Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến.. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện.. Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhi

KHOA VẬT LÝ 

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của đề tài 2

NỘI DUNG 3

Chương I Phép tính vi phân hàm nhiều biến 3

I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số 3

I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến 3

I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản 4

I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số 7

I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số 8

I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số 12

I.3.1 Tính chất 12

I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số 13

I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1 13

I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao 14

I.5 Vi phân toàn phần 15

I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần 15

I.5.2 Vi phân cấp cao 16

I.6 Đạo hàm hàm số ẩn 17

I.6.1 Hàm ẩn một biến 17

I.6.2 Hàm ẩn hai biến 18

I.7 Đạo hàm theo hướng 19

I.7.1 Định nghĩa 19

I.7.2 Công thức tính 20

I.7.3 Gradien 21

I.8 Công thức Taylo với hàm số 2 biến số 22

I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số 23

I.9.1 Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị 23

I.9.2 Điều kiện đủ của cực trị 24

I.10 Cực trị có điều kiện 25

I.10.1 Định nghĩa và điều kiện cần 25

I.10.2 Điều kiện đủ 26

Chương II Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến 28

II.1 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng 28

II.2 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện 32

II.2.1 Cực trị 33

II.2.2 Cực trị có điều kiện 41

II.2.2.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị chặn 41

II.2.2.2 Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số 45

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn đến TS.Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu đề tài khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật Lý Lí thuyết và Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành đề tài khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất Song

do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được Em rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỉ XX, do sự phát triển của ngành Giải tích toán học

Sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là ngành Giải tích hàm giúp cho những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật,…được giải quyết nhanh gọn và chính xác Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, ….Mỗi lĩnh vực đều

có tầm quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng Trong đó, phép tính vi phân

là một phần cơ bản của Giải tích

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất giai đoạn thế kỷ XVII của Isaac Newton và Gottfried Wihelm Leibniz Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học, công nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế cuộc sống và trong nghiên cứu khoa học Đặc biệt phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những cơ sở quan trọng trong học tập cũng như nghiên cứu vật lý

Engels đã viết: “Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả những quá trình”

Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này,

em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp lại kiến thức về phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ đó tìm ra những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức của bản thân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng:

- Phép tính vi phân hàm số nhiều biến

- Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

 Phạm vi: Hàm số nhiều biến

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm

số nhiều biến và đưa ra một số bài toán về phép tính vi phân hàm số nhiều biến

 Nghiên cứu những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến để tìm cực trị, tính gần đúng

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần: Chương I Phép tính vi phân hàm số nhiều biến

I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến

I.2 Biểu diễn hình học của hàm số hai biến số

I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số

I.5 Vi phân toàn phần

I.6 Đạo hàm của hàm số ẩn

I.7 Đạo hàm theo hướng

I.8 Công thức Taylor với hàm số hai biến

I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số

I.10 Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số

Chương II Một số ứng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

II.1 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng II.2 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực

trị có điều kiện

NỘI DUNG Chương I Phép tính vi phân hàm nhiều biến

I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số

I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến

 Xét không gian Euclid chiều Gọi một phần tử là một bộ số thực là một tập hợp trong

 Khi đó ánh xạ:

xác định bởi:

(1.1) được gọi là một hàm số của biến số xác định trên ; được gọi là miền xác định của hàm số được gọi là các biến số độc lập Nếu xem

là các tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ nào đó thì cũng có thế viết

a Với

)

b Với

Hình 1.1 Hình 1.1: Hình vẽ của hàm trong không gian chiều

I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản

 Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vuông góc với nhau từng đôi một , mà trên đó đã chọn ba vector đơn vị sao

cho độ dài ba vector này bằng đơn vị Vị trí của một điểm M trong không gian hoàn toàn xác định nếu ta biết được các thành phần toạ độ

 Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó

mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng hai thành phần:

+ Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc (gốc cực) gọi là bán kính + Góc tạo bởi đường thẳng với hướng gốc cho trước (trục cực)

 là độ cao của điểm

Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc bởi biểu thức sau:

 là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ

Hình 1.5 Mối liên hệ giữa các hệ toạ độ:

Từ

Đề các (Cartesian)

Trụ (Cylindrical)

Cầu (Spherical)

S

ang

Cartesian

eφ

⬚

⬚

eθ

𝜑 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦/

𝑂𝐶 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑦 𝑂𝐵 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑧 𝑂𝐷 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

Cyli ndrical

Sph erical

I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số  Gọi và Khi đó khoảng cách giữa và , kí hiệu là , được tính theo công thức: (1.2)  Ta nói dãy điểm dần đến điểm , ký hiệu

khi nếu

hay là {

 Cho hàm xác định lân cận có thể trừ điểm Ta nói hàm có giới hạn là khi dần đến nếu mọi dãy điểm thuộc lân cận dần đến ta đều có:

Ký hiệu:

hay (1.3) Ví dụ 1: Tìm các giới hạn: a

b

Lời giải:

b Giả sử theo đường thẳng với là hằng số

khi đó

Như vậy với mỗi giá trị khác nhau thì

có kết quả khác nhau Do giới hạn của hàm số nếu có phải là duy nhất nên không tồn tại giới hạn

I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số

Trong không gian ba chiều đồ thị của hàm hai biến với thường là một mặt cong Sau đây là một số mặt cong đặc biệt có nhiều ứng dụng trong vật lý:

I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Hàm số xác định trên miền và điểm Ta nói rằng hàm số

liên tục tại nếu

 Nếu hàm số xác định trên miền thì ta nói rằng hàm số đó liên tục trên miền khi nó liên tục tại mọi điểm

 Hàm số liên tục trên miền đóng nếu nó liên tục trên miền và liên tục tại mọi điểm theo nghĩa

 Nếu đặt là số gia toàn phần của hàm số tại thì hàm số liên tục tại nếu khi {

Ví dụ 2: Khảo sát sự liên tục của hàm số sau: { (

)

Lời giải: { (

)

Ta có

| | | (

)|

Do đó khi và hàm số liên tục tại

Ta thấy liên tục tại mọi

Vậy liên tục trên

I.3.1 Tính chất

 Nếu liên tục trong miền đóng giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất

và giá trị bé nhất trong miền tức là: để có bất đẳng thức kép:

(1.4)

 Nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng bị chặn thì nó bị chặn trong miền đó và nó đạt giá trị lớn nhất, bé nhất trong miền ấy, đồng thời liên tục đều trong miền đó

I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số

I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1

 Cho hàm số xác định trong miền và Nếu

cho , ta được hàm số một biến có đạo hàm tại

Khi đó đạo hàm này được gọi là đạo riêng của đối với tại và được ký hiệu: hay

hay

(1.5)  Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với tại và ký hiệu: hay

hay

(1.6) Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng sau: a

b

Lời giải: a

Lấy đạo hàm theo biến , coi

là hằng số Lấy đạo hàm theo biến , coi

là hằng số b

Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số

Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số

I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao

 Cho hàm số hai biến số Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một của hàm số nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp hai

 Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau:

Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm:

Lời giải:

Các đạo hàm riêng cấp 1:

Các đạo hàm riêng cấp 2:

Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến

Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến I.5 Vi phân toàn phần I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần  Cho hàm xác định trong miền Lấy các điểm

 Biểu thức: (1.8) được gọi là số gia toàn phần của tại Trong đó là những số chỉ phụ thuộc vào , còn dần đến khi Tức là khi thì ta nói rằng hàm số khả vi tại , còn biểu thức được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại và kí hiệu là hay

 Vậy ta có biểu thức: (1.9) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi {

∫ (√ ) ( √

√ )|

(đvdt)

I.5.2 Vi phân cấp cao

 Nếu cũng là một hàm số của , thì

có thể xét vi phân của nó

 Khi khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của hàm số

và ký hiệu: ( ) Ta nói rằng khả vi đến cấp hai tại

 Công thức vi phân cấp hai:

( )

(

) (

)

Ví dụ 6: Tính vi phân của hàm ẩn được cho bởi phương trình:

Lời giải:

Ta coi phương trình đã cho là một đồng nhất thức:

Lấy vi phân vế trái và vế phải của phương trình đã cho

Lấy vi phân toàn phần của với là hằng số,

là vi phâ của hàm Lấy biểu thức thế vào biểu thức đầu tiên

 Định lý 1.2 Nếu thỏa mãn các điều kiện:

o liên tục trong lân cận và

o Các đạo hàm riêng liên tục và

trong lân cận thì phương trình (2.10) xác định bởi hàm và khả vi liên tục trong khoảng

Khi đó ta có:

I.6.2 Hàm ẩn hai biến

 Định lý 1.3 Cho phương trình hàm ẩn và thỏa mãn các điều kiện:

o liên tục trong hình cầu mở và

o Các đạo hàm riêng liên tục và trong hình cầu

Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận đồng thời:

Ví dụ 8: Cho Coi là hàm số ẩn, hãy tính

Lời giải:

 Lấy sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , lập tỉ số:

⃗⃗

Hình 1.13

I.7.2 Công thức tính

 Định lý 1.4: Nếu hàm số khả vi tại và bất kỳ có các cosin chỉ phương thì:

I.7.3 Gradien

 Cho có các đạo hàm riêng tại

 Gọi vector là gradien của hàm tại

và kí hiệu là grad

( )

(1.14) trong đó là các véc tơ đơn vị của các trục

 Đạo hàm của hàm theo hướng vector còn được xác định bởi:

là hằng số Lấy đạo hàm riêng theo biến thì coi

là hằng số Dựa vào công thức Gradien

( ) Lấy đạo hàm của hàm theo

( )

I.8 Công thức Taylo với hàm số 2 biến số

 Định lý 1.5 Giả sử hàm số có các đạo hàm riêng đến cấp liên tục trong một lân cận nào đó của điểm Nếu điểm

|

+

(

Công thức (1.15) gọi là công thức Taylor đối với hàm số

Ví dụ 11: Khai triển hàm theo công thức Taylor tại lân cận điểm với

Có:

Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm

I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số

I.9.1 Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị

 Định nghĩa

o Điểm gọi là điểm cực đại (địa phương) của hàm Nếu có lân cận đủ bé của để trong lân cận đó ( trừ xảy ra bất đẳng thức

o Tương tự ta có khái niệm cực tiểu (địa phương) của hàm số

o Điểm trong các trường hợp trên gọi chung là điểm cực trị

 Điều kiện cần

Định lý 1.6 Nếu đạt cực đại tại và có các đạo hàm riêng tại

đó thì các đạo hàm riêng đó bằng 0