Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán

Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán... Ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán trong hệ tọa độ ...18... Mở đầu chương trình Hình

Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng

vào giải toán

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌAi

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC ii i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v

Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán 1

MỤC LỤC 2

LỜI CẢM ƠN ii 2

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu khóa luận 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng của các phép biến hình trong mặt phẳng rồi phân hóa, hệ thống các kiến thức 2

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3

7 Bố cục khóa luận 3

CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 4

1.2 Phép đẳng cự 5

1.2.1.Phép tịnh tiến 5

1.2.2 Phép đối xứng trục 7

1.2.3 Phép quay 8

1.2.4 Phép đối xứng tâm 10

1.3 Phép đồng dạng 11

1.3.1.Phép vị tự 11

1.3.2 Phép đồng dạng 13

1.4 Phép nghịch đảo 14

1.5 Tích hai phép biến hình 15

1.5.1 Tích hai phép biến hình cùng loại 15

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH 18

TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN 18

2.1 Ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán trong hệ tọa độ .18

2.1.1 Một số kiến thức liên quan 18

2.1.2 Ví dụ minh họa 19

2.2 Ứng dụng các phép biến hình trong bài toán quỹ tích 35

2.2.1 Một số kiến thức liên quan 35

a) Bài toán tìm quỹ tích 35

b) Giải bài toán quỹ tích 35

c) Một số bài toán quỹ tích cơ bản 36

d) Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hình 37

2.2.2.Ví dụ minh họa 38

2.3 Ứng dụng các phép biến hình trong bài toán dựng hình 49

2.3.1 Một số kiến thức liên quan 49

a) Khái niệm về dựng hình bằng thước và compa 49

b) Bài toán dựng hình 50

c) Các bài toán dựng hình cơ bản 50

d) Các bước giải một bài toán dựng hình 51

e) Ứng dụng các phép biến hình vào giải bài toán dựng hình 51

2.3.2 Ví dụ minh họa 52

Cách dựng: 54

Gọi 62

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO i

( , )

f O k Phép nghich đảo tâm O tỉ số k

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Môn Toán trong trường phổ thông giữ vai trò, vị trí hết sức quan trọng,

là môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy trừu tượng, lập luận một cách chặt chẽ logic, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với những phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác Ngoài ra môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: Cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, đức tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ,

Trong nhà trường phổ thông Hình Học là môn học có tính chất chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng hóa cao, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức, biết tư duy logic, biết vận dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống,

Mở đầu chương trình Hình Học 11 học sinh được làm quen với các phép biến hình trong mặt phẳng chẳng hạn: Phép đối xứng qua một đường thẳng, phép đối xứng qua một điểm, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép quay, Các phép biến hình này được ứng dụng rộng rãi trong giải bài tập toán học như: Bài toán tìm quỹ tích, bài toán dựng hình, Trong nhiều trường hợp giải toán hình học sử dụng các phép biến hình cho ta thấy lời giải bài toán đơn giản, ngắn gọn hơn và cho ta cái nhìn tổng quát hơn về bài toán

Ngoài các ứng dụng trong giải toán, các phép biến hình trong mặt phẳng còn có rất nhiều ứng dụng trong đời sống thực tiễn như: các công trình xây dựng bản vẽ thiết kế cầu, đường, nhà, Ứng dụng trong hội họa, mỹ thuật Chế tạo sản phẩm mỹ nghệ như: bình gốm, thổ cẩm, Dựa vào các tính chất của phép biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết quần

áo Trong giải trí: để chế tạo đu quay, trò chơi (chong chóng, ) Để phóng to, thu nhỏ các đồ vật,

Các phép biến hình trong mặt phẳng được ứng dụng rộng rãi trong giải

toán cũng như trong đời sống thực tiễn thế nhưng việc làm quen, sử dụng và ứng dụng được nó là việc hết sức khó khăn bởi khi học về phép biến hình đòi hỏi học sinh phải biết tư duy logic, tư duy hình tượng và cần phải tìm được quan hệ giữa các yếu tố hình học thông qua cái nhìn trực quan, Vì vậy học sinh rất ngại học phần này.

Với mong muốn khai thác các kiến thức và hệ thống các ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng để hiểu rõ hơn về vai trò của nó trong giải các bài toán Đồng thời nội dung các phép biến hình có trong chương trình phổ thông nên chúng tôi muốn nghiên cứu về nó để phục vụ cho nghề nghệp sau này

Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng của

phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp đại

học của mình

2 Mục tiêu khóa luận

- Hệ thống một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán

- Đưa ra các ví dụ minh họa cho từng ứng dụng, kèm theo các ví dụ là những hướng dẫn, nhận xét hỗ trợ việc giải các bài toán tương tự

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất của các phép biến hình trong mặt phẳng

- Hệ thống một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán trong hệ tọa độ Oxy bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.,

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng của các phép biến hình trong mặt phẳng rồi phân hóa, hệ thống các kiến thức

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Các phép biến hình trong mặt phẳng

 Phạm vi: Hệ thống các kiến thức và ứng dụng cuả phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán, cụ thể là: ứng dụng các phép biến hình vào giải một số bài toán trong hệ tọa độ Oxy bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.,

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận đã hệ thống những kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng đồng thời phân loại các ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng giúp người đọc hiểu rõ hơn về vai trò của nó trong giải toán

Khóa luận là một tài liệu hữu ích cho học sinh trung học phổ thông và các bạn sinh viên nghành sư phạm toán đồng thời giúp chúng tôi học toán tốt hơn

7 Bố cục khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành các chương:

Chương 1: Các phép biến hình trong mặt phẳng

Trình bày một số kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng như tích hai phép biến hình, định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ (nếu có) của các phép biến hình

Chương 2: Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán

Trình bày một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán, mỗi ứng dụng đều đưa ra các bài tập để minh họa cho ứng dụng đó

CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1.1 Một số khái niệm cơ bản

a)Phép biến hình: Trongmặt phẳng cho một quy tắc ,f với mỗi điểm M

thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M ' thuộc mặt phẳng ấy Điểm M ' gọi là ảnh của điểm M qua quy tắc ,f điểm M được gọi là tạo ảnh cuả điểm M f được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng.',

Kí hiệu: M'= f M( ) hoặc f M( ) =M'. Khi đó, ta còn nói phép biến hình f

biến điểm M thành điểm M '

Với mỗi hình H ta gọi hình H' gồm các điểm M '= f M( ),trong đó M∈H,

là ảnh của H qua phép biến hình f và viết H' = f ( )H

b)Phép biến hình đồng nhất:Nếu f M( ) =M với mọi M thuộc mặt phẳng thì

f được gọi là phép biến hình đồng nhất.

c)Phép biến hình đảo ngược:Nếu có phép biến hình ,f f M( ) = M' và phép biến hình ,g g M( )' = M thì g được gọi là phép biến hình đảo ngược của

Nếu mọi điểm của đường thẳng d là điểm kép thì d gọi là đường thẳng cố

định hoặc đường thẳng kép hoàn toàn

e) Phép biến hình đối hợp:Phép biến hình f được gọi là phép biến hình có

tính chất đối hợp nếu f M( ) =M f M', ( )' =M '' thì M ''≡M

1.2 Phép đẳng cự

a) Định nghĩa

Một phép biến hình :f P→ P được gọi là một phép đẳng cự nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M N bất kỳ và hai ảnh của chúng lần lượt là ,' ( ), ' ( ),

M = f M N = f N ta luôn có MN =M N' '

b) Tính chất

- Phép đẳng cự biến ba điểm , ,A B C thẳng hàng với B nằm giữa A và

C thành ba điểm thẳng hàng ', ', ' A B C với B' nằm giữa A' và ',C biến một

đường thẳng thành một đường thẳng,biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này biếnthành tâm đường tròn kia, biến một góc thành một góc bằng nó

c) Phân loại

Phép đẳng cự được phân thành hai dạng:

-Phép dời hình là phép đẳng cự mà không làm thay đổi hướng của tam giác

-Phép phản dời hình là phép đẳng cự mà làm thay đổi hướng của tam giác.Sau đây chúng ta tìm hiểu một số phép đẳng cự đặc biệt:

Phép tịnh tiến theo vectơ ur

thường được kí hiệu là T hoặc T ur

Vectơ ur được gọi là vectơ tịnh tiến.

Hình 1.1

Tính chất 2:Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó

Tính chất 3: Phép tịnh tiến T ur (với ur khác vectơ 0r):

+Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng ' d song song với d nếu d không song song với ur.

+ Biến một đường thẳng d thành chính nó nếu d song song với ur.

Như vậy, qua phép tịnh tiến T urtheo vectơ ur khác vectơ 0,r một đường thẳng

là bất động khi và chỉ khi d song song với vectơ ur.

+Biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó

Tính chất 4: Mọi phép tịnh tiến (khác phép đồng nhất) đều không có

điểm bất động

+ Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép tịnh tiến theo vectơ ur

Biết tọa độ của u a br( ); Giả sử điểm M x y biến thành điểm ( ; ) M x y'( '; ').

Khi đó ta có

' '

Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đ a.

Phép đối xứng qua đường thằng thường được gọi đơn giản là phép đối xứng trục

Đường thẳng a được gọi là trục của phép đối xứng hay đơn giản là trục

+ Mọi điểm trên trục đối xứng đều

là điểm bất động

+ Mỗi đường thẳng d vuông góc

với trục đối xứng đều biến thành

chính nó

+ Phép đối xứng trục hoàn toàn

được xác định nếu biết trục đối

xứng của nó

c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox và Oy

- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox

+ Nếu phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M x y thành điểm ( ; )

Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox

- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy

+ Nếu phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M x y thành điểm ( ; )

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không

đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm , O biến mỗi điểm M khác O

thành điểm M' sao cho OM OM= ' và (OM OM, ') =ϕ được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ .

Hình 1.2

+ Phép quay thường được kí hiệu là Q và nếu muốn chỉ rõ tâm quay

O và góc quay ϕ thì ta kí hiệu phép quay đó là Q(O,ϕ)hoặc Q Oϕ.

+ Ta quy ước chiều quay thuận

chiều kim đồng hồ là chiều âm,

chiều quay ngược chiều kim đồng

hồ là chiều dương

b) Tính chất

+Phép quay là một phép dời hình.

Chứng minh

Giả sử phép quay Q Oϕ biến điểm M thành điểm M ' và biến điểm N thành

điểm ',N trong đó , , O M N không thẳng hàng.

Theo định nghĩa của phép quay, ta có:

','

Như vậy hai tam giác MON và M ON bằng nhau, do đó ' ' M N' '=MN

Trường hợp , ,O M N thẳng hàng ta thấy ngay M N' '=MN

+ Trong góc quay tâmO với góc quay ϕ ≠0 chỉ có tâm O là điểm kép

duy nhất, nếu đường thẳng a đi qua tâm thì đường thẳng ảnh 'a của nó cũng

đi qua tâm

Hình 1.3

Hình 1.4

Phép đối xứng qua điểm I là một phép biến hình biến mỗi điểm M

thành điểm M' đối xứng với điểmM qua I, có nghĩa là IMuuur+IMuuur' =0.r

* Kí hiệu và thuật ngữ

Phép đối xứng qua điểm Ithường được kí hiệu là Đ I.

Phép đối xứng qua một điểm còn gọi đơn giản là phép đối xứng tâm.

Điểm I gọi là tâm của phép đối xứng, hay đơn giản là tâm đối xứng.

b) Tính chất

Tính chất 1:Phép đối xứng tâm I là một phép phản dời hình

Tính chất 2: Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp: nếu MĐ M'= I( )

thì Đ M I( )' =M, với mọi điểm M của mặt phẳng

Tính chất 3:Phép đối xứng tâm Đ I

+ Biến vectơ ABuuurthành vectơ đối của nó: uuuurA B' '= −uuurAB.

+ Biến một đường thẳng d qua tâm Ithành chính nó

+ Biến một đường thẳng d không đi qua tâm Ithành một đường thẳng '

d song song với d và cũng không đi qua tâm I

Vậy qua một phép đối xứng tâm Đ I, một đường thẳng d là bất biến khi và

chỉ khi d đi qua tâm I

+ Tính chất 4: Phép đối xứng tâm Đ Icó điểm bất động duy nhất là tâm

đối xứngĐ Ivà tích của phép đối xứng tâm I với chính nó là một phép đồng nhất.

+ Tính chất 5: Tích của phép đối xứng tâm Đ I với phép đối xứng tâm J

Đ là một phép tịnh tiến theo vectơ 2 ,IJuur tích đó không giao hoán được

đối xứng tâm.

+ Tính chất 6: Tích của một

phép tịnh tiến và một phép đối

xứng tâm là một phép đối xứng tâm

+ Tính chất 7:Phép đối xứng tâm hoàn toàn được xác định nếu biết tâm

22

Ta thường kí hiệu phép vị tự bởi chữ V , nếu cần nói rõ tâm O và tỉ số

k của nó thì ta kí hiệu là V(O k, ) hoặc k.

O V

Tính chất 1:Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N

lầnlượtthành hai điểm M' và N thì' M Nuuuuur' ' =k MNuuuurvàM N' '= k MN.

Chứng minh

NếuO là tâm của phép vị tự thì theo định nghĩa, ta có OMuuuur'=kOMuuuur,

ONuuuur=kONuuuur

Vậy M Nuuuuuur uuuur uuuur' '=ON'−OM '=kON kOMuuur− uuuur=k ON OM(uuur uuuur− ) =k MNuuuur

Từ đó suy ra M N' '= k MN.

Tính chất 2:Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng

hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

Nếu phép vị tự tỉ số k biến , , A B C lần lượt thành ', ', ' A B C theo tính chất 1,

ta có: ' 'uuuurB A =k BA B Cuuur uuuur, ' '=k BCuuur

Từ đó suy ra B Auuuur' '=k BA k mBCuuur= ( uuur) ( )=m k BCuuur =mB Cuuuuur' ', tức là ba điểm ', ', '

Bởi vậy IM =R khi và chỉ khi 'I M'= k R hay là M' thuộc đường tròn

(I R với ''; ') R = k R

Đó chínhlà ảnh của đường tròn (I R qua phép vị tự ; ) V

Tính chất 4:Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng

song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k , biến góc thành góc bằng nó

+ Phép vị tự hoàn toàn được xác định nếu biết tâm vị tự và tỉ số vị tự

k là phép đồng dạng tỉ số k k1 .2

Tính chất 5:Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D

Tính chất 6:Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng (và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó), biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đường thẳng mà

độ dài được nhân lên với k ( k là tỉ số của phép đồng dạng), tam giác thành

tam giác đồng dạng với tỉ số k , biến đường tròn bán kính R thành đường tròn

Phép nghịch đảo tâm O tỉ số k được kí hiệu là f O k( , )

ĐiểmO được gọi là tâm (cực) của phép nghịch đảo, k được gọi là tỉ số

(phương tích) của phép nghịch đảo

b) Tính chất

+ Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: M →M' thì M'→M

+ Nếu k >0 thì những điểm M nằm trên đường tròn (O k sẽ biến , )

thành chính nó Đường tròn (O k trong trường hợp đó được gọi là đường , )

tròn nghịch đảo

+ Một đường thẳng không đi qua cực của phép nghịch đảo biến thành một đường tròn đi qua cực

+ Một đường thẳng đi qua cực biến thành chính nó

+ Một đường tròn đi qua cực biến thành một đường thẳng không đi qua cực

+ Một đường tròn không đi qua cực biến thành một đường tròn không đi qua cực

+ Góc giữa hai đường cong tại giao điểm của chúng không đổi qua phép nghịch đảo

c) Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy nếu chọn tâm nghịch đảo trùng

với gốc tọa độ thì biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo f là

2 2

2 2

'

.'

kx x

x y ky y

1.5.1 Tích hai phép biến hình cùng loại

a) Tích của hai phép đối xứng tâm

+ Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm trùng nhau là phép đồng nhất,

Tổng quát: Tích của một số chẵn phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến

Tích của một số lẻ phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm

b) Tích của hai phép đối xứng trục

+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục trùng nhau là phép đồng nhất,

do đó (Đ∆)−1=Đ∆

+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục song song với nhau là phép tịnh tiến, Đ Đ∆1 ∆2 =T ur với ur có hướng từ ∆1 đến ∆2,u⊥ ∆1,ur =2d(∆ ∆1, 2)

Ngược lại mọi phép tịnh tiến T ur đều có thể phân tích thành tích bằng nhiều cách của hai phép đối xứng trục song song, mỗi trục vuông góc với vectơ tịnh tiến, khoảng cách giữa hai trục bằng nửa độ dài vectơ tịnh tiến.

+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O là phép quay tâm O góc quay bằng hai góc giữa hai trục.

Ngược lại mọi phép quay Q Oα đều có thể phân tích thành tích bằng nhiều cách của hai phép đối xứng trục cắt nhau tại tâm quay ,O góc giữa hai

trục bằng một nửa góc quay

+ Tích của hai phép đối xứng trục có hai trục vuông góc tại điểm O là

phép đối xứng tâm O

c) Tích của hai phép tịnh tiến

+ Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ urvà vectơ vr là phép tịnh tiến theo vectơ u vr r+ ,T T u vr r=T T v ur r =T u vr r+ , ( )T ur −1=T−ur

d) Tích của hai phép quay

+ Tích của hai phép quay cùng tâm O là phép quay tâm O còn góc

quay bằng tổng hai góc quay thành phần,Q Q Oα2 Oα1 =Q Oα α1+ 2,đặc biệt

e) Tích của hai phép dời hình

+ Tích của phép dời hình là một phép dời hình

+ Mọi phép dời hình có 3 điểm bất động không thẳng hàng đều là phép đồng nhất

+ Mọi phép dời hình có 2 điểm bất động đều là phép đồng nhất hoặc phép đối xứng trục

+ Mọi phép đồng dạng tỉ số k ≠1 đều có điểm bất động duy nhất

+ Mọi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự và một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và phép vị tự

1.5.2 Tích các phép biến hình khác loại

Hình 1.7

+ Tích của một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến hoặc tích của phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm.

+ Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến hoặc tích của phép tịnh tiến và phép đối xứng trục có vectơ tịnh tiến vuông góc trục đối xứng là phép đối xứng trục

+ Tích của phép đối xứng trục và phép quay có tâm quay nằm trên trục đối xứng hoặc tích của phép quay và phép đối xứng trục với trục đi qua tâm quay là phép đối xứng trục

+ Tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc ngược lại là phép quay hoặc phép tịnh tiến

+ Với k ≠1 thì tích của một phép tịnh tiến theo vectơ ur và phép vị tự

k

O

V cũng là phép vị tự.

+ Tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một phép vị tự hoặc phép tịnh tiến

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH

TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN 2.1 Ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán trong hệ tọa độ Oxy

2.1.1 Một số kiến thức liên quan

*Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy cho , v a b M x y M x yr( , ), ( ); , ' '; ' ( )

* Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho, M x y và ( ; ) M x y Khi đó nếu' '; ' ( )

*Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho , I a b M x y M x y( , ), ( ); , ' '; ' ( )

Hướng dẫn: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ Chúng

ta thường giải bằng các bước:

- Lập phương trình đường thẳng d qua ' M và vuông góc với d

- Xác định tọa độ giao điểm H của d và d'

- Xác định tọa độ N sao cho H là trung điểm MN

Giải

Gọi ur là VTCP của đường thẳng d⇒ur( )1;1 N x y là điểm đối xứng với ( );

M qua d và H là trung điểm củaMN

thuộc ( )C sao cho M N , đối xứng qua d

Hướng dẫn: Viết pt đường thẳng ( )∆' đối xứng( )∆ qua d

M và N đối xứng qua( )d ⇒tồn tại phép đối xứng trục §d :M →N.

Gọi( )∆' là đường thẳng đối xứng với ( )∆ qua ( ) ( )d ⇒ ∆' :x y+ − =7 0

Ta có:M ∈ ∆ ⇒ ∈ ∆( ) N ( )'

Theo giả thiếtN∈( )C ⇒ ∈ ∆ ∩N ( ) ( )' C

Tọa độ N là nghiệm của hệ:

M và N đối xứng qua( )d ⇒tồn tại phép đối xứng trục §d :M →N.

Gọi( )∆' là đường thẳng đối xứng với( )∆ qua( ) ( )d ⇒ ∆' : 2x y− − =3 0

6 / 7

x x

+) Với 2

67

x = ⇒ 2

97

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ vr( 2;3)− , đường thẳng d

có phương trình:3x−5y+ =3 0 Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của'

d qua phép tịnh tiến theo vectơ vr.

Hướng dẫn : Bài tập này có nhiều cách để giải chúng ta sẽ dựa vào tính

chất, biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình đường thẳng ảnh ' d của , d cụ thể ta làm như sau :

Cách 1: ' d là ảnh của d qua T vr⇒d // ' d ⇒ PTTQ của đường thẳng ' d

Phương trình đường thẳng M N chính là phương trình đường thẳng ' ' d là '

ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ vr.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương

trình: 2x+3y− =3 0 Viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua '

'2

Lấy M( )0;1 ∈d Gọi M x y là ảnh của ' '; '( ) M qua phép vị tự tâm O tỉ số

Hướng dẫn :Để tìm ảnh của( )C qua T ur ta cần tìm ảnh của tâm ( )C qua T ur

Dựa vào biểu thức tọa độ hoặc tính chất của phép tịnh tiến tasẽ tìm được ảnh của tâm ( )C

Giải

Cách 1:

Lấy M x y( ; ) ( )∈ C , gọiM x y là ảnh của ' '; '( ) M qua ,T ur ta có:

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tu r là: x = x 2 x = x + 2

Thay vào phương trình đường tròn ( )C ta được: (x 1)′− 2 +(y′−2)2 =1

Vậy đường tròn cần lập có phương trình : (x−1)2 +(y−2)2 =1

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho M( )1;5 ,đường tròn( )C có

phương trình:x2 + y2 −2x+4y− =4 0,đường thẳng d có phương trình:

2 4 0

x− y+ =

a) Tìm ảnh của M C và d qua phép đối xứng trục ,( ) Ox

b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d

Thay vào phương trình của d ta được: x' +2y' + =4 0

Vậy phương trình của d là' x+2y+ =4 0.

b) Đường thẳng d1đi quaM và vuông góc với d có phương trình là:

Vậy ảnh của ( )∆ qua phép biến hình f là đường thẳng ( )∆' có phương trình là:x+2y− =4 0.

Cách 2: Trên ( )∆ lấy 2 điểm M N bất kỳ phân biệt ,

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng( )∆ có phương trình: x−5y+ =7 0 và ( )∆' : 5x y− − =13 0.Tìm phép đối xứng trục biến ( )∆thành ( )∆'

Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A(−2;0 ,) (B −1;0 ) Tìm tọa

độ điểm C và D để tứ giác ABCD là hình bình hành Biết tọa độ giao điểm

( )

D y

Vì OABC là hình bình hành nên:BCuuur uuur= AO=(2; 1)−

Tồn tại phép tịnh tiến theo ur=(2; 1)− :

Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng ∆' có phương trình: 2x y 10 = 0.− −

Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A( ) ( )1;2 ,B 3;4 Tìm P trên

Ox sao cho tổng khoảng cách từ P đến Avà Blà nhỏ nhất

x y

Nhận xét:Chúng ta đã sử dụng một kết quả trong mục 4 Áp dụngbài phép

đối xứng trục, trang 12, 13 SGK hình học 11 NC ( Nếu , A B nằm về một phía của đường thẳng , d A' đối xứng với A qua , d khi đó: AM +MB= A M' +MB

Bài 13:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A( )3;1 và đường thẳng :x y 0

∆ − = Tìm B và C lần lượt trên Ox và ∆ sao cho tam giác ABC có

chu vi nhỏ nhất

Hình 2.2