Ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơ cấp

1 Khoá luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** ĐÀO THỊ HỒNG VÂN ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRONG TOÁN SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học GVC.Th.s Phùng Đức Thắng HÀ NỘI - 2012 Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Phép tính tích phân công cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không toán học mà nhiều ngành khoa học khác Nhờ phép tính tích phân mà giải nhiều toán thực tế mà toán sơ cấp không thực Hiện nay, phép tính tích phân đưa vào chương trình môn toán THPT sách giáo khoa giải tích lớp 12 Các tác giả đưa đường đến khái niệm tích phân đơn giản đường đến khái niệm tích phân tổng quát Nội dung cách trình bày vấn đề sách giáo khoa giải tích 12 khác Thực tế nảy sinh câu hỏi: học sinh có mà hiểu sai khái niệm tích phân hay không? Giáo viên nên chọn nội dung giảng dạy cho phù hợp? Phép tính tích phân có nhiều ứng dụng, sử dụng để giải số dạng toán chương trình toán THPT Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu vấn đề bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học, hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng, em chọn đề tài: “Ứng dụng phép tính tích phân toán sơ cấp” Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nắm kiến thức tích phân bậc THPT ứng dụng tích phân vào giải số dạng toán khác phổ thông như: chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, chứng minh tồn nghiệm, giải phương trình, tính giới hạn tổng dãy, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay Qua cho học sinh thấy cách tiếp cận dạng toán thường gặp tránh số sai lầm giải toán tích phân Phương pháp nghiên cứu Xuất phất từ định nghĩa tính chất tích phân, sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, tổng kết kinh nghiệm thân thuận lợi khó khăn giải toán Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp Nội dung khoá luận Chương Một số kiến thức Trong chương em muốn nêu khái niệm tích phân tính chất tích phân để sử dụng chương sau: Chương Ứng dụng phép tính tích phân đại số Ứng dụng phép tính tích phân để giải số dạng toán THPT như: chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị, chứng minh tồn nghiệm, giải phương trình, tính giới hạn tổng dãy Chương Ứng dụng phép tính tích phân hình học Ứng dụng phép tính tích phân để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay Mặc dù cố gắng lần tiếp cận việc nghiên cứu khoa học, hạn chế thời gian kiến thức nên nội dung cách trình bày luận văn em không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô đọc để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận Đồng thời em chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Giải tích, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi để em có hội làm tốt công việc Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hồng Vân Chương Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa tích phân Cho hàm số f ( x) xác định đoạn [a; b],(a  b) Ta thực bước sau: Chia đoạn [a; b] thành đoạn nhỏ không thiết nhau, điểm a  x0  x1   xn  b Đặt xi  xi  xi 1 (1  i  n) Số lớn hiệu số kí hiệu maxxi Trong đoạn chọn [ xi 1 , xi ] điểm tuỳ ý i , xi1  i  xi (1  i  n) tính f (i ) Lập tích f (i ).xi đoạn chia Lập tổng tích đó: n Sn   f ( i )xi  f ( ) x1  f ( ) x2   f ( n )xn i 1 Tổng Sn gọi tổng tích phân hàm số f ( x) đoạn [a; b] Thực phép chia đoạn [a; b] thành đoạn ngày nhỏ, n cho maxxi dần đến Nếu tồn giới hạn lim  f (i )xi giới hạn n i 1 không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] cách chọn điểm i đoạn [ xi 1 , xi ] , giới hạn gọi tích phân hàm số f ( x) lấy b [a; b] kí hiệu  f ( x)dx a b Vậy theo định nghĩa ta có : n  f ( x)dx  lim  f ( )x a n  i i i 1 1.2 Một số tính chất định lý tích phân 1.2.1.Các tính chất Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp Trong tính chất sau ta sử dụng giả thiết f ( x), g ( x) liên tục đoạn [a; b] a  f ( x)dx  a b a  f ( x)dx   f ( x)dx a b b b  k f ( x) dx  k  f ( x)dx a (k  ) a b b b  [f ( x)  g ( x )]dx   f ( x) dx   g ( x) dx a a b c a b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a a c b f ( x)  đoạn [a; b]   f ( x)dx  a b b f ( x)  g ( x) đoạn [a; b]   f ( x) dx   g ( x )dx a a b m  f ( x)  M đoạn [a; b]  m( a  b)   f ( x)dx  M ( a  b) a t t biến thiên đoạn [a; b]  G (t )   f ( x) dx nguyên hàm f (t ) G ( a)  b 10  a b f ( x ) g ( x )dx   f ( x) g ( x) dx a 1.2.2 Định lý 1.1 Định lý 1.1 Mọi hàm số y  f ( x) liên tục [a; b] khả tích đoạn Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh Theo định lý Cantor, hàm số y  f ( x) liên tục đoạn [a; b] liên tục đoạn này, nghĩa với số   cho trước, tồn số   cho: f  x1   f  x2    Với x1  [a; b],x2  [a; b] x1  x2   Giả sử  phân hoạch đoạn [a; b] cho d     Vì f ( x) liên tục  k đạt đến cận M k cận mk đoạn đó, tức  k' ,  k''   k cho f  k''   M k , f  k'   mk Vì  k' ,  k''   k  k''   k'   f  k''   f  k'    n Vì n n k  k    f  k''   f  k'    k     k    b  a   k 1 k 1 k 1 Vì  số dương nhỏ tuỳ ý nên y  f ( x) khả tích Vậy hàm số y  f ( x) khả tích 1.2.3 Định lý 1.2 Định lý 1.2 Giả sử hàm số y  f ( x) xác định liên tục [a; b] giả sử F ( x) nguyên hàm Khi đó, tồn số thực x1 , x2 [a; b] với x1  x2 cho F ( x1 )  F ( x2 ) phương trình f ( x)  có nghiệm [x1; x2 ] Chứng minh Giả sử phương trình f ( x)  nghiệm thuộc [x1; x2 ] Vì f ( x) liên tục nên suy ra: + Nếu f ( x)  0, x  [x1; x2 ] hàm số F  x  đồng biến đoạn [x1; x2 ] Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp Suy F ( x1 )  F ( x2 ) , trái giả thiết + Nếu f ( x)  0, x  [x1; x2 ] hàm số F x nghịch biến đoạn [x1; x2 ] Suy F ( x1 )  F ( x2 ) , trái giả thiết Như vậy, hai trường hợp, ta có F ( x1 )  F ( x2 ) , điều trái với giả thiết F ( x1 )  F ( x2 ) Vậy phương trình f ( x)  có nghiệm [x1; x2 ] Nhận xét Cũng phát biểu định lý 1.1 dạng sau: Định lý 1.2.1 Nếu hàm số y  f ( x) xác định liên tục [a; b] tồn x2 số thực phân biệt x1 , x2  [a; b] cho  f ( x)dx  phương trình x1 f ( x)  có nghiệm thuộc [x1; x2 ] 1.2.4 Định lý 1.3 Định lý 1.3 Cho hai số thực a, b trái dấu ( a   b) f ( x) hàm số liên tục, không âm (có thể số hữu hạn điểm) [a; b] Khi đó, [a; b] phương trình x F ( x)   f (t )dt  0 có nghiệm x  Chứng minh x Ta thấy F ( x)   f (t ) dt nguyên hàm f ( x) [a; b] 0 + Nếu x  F (0)   f (t ) dt  Vậy x  nghiệm phương trình F ( x)  Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp + Nếu x  x  [a; b] , từ giả thiết f ( x)  , ta suy F ( x) đồng biến [a; b] F ( x)  F (0)  , tức phương trình F ( x)  có nghiệm x  [a; b] Vậy phương trình F ( x)  có nghiệm x  Nhận xét : Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có Định lý 1.3.1 Cho số thực a, b trái dấu f ( x) hàm số liên tục, không dương (có thể số hữu hạn điểm [a; b] ) [a; b] x Khi phương trình : F ( x)   f (t )dt  0 có nghiệm x  Định lý 1.3.2 Cho ba số thực a, b(a  b) f ( x) hàm số liên tục, không dương (không âm, số hữu hạn điểm [a; b] ) [a; b] Khi phương trình x F ( x)   f (t )dt  0 có nghiệm x  c thuộc [a; b] 1.2.5 Định lý 1.4 Định lý 1.4 Cho f ( x) hàm số liên tục nghịch a biến b [0; b], a  [0; b] thì: b  f ( x)dx  a  f ( x )dx (1.1) Tương tự, với f ( x) liên tục đồng biến [0; b],a [0; b] a b b  f ( x)dx  a  f ( x)dx 0 Chứng minh Nếu a  a  b bất đẳng thức (1.1) trở thành đẳng thức Nếu  a  b f ( x) nghịch biến [0; b] nên với x thoả mãn điều kiện  a  x  b ta có f ( x)  f (a) Suy Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp b  a b f ( x) dx  f (a )  f ( x) dx  (b  a ) f  a  a b f a  Vậy nên f  x  dx b  a a (1.2) Mặt khác,  x  a , f ( x)  f (a) Suy a a  f  x  dx   f  a  dx  af (a) 0 a hay f  x  dx  f  a  a 0 (1.3) a b 1 Từ (1.2) (1.3) suy f  x  dx  f  a   f  x  dx  a0 b  a a a b 1 f  x  dx  f  x  dx  a0 b  a a hay a b   b  a   f  x  dx  a  f  x  dx a  b  a   b 0  f  x  dx  a   f  x  dx   f  x  dx  a  a b  b  f  x  dx  a  f  x  dx a Vậy (do a  0, b  a  ) a (1.4) b b  f  x  dx  a  f  x  dx 0 Ta chứng minh rằng, dấu đẳng thức xảy a  b a  Thật vậy, tồn c   0; b  cho c b b  f  x  dx  c  f  x  dx Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 10 Khoá luận tốt nghiệp c b b 1 f x dx  f x dx  f  x  dx     c 0 b 0 b  c c c b 1 f x dx  f  x  dx   c 0 b  c c Vậy (1.5) Từ (1.5) suy tồn    0;c     c; b  cho 1  c   f     b  c  f   c bc mà    , điều trái với giả thiết f ( x) hàm số nghịch biến  a; b  Vậy không xảy dấu đẳng thức • Hệ - Nếu b  f ( x) liên tục đồng biến [0;1] a  [0;1] ta a có:  f  x  dx  a  f  x  dx 0 - Nếu b  f ( x) liên tục nghịch biến [0;1] a  [0;1] ta có: Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ 2.1.Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 33 Khoá luận tốt nghiệp Lời giải  n xn   cos n x cos nx dx Đặt u  cos n x; dv  cos nx dx Đặt Theo công thức tính tích phân phần ta có  1   xn  2n  cos n x sin x|   cos n 1 x sin nx dx  0 n  n    n 1    cos x cos  n  1 x  cos  n  1 x dx  0   2n 2n 2n un1  un  2    cos n 1 x sin x  sin nx  dx 2n 2n 2n 2n  un1  un  un  un 1 2 2 Vậy nên xn  2n 2n 2n 2n  un1  un   n1 u1  n 1  2 Do   lim  n n1     n 2  Ví dụ Tính 2 n 1  n    n  1       lim  2n 1   1   1    n     n  n  n      Lời giải Đặt 2 n 1  n    n  1       Sn   2n 1   1   1      n   n   n     Lấy logarit hai vế ta có Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 34 Khoá luận tốt nghiệp n 1    n  12    n  4   ln Sn  ln  ln 1    ln 1     ln 1       n  n  n   n      2 1    2  n    n    n   n    ln 1    ln   ln 1    ln 1         n   n   n    n  n  n  n   n   n     n i  i    ln 1     n i 1 n   n   Xét hàm số f  x   x ln 1  x  liên tục  0;1 , nên f  x  khả tích  0;1 i Chia đoạn  0;1 điểm chia xi  ; i  1, n , n i n   chọn i    xi1; xi  , i  1, n Ta có n i  i  f i i   ln 1     ln Sn  n i 1 n   n   i 1 n lim ln S n   x ln 1  x  dx Do n 1 1 2 2 2 xdx  ln  x d  x   x ln  x  ln  x           1 x | 0 2 0 1 1  ln   xdx  ln  x 2|  ln  2  lim Sn  e ln 2 n  n 1   n2   n  1  ln      n  e Vậy: lim 1   1      2 n     n  n  n      2.6.3 Bài tập áp dụng Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 35 Khoá luận tốt nghiệp Bài Tính giới hạn sau: 1   a) lim      n n  n2 nn   n  n n    b) lim  2  n   n  n  n  n          n  1  1  2 c) lim 1  cos  cos   cos  n n n n n   n   1n n d) lim e  e   e n  n n   Bài Cho a, b  cho f  x   liên tục  a; b Tính  n k  lim  Pn , Pn   f i   n  i 1    b a n Bài Cho cặp số dương m, p cho đa thức p  x   a0 x m1  a1 x m   am x n   với a0  Lập dãy số   sau:   p  , n  1,2, Tính lim n n  k   k 1 Chương ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 3.1 Ứng dụng phép tính tích phân để tính diện tích miền hai đường cong 3.1.1 Cơ sở lý thuyết Xét hai đường cong y  f  x  y  g  x  cắt hai điểm phân biệt x  a x  b Giả sử đoạn  a; b  , đường cong thứ nằm phía Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 36 Khoá luận tốt nghiệp đường cong thứ hai Để tìm tích phân diện tích miền nằm hai đường cong phải sử dụng dải mỏng thẳng đứng (hình chữ nhật) Độ cao dải khoảng cách f  x   g  x  từ vị trí đường cong thấp đến đường cong phía điểm x đáy chúng dx Do phần tử diện tích dS   f  x   g  x   dx Và diện tích toàn miền b S   dS    f  x   g  x   dx (1) a Một điều cần ý a b giá trị x làm cho hai hàm có chung giá trị y, tức chúng phải có nghiệm phương trình f  x   g  x  để tìm giá trị ta phải giải phương trình Các bước cần tiến hành để tìm diện tích nhờ phép lấy tích phân: Bước 1: Phác vẽ miền cần tìm diện tích Ghi vào hình vẽ phương trình biên đường cong tìm giao điểm đường cong Bước 2: Lựa chọn dải mỏng đứng với bề rộng dx hay dải ngang với bề rộng dy vẽ dải đại diện hình vẽ Bước 3: Trên hình phác hoạ ghi diện tích dS dải đại diện, tích bề dài với bề rộng dS biểu thị qua biên x , y theo bề rộng dải Bước 4: Lấy tích phân dS cận thích hợp x y, cận dễ tìm thấy hình vẽ Đặc biệt: Trong số toán tính diện tích trực tiếp hình tròn hay hình Elip, ta dựa vào tính chất đối xứng hàm số để chia phần tính diện tích dễ dàng Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 37 Khoá luận tốt nghiệp Chú ý: Tuy nhiên thực hành, miền xét miền quen thuộc, không thiết phải vẽ đường cong 3.1.2 Một số ví dụ Ví dụ Một miền giới hạn hai đường cong y   x  x y  x  Tính diện tích miền Lời giải Ta tìm điểm cắt hai đường cách giải phương trình  x  x  x  Suy x  2; x  Các điểm cắt hai đường cho  2; 1 1;2  Độ dài dải đứng   x  x    x  1   x  x Do diện tích miền tìm sở lấy tích phân phần tử diện tích dS    x  x  dx với x từ -2 đến Ta có: S     x  x  dx   x  x 2 1  x |  2  1   n        4      (đvdt) 3    Nhận thấy rằng, trường hợp việc sử dụng dải ngang nửa trái parabol đến nửa phải parabol y  Điều có nghĩa rằng, dS ta có hai công thức khác tương ứng với trường hợp y  y  Ví dụ Tính diện tích miền giới hạn hai đường cong y  cos x   y  sin x đoạn 0;   2 Lời giải Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 38 Khoá luận tốt nghiệp Nhận xét rằng, đặc điểm toán đường cong đan chéo Để giải vấn đề này, trước hết ta phải tìm xác điểm đan chéo hai đường cong, tức giải phương trình cos x  sin x  cos x  2sin x cos x; sin x  ; x  2 Ta có Ta có    cos x  sin x  dx,  x  dS    sin x  cos x  dx,   x    Suy diện tích cần tìm S     cos x  sin x  dx    sin x  cos x  dx    6     sin x  cos2 x |    cos2 x  sin x |  0   1 1 1 1             (đvdt) 2 2 2 2 Vậy diện tích cần tìm S (đvdt) Ví dụ Cho parabol y  x  x  đường thẳng y   m  1 x  Hãy xác định m cho phần diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng parabol nhỏ Lời giải Do phương trình x  x    m  1 x  luôn có hai nghiệm ân biệt x1 , x2 với x1  x2 x1  x2  m; x1 x2  1 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 39 Khoá luận tốt nghiệp x2 S   mx   x  1 dx  x1 x2   x  mx  1 dx x1  x mx  x2 x mx x mx     x |     x2    x1 3   x1   m x2  x13    x22  x12    x2  x1   2 m  x2  x2 x1  x12    x2  x1   1      x2  x1     x2  x1     x2  x1     x2 x1  m  x2  x1   1  Mặt khác ta có  x2  x1  2   x2  x1   x1 x2  m  , nên S 1  m2    m2  m2     3  2 1 m   m    (đvdt) 3 6 Dấu đẳng thức xảy m  Khi đó, S đạt giá trị bé (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình tròn (C) x  y  R Lời giải Ta có phương trình (C) góc phần tư thứ I y  R  x Gọi S diện tích cần xác định, ta có R S  4S1   R  x dx (1) Để tính (1) ta thực phép biến đổi, đặt x  R sin t , với  Đào Thị Hồng Vân  t    dx  R cos tdt y S1 K34A - Toán 40 Khoá luận tốt nghiệp Đổi cận với x   t  với x  R  t   O x Khi  /2 R  R sin t cos tdt S  4R   /2  4R   /2 cos t cos tdt  R  cos  2R tdt  /2 2 2  1  cos2t  dt  R  t   1   /2 sin 2t | 2   R (đvdt) Vậy diện tích hình tròn  R (đvdt) (Ta làm tương tự với hình Elip) 3.1.3 Bài tập áp dụng Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn : a) y   x  x; y  3x ; b) y  x ; x   y ; c) y  x  x  ; y   x ; d) y  e x ; y  e x ; x  ; e) y  sin x; y  cos3 x trục Oy với  x  f) Hyperbol (H)  ; x2 y   đường thẳng x  2a a2 b2 Bài Tính tỉ số diện tích mà Parabol (P) y  px  p   chia a) Đường tròn (C) x  y  24 p ; Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 41 Khoá luận tốt nghiệp b) Elip (E) x2 y2   p2 p2 3.2 Ứng dụng phép tính tích phân để tính thể tích khối tròn xoay 3.2.1 Cơ sở lý thuyết Nhận xét rằng, miền nằm đường cong y  f  x  hai điểm x  a x  b quay xung quanh trục Ox sinh hình khối gọi hình khối tròn xoay Dạng đối xứng hình cho ta phương pháp tính thể tích cách dễ dàng Ta có phương pháp tính thể tích : Phương pháp (phương pháp đĩa tròn) Phía trái miền cho với dải đứng đại diện có độ dày dx đáy nằm trục Ox Khi miền quay xung quanh trục Ox, dải đại diện cảm sinh đĩa mỏng tròn có dạng đồng xu với bán kính y  f  x  độ dày dx Thể tích đĩa phần tử thể tích dV Bởi đĩa hình trụ, thể tích diện tích mặt tròn nhân với bề dày dV   y dx    f  x   dx Bây ta hình dung hình khối tròn xoay lấp đầy số lớn đĩa mỏng vậy, thể tích toàn phần tổng tất phần tử thể tích cho đĩa đại diện quét qua hình lập thể từ trái sang phải, nghĩa cho x chạy từ a sang b b b 2 V   dV    y dx     f  x   dx a a Phương pháp (phương pháp bao trụ) Xét miền góc vuông thứ giới hạn hệ trục toạ độ đồ thị y  f  x  Khi miền quay quanh xung quanh trục Ox, dải Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 42 Khoá luận tốt nghiệp đứng tạo thành đĩa với thể tích khối tổng (hoặc lấy tích phân) thể tích đĩa từ x  đến x  b Tuy nhiên, miền quay quanh trục Oy ta nhận hình khối hoàn toàn khác hẳn dải đứng sinh bao trụ mỏng Thể tích dV diện tích bề mặt trụ phía bên  2 xy  nhân với chiều dày bao trụ  dx  , tức dV  2 xydx Do bán kính x bao mở rộng từ x  đến x  b , nên bao trụ lấp đầy hình khối tròn xoay từ trục phía giống phát triển thành lớp cành từ trục phía Thể tích toàn phần khối tổng (hay tích phân) phần tử thể tích dV b b V   dV   2 xydx   2 xf  x  dx a a Phương pháp (tính trực tiếp thể tích) Chúng ta tìm thể tích khối tròn xoay cách dễ dàng vẽ nhớ công thức tích phân tương ứng 3.2.2 Một số ví dụ Ví dụ Một hình cầu xem hình lập thể tròn xoay cảm sinh nửa đường tròn có đường kính Nếu phương trình nửa đường x  y  a , y  thể tích ? Lời giải Ta có y  a  x phần tử thể tích dV   y dx    a  x  dx Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 43 Khoá luận tốt nghiệp Nhận xét rằng, từ tính đối xứng hình cầu, ta cần tìm thể tích toàn phần việc lấy tích phân dV từ x  đến x  a sau nhân với a a  V     a  x  dx  2  a x  x |   a 0  Vậy thể tích cần tính V   a (đvtt) Ví dụ Một miền góc vuông thứ giới hạn y  x y   x , quay xung quanh trục Oy Tìm thể tích hình thể tạo thành phương pháp bao trụ Lời giải Chiều cao bao trụ đại diện y    x2   x2   2x2 Do đó, dV  2 xy dx  2 x   x  dx  4  x  x  Và hai đường cong cắt x  , nên ta có 1 1 1 V  4   x  x3  dx  4  x  x |   (đvtt) 0 2 Nhiều người thường có lập luận sai tính tích phân lấy tích phân từ x  1 đến x  Lí sai lầm hiểu (theo hình học) bao trụ đại diện biến đổi hình khối từ trục hướng phía x bán kính bao phải lớn dần từ dến 1, từ -1 đến Ví dụ Tìm thể tích hình xuyến sinh đường tròn x2   y  b   a2 ,b  a  quay quanh Ox Lời giải Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 44 Khoá luận tốt nghiệp Đường tròn cho hợp đồ thị hai hàm số y  b  a2  x2 , y  b  a  x2 Thể tích hình tròn quay quanh trục Ox cho a a Vx  2   y  y  dx  2  4b a  x dx 2 0 Đặt x  a sin t , ta dx  a cos t dt a  x  a 1  sin 2t   a cos t Ta có, x  a t   x  t  Vậy nên  /2 Vx  2   /2 4ba 2cos 2tdt  8 a 2b   cos2t dt  sin 2t   /2   2  4 a 2b  t  |0  4 a b    2 a b (đvtt)   2 Vậy thể tích cần tìm 2 a 2b (đvtt) 3.2.3 Bài tập áp dụng Bài Xét ống rỗng đứng đường kính a đặt xuyên qua tâm hình cầu Tìm phần thể tích lại hình cầu Bài Cho hình tròn tâm I  a;0  bán kính R (với a  R ) quay quanh trục Oy Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên Bài Tìm thể tích hình nón cụt mà đáy Elip với bán trục tương ứng A, B a, b; chiều cao hình nón cụt h (A>a, B>b) Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán Khoá luận tốt nghiệp Đào Thị Hồng Vân 45 K34A - Toán 46 Khoá luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Phép tính tích phân ứng dụng rộng rãi lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình, vật lý, thiên văn học, học, y học…Trong kì thi học sinh giỏi Toán toàn quốc, Olympic Toán sinh viên toàn quốc toán liên quan đến tích phân hay đề cập đến xem dạng toán khó Trên sở định nghĩa tính chất tích phân em đưa chứng minh số định lý ứng dụng vào dạng toán khác Từ xây dựng phương pháp chung cho ứng dụng tích phân Đồng thời đưa nhiều ví dụ tập khẳng định ứng dụng Tuy nhiên, hạn chế thời gian, nên nhiều ứng dụng khác phép tính tích phân chưa nghiên cứu Em hy vọng với giúp đỡ, bảo thầy cô bạn đọc, khoá luận hoàn thiện để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên phổ thông bạn học sinh,sinh viên sư phạm Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy cô khoa Toán thầy Phùng Đức Thắng, người chăm lo, dìu dắt giúp đỡ chúng em trưởng thành ngày hôm Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Đào Thị Hồng Vân Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 47 Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải toán tích phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 [2] Nguyễn Phụ Hy, Giảng dạy tích phân chương trình toán lớp 12, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Một số vấn đề chọn lọc tích phân, NXB Giáo dục, 2007 [4] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân, NXB tri thức, 2007 [5] Ngô Thúc Lanh (chủ biên), Sách giáo khoa giải tích lớp 12, NXB Giáo dục, 2000 Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán [...]...   p  vn , n  1,2, Tính lim n n  k   k 1 Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 3.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính diện tích miền giữa hai đường cong 3.1.1 Cơ sở lý thuyết Xét hai đường cong y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại hai điểm phân biệt x  a và x  b Giả sử trong đoạn  a; b  , đường cong thứ nhất nằm phía Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 36 Khoá luận tốt nghiệp... hoạ ghi diện tích dS của dải đại diện, đó là tích của bề dài với bề rộng dS được biểu thị qua các biên x , hoặc y theo bề rộng của dải Bước 4: Lấy tích phân dS giữa các cận thích hợp x hoặc y, các cận này dễ tìm thấy trên hình vẽ Đặc biệt: Trong một số bài toán tính diện tích trực tiếp của hình tròn hay hình Elip, ta có thể dựa vào tính chất đối xứng của hàm số đó để chia phần ra tính diện tích dễ dàng...  0 có nghiệm  2  thuộc 0;   3  2.5 .Ứng dụng của phép tính tích phân trong giải phương trình 2.5.1 Cơ sở lý thuyết Để giải phương trình f  x   0 , nếu dự đoán được phương trình có nghiệm duy nhất, ta dùng phép tính tích phân để chứng minh nhờ vào việc áp dụng Định lý 1.2 và các hệ quả Chú ý : Phải phỏng đoán được nghiệm duy nhất để lấy cận tích phân 2.5.2 Một số ví dụ Ví dụ 1 Giải phương... nghiệm duy nhất x   4 1 3   0 có 2 4 2.6 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính giới hạn của dãy 2.6.1 Cơ sở lý thuyết Sử dụng định nghĩa của tích phân ta có thể tìm được giới hạn lim Sn n bằng cách thực hiện các bước sau : - Bước 1 : Chỉ ra một hàm số thích hợp f  x  thích hợp liên tục trên  a; b nào đó - Bước 2 : Xây dựng tổng tích phân của hàm số f  x  trên  a; b sao cho tổng đó... dụng của phép tính tích phân trong bài toán cực trị 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Để tìm cực trị của hàm số y  f  x  , ta có thể sử dụng tích phân theo các bước sau: - Chọn hàm số y  g  t  thích hợp - Sử dụng định lý 1.4 ta sẽ tìm được cực trị của hàm số y  f  x  Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp này còn phụ thuộc vào hàm số cần tìm cực trị 2.3.2 Một số ví dụ Ví dụ 1 Tính giá trị nhỏ nhất của 3 /8... nghiệp 2.1.1 Cơ sở lý thuyết - Để chứng minh một đẳng thức ta có thể vận dụng các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân và các phép biến đổi đồng nhất hoặc tương đương của các đẳng thức thông thường - Dựa vào tính chất: Nếu hai hàm số f ( x), g  x  liên tục trên [a; b] và b thoả mãn f ( x)  g  x  x  [a; b] thì  a b f  x  dx   g  x  dx Để chứng minh a đẳng thức ta thực hiện... b  Cn  Cn   Cn  2 3 n 1 n 1 n 1 Bài 2 Chứng minh rằng nếu hàm số f  x  liên tục và tuần hoàn trên tập hợp a T các số thực với chu kỳ T thì a  ta đều có T  f  x  dx   f  x  dx a 0 2.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức 2.2.1 Cơ sở lý thuyết Xuất phát từ tính chất cơ bản 6, 7, 8 trong mục 1.2.1, để chứng minh bất đẳng thức f  x   g  x  (hoặc f ... tích phân để chứng minh sự tồn tại nghiệm Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 24 Khoá luận tốt nghiệp 2.4.1 Cơ sở lý thuyết Dựa vào các Định lý 1.2, 1.3, 1.3.1, 1.3.2 và kết hợp các tính chất của tích phân dể chứng minh phương trình có nghiệm và giải phương trình Chứng minh phương trình f  x   0 có nghiệm trên [a;b] với f  x  là hàm số liên tục trên [a;b] ta thực hiện các bước sau: b - Xác định tích phân. ..  x   g  x  ) ta đi tìm một bất đẳng thức đơn giản dễ chứng minh nhất, trong đó hai vế của bất đẳng thức là các hàm số khả tích Thông thường ta chọn bất đẳng thức với hai vế là đạo hàm hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh Sau đó tích phân nhiều lần và chọn cận thích hợp để được bất đẳng thức chứng minh 2.2.2 Một số ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh bất đẳng thức sau : a) sin x  x, x  0 ; b) cos x... giá trị của x làm cho hai hàm có cùng chung giá trị y, tức là chúng phải có nghiệm của phương trình f  x   g  x  và để tìm các giá trị này ta phải giải phương trình trên Các bước cần tiến hành để tìm diện tích nhờ phép lấy tích phân: Bước 1: Phác vẽ miền cần tìm diện tích Ghi vào hình vẽ phương trình của biên các đường cong và tìm giao điểm của các đường cong Bước 2: Lựa chọn các dải mỏng ứng với ... tài Phép tính tích phân công cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không toán học mà nhiều ngành khoa học khác Nhờ phép tính tích phân mà giải nhiều toán thực tế mà toán sơ cấp không thực Hiện nay, phép. .. giải phương trình, tính giới hạn tổng dãy Chương Ứng dụng phép tính tích phân hình học Ứng dụng phép tính tích phân để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay Mặc dù cố gắng lần tiếp... Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ 2.1 .Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức Đào Thị Hồng Vân K34A - Toán 11 Khoá luận tốt nghiệp 2.1.1 Cơ sở lý thuyết - Để chứng minh