Ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơ cấp

1 Khoá luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** ĐÀO THỊ HỒNG VÂN ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRONG TỐN SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học GVC.Th.s Phùng Đức Thắng HÀ NỘI - 2012 Đào Thị Hồng Vân K34A - Tốn LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Phép tính tích phân cơng cụ tốn học có ứng dụng rộng rãi khơng tốn học mà nhiều ngành khoa học khác Nhờ phép tính tích phân mà giải nhiều tốn thực tế mà tốn sơ cấp khơng thực Hiện nay, phép tính tích phân đưa vào chương trình mơn tốn THPT sách giáo khoa giải tích lớp 12 Các tác giả đưa đường đến khái niệm tích phân đơn giản đường đến khái niệm tích phân tổng quát Nội dung cách trình bày vấn đề sách giáo khoa giải tích 12 khác Thực tế nảy sinh câu hỏi: học sinh có mà hiểu sai khái niệm tích phân hay không? Giáo viên nên chọn nội dung giảng dạy cho phù hợp? Phép tính tích phân có nhiều ứng dụng, sử dụng để giải số dạng toán chương trình tốn THPT Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu vấn đề bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học, hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng, em chọn đề tài: “Ứng dụng phép tính tích phân tốn sơ cấp” Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nắm kiến thức tích phân bậc THPT ứng dụng tích phân vào giải số dạng tốn khác phổ thơng như: chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, chứng minh tồn nghiệm, giải phương trình, tính giới hạn tổng dãy, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay Qua cho học sinh thấy cách tiếp cận dạng toán thường gặp tránh số sai lầm giải toán tích phân Phương pháp nghiên cứu Xuất phất từ định nghĩa tính chất tích phân, sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, tổng kết kinh nghiệm thân thuận lợi khó khăn giải tốn Nội dung khoá luận Chương Một số kiến thức Trong chương em muốn nêu khái niệm tích phân tính chất tích phân để sử dụng chương sau: Chương Ứng dụng phép tính tích phân đại số Ứng dụng phép tính tích phân để giải số dạng toán THPT như: chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, chứng minh tồn nghiệm, giải phương trình, tính giới hạn tổng dãy Chương Ứng dụng phép tính tích phân hình học Ứng dụng phép tính tích phân để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay Mặc dù cố gắng lần tiếp cận việc nghiên cứu khoa học, hạn chế thời gian kiến thức nên nội dung cách trình bày luận văn em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy đọc để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình để em hồn thành khoá luận Đồng thời em chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Giải tích, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi để em có hội làm tốt cơng việc Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hồng Vân Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa tích phân Cho hàm số f (x) xác định đoạn [a;b],(a b) Ta thực bước sau: Chia đoạn [a;b] thành đoạn nhỏ không thiết nhau, điểm a x0 x1  xn b Đặt xi xi xi1(1 i n) Số lớn hiệu số kí hiệu maxxi Trong đoạn [xi1, xi ] chọn điểm tuỳ ý i , xi1 i xi tính f ( ) i (1 i n) Lập tích f (i ).xi đoạn chia Lập tổng tích đó: n f ( Sn f 1)x1  (i )xi  f (2 )x2   f (n )xn i1 Tổng Sn gọi tổng tích phân hàm số f (x) đoạn [a;b] Thực phép chia đoạn [a;b] cho max xi thành đoạn ngày nhỏ, dần đến Nếu tồn giới hạn n lim f (i )xi n i 1 không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a;b] giới hạn cách chọn điểm i b [a;b] kí hiệu f (x)dx a b Vậy theo định nghĩa ta có : n f (x)dx lim f (i )xi n a i 1 1.2 Một số tính chất định lý tích phân 1.2.1.Các tính chất Trong tính chất sau ta ln sử dụng giả thiết f (x), g(x) đoạn [a;b] a f (x)dx 0 a b a f (x)dx f (x)dx a b b b  k f (x)dx k f (k □ ) (x)dx a a b b b [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx a b a c a b f (x)dx f (x)dx f (x)dx a f (x) 0 f (x)  g(x) a c đoạn [a;b] b f (x)dx 0 a đoạn [a;b] b b f (x)dx g(x)dx a f (x)  đoạn [a;b]   m M m(a  b) a b f (x)dx a liên tục M (a b) t t biến thiên đoạn [a;b] G(t)  f (x)dx nguyên hàm f (t) G(a) 0 10 b b f (x)g(x)dx  a a f (x)g(x) dx 1.2.2 Định lý 1.1 Định lý 1.1 Mọi hàm số y f (x) liên tục [a;b] khả tích đoạn Chứng minh Theo định lý Cantor, hàm số y f (x) liên tục đoạn [a;b] liên tục đoạn này, nghĩa với số  cho trước, tồn số   cho: Với x1 [a;b],x2 x1 x2 f x1 f x2   [a;b] Giả sử là phân hoạch đoạn [a;b] d cho Vì f (x) liên tục k cận mk  đạt đến cận M k đoạn đó, tức  ,  cho ' k '' k f   M k '' ' n Vì    n k k k     '' ' f k f k  '  f ''     f  k 1 m do    k k k 1 ' k Vì  ,  '' k k k   ' , f  '' k Vì  số dương nhỏ tuỳ ý nên k k   b a  n  k k 1 y f (x) khả tích Vậy hàm số y f (x) khả tích 1.2.3 Định lý 1.2 Định lý 1.2 Giả sử hàm số y f (x) xác định liên tục [a;b] giả sử F (x) nguyên hàm Khi đó, tồn số thực x1, x2 [a;b] với x1 x2 cho F (x1 ) F (x2 ) phương trình f (x) 0 có nghiệm [x1; x2 ] Chứng minh Giả sử phương trình liên tục nên suy ra: + Nếu [x1; x2 ] f (x) 0 khơng có nghiệm thuộc f (x) 0,x [x1; x2 ] hàm số F  [x1; x2 ] Vì f (x) đồng biến đoạn x Suy F (x ) F (x ) , trái giả thiết + Nếu [x1; x2 ] f (x) 0,x [x1; x2 ] hàm số F  x nghịch biến đoạn Suy F (x1 ) F (x2 ) , trái giả thiết Như vậy, hai trường hợp, ta có trái với giả thiết F (x1 ) F (x2 ) , điều F (x1 ) F (x2 ) Vậy phương trình f (x) 0 có nghiệm [x1; x2 ] Nhận xét Cũng phát biểu định lý 1.1 dạng sau: Định lý 1.2.1 Nếu hàm số y f (x) xác định liên tục [a;b] tồn x1, x2 [a;b] số thực phân biệt cho phương trình x2 f (x)dx 0 x1 f (x) 0 có nghiệm thuộc [x1; x2 ] 1.2.4 Định lý 1.3 Định lý 1.3 Cho hai số thực a,b trái dấu (a 0 b) f (x) hàm số liên tục, khơng âm (có thể số hữu hạn điểm) [a;b] Khi đó, [a;b] phương trình x F (x) f (t)dt 0 có nghiệm x 0 Chứng minh x Ta thấy F (x) f (t)dt yên hàm ngu f (x) [a;b] x + Nếu  x F (0) f (t)dt 0  Vậy nghiệm phương trình F (x) 0 + Nếu x 0 x [a;b], từ giả thiết f (x) 0 , ta suy biến [a;b] F (x) F (0) 0 , tức phương trình F (x) 0 F (x) đồng khơng thể có nghiệm x 0 [a;b] Vậy phương trình có nghiệm x 0 F (x) 0 Nhận xét : Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có Định lý 1.3.1 Cho số thực a,b trái dấu f (x) hàm số liên tục, khơng dương (có thể số hữu hạn điểm [a;b] ) [a;b] x Khi phương trình : có nghiệm F (x) f (t)dt 0 x 0 Định lý 1.3.2 Cho ba số thực a,b(a b) f (x) hàm số liên tục, không dương (không âm, số hữu hạn điểm [a;b] ) [a;b] Khi phương trình x F (x) f (t)dt 0 có nghiệm x c thuộc [a;b] Lời giải Do phương trình x x 1  m ln ln có hai nghiệm ân biệt  1x 2 x1, x2 với x1 x2 x1 x2 m; x1x2 1 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng 47 Khoá luận tốt nghiệp x2 S   mx 2 x x2  x 1  dx  x1 mx 1 dx x1  x mx    mx21 3  x   x2 x mx x    x x 3  |   m 3   x x  x  x   x x  x x  x   x2 x x  x   2 2 x m x    x  x 2 x x m  x 2  1 x 2  x    1 x 1    Mặt khác ta có x x 2 x nên x 2  m2 4 , 4x x 1  2 S  m 14  m  m      3   1 2 m 4 (đvdt)  4m    3   Dấu đẳng thức xảy m 0 Khi đó, S đạt giá trị bé (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình tròn (C) x2 y2 R2 Lời giải Ta có phương trình (C) góc phần tư thứ I y  R  x Gọi S diện tích cần xác định, ta có S 4S1 R 48 Khố luận tốt nghiệp  4 R x dx Để tính (1) ta thực phép biến đổi, đặt x R sin t , với Đào Thị Hồng Vân   t   dx R costdt 2 (1) y S K34A - Toán 40 Khoá luận tốt nghiệp Đổi cận với x 0 t 0 với x R t   O x Khi 2 R R sin t costdt /2 S 4R  / 4R  /2 cost costdt 4R 0 /2 2 1 cos2t dt 2R  2R cos tdt /2  t sin 2t |  0  R (đvdt) Vậy diện tích hình tròn R (đvdt) (Ta làm tương tự với hình Elip) 3.1.3 Bài tập áp dụng Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn : a) y x 2x; b) y  x ; 2 x y ;  y x2 4x  3 ; d) y  x e ; y 3x ; y x e ; Đào Thị Hồng Vân y 3 x ; x 1 ; K34A - Toán 41 Khoá luận tốt nghiệp  e) y trục Oy với x  ; y sin cos x; x 1 đường x 2a 2 thẳng x y f) Hyperbol  (H) a2 b2 Bài Tính tỉ số diện tích mà Parabol (P) a) Đường tròn (C) b) Elip (E) 2 y 2 px p 0chia 2 x y 24 p ; x2 y 1 p2 p 3.2 Ứng dụng phép tính tích phân để tính thể tích khối tròn xoay 3.2.1 Cơ sở lý thuyết Nhận xét rằng, miền nằm đường cong hai điểm x  x a b y f x  quay xung quanh trục Ox sinh hình khối gọi hình khối tròn xoay Dạng đối xứng hình cho ta phương pháp tính thể tích cách dễ dàng Ta có phương pháp tính thể tích : Phương pháp (phương pháp đĩa tròn) Phía trái miền cho với dải đứng đại diện có độ dày dx đáy nằm trục Ox Khi miền quay xung quanh trục Ox, dải đại diện cảm sinh đĩa mỏng tròn có dạng đồng xu với bán kính y f x và độ dày dx Thể tích đĩa phần tử thể tích dV Bởi đĩa hình trụ, thể tích diện tích mặt tròn nhân với bề dày Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 42 Khoá luận tốt nghiệp dV y dx   f x  2 dx Bây ta hình dung hình khối tròn xoay lấp đầy số lớn đĩa mỏng vậy, thể tích tồn phần tổng tất phần tử thể tích cho đĩa đại diện quét qua hình lập thể từ trái sang phải, nghĩa cho x chạy từ a sang b V  dV   f x  2 dx b  yb dx    a  a Phương pháp (phương pháp bao trụ) Xét miền góc vng thứ giới hạn hệ trục toạ độ đồ thị y f x  Khi miền quay quanh xung quanh trục Ox, dải Đào Thị Hồng Vân K34A - Tốn đứng tạo thành đĩa với thể tích khối tổng (hoặc lấy tích phân) thể tích đĩa từ x 0 đến x b Tuy nhiên, miền quay quanh trục Oy ta nhận hình khối hồn tồn khác hẳn dải đứng sinh bao trụ mỏng Thể tích dV diện tích bề mặt trụ phía bên 2 xy nhân với chiều dày bao trụ dx , tức dV 2xydx Do bán kính x bao mở rộng từ x 0 đến x b , nên bao trụ lấp đầy hình khối tròn xoay từ trục phía giống phát triển thành lớp cành từ trục phía ngồi Thể tích tồn phần khối tổng (hay tích phân) phần tử thể tích dV b b V dV  2xydx 2xf x  dx a a Phương pháp (tính trực tiếp thể tích) Chúng ta tìm thể tích khối tròn xoay cách dễ dàng vẽ nhớ cơng thức tích phân tương ứng 3.2.2 Một số ví dụ Ví dụ Một hình cầu xem hình lập thể tròn xoay cảm sinh nửa đường tròn có đường kính Nếu phương trình nửa đường x2 y a2 , y 0 thể tích ? Lời giải Ta có y  a  x phần tử thể tích d V y dx  a x 2 dx Nhận xét rằng, từ tính đối xứng hình cầu, ta cần tìm thể tích tồn phần việc lấy tích phân dV từ với đến x  sau nhân a x    V 2 a 3a x2  dx 2 a2 x  x3 |a  a  0  3   Vậy thể tích cần tính V 4 a3 (đvtt) Ví dụ Một miền góc vng thứ giới hạn y x 2 y 2 x , quay xung quanh trục Oy Tìm thể tích hình thể tạo thành phương pháp bao trụ Lời giải Chiều cao bao trụ đại diện y  x Do đó, x 2 2 2x dV 2xy dx 2x  2x dx 4x x  Và hai đường cong cắt x 1, nên ta có V 4   x x dx 4   4 x  x |1 (đvtt) 0  Nhiều người thường có lập luận sai tính tích phân lấy tích phân từ x đến x 1 Lí sai lầm hiểu (theo hình học) 1 bao trụ đại diện biến đổi hình khối từ trục hướng phía ngồi x bán kính bao phải lớn dần từ dến 1, từ -1 đến Ví dụ Tìm thể tích hình xuyến sinh đường tròn x y b  a ,  b a  quay quanh Ox Lời giải Đường tròn cho hợp đồ thị hai hàm số y b  a2 x2 , y b  a2  x2 Thể tích hình tròn quay quanh trục Ox cho a Vx  y y dx    a 2   Đặt x a sin t , ta 4b a x dx dx a cost dt a cost a  x2  a2 1  sin2t  t  Ta có, x a x 0 t 0 Vậy nên  V  2  2 4ba  cos tdt a b /2 /2  x  cos2t dt   sin 4a b t  2t |/2    0  2  2  a 2 a b (đvtt)  b     2 Vậy thể tích cần tìm 2 a b (đvtt) 2 3.2.3 Bài tập áp dụng Bài Xét ống rỗng đứng đường kính a đặt xuyên qua tâm hình cầu Tìm phần thể tích lại hình cầu Bài Cho hình tròn tâm I a;0  bán kính R (với a R ) quay quanh trục Oy Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên Bài Tìm thể tích hình nón cụt mà đáy Elip với bán trục tương ứng A, B a, b; chiều cao hình nón cụt h (A>a, B>b) KẾT LUẬN Phép tính tích phân ứng dụng rộng rãi lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình, vật lý, thiên văn học, học, y học…Trong kì thi học sinh giỏi Tốn tồn quốc, Olympic Tốn sinh viên tồn quốc tốn liên quan đến tích phân hay đề cập đến xem dạng tốn khó Trên sở định nghĩa tính chất tích phân em đưa chứng minh số định lý ứng dụng vào dạng toán khác Từ xây dựng phương pháp chung cho ứng dụng tích phân Đồng thời đưa nhiều ví dụ tập khẳng định ứng dụng Tuy nhiên, hạn chế thời gian, nên nhiều ứng dụng khác phép tính tích phân chưa nghiên cứu Em hy vọng với giúp đỡ, bảo thầy cô bạn đọc, khố luận hồn thiện để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên phổ thông bạn học sinh,sinh viên sư phạm Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy khoa Tốn thầy Phùng Đức Thắng, người ln chăm lo, dìu dắt giúp đỡ chúng em trưởng thành ngày hôm Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hồng Vân TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải tốn tích phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 [2] Nguyễn Phụ Hy, Giảng dạy tích phân chương trình tốn lớp 12, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Một số vấn đề chọn lọc tích phân, NXB Giáo dục, 2007 [4] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân, NXB tri thức, 2007 [5] Ngơ Thúc Lanh (chủ biên), Sách giáo khoa giải tích lớp 12, NXB Giáo dục, 2000 ... kiến thức Trong chương em muốn nêu khái niệm tích phân tính chất tích phân để sử dụng chương sau: Chương Ứng dụng phép tính tích phân đại số Ứng dụng phép tính tích phân để giải số dạng toán THPT... SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ 2.1 .Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức 11 2.1.1 Cơ sở lý thuyết - Để chứng minh đẳng thức ta vận dụng tính chất tích phân, phương pháp tính. .. chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, chứng minh tồn nghiệm, giải phương trình, tính giới hạn tổng dãy Chương Ứng dụng phép tính tích phân hình học Ứng dụng phép tính tích