩ X là đ a t ạ p ph ứ c. T ậ p các đ i ể m chính quy c ủ a X đượ c kí hi ệ u là X reg . M ộ t đ i ể m a ∈ X đượ c g ọ i là đ i ể m k ỳ d ị c ủ a X n ế u nó không là đ i ể m chính quy. T ậ p các đ i ể m k ỳ d ị c ủ a X đượ c kí hi ệ u là X sin . Định lý 1.3 Trong không gian ph ứ c X t ậ p các đ i ể m chính quy X reg là m ộ t đ a t ạ p ph ứ c m ở và t ậ p các đ i ể m k ỳ d ị X sin là m ộ t không gian ph ứ c v ớ i IntX sin = ∅ . 1.2.3. Định lý Hironaka về giải kỳ dị Gi ả s ử X là không gian ph ứ c. Khi đ ó, v ớ i m ọ i x ∈ X t ồ n t ạ i lân c ậ n m ở U ch ứ a x , t ồ n t ạ i đ a t ạ p gi ả i tích M và ánh x ạ ch ỉ nh hình π : M → U lên U sao cho: i) π là ánh x ạ riêng; ii) Ngoài t ậ p h ợ p các đ i ể m k ỳ d ị S c ủ a X trong U thì π : M ∖ π -1 (S) → U ∖ S 9 là ánh x ạ song ch ỉ nh hình. 1.2.4. Tập con giải tích T ậ p A D ⊂ , v ớ i D là mi ề n gi ả i tích. Khi đ ó A đượ c g ọ i là t ậ p con gi ả i tích. 1.2.5. Hol(M,N) Hol(M,N) là không gian các ánh x ạ ch ỉ nh hình t ừ không gian ph ứ c M vào không gian ph ứ c N đượ c trang b ị tôpô compact – m ở . Hay Hol(M,N) không gian tôpô compact t ươ ng đố i. 1.2.6. Zero cấp, cực cấp N ế u t ạ i a , hàm ( ) f z th ỏ a đ i ề u ki ệ n: ( ) ( ) ( ) ' 1 0 m f a f a f a − = = = và ( ) 0 m f a ≠ thì ta nói ( ) f z có m ộ t zero c ấ p m t ạ i a , hay a là zero c ấ p m . Khi đ ó ( ) f z có th ể vi ế t d ướ i d ạ ng ( ) ( ) ( ) m f z z a z ϕ = − ,v ớ i ( ) 0; a m ϕ ≠ ∈ ¥. N ế u ( ) ( ) ( ) m f z z a z ϕ − = − v ớ i ( ) a ϕ 0 ≠ , thì z a = g ọ i là c ự c c ấ p m c ủ a ( ) f z . 1.2.7. Nguyên lý Acgumen N ế u ( ) f z gi ả i tích trong và trên m ộ t đườ ng cong kín C ngo ạ i tr ừ t ạ i m ộ t s ố h ữ u h ạ n c ự c, n ế u ( ) f z không có zero nào n ằ m trong C và n ế u Γ là qu ỹ tích c ủ a w= ( ) f z thì s ố l ầ n Γ qu ẩ n quanh O trong m ặ t ph ẳ ng w đượ c cho b ở i: ( ) ( ) ( ) ' 1 1 ln 2 2 C C f z k dz d f z N P i f z i π π = = = − ∫ ∫ 10 trong đ ó N là s ố các zero c ấ p và P là s ố các c ự c c ấ p c ủ a ( ) f z trong C tính c ả độ b ộ i. 1.3. Không gian tôpô 1.3.1. Định nghĩa 1.5 Cho m ộ t t ậ p h ợ p . X ≠ ∅ H ọ τ các t ậ p h ợ p con nào đ ó c ủ a X đượ c g ọ i là m ộ t tôpô trên X n ế u i) , , X τ τ ∅∈ ∈ ii) { } , I I G G α α α α τ τ ∈ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ∪ iii) 1 2 1 2 , . G G G G τ τ ∀ ∈ ⇒ ∩ ∈ t ậ p h ợ p X cùng v ớ i tôpô trên X đượ c g ọ i là m ộ t không gian tôpô. Kí hi ệ u ( ) , . X τ Ví d ụ : kí hi ệ u ( ) P X là t ậ p t ấ t c ả các t ậ p con c ủ a X. Khi đ ó ( ) P X τ = là m ộ t tôpô trên X , g ọ i là tôpô r ờ i r ạ c trên X. 1.3.2. Không gian tôpô con Cho ( ) , X X τ là m ộ t không gian tôpô, . Y X ⊂ Khi đ ó h ọ { } , X X G Y G τ τ = ∩ ∈ là m ộ t tôpô trên Y . ( ) , Y X τ đượ c g ọ i là không gian tôpô con c ủ a không gian tôpô ( ) , X X τ . Tôpô Y τ đượ c g ọ i là tôpô c ả m sinh trên Y b ở i tôpô X τ . 1.3.3. Phủ mở H ọ U các t ậ p h ợ p nào đ ó là m ộ t cái ph ủ c ủ a t ậ p B n ế u h ọ t ấ t c ả các t ậ p thu ộ c U ch ứ a B. [...]... số tính chất của không gian phức Hyperbolic a) Nếu X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gian Hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian Hyperbolic b) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y là Hyperbolic thì X cũng là Hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của một không gian Hyperbolic là Hyperbolic c) Ví dụ - Đĩa Dr và đa đĩa Drm là Hyperbolic - Một... Vậy định lý được chứng minh 2.3 Không gian phức Hyperbolic 2.3.1 Định nghĩa 2.2 Không gian phức X được gọi là không gian Hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X, tức là d X ( p, q ) = 0 ⇔ p = q ∀p, q ∈ X Nhận xét: Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình ta có tính Hyperbolic của không gian phức là một bất biến song chỉnh... là các tập mở U thì là một phủ mở của B 1.3.4 Không gian compact a) Định nghĩa 1.6 Không gian tôpô ( X ,τ ) được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn tại một phủ con hữu hạn Ta có: ( X ,τ ) là không gian compact ⇔ ∀{Gα }α∈I ∈τ , ∪ Gα ⊃ X ⇒ ∃U i ( i = 1,2, n ) : ∃U i ⊃ X α ∈I b) Không gian compact địa phương Không gian tôpô X là không gian compact địa phương nếu với mỗi x thuộc X... U 1.7.2 Compact hóa một điểm Giả sử X là một không gian tôpô không compact Cặp ( Y, ϕ ), trong đó Y là một không gian compact, ϕ : X → Y là một phép nhúng đồng phôi X vào Y sao cho ϕ ( X ) trù mật trong Y, gọi là một compact hóa của X Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của không gian compact Giả sử Y là một không gian tôpô không compact và ∞ là một điểm không thuộc Y Đặt Y + = Y ∪ {∞} Ta trang bị cho... Hyperbolic c) Ví dụ - Đĩa Dr và đa đĩa Drm là Hyperbolic - Một đĩa bị chặn trong Cm là Hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa - C m không gian Hyperbolic, vì dCm ≡ 0 2.3.3 Định lý 2.4 34 Giả sử không gian phức liên thông Nếu X là Hyperbolic thì dX sinh ra tôpô tự nhiên của X Chứng minh Ta có không gian phức X là compact địa phương với tôpô đếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric... sử Tx M là không gian vectơ thực 2m chiều, và (1) {( ∂ ∂ ∂ ∂ ) x , ,( m ),( 1 ), ,( m ) x } ∂x1 ∂x ∂y ∂y là một cơ sở của Tx M Kí hiệu Tx M ⊗ R C là phức hóa của Tz M khi đó (1) cũng là một cơ sở của không gian véc tơ phức Tx M ⊗ R C Đặt ∂ 1 ∂ ∂ = ( j − j ),1 ≤ j ≤ m j ∂z 2 ∂x ∂y ta kí hiệu 14 m Tx M = {∑ ξ j (∂ / ∂z j ) x ;ξ j ∈ C} j =1 Khi đó Tx M là một không gian con tuyến tính phức m chiều... Ep  {p} × K τ  K τ , → → là đẳng cấu K -không gian vectơ (cặp(U,h) được gọi là một tầm thường hóa địa phương) 22 Đối với một K-phân thớ vectơ π : E → X, E được gọi là không gian toàn thể, X được gọi là không gian đáy, và ta nói E là một phân thớ vectơ trên X Ta ký hiệu phân thớ vectơ trên là (E, π ,X) 1.12.2 Phân thớ chỉnh hình Nếu E, X là các không gian phức và π là ánh xạ chỉnh hình, toàn ánh,... nếu: ∪ Ai = X và Ai ∩ Aj = ∅, ∀i, j ∈ I , i ≠ j i∈I CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC 2.1 Giả khoảng cách kobayashi trên không gian phức Với 0 < r < ∞ ta đặt Dr = { z ∈ C, z < r }, D1 = D, và gọi Dr là đĩa bán kính r, D là đĩa bán kính trong C 2.1.1 Metric Bergman – Poincré và chuẩn hyperbolic trên các đĩa Metric Bergman – Poincré và chuẩn hyperbolic trên các đĩa đơn vị D và đĩa Dr được định nghĩa... thiết X là không gian Hyperbolic Định lý được chứng mịnh Mệnh đề sau là hiển nhiên 2.3.4 Mệnh đề 35 Giả sử ρ là khoảng cách trên X và xác định tô pô của X Giả sử X không là Hyperbolic, tức là d X ( x, y ) = 0 với đó x ≠ y nào Khi đó, với 0 < s < ρ ( x, y ) tồn tại một điểm z trên ρ - cầu tâm y, bán kính s sao cho d X ( z , y ) = 0 2.4 Một số tiêu chuẩn nhận biết tính Hyperbolic của không gian phức Sau... Riemann Giả sử X là đa tạp phức và A là tập con giải tích trong X Khi đó, nếu f: X \ A → C là chỉnh hình và f bị chặn địa phương trên X thì tồn tại duy nhất thác triển chỉnh hình F : X → C của f 20 Hệ quả Nếu f : X → C là liên tục và chỉnh hình trên X \ A, thì f là chỉnh hình trên X Chú ý Định lý thác triển Riemann không đúng trên các không gian phức Ví dụ, xét không gian con phức X = {( x1 , x2 ) ∈ C . các kiến thức cơ sở về không gian phức, không gian tôpô, đa tạp phức, … Chứng minh chi tiết một số tính chất, tiêu chuẩn nhận biết không gian phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy. 3.2 niệm, các tính chất của không gian phức Hyperbolic một trong những kiến thức cơ sở trong hình học tôpô chúng em đã chọn đề tài Bước đầu tìm hiểu về không gian phức Hyperbolic ” làm đề tài. và tiêu chuẩn nhận biết không gian phức Hyperbolic, không gian phức Hyperbolic đầy. 4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4.1 Đối tượng nghiên cứu Không gian phức Hyperbolic. 4.2 Phạm vi nghiên