Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán

1 Một số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán Nguyễn Thị Giang iii2 MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌAi LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v Một số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ii MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu khóa luận Nhiệm vụ nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng phép biến hình mặt phẳng phân hóa, hệ thống kiến thức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục khóa luận CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.2 Phép đẳng cự 1.2.1.Phép tịnh tiến .5 1.2.2 Phép đối xứng trục 1.2.3 Phép quay 1.2.4 Phép đối xứng tâm 10 1.3 Phép đồng dạng 11 1.3.1.Phép vị tự 11 1.3.2 Phép đồng dạng 13 1.4 Phép nghịch đảo 14 1.5 Tích hai phép biến hình .15 1.5.1 Tích hai phép biến hình loại 15 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH .18 TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN 18 2.1 Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải số toán hệ tọa độ 18 Nguyễn Thị Giang 2.1.1 Một số kiến thức liên quan .18 2.1.2 Ví dụ minh họa 19 2.2 Ứng dụng phép biến hình toán quỹ tích 35 2.2.1 Một số kiến thức liên quan .35 a) Bài toán tìm quỹ tích 35 b) Giải toán quỹ tích .35 c) Một số toán quỹ tích 36 d) Giải toán quỹ tích phương pháp biến hình 37 2.2.2.Ví dụ minh họa 38 2.3 Ứng dụng phép biến hình toán dựng hình .49 2.3.1 Một số kiến thức liên quan .49 a) Khái niệm dựng hình thước compa 49 b) Bài toán dựng hình 50 c) Các toán dựng hình .50 d) Các bước giải toán dựng hình 51 e) Ứng dụng phép biến hình vào giải toán dựng hình 51 2.3.2 Ví dụ minh họa 52 Cách dựng: 54 Gọi .62 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO .i Nguyễn Thị Giang v DANH MỤC VIẾT TẮT Kí hiệu Chú thích Tur r Phép tịnh tiến theo vec tơ u Đa Phép đối xứng qua đường thẳng a QOϕ , Q( O ;ϕ ) Phép quay tâm O góc quay ϕ ĐI Phép đối xứng qua điểm I VOk , V( O ,k ) Phép vị tự tâm O tỉ số k Nguyễn Thị Giang f ( O, k ) Phép nghich đảo tâm O tỉ số k BK Bán kính VTCP VTPT PT PTCT PTTQ SGK ∆ABC Nguyễn Thị Giang Vec tơ phương Vec tơ pháp tuyến Phương trình Phương trình tắc Phương trình tổng quát Sách giáo khoa Tam giác ABC MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Môn Toán trường phổ thông giữ vai trò, vị trí quan trọng, môn học đòi hỏi học sinh phải tư trừu tượng, lập luận cách chặt chẽ logic, học tốt môn Toán tri thức Toán với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Ngoài môn Toán góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ toán học cần thiết môn Toán rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: Cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, đức tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ, Trong nhà trường phổ thông Hình Học môn học có tính chất chặt chẽ, tính logic tính trừu tượng hóa cao, đòi hỏi học sinh phải nắm kiến thức, biết tư logic, biết vận dụng kiến thức học vào thực tiễn đời sống, Mở đầu chương trình Hình Học 11 học sinh làm quen với phép biến hình mặt phẳng chẳng hạn: Phép đối xứng qua đường thẳng, phép đối xứng qua điểm, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép quay, Các phép biến hình ứng dụng rộng rãi giải tập toán học như: Bài toán tìm quỹ tích, toán dựng hình, Trong nhiều trường hợp giải toán hình học sử dụng phép biến hình cho ta thấy lời giải toán đơn giản, ngắn gọn cho ta nhìn tổng quát toán Ngoài ứng dụng giải toán, phép biến hình mặt phẳng có nhiều ứng dụng đời sống thực tiễn như: công trình xây dựng vẽ thiết kế cầu, đường, nhà, Ứng dụng hội họa, mỹ thuật Chế tạo sản phẩm mỹ nghệ như: bình gốm, thổ cẩm, Dựa vào tính chất phép biến hình để thiết kế họa tiết gạch hoa, họa tiết quần áo Trong giải trí: để chế tạo đu quay, trò chơi (chong chóng, ) Để phóng to, thu nhỏ đồ vật, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng rộng rãi giải Nguyễn Thị Giang toán đời sống thực tiễn việc làm quen, sử dụng ứng dụng việc khó khăn học phép biến hình đòi hỏi học sinh phải biết tư logic, tư hình tượng cần phải tìm quan hệ yếu tố hình học thông qua nhìn trực quan, Vì học sinh ngại học phần Với mong muốn khai thác kiến thức hệ thống ứng dụng phép biến hình mặt phẳng để hiểu rõ vai trò giải toán Đồng thời nội dung phép biến hình có chương trình phổ thông nên muốn nghiên cứu để phục vụ cho nghề nghệp sau Với lí trên, lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp đại học Mục tiêu khóa luận - Hệ thống số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán - Đưa ví dụ minh họa cho ứng dụng, kèm theo ví dụ hướng dẫn, nhận xét hỗ trợ việc giải toán tương tự Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu định nghĩa, tính chất phép biến hình mặt phẳng - Hệ thống số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải số toán hệ tọa độ Oxy, toán dựng hình, toán quỹ tích Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng phép biến hình mặt phẳng phân hóa, hệ thống kiến thức  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu Nguyễn Thị Giang  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: Các phép biến hình mặt phẳng  Phạm vi: Hệ thống kiến thức ứng dụng cuả phép biến hình mặt phẳng vào giải toán, cụ thể là: ứng dụng phép biến hình vào giải số toán hệ tọa độ Oxy, toán dựng hình, toán quỹ tích Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận hệ thống kiến thức phép biến hình mặt phẳng đồng thời phân loại ứng dụng phép biến hình mặt phẳng giúp người đọc hiểu rõ vai trò giải toán Khóa luận tài liệu hữu ích cho học sinh trung học phổ thông bạn sinh viên nghành sư phạm toán đồng thời giúp học toán tốt Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành chương: Chương 1: Các phép biến hình mặt phẳng Trình bày số kiến thức phép biến hình mặt phẳng tích hai phép biến hình, định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ (nếu có) phép biến hình Chương 2: Một số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán Trình bày số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán, ứng dụng đưa tập để minh họa cho ứng dụng Nguyễn Thị Giang CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Một số khái niệm a)Phép biến hình: Trongmặt phẳng cho quy tắc f , với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M ' thuộc mặt phẳng Điểm M ' gọi ảnh điểm M qua quy tắc f , điểm M gọi tạo ảnh cuả điểm M ', f gọi phép biến hình mặt phẳng Kí hiệu: M ' = f ( M ) f ( M ) = M ' Khi đó, ta nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm M ' Với hình H ta gọi hình H' gồm điểm M ' = f ( M ) , M ∈ H, ảnh H qua phép biến hình f viết H' = f ( H ) b)Phép biến hình đồng nhất:Nếu f ( M ) = M với M thuộc mặt phẳng f gọi phép biến hình đồng c)Phép biến hình đảo ngược:Nếu có phép biến hình f , f ( M ) = M ' phép biến hình g , g ( M ') = M g gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình f Kí hiệu: g = f −1 d)Điểm bất động, đường thẳng bất động: Điểm M gọi điểm bất động (điểm bất biến điểm kép) phép biến hình f f ( M ) = M Đường thẳng d gọi đường thẳng bất động (đường thẳng kép) phép biến hình f f ( d ) = d Nếu điểm đường thẳng d điểm kép d gọi đường thẳng cố định đường thẳng kép hoàn toàn e) Phép biến hình đối hợp:Phép biến hình f gọi phép biến hình có tính chất đối hợp f ( M ) = M ', f ( M ') = M '' M '' ≡ M Nguyễn Thị Giang 1.2 Phép đẳng cự a) Định nghĩa Một phép biến hình f : P → P gọi phép đẳng cự mặt phẳng P với hai điểm M , N hai ảnh chúng M ' = f ( M ), N ' = f ( N ), ta có MN = M ' N ' b) Tính chất - Phép đẳng cự biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm A C thành ba điểm thẳng hàng A ', B ', C ' với B ' nằm A ' C ', biến đường thẳng thành đường thẳng,biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến đường tròn thành đường tròn với tâm đường tròn biếnthành tâm đường tròn kia, biến góc thành góc c) Phân loại Phép đẳng cự phân thành hai dạng: -Phép dời hình phép đẳng cự mà không làm thay đổi hướng tam giác -Phép phản dời hình phép đẳng cự mà làm thay đổi hướng tam giác Sau tìm hiểu số phép đẳng cự đặc biệt: 1.2.1.Phép tịnh tiến a) Định nghĩa r Phép tịnh tiến theo vectơ u phép biến hình biến điểm M thành uuuuur r điểm M ' cho MM ' = u * Kí hiệu thuật ngữ r Phép tịnh tiến theo vectơ u thường kí hiệu T Tur r Vectơ u gọi vectơ tịnh tiến Hình 1.1 Nguyễn Thị Giang 52 2.3.2 Ví dụ minh họa Phương pháp chung: Để dựng điểm M ta làm sau: - Cách 1: Xác định M ảnh điểm biết qua phép biến hình - Cách 2: Xem M giao điểm đường cố định với ảnh đường biết qua phép biến hình Bài 1:Hai thôn nằm vị trí A, B cách sông (xem hai bờ sông hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) làm hai đoạn đường AM , NB (như hình vẽ) Hãy xác định vị trí cầu MN cho AM + NB ngắn Giải: Giả sử sông hẹp Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm hai phía khác so với đường thẳng a Tìm vị trí M a để AM + BM nhỏ Khi M giao điểm AB với a Hình 2.17 Trường hợp tổng quát: Hướng dẫn: Ta đưa TH1bằng phép tịnh uuuur r : A → A' tiến theo vectơ MN để a ≡ b Khi Tuuuu MN uuur uuuur cho AA ' = MN A ' N = AM uuuur Nhận xét: a, b cố định MN cố định r ( A ) = A ' ⇒ A ' N = AM Tuuuu MN Ta có AM + BN = A ' N + NB = A ' B r ( A) Cách dựng: Dựng A ' = Tuuuu Nối A ' với B cắt b MN N Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a Nguyễn Thị Giang Hình 2.18 53 M Khi MN vị trí xây cầu Bài 2:Cho góc nhọn điểm A thuộc miền góc Hãy dựng đường thẳng qua A cắt Ox, Oy M N cho A trung điểm MN Giải Giả sử dựng hai điểm M , N thoả mãn yêu cầu toán Khiđó N = ĐA ( M ) Gọi O ' x ' = ĐA ( Ox ) , ta có N giao điểm O ' x Oy Cách dựng: Dựng O ' x ' = ĐA ( Ox ) , gọi N giao điểmcủa O ' x Oy, M = ĐA ( N ) Khi M , N hai Hình 2.19 điểm cần tìm Chứng minh: Theo cách dựng M = ĐA ( N ) nên A trung điểm MN Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Bài toán tương tự:Cho đường tròn ( O; R ) ( O1; R1 ) cắt A B Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt ( O; R ) ( O1; R1 ) M M cho A trung điểm MM Giải Giả sử dựng đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề Khi ta có M = ĐA ( M ) Nguyễn Thị Giang 54 Gọi đường tròn ( O ', R ) ảnh đường tròn ( O, R ) qua phép đối xứng tâm A Ta có M giao điểm ( O ', R ) với đường tròn ( O1 , R1 ) Cách dựng: Dựng đường tròn ( O ', R ) ảnh đường tròn ( O, R ) qua phép đối xứng tâm A Gọi M giao điểm ( O ', R ) với đường tròn ( O1 , R1 ) không trùng với A, M = ĐA ( M ) Đường thẳng d đường thẳng MM Chứng minh: Theo cách dựng ta có M = ĐA ( M ) nên A trung điểm MM Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Hình 2.20 Bài 3: Dựng hình thoi nội tiếp tứ giác lồi cho trước (tức có bốn đỉnh nằm bốn cạnh tứ giác) có cạnh song song với đường chéo tứ giác Giải: Phân tích:Giả sử EFGH hình thoi phải dựng có đỉnh E , F , G, H nằm cạnh BC , CD, DA, AB tứ giác lồi ABCD đồng thời cạnh song song với hai đường chéo AC BD : EF // BD // HG Cách dựng: Dựng hình thoi BDNM cho BM // DN // AC Dựng E = BC ∩ AM , F = DC ∩ AN Dựng EH // AC FG // AC Nguyễn Thị Giang Tứ giác EFGH hình thoi phải Hình 2.21 dựng 55 Tứ giác hình thoi phải dựng Chứng minh: Theo cách dựng VAk : EFGH → MNDB, MNDB hình thoi nên EFGH hình thoi Biện luận: Bài toán có nghiệm Bài 4:Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d Hãy xác định điểm M d cho AM + MB bé Giải Nhận xét: Gọi A ' = Đd ( A ) ⇒ AM = A ' M Vậy: AM + MB = A ' M + MB = A ' B Cách dựng: Dựng A ' = Đd ( A ) Nối A ' với B cắt d M AM + MB nhỏ Chứng minh: Thật vậy, lấy điểm M ' thuộc d , M ' ≠ M Hình 2.22 ⇒ M ' A + M ' B = M ' A '+ M ' B > A ' B Biện luận: toán có nghiệm Bài 5: Cho góc nhọn , điểm A nằm góc Hãy xác định điểm B Ox, điểm C Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải Nguyễn Thị Giang 56 Nhận xét: Gọi A ' = ĐOx ( A ) Nối A ' với A '', AA '' cắt Ox Oy A '' = ĐOy ( A ) B C Khi chu vi ⇒ A ' B = AB, A ''C = AC tam giác ABC nhỏ ⇒ AB + BC + CA = = A ' B + BC + A '' C = AA '' (nhỏ nhất) Cách dựng: Dựng A ' = ĐOx ( A ) AĐ '' = A Oy ( ) Hình 2.23 Chứng minh: Lấy B ' ∈ Ox, B ' ≠ B C ' ∈ Oy, C ' ≠ C Ta có: A ' B ' = B ' A, AC ' = C ' A '' ⇒ AB '+ B ' C '+ C ' A = B ' A '+ C ' A ''+ B ' C ' > A ' A '' Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Bài 6: Dựng hình thoi cho môt đường chéo nằm đường thẳng a cho có độ dài hai đỉnh lại thuộc hai đường thẳng b c cho Giải Phân tích: Giả sử dựng hình thoi ABCD thỏa mãn yêu cầu đề bài, đường chéo AC = nằm đường thẳng a, B ∈ b D ∈ c Ta có BD ⊥ AC cắt AC O, OB = OD Vậy D ảnh B qua phép đối xứng trục a Do D giao c ảnh b ' b qua phép đối xứng trục a Cách dựng: Dựng ảnh b ' b qua phép đối xứng trục a Nguyễn Thị Giang Dựng D = b '∩ c 57 Dựng DO ⊥ a dựng B = b ∩ DO Dựng A C thuộc a cho OA = OC = Ta có tứ giác ABCD Hình 2.24 Chứng minh: Tứ giác ABCD hình thoi phải dựng Thật vậy, D thuộc b ' nên kẻ DO ⊥ a cắt b B B ảnh D qua phép đối xứng trục a nên OD = OB Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc cắt trung điểm đường chéo nên hình thoi Biện luận: Số nghiệm hình phụ thuộc vào giao b ' c Nếu b ' // c toán vô nghiệm Nếu b ' ≡ c toán có vô số nghiệm Nếu b ' cắt c điểm a toán có nghiệm hình Nếu b ' cắt c điểm thuộc a toán vô nghiệm Bài 7: Cho đường tròn ( O; R ) ( O '; R ') đường thẳng d Hãy dựng hai tiếp tuyến a a ' hai đường tròn ( O; R ) , ( O '; R ' ) cho d hai đường phân giác góc tạo a a ' Giải: Phân tích: Giả sử ta dựng đường thẳng a, a ' tiếp tuyến đường tròn ( O ) ( O ') d hai đường phân giác góc tạo a a ' Gọi f phép đối xứng trục d Qua f : Đường thẳng a a đường thẳng a ' Đường tròn ( O ) a đường tròn ( O1 ) Đường thẳng a ' tiếp tuyến chung đường tròn ( O ') đường tròn ( O1 ) Nguyễn Thị Giang 58 Cách dựng: Dựng đường tròn ( O1 ) đối xứng ( O) qua d Dựng tiếp tuyến chung ( O1 ) ( O ') Dựng đường thẳng a ' đối xứng với đường thẳng a qua d Hình 2.25 đường thẳng cần dựng Chứng minh: Theo bước dựng thứ ba d tia phân giác góc tạo hai đường thẳng a a ' Theo bước dựng thứ hai a ' tiếp tuyến ( O ') a ' tiếp tuyến ( O1 ) ( O1 ) đối xứng với ( O ) qua d nên a tiếp tuyến ( O ) Biện luận: Số nghiệm phụ thuộc vào vị trí ( O1 ) ( O ') Nếu ( O1 ) ≡ ( O ') toán có vô số nghiệm Nếu ( O1 ) không trùng ( O ') có nhiều nghiệm, vô nghiệm Bài 8:Dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn ( O; R ) cho trước đồng thời tiếp xúc với đường thẳng ∆ cho trước điểm M cho trước ∆ Giải: Phân tích: uuur uuur Ta có k = MA.MB (không đổi) Giả sử ta dựng đường tròn Xét phép nghịch đảo f ( M , k ) , ta ( O ') tiếp xúc với ( O; R ) cho trước A đồng thời tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm M Gọi B = MA ∩ ( O ) ≠ A Nguyễn Thị Giang có: 59 Hình 2.26 Đường tròn ( O ) a Đường tròn ( O ' ) a đường thẳng ∆ ' Đường thẳng ∆ a Đường thẳng ∆ ' qua B ∆ ' // ∆ Cách dựng: Dựng ∆ ' tiếp xúc với ( O ) B ∆ ' // ∆ Dựng A = MB ∩ ( O ) , O ' = OA ∩ d với d đường thẳng vuông góc với ∆ M Dựng đường tròn ( O '; O ' M ) Đó đường tròn cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng f : ( O ') a đường thẳng ∆ ' ( O) a Mà ∆ ' tiếp xúc với ( O ) B nên ( O ) tiếp xúc ( O ') Biện luận: Nếu ( O ) ∩ ∆ = Ø toán có hai nghiệm Nếu ( O ) ∩ ∆ điểm M cho trước toán có vô số nghiệm Nếu ( O ) ∩ ∆ N ≠ M toán có nghiệm Nguyễn Thị Giang 60 Nếu ( O ) ∩ ∆ điểm, có điểm trùng với điểm M toán vô nghiệm Nếu ( O ) ∩ ∆ hai điểm khác điểm M ( M nằm hai điểm đó) toán có nghiệm Theo cách dựng cặp điểm M , N Bài 9:Cho hai đường thẳng cắt a b, điểm C Tìm a b điểm A B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A Giải Giả sử dựng hai điểm A, B thoả mãn điều kiện đầu Ta thấy: ·ACB = 450 , CB = ⇒ B ảnh CA A qua phép đồng dạng F có cách thực liên tiếp phép quay tâm C , góc quay −450 , phép vị tự tâm C tỉ số Gọi a '' ảnh a qua phép đồng dạng F Ta có B giao điểm b a '' Hình 2.27 Cách dựng: Dựng a ' ảnh a qua phép quay tâm C , góc quay −450 Dựng a '' ảnh a ' qua phép vị tự tâm C tỉ số B giao điểm a '' b Dựng B ' ảnh B qua phép quay tâm C , góc quay 450 Dựng A ảnh B ' qua phép vị tự tâm C tỉ số ( 2) −1 Theo cách dựng cặp điểm A, B Bài 10: Cho đường thẳng a, b điểm A Dựng tam giác ABC cho B ∈ a C ∈ b Giải Nguyễn Thị Giang 61 Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài, phép quay tâm A góc quay 600 biến điểm B thành C Do điểm C giao đường thẳng b ảnh đường thẳng a qua QA60 Cách dựng: Hình 2.28 - Dựng ảnh a ' a qua QA60 - Dựng giao C = a '∩ b - Dựng B ∈ a cho AB = AC Ta có tam giác ABC Chứng minh: Theo cách dựng tam giác ABC tam giác cân AB = AC Ảnh B ' điểm B qua QA60 phải thuộc đường thẳng a ' AB ' = AB Từ · AB ' = AC Vậy B ' ≡ C BAC = 600 Tam giác ABC tam giác thỏa mãn yêu cầu đề Biện luận: Tương tự xét phép quay tâm A góc quay −600 ta có tam giác AB1C1 thỏa mãn yêu cầu đề Vậy toán có hai nghiệm hình Bài 11: Cho điểm O hai đươnờng thẳng d , d ' Dựng đường tròn tâm O cắt d d ' P, Q, P ', Q ' cho PQ + P ' Q ' = a, a đoạn thẳng cho Giải: a) Xét trường hợp d // d ' Phân tích: Giả sử dựng đường tròn ( O) cắt d , d ' cặp điểm P, Q P ', Q ' cho: P ' Q '+ PQ = a Nguyễn Thị Giang Hình 2.29 62 Vì d // d ' nên tứ giác PQQ ' P ' hình thang cân Gọi M , N trung điểm PP ' , QQ ' ; K , I , J trung điểm MN , PQ, P 'Q ' Từ suy ra: I , J giao điểm đường thẳng qua O vuông góc với d ; K trung điểm đoạn thẳng IJ ; M , N nằm đường thẳng qua K , song song với d a MK = NK = MN = ; P, P ' giao điểm d , d ' với đường thẳng vuông góc với OM M Vậy ta dựng đường tròn tâm O, qua P Cách dựng: Dựng đường thẳng qua O vuông góc với d , d ' điểm I , J tương ứng Dựng K trung điểm đoạn IJ Dựng đường thẳng ∆ qua K song song với d a Dựng ∆ hai điểm M , N cho KM = KN = Dựng giao điểm P đường thẳng d đường thẳng vuông góc với OM điểm M Dựng đường tròn tâm O, qua P đường tròn cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng, MN đường trung bình hình thang cân PQQ ' P ', nên: PQ + P ' Q ' = 2MN = 4KM = a Biện luận: Bài toán có nghiệm hình b) Trường hợp d không song song với d ' Gọi α = ( d , d ') Đường tròn ( O ) phải dựng Thực phép quay QOα : bảo toàn, Qua QOα : d ' a d '' P ' Q ' a P '' Q '' Nguyễn Thị Giang 63 Hình 2.30 PQ + P ' Q ' = PQ +P '' Q '' = a d '' // d Bài toán đưa trường hợp a) Bài 12:Cho hai đường tròn ( O; R ) ( O '; R ' ) tiếp xúc với A, R > R ' Hãy dựng đường tròn ( α ) tiếp xúc với hai đường tròn cho tiếp xúc với đường thẳng OO ' Giải: Phân tích: Giả sử ta dựng đường tròn (α) tiếp xúc với đường tròn ( O ) , ( O ') đường thẳng OO ' Gọi AB, AC đường kính ( O ') ( O ) uuur uuur Đặt k = AB AC , k ≠ (không đổi) Hình 2.31 Xét phép nghịch đảo f ( A, k ) Đường tròn ( O ) a đường thẳng b qua B b ⊥ OO ' Đường tròn ( O ') a đường thẳng c qua C c ⊥ OO ' Đường thẳng OO ' a Đường tròn ( α ) a đường tròn ( α ') tiếp xúc với OO ' hai đường thẳng b, c Nguyễn Thị Giang 64 Cách dựng Dựng đường thẳng b ⊥ OO ' B đường thẳng c ⊥ OO ' C Dựng đường tròn ( α ') tiếp xúc với b, c OO ' với tiếp điểm b M , c N Dựng giao điểm M ' = AM ∩ ( O ) , N ' = AN ∩ ( O ' ) Dựng giao điểm I = O ' N '∩ OM ' Dựng đường tròn ( I ; IM ') đường tròn cần dựng Chứng minh: Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp Qua f : đường thẳng b a đường tròn ( O ) đường thẳng c a đường tròn ( O ') Đường thẳng OO ' a Do ( I ; IM ') a ( α ' ) tiếp xúc với ( O ) ( O ') M ', N ' Vậy đường tròn ( α ) tiếp xúc với ( O ) , ( O ') đường thẳng OO ' Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình KẾT LUẬN Nguyễn Thị Giang 65 Khóa luận “ số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán” hệ thống lại kiến thức bảncủa phép biến hình mặt phẳng; đưa ramột số ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán, ứng dụng có ví dụ, phương pháp giải chung, đa số ví dụ có hướng dẫn, nhận xét đưa nhiều cách giảigiúp người đọc nắm vững kiến thức kỹ giải toán Thông qua khóa luận giúp bạn đọc thấy ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải số toán hệ tọa độ Oxy, toán quỹ tích, toán dựng hình, góp phần giúp bạn đọc hiểu thêm công cụ để giải toán Nguyễn Thị Giang 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (2009), Hình học sơ cấp thực hành giải toán, Nhà xuất đại học sư phạm [2] Văn Như Cương (1998), Hình học 3, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Minh Chương (1963), Hình học sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục [4] PTS Nguyễn Văn Đoành (1994), Hình học sơ cấp, Trường đại học sư phạm I [5] Đoàn Quỳnh (2014), Hình học 11 nâng cao,Nhà xuất giáo dục Việt Nam [6] Đỗ Thanh Sơn (2004), Phép biến hình mặt phẳng, Nhà xuất Giáo dục [7] Hoàng Trọng Thái (2007), Ứng dụng phép biến hình giải toán hình học, Nhà xuất đại học sư phạm [...]... là phép đối xứng trục + Tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc ngược lại là phép quay hoặc phép tịnh tiến r + Với k ≠ 1 thì tích của một phép tịnh tiến theo vectơ u và phép vị tự VOk cũng là phép vị tự + Tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một phép vị tự hoặc phép tịnh tiến CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN 2.1 Ứng dụng các phép biến hình trong. .. phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến hoặc tích của phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm + Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến hoặc tích của phép tịnh tiến và phép đối xứng trục có vectơ tịnh tiến vuông góc trục đối xứng là phép đối xứng trục + Tích của phép đối xứng trục và phép quay có tâm quay nằm trên trục đối xứng hoặc tích của phép quay và phép đối xứng trục... Tích của hai phép đồng dạng + Tích của hai phép đồng dạng là một phép đồng dạng có tỉ số đồng dạng bằng tích của hai tỉ số đồng dạng + Mọi phép đồng dạng tỉ số k ≠ 1 đều có điểm bất động duy nhất + Mọi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự và một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và phép vị tự 1.5.2 Tích các phép biến hình khác loại Nguyễn Thị Giang 18 + Tích của một phép. .. nghĩa Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k > 0 ) nếu với hai điểm bất kỳ M , N và ảnh M ' , N ' của chúng, ta có M ' N ' = kMN b) Tính chất Tính chất 1: k = 1, phép đồng dạng là phép đẳng cự Tính chất 2 :Phép vị tự tâm O, tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k Tính chất 3: Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số 1 k Tính chất 4: Tích của phép đồng dạng tỉ số k1 với phép. .. trục đối xứng b) Tính chất + Phép đối xứng trục là một phép phản dời hình + Tích của phép đối xứng trục với chính nó là một phép đồng nhất Nguyễn Thị Giang 8 + Mọi điểm trên trục đối xứng đều là điểm bất động + Mỗi đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng đều biến thành chính nó + Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu biết trục đối Hình 1.2 xứng của nó c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua... của phép đối xứng, hay đơn giản là tâm đối xứng b) Tính chất Tính chất 1 :Phép đối xứng tâm I là một phép phản dời hình Tính chất 2: Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp: nếu MĐ' = MI ( ) thì ĐI ( M ' ) = M , với mọi điểm M của mặt phẳng Tính chất 3 :Phép đối xứng tâm ĐI uuuur uuur uuur + Biến vectơ AB thành vectơ đối của nó: A ' B ' = − AB + Biến một đường thẳng d qua tâm I thành chính nó + Biến một. .. được Ngược lại, mỗi phép tịnh tiến có vô số cách phân tích thành tích của hai phép Nguyễn Thị Giang 11 đối xứng tâm + Tính chất 6: Tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm Hình 1.5 + Tính chất 7 :Phép đối xứng tâm hoàn toàn được xác định nếu biết tâm đối xứng c) Biểu thức tọa độ Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm I ( a; b ) Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến '   x = 2a −... 15 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy nếu chọn tâm nghịch đảo trùng kx  x ' =  x2 + y2 với gốc tọa độ thì biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo f là  ky y' =  x2 + y 2 1.5 Tích hai phép biến hình 1.5.1 Tích hai phép biến hình cùng loại a) Tích của hai phép đối xứng tâm + Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm trùng nhau là phép đồng nhất, do đó ( ĐO ) −1 = ĐO + Tích của hai phép đối xứng... thành một đường thẳng d ' song song với d và cũng không đi qua tâm I Vậy qua một phép đối xứng tâm ĐI , một đường thẳng d là bất biến khi và chỉ khi d đi qua tâm I + Tính chất 4: Phép đối xứng tâm ĐI có điểm bất động duy nhất là tâm đối xứng ĐI và tích của phép đối xứng tâm I với chính nó là một phép đồng nhất + Tính chất 5: Tích của phép đối xứng tâm ĐI với phép đối xứng tâm uur ĐJ là một phép tịnh... TOÁN 2.1 Ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán trong hệ tọa độ Oxy 2.1.1 Một số kiến thức liên quan *Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến: r Oxy , v Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho (a, b), M ( x; y ) , M ' ( x '; y ' ) x ' = x + a Khi đó nếu Tvr ( M ) = M ' thì  y ' = y + b  * Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho M ( x; y )