Một số tính chất của hình tứ diện

1 mét sè tÝnh chÊt cña h×nh tø diÖn (khãa luËn tèt nghiÖp) 2 Mục lục Nội dung Trang Lời nói đầu 3 Chơng 1. Hình tứ diện 6 1.1. Tứ diện. Một số tính chất của tứ diện 6 1.2. Mặt cầu nội, ngoại tiếp tứ diện 17 1.2.1. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 17 1.2.2. Mặt cầu nội tiếp tứ diện 19 1.2.3. Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện 21 1.2.4. Mặt cầu giả bàng tiếp tứ diện 24 Chơng 2. Một số loại tứ diện đặc biệt 26 2.1. Tứ diện vuông. Một số tính chất của tứ diện vuông 26 2.2. Tứ diện trực tâm. Một số tính chất của tứ diện trực tâm 33 2.3. Tứ diện gần đều. Một số tính chất của tứ diện gần đều 41 2.4. Tứ diện đều. Một số tính chất của tứ diện đều 48 Chơng 3. một số bài toán liên quan đến tứ diện 50 3.1. Các bài tập có lời giải 50 3.2. Các bài tập đề nghị 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 3 Lời nói đầu Lời nói đầuLời nói đầu Lời nói đầu Hình học là một ngành khoa học của Toán học. Hình học đợc đa vào chơng trình Toán phổ thông từ rất sớm. Với mỗi học sinh hình học luôn là bộ môn khó, bởi để học tốt môn này học sinh cần phải học tập tích cực, biết hệ thống kiến thức và có khả năng t duy sáng tạo. Trong đó đặc biệt phải kể đến hình học không gian. Hình học không gian không giống nh những bộ môn Toán học khác bởi nó có những đặc điểm riêng biệt: Đặc điểm quan trọng nhất của hình học không gian là đợc cấu trúc theo hệ tiên đề. Các chứng minh đợc suy luận chặt chẽ, có căn cứ. Đặc điểm thứ hai là học sinh phải vẽ hình dựa vào các tính chất của phép chiếu song song và trí tởng tợng không gian. Hiện nay trong các trờng THPT một tình trạng vẫn còn tồn tại đó là một bộ phận không nhỏ học sinh cha hình dung đợc hình học không gian, không biết vẽ hình cũng nh giải toán. Bên cạnh đó nhiều giáo viên cũng gặp khó khăn trong quá trình dạy học hình học không gian. Với mục đích giúp cho học sinh có cái nhìn rõ ràng, sâu sắc, cụ thể hơn về một đối tợng hình học, tôi quyết định chọn đề tài: Một số tính chất của hình tứ diện. Trong khoá luận này chúng tôi nghiên cứu các tính chất của tứ diện bằng phơng pháp tổng hợp, xét một số tứ diện đặc biệt và một số bài toán về tứ diện. Trớc hết đề tài này hữu ích đối với tác giả và sau đó là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên Toán THPT, sinh viên các trờng ĐHSP Toán, ngoài ra nó còn có ích cho sự phát triển khả năng t duy hình học của học sinh. Ngoài lời nói đầu, mục lục tham khảo, khoá luận gồm 60 trang chia làm ba chơng: Chơng 1. Hình tứ diện Chơng 2. Một số loại tứ diện đặc biệt Chơng 3. Một số bài toán liên quan đến tứ diện 4 Chơng 1 trình bày khá đầy đủ các tính chất chung của tứ diện, ngoài ra còn đề cập đến mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp, mặt cầu giả nội tiếp và mặt cầu giả bàng tiếp của tứ diện. Khái niệm và tính chất của các tứ diện đặc biệt đợc trình bày ở chơng 2 một cách cụ thể và khoa học. Chơng 3 gồm một số bài toán hay về tứ diện để giúp bạn đọc áp dụng và hiểu sâu hơn các tính chất của hình tứ diện đã đợc trình bày ở hai chơng trớc. Mặc dù đã rất cố gắng tuy nhiên do hạn chế về thời gian cùng vốn kiến thức của bản thân nên hình vẽ cha đợc đẹp và tài liệu sẽ không tránh khỏi những hạn chế, rất mong nhận đợc sự hớng dẫn của các thầy cô và sự góp ý của bạn bè để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội đồng Khoa học, các thầy cô giáo trong khoa KHTN và các bạn sinh viên lớp K2_ s phạm Toán đã tạo mọi điều kiện quan tâm giúp đỡ. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Chí Thanh đã dành thời gian đọc và sửa chữa bản thảo giúp đỡ tôi hoàn thành đợc khoá luận. Phú Thọ, ngày 30 tháng 04 năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền 5 Các kí hiệu viết tắt trong khoá luận +) mp (P): mặt phẳng (P). +) S ABC : diện tích tam giác ABC. +) V ABCD : thể tích tứ diện ABCD. +) h A , h B , h C , h D : độ dài các đờng cao của tứ diện xuất phát từ các đỉnh A, B, C, D. +) R, r: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện . +) xq S , tp S : Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của tứ diện. +) ( ) ( ) : Hai mặt phẳng ( ) và ( ) trùng nhau. +) d ( ) : Đờng thẳng d nằm trong mặt phẳng ( ). +) d // ( ) : Đờng thẳng d song song với mặt phẳng ( ). +) d ( ) : Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ). 6 Chơng 1. hình tứ diện 1.1. Tứ diện. Một số tính chất của hình tứ diện 1.1.1. Định nghĩa 1 Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Ba trong bốn điểm đó xác định một miền tam giác. Có bốn miền tam giác đó là ABC, ABD, ACD, BCD. Hình gồm bốn miền đó đợc gọi là hình tứ diện và kí hiệu là ABCD. Trong một hình tứ diện ABCD: - Mỗi một miền tam giác đợc gọi là một mặt của hình tứ diện. - Các điểm A, B, C, D đợc gọi là các đỉnh của hình tứ diện. - Các cạnh của các tam giác (6 đoạn thẳng) đợc gọi là các cạnh của hình tứ diện. - Hai cạnh của tứ diện không có điểm chung đợc gọi là hai cạnh đối diện. - Mỗi đỉnh có một mặt đối diện với nó, là mặt không chứa đỉnh đó. Chú ý Ta cũng có thể định nghĩa tứ diện thông qua khái niệm hình chóp nh sau: Trong mặt phẳng (P) cho đa giác lồi n cạnh A 1 A 2 A n và cho một điểm S nằm ngoài (P). Hình gồm các miền tam giác S A 1 A 2 , S A 2 A 3 , , S A n A 1 và miền đa giác A 1 A 2 A n đợc gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A 1 A 2 A n . - Miền đa giác đợc gọi là đáy của hình chóp. - Các tam giác S A 1 A 2 , S A 2 A 3 , , S A n A 1 đợc gọi là các mặt bên của hình chóp. - Khi n = 3, ta có hình chóp S.ABC, và cũng là hình tứ diện hoặc hình chóp tam giác. 1.1.2. Định nghĩa 2 Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện đợc gọi là đờng trung bình của tứ diện ấy. Một tứ diện có ba đờng trung bình. 7 1.1.3. Định nghĩa 3 Trong một tứ diện, đoạn thẳng nối mỗi đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện đợc gọi là đờng trung tuyến. Một tứ diện có bốn đờng trung tuyến. 1.1.4. Định lý 1 Trong hình tứ diện, bốn đờng trung tuyến và ba đờng trung bình đồng quy tại một điểm, điểm đó đợc gọi là trọng tâm của tứ diện. Trọng tâm của tứ diện có tính chất là trung điểm của các đờng trung bình và ở 3 4 mỗi đờng trung tuyến kể từ đỉnh. Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD. Gọi G là trung điểm của MP (hình 1). Ta chứng minh ba đờng trung bình của tứ diện đồng quy tại một điểm. Do MQ // BD và MQ = 1 2 BD NP // BD và NP = 1 2 BD nên MNPQ là hình bình hành. Vì vậy MP và NQ giao nhau tại trung điểm G của mỗi đờng. Tơng tự ta cũng có EFMP là hình bình hành nên EF cũng nhận trung điểm G của MP làm trung điểm. Vậy ba đờng trung bình MP, NQ, EF đồng quy tại trung điểm G của mỗi đờng. Ta đi chứng minh bốn đờng trung tuyến đồng quy tại G. A M B G D M P A Hình 2 C A M Q E G B D F N P C Hình 1 8 Giả sử AG giao với BP tại A. Ta chỉ ra A là trọng tâm của tam giác BCD (hình 2). Thật vậy, trong mặt phẳng (ABP) kẻ MM // AA (M thuộc BP). Vì M là trung điểm của AB nên M là trung điểm của BA. Trong tam giác PMM có G là trung điểm của PM, GA // MM nên A là trung điểm của PM. Vậy BM = MA = AP suy ra A là trọng tâm của tam giác BCD. Vậy bốn đờng trung tuyến đồng quy tại G. Lại có GA là đờng trung bình của tam giác PMM nên GA = 1 2 MM; MM là đờng trung bình của tam giác BAA nên MM = 1 2 AA. Suy ra GA = 1 4 AA hay AG = 3 4 AA. Tơng tự với những đờng trung tuyến khác ta đợc trọng tâm G ở 3 4 mỗi đờng trung tuyến kể từ đỉnh. Hệ quả 1 Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì bốn khối tứ diện đỉnh G đáy là các mặt của tứ diện đó là tơng đơng (tức là có cùng thể tích) và thể tích đó bằng 1 4 thể tích của khối tứ diện ban đầu. Chứng minh Gọi H, H 1 lần lợt là hình chiếu của A và G xuống mặt phẳng (BCD) (hình 3). Theo Định lý 1 ta có AA = 4GA suy ra AH = 4GH 1 , do đó 1 3 S BCD .AH = 1 3 S BCD .4GH 1 . Hay V ABCD = 4V GBCD . Tơng tự ta cũng có: V ABCD = 4V GACD . V ABCD = 4V GBAD . A G D B H H 1 A N Hình 3 C 9 V ABCD = 4V GBCA . Vậy V GBCD = V GACD = V GBAD = V GBCA = 1 4 V ABCD . 1.1.5. Định lý 2 Mọi mặt phẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện trong một tứ diện, đều chia khối tứ diện đó thành hai khối tơng đơng. Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD; ( ) là mặt phẳng bất kì chứa I, J và cắt AC và BD tại E và F. Dễ thấy IE, JF và BC song song với nhau từng đôi một hoặc đồng quy tại K. Xét trờng hợp IE, JF và BC song song với nhau từng đôi một. Khi đó E, F là trung điểm của AC và BD. Suy ra kết quả là hiển nhiên. Xét trờng hợp IE, JF và BC đồng quy tại K (hình 4), ta có: V 1 = V ADJEIF = V AIEJF + V ADJF . V 2 = V BCIEJF = V BIEJF + V BJEC . Do IA = IB nên V AIEJF = V BIEJF Mặt khác: V AJFD = 1 3 h A .S JFD (h A là đờng cao của hình chóp A.JFD hạ từ A). V BJEC = 1 3 h E .S BCJ (1) (h E là đờng cao của hình chóp E.BCJ hạ từ E) Ta lại có: JFD BJD S FD = S BD , BCD 1 FD S . 2 BD = JFD S . Dễ thấy: E A FD EC h = = BD CA h Vậy V AJFD = 1 3 S BCJ .h E . (2) Từ (1) và (2) suy ra: V AJFD = V BJEC hay V 1 = V 2 A I F D B E J C K Hình 4 10 1.1.6. Định lý 3 Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện có một góc tam diện bằng nhau, bằng tích các tỉ số của các cạnh của góc tam diện đó. Chứng minh Giả sử SABC và SABC là hai khối tứ diện có góc tam diện đỉnh S bằng nhau. Khi đó ta có thể coi: A thuộc SA, B thuộc SB, C thuộc SC. Ta cần chứng minh: SA'B'C' SABC V SA' SB' SC' = . . V SA SB SC Gọi H và H lần lợt là hình chiếu của A và A xuống mặt phẳng (SBC) (hình 5). Đặt = BSC , = ( SA,mp(SBC) ) ta có: V SABC = V ASBC = 1 3 S SBC .AH = 1 3 . 1 2 .SB.SC.sin .AH = 1 6 .SB.SC.SA.sin .sin V SABC = V ASBC = 1 3 .S SBC .AH = 1 3 . 1 2 .SB.SC.sin .AH = 1 6 .SB.SC.SA.sin .sin Vậy: SA'B'C' SABC 1 .SA'.SB'.SC'.sin.sin V SA'.SB'.SC' 6 = = 1 V SA.SB.SC .SA.SB.SC.sin.sin 6 (đpcm). 1.1.7. Định lý 4 Trong một tứ diện tổng các bình phơng của hai cặp cạnh đối diện nào đó luôn lớn hơn bình phơng tổng cặp cạnh còn lại. Chứng minh A A S C H C H D B B Hình 5 [...]... điểm của một cạnh của hình tứ diện và vuông góc với cạnh đối diện thì giao nhau tại một điểm, điểm đó gọi là điểm Monge của tứ diện Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện Xét mặt phẳng ( ) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với CD 15 Gọi J là trung điểm của CD và G là trung điểm A của IJ Khi đó G là trọng tâm của tứ diện (hình I 11) Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện O B và O đối xứng của. .. các mặt của tứ diện đó Nhận xét Tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện cách đều tất cả các mặt của hình tứ diện nên nằm trên các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng kề của tứ diện 1.2.2.2 Định lý 14 Trong một tứ diện ta luôn có r = 3V với r, V và Stp tơng ứng là bán kính mặt S tp cầu nội tiếp, thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện Chứng minh Giả sử SA1A2A3 là hình tứ diện (hình. .. là tứ diện trực tâm nếu các cạnh đối đôi một vuông góc Ví dụ B Cho hình hộp thoi ABCD.ABCD (là hình hộp có tất cả các mặt là hình thoi) Tứ diện ACBD là tứ C A D diện trực tâm vì có AB CD, AC BD, AD BC (Hình 29) B 2.2.2 Định lý 25 Điều kiện cần và đủ để một tứ diện là tứ A C D Hình 29 diện trực tâm là một trong những tính chất sau đợc thỏa mãn: a) Các đờng cao của tứ diện đồng quy b) Đờng cao của tứ. .. trung trực của AC và AD Vậy O là giao điểm của sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của tứ diện đã cho, O cũng chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó 1.1.15 Định nghĩa 4 Mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện của một tứ diện gọi là mặt phẳng trung diện của tứ diện đó A 1.1.16 Định lý 12 Sáu mặt phẳng trung diện đồng quy tại trọng M tâm tứ diện Mỗi mặt phẳng đó chia khối tứ diện thành... ABCD là hình tứ diện Gọi M, N, P, Q, N E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD (hình 13) Khi đó MP, NQ, EF đồng D P C Hình 13 quy tại trọng tâm G của tứ diện Suy ra các mặt phẳng (ABP), (CDM), (AND), (BCQ), (ACF), (BDE) là mặt phẳng trung diện của tứ diện và sáu mặt phẳng trung diện này đồng quy tại trọng tâm của tứ diện Vì mỗi mặt phẳng này đều đi qua đờng trung bình của tứ diện nên... diện mà cả ba mặt đều nhọn 1.1.10 Định lý 7 Trong một tứ diện, mặt phẳng phân giác của một nhị diện chia cạnh đối thành hai đoạn tỉ lệ với diện tích hai mặt bên là hai mặt của nhị diện Chứng minh Giả sử SABC là một tứ diện Hình 8 Ta xét góc nhị diện cạnh SB bằng và mặt phẳng phân giác của nó cắt AC tại I (hình 8) Kẻ các đờng cao AM, CN của các tam giác SAB, SBC Gọi AH, KC lần lợt là các đờng cao của. .. này cũng gọi là định lý hàm số sin cho tứ diện (thờng gọi là Định lý hàm số sin thứ hai) 1.1.12 Định lý 9 Cho một hình tứ diện bất kì và một điểm N Khi đó sáu mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi qua một cạnh của tứ diện và song song với đờng thẳng nối từ N tới trung điểm của cạnh đối diện với cạnh mà mặt phẳng đi qua thì giao nhau tại một điểm Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện Xét mặt phẳng ( ) đi qua... nhìn từ một điểm nằm trong tứ diện xuống các cạnh tứ diện lớn hơn 3 Chứng minh Giả sử ABCD là tứ diện, O là một điểm nằm trong tứ diện Khi đó ta cần chứng minh: ( AOB + AOC + AOD + BOC + COD + DOB ) > 3 Thật vậy gọi I là giao điểm của đờng thẳng DO và mặt phẳng (ABC), K là giao điểm của đờng thẳng AI và BC (hình 7) Ta biết rằng trong một góc tam diện, độ lớn của một mặt nhỏ hơn tổng độ lớn của hai... 3) Cộng theo vế của (1) , ( 2 ) , ( 3 ) ta đợc: K B Hình 7 2( AOB + AOC + AOD + BOC + COD + DOB ) > 6 Suy ra ( AOB + AOC + AOD + BOC + COD + DOB ) > 3 (đpcm) 1.1.9 Định lý 6 Trong một tứ diện bất kì, bao giờ cũng có ít nhất một góc tam diện mà ba mặt đều nhọn Chứng minh Tổng của các mặt của các góc tam diện trong một tứ diện bằng tổng các góc của bốn tam giác hợp thành tứ diện đó tức là bằng 4.1800... một điểm O 1.1.14 Định lý 11 Sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của một tứ diện đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 4 đỉnh của tứ diện và gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh d Cho tứ diện ABCD Gọi I là giao điểm của ba A đờng trung trực của tam giác BCD Suy ra I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD (hình 12) Hai mặt trung trực của hai cạnh BC và CD có điểm chung I, nên phải cắt . chất của tứ diện trực tâm 33 2.3. Tứ diện gần đều. Một số tính chất của tứ diện gần đều 41 2.4. Tứ diện đều. Một số tính chất của tứ diện đều 48 Chơng 3. một số bài toán liên quan đến tứ diện. tiếp tứ diện 21 1.2.4. Mặt cầu giả bàng tiếp tứ diện 24 Chơng 2. Một số loại tứ diện đặc biệt 26 2.1. Tứ diện vuông. Một số tính chất của tứ diện vuông 26 2.2. Tứ diện trực tâm. Một số tính. Chơng 1. Hình tứ diện 6 1.1. Tứ diện. Một số tính chất của tứ diện 6 1.2. Mặt cầu nội, ngoại tiếp tứ diện 17 1.2.1. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 17 1.2.2. Mặt cầu nội tiếp tứ diện 19 1.2.3.