Một số ứng dụng của lý thuyết tổng hợp trong toán sơ cấp

Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ BÍCH HỒNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ BÍCH HỒNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nơng Quốc Chinh Em xin tỏ lịng cảm ơn chân thành tới thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hồn thành luận văn Tiếp theo em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phản biện đọc góp ý để em hồn thiện luận văn Em xin cảm ơn chân thành tới khoa Tốn - Tin, phịng ĐT – KH – QHQT, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, nơi em học vấn Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp cảm thơng chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ thời gian em học cao học viết luận văn Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Những nguyên lý đếm bản: 1.2 Nguyên lý Dirichlet 1.3 Hoán vị: 1.4 Chỉnh hợp: 1.4.1 Chỉnh hợp: 1.4.2 Chỉnh hợp có lặp: 1.5 Tổ hợp 1.5.1 Tổ hợp : 1.5.2 Tổ hợp lặp: 7 10 13 14 14 15 15 15 16 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.1 Bài toán 2.2 Bài toán 2.3 Bài toán 2.4 Bài toán 2.5 Bài toán 2.6 Bài toán 2.7 Bài toán 18 18 18 20 20 21 22 24 ỨNG DỤNG CỦA HỌC 3.1 Bài toán 3.2 Bài toán 3.3 Bài toán 3.4 Bài toán 3.5 Bài toán 28 28 29 30 31 32 LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG HÌNH Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET 4.1 Bài toán 4.2 Bài toán 4.3 Bài toán 4.4 Bài toán 4.5 Bài toán 4.6 Bài toán 4.7 Bài toán 4.8 Bài toán 4.9 Bài toán 4.10 Bài toán 10 4.11 Bài toán 11 4.12 Bài toán 12 4.13 Bài toán 13 4.14 Bài toán 14 4.15 Bài toán 15 4.15.1 Bài toán tương tự 4.16 Bài toán 16 34 34 35 36 37 38 38 39 39 40 41 41 42 43 44 45 48 49 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học mới, nửa đầu kỷ 17 loạt cơng trình nghiên cứu vấn đề công bố nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler Mặc dù vậy, suốt hai kỷ rưỡi tổ hợp khơng có vai trị nhiều lĩnh vực nghiên cứu tự nhiên Đến nay, với hỗ trợ đắc lực máy tính, tổ hợp chuyển sang lĩnh vực toán ứng dụng với phát triển mạnh mẽ, có nhiều kết có ích cho người Do tầm quan trọng ứng dụng rộng rãi đời sống tại, lý thuyết tổ hợp đưa vào chương trình học phổ thơng có nhiều thi học sinh giỏi toán quốc tế kỳ thi toán quốc gia có ứng dụng lý thuyết tổ hợp Luận văn “Một số ứng dụng lý thuyết tổ hợp toán sơ cấp” tài liệu cho học sinh phổ thông; đặc biệt dành cho em học sinh có khiếu mơn tốn Chúng tơi hy vọng luận văn phần đáp ứng lịng u thích khám phá tốn học em Mục đích luận văn Tìm hiểu số ứng dụng lý thuyết tổ hợp thông qua tốn sơ cấp tốn trung học phổ thơng Nhiệm vụ Hệ thống khái niệm lý thuyết tổ hợp Sưu tầm trình bày tốn có ứng dụng lý thuyết tổ hợp để giải đại số hình học phổ thơng Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn đại số hình học dùng lý thuyết tổ hợp để giải Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Kiến thức Chương 2: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp đại số sơ cấp Chương 3: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp hình học Chương 4: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định, em mong nhận góp ý thầy giáo bạn đồng nghiệp để em tiếp tục hoàn thiện luận văn Thái Nguyên, năm 2013 Người thực Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc, chuyên nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường số phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định đó, tùy theo yêu cầu toán cần nghiên cứu Mỗi cách phân bố gọi cấu hình tổ hợp Chủ đề nghiên cứu từ kỷ 17, câu hỏi tổ hợp nêu cơng trình nghiên cứu trị chơi may rủi Liệt kê, đếm đối tượng có tính chất phần quan trọng lý thuyết tổ hợp Chúng ta cần phải đếm đối tượng để giải nhiều toán khác Hơn kỹ thuật đếm dùng nhiều tính xác suất biến cố 1.1 Những nguyên lý đếm bản: 1) Quy tắc cộng: Giả sử có k công việc T1 , T2 , , Tk Các việc làm tương ứng n1 , n2 , , nk cách giả sử hai việc làm đồng thời Khi số cách làm k việc n1 + n2 + + nk Thí dụ 1: Một sinh viên chọn thực hành máy tính từ ba danh sách tương ứng có 23, 15 19 Vì vậy, theo quy tắc cộng có 23 + 15 + 19 = 57 cách chọn thực hành Quy tắc cộng phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp sau: Nếu A1 , A2 , , Ak tập hợp đơi rời nhau, số phần tử hợp tập hợp tổng số phần tử tập thành phần Giả sử Ti việc chọn phần tử từ tập Ai với i = 1, 2, , k Có |Ai | cách làm Ti khơng có hai việc làm lúc Số cách chọn Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ phần tử hợp tập hợp này, mặt số phần tử nó, mặt khác theo quy tắc cộng |A1 | + |A2 | + + |Ak | Do ta có: |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = |A1 | + |A2 | + + |Ak | 2) Quy tắc nhân: Giả sử nhiệm vụ tách thành k việc T1 , T2 , , Tk Nếu việc Ti làm ni cách sau việc T1 , T2 , Ti−1 làm, có n1 n2 nk cách thi hành nhiệm vụ cho Ví dụ 1.1.1 Người ta ghi nhãn cho ghế giảng đường chữ số nguyên dương không vượt 100 Bằng cách vậy, nhiều có ghế ghi nhãn khác nhau? Việc ghi nhãn cho ghế gồm hai việc, gán 26 chữ sau gán 100 số nguyên dương Quy tắc nhân có 26.100=2600 cách khác để gán nhãn cho ghế Như nhiều ta gán nhãn cho 2600 ghế Ví dụ 1.1.2 Có xâu nhị phân có độ dài n Mỗi n bit xâu nhị phân chọn hai cách bit hoặc Bởi theo quy tắc nhân có tổng cộng 2n xâu nhị phân khác có độ dài n Ví dụ 1.1.3 Có thể tạo ánh xạ từ tập A có m phần tử vào tập B có n phần tử? Theo định nghĩa, ánh xạ xác định A có giá trị B phép tương ứng phần tử A với phần tử B Rõ ràng sau chọn ảnh i − phần tử đầu, để chọn ảnh phần tử thứ i A ta có n cách Vì theo quy tắc nhân, ta có n.n n = nm ánh xạ xác định A nhận giá trị B Ví dụ 1.1.4 Có đơn ánh xác định tập A có m phần tử nhận giá trị tập B có n phần tử? Nếu m > n với ánh xạ, có hai phần tử A có ảnh, điều có nghĩa khơng có đơn ánh từ A đến B Bây giả sử m > n gọi phần tử A a1 , a2 , , am Rõ ràng có n cách chọn ảnh cho phần tử a1 Vì ánh xạ đơn ánh nên ảnh phần tử a2 phải khác ảnh Soá hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ a1 nên có n − cách chọn ảnh cho phần tử a2 Nói chung, để chọn ảnh ak ta có n − k + cách Theo quy tắc nhân, ta có n(n − 1)(n − 2) (n − m + 1) = n! (n − m)! đơn ánh từ tập A đến tập B Nguyên lý nhân thường phát biểu ngôn ngữ tập hợp sau Nếu A1 , A2 , , Ak tập hữu hạn, số phần tử tích Descartes tập tích số phần tử tập thành phần Ta biết việc chọn phần tử tích Descartes A1 xA2 x xAk tiến hành cách chọn phần tử A1 , phần tử A2 , , phần tử Ak Theo quy tắc nhân ta có: |A1 xA2 x xAk | = |A1 |.|A2 | |Ak | 3) Nguyên lý bù trừ: Khi hai cơng việc làm đồng thời, ta khơng thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực nhiệm vụ gồm hai việc Để tính số cách thực nhiệm vụ ta cộng số cách làm hai việc trừ số cách làm đồng thời hai việc Ta phát biểu nguyên lý đếm ngôn ngữ tập hợp Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Từ với ba tập hợp hữu hạn A1 , A2 , A3 , ta có: |A1 ∪A2 ∪A3 | = |A1 |+|A2 |+|A3 |−|A1 ∩A2 |−|A2 ∩A3 |−|A3 ∩A1 |+|A1 ∩A2 ∩A3 |, quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , , Ak ta có: |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 − + (−1)k−1 Nk , Nm (1 ≤ m ≤ k) tổng phần tử tất giao m tập lấy từ k tập cho, nghĩa |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | Nm = 1≤i1 1) m ≤ bf (p)−1 + yf (p) − ap ⇒ ≤ m − yf (p) ≤ bf (p)−1 − ap ⇒ ap ≤ bf (p)−1 Mâu thuẫn với định nghĩa f (p) Mâu thuẫn chứng tỏ rằng: thực, hiệu (4.4) bé m Bây giờ, hiệu triệt tiêu: bf (p) − ap = 0, rõ ràng ta có đpcm với cách chọn i1 := =: j1 , i2 := p, j2 := f (p) Trong trường hợp cịn lại, theo nhận xét trên, tồn m hiệu (1) thuộc Z ∩ [1, m − 1], tập hợp có m − ˘1 phần tử, nên theo nguyên lý Dirichlet, có hai hiệu nhau; tức là, tồn r, s ∈ Z ∩ [1, m] , r > s để bf (r) − ar = bf (s) − as ⇒ bf (r) − bf (s) = ar − as Và ta có đpcm, với i1 := s + 1, i2 := r, j1 := f (s) + 1, j2 := f (r) 4.12 Bài tốn 12 Bài tốn 24 (Vơ địch cộng hòa Czech 1998) Cho X tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh có số nguyên dương k ≤ có hai tập k− phần tử: {a1 ; a2 ; ; ak }, {b1 ; b2 ; ; bk } rời X cho 1 + + + a1 a2 ak − 1 + + + b1 b2 bk 42 < 1000 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Lời giải: Xét C14 = 3432 tập 7− phần tử X Tổng nghịch đảo phần tử tập nầy rõ ràng không vượt 1 + + + < 2, nên phải thuộc vào số 2600 nửa khoảng : ; , 1000 1000 ; , , 1000 1000 2599 2600 ; 1000 1000 Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai tập khác có tổng nghịch đảo phần tử thuộc vào nủa khoảng Loại bỏ khỏi hai tập phần tử chung (hai tập 7− phần tử khác có tối đa sau phần tử chung), ta thu hai tập k− phần tử (với k nguyên dương, k ≤ 7), thỏa mãn yêu cầu toán: hiệu hai tổng nghịch đảo phần tử hai tập sai khác 1000 4.13 Bài toán 13 Bài toán 25 (HSGQG 2005) Trong mặt phẳng, cho bát giác lồi A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 mà khơng có ba đường chéo cắt điểm Ta gọi giao điểm hai đường chéo bát giác nút Xét tứ giác lồi mà tứ giác dều có bốn đỉnh đỉnh bát giác cho Ta gọi tứ giác tứ giác Hãy tìm số nguyên n nhỏ có tính chất: tơ màu nút cho với i, k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i = k , kí hiệu s(i, k) số tứ giác nhận Ai , Ak làm đỉnh đồng thời có giao điểm hai đường chéo mút tơ màu tất giá trị s(i, k) Lời giải: Gọi n số ngun nhỏ thỏa mãn tốn Ta có s(i, k) = s(1, 2) với i, k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i = k Do nút tương ứng với C42 cặp đỉnh nên: n.C42 = s(i, k) = C82 s(1, 2) ⇔ 3n = 14s(1, 2) i ta có: (i − 2)(i − 3) − i + Ci2 = 3 Lấy (4.5) trừ (4.6) cộng với (4.7) ta được: 3 n− 68 = x1 + 3 i>2 (i − 2)(i − 3) xi + y ≥ Từ đó: n ≥ 23 Cách tô sau 23 màu thỏa mãn toán (gọi tên màu 1, 2, , 23) Hộp I Hộp II Hộp III Hộp IV Hộp V Hộp VI Hộp VII Hộp VIII 10 11 13 14 15 16 13 18 14 20 10 15 22 11 16 18 20 12 17 19 21 12 17 19 21 23 22 23 Nhận xét: +) Ở hình dưới, đường tượng trưng cho hộp, giao điểm đường tượng trưng cho banh +) Có đường, đường chứa giao điểm có tất 23 giao điểm Hai đường có tối đa điểm chung +) Mỗi cách đánh số 23 giao điểm, từ đến 23, cho ta cách tô màu banh hộp thỏa mãn điều kiện toán 4.15 Bài toán 15 Bài toán 27 (IMO 2005) Trong kỳ thi học sinh giỏi, thí sinh phải giải toán Biết với hai tốn ln có nhiều số thí sinh dự thi, giải hai toán Ngồi khơng có thí sinh giải tốn Chứng minh có hai thí sinh cho người họ giải tốn 45 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Hình 4.3: Bảng minh họa cho 23 điểm Lời giải: +) Gọi n số thí sinh tham gia kỳ thi xk số thí sinh giải k toán (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) Ta có: x6 = 0; n = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 (4.8) Ta cần chứng minh: x5 ≥ +) Với i, j i = j , gọi s(i, j) = s(j, i) số thí sinh giải i j , (i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) Theo giả thiết ln có: 5s(i, j) > 2n Do đó: 5s (i, j) ≥ 2n + Có tất C62 = 15 cặp (i, j) mà i < j nên: 5s(i, j) ≥ 15(2n + 1) i