Về ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng và đa thức trong số học

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ----------------------------------- Nguyễn Thị Quý về ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đờng cong phẳng và đa thức trong số học Chuyên ngành đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Vinh 2010 mục lục Trang mở đầu 1 Chơng 1 NG DNG CA Lí THUYT TP HP TRONG S HC 3 1.1. Nguyờn tc bự tr . 3 1.2. Tn ti s siờu vit . 7 Chơng 2 NG DNG CA NG CONG PHNG V A THC TRONG S HC 10 2.1. ng cong phng . 10 2.2. ng cong hu t . 13 2.3. ng dng ca a thc v t hp trong S hc 25 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 2 M Ở ĐẦU Ngày nay, trong thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu mới nhất của Số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống kinh tế, xã hội, thong tin, mật mã, kỹ thuật máy tính. Vì vậy, một phương hướng mới của số học đã ra đời và phát triển mạnh mẽ: Số học thuật toán. Khi làm việc với số học, người ta thường làm việc với số thực, số nguyên, số hữu tỉ, số siêu việt,… Vì vậy các loại số luôn là đối tượng và là công cụ nghiên cứu của số học nói chung và toán học nói riêng. Luận văn trình bày các ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng và đa thức trong các nghiên cứu của Số học. Nội dung chính của luận văn gồm: 1. Dùng lý thuyết tập hợp đếm được để chỉ ra sự tồn tại của số thực siêu việt. Hơn nữa, chỉ rõ tập hợp các số siêu việt có lực lượng quá đếm được. 2. Dùng lý thuyết đường cong phẳng để diễn đạt tính vô nghiệm hữu tỉ hoặc nghiệm nguyên của phương trình Diophante. 3. Dùng lý thuyết đa thức để giải quyết một số bài tập số học. Qua nội dung đã trình bày trong luận văn, chúng tôi có ý tưởng minh hoạ sự thống nhất của các ngành Toán học: Đại số, Số học và Hình học trong những trường hợp cụ thể. Luận văn có thể tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sâu hơn trong Số học: Tính hữu hạn nghiệm hữu tỉ của các phương trình Diophante hay tính hyperbilic Brody của các đa tập đại số phức. 3 Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn Tư, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người bạn học viên cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tận tình giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp. Tác giả CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TẬP HỢP TRONG SỐ HỌC 4 1.1. Nguyên tắc bù trừ 1.1.1. Định lí. Ký hiệu lực lượng của tập X là X . Xét các tập A 1 ,…,A n với lực lượng hữu hạn. Khi đó, ta có: 1 1 1 1 1 ( 1) n n n n i i i j i j k i i j k n i i A A A A A A A A + = ≤ ≤ = = = − ∩ + ∩ ∩ − + − ∑ ∑ ∑ p p U I . Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp. + Trước tiên ta thấy n = 1 kết luận đúng. + Với n = 2, xét hai tập hợp A, B với lực lượng hữu hạn. Nếu A B ∩ ≡ φ thì hiển nhiên BABA +=∪ . Nếu C A B φ = ∩ ≠ thì ta có A ( ) ( ) ABCBAB \\ ∪∪=∪ Vì các tập này đôi một giao nhau bằng rỗng; nên .\\ ABCBABA ++=∪ Vì CABA −= \ và CBAB −= \ , nên CBABA −+=∪ (1) + Khi n > 2 ta giả thiết kết luận đúng cho n - 1 tập. Đặt A =  1 1 − = n i i A . Theo công thức (1) ta có: nnn n i i AAAAAAA ∩−+=∪= =  1 . Sử dụng giả thiết qui nạp cho A và n AA ∩ , ta có công thức cần chứng minh. 5 1.1.2. Hệ quả (Xây dựng công thức tính giá trị của hàm Eleur). Nếu số nguyên dương n > 1 có sự phân tích chính tắc thành các thừa số nguyên tố n = 1 1 n n p p α α thì 1 ( ) (1 ) 1 s n n P i i ϕ = − ∏ = . Chứng minh. Cho mỗi số 1 i s ≤ ≤ , ta định nghĩa A i = ,2 , ., n P P P i i i P i       Khi đó các A i là những tập con của T = } { 1,2, .,n và n A i P i = . Cho mỗi cặp i, j, i ≠ j tập ji AA ∩ bao gồm tất cả các số thuộc T là bội của P i P j với n A A i j P P i j ∩ = . Tương tự tính lực lượng của các tập giao khác. Theo nguyên tắc bù trừ ta có: ( ) | | . ( 1) . . 1 1 1 1 1 s s s s n n n n s n n A n i p p p p p p p p i i j s i i j k s s i i j i j k φ = − = − + − + + − ∑ ∑ ∑ = ≤ < ≤ = ≤ < < ≤ U Vì vậy 1 ( ) (1 ). 1 s n n p i i φ = − ∏ = Ví dụ 1. Giả thiết n sinh viên có n chiếc ô khác nhau để ngoài giảng đường. Tìm số khả năng để không có sinh viên nào lấy lại ô của mình. Giải. Kí hiệu D n là số khả năng để không có sinh viên nào lấy lại ô của mình. Ta thay n sinh viên qua {1, 2,…, n-1, n}. Kí hiệu A là tập tất cả các khả năng lấy ô của n sinh viên và A i là tập con của A gồm tất cả các khả năng lấy ô của sinh viên sao cho người thứ i lấy đúng ô. Ta có | | | |. 1 n D A A n i i = − = U Dễ dàng kiểm tra | | !,| | ( 1)!,| | ( )!. 1 s A n A n A n s i i j j = = − = − = I Theo nguyên tắc bù trừ ta có 6 ! ( 1)! ( )( 2)! . ( 1) ( )!. 1 2 n n n n D n n n n n n n = − − + − + + − − Vậy 1 1 ! ( 1) ( 1) . !. . ! 0 0 n n n i n Dn n i i i i i − = − = − ∑ ∑ = =  Ví dụ 2. Với ký hiệu như trên, chứng minh rằng: 1 1 ( ) ! ( 1) ( ) ( 1) [2 1] 2 n n n n n n D n D i i i i i + + = = − − − − ∑ ∑ = . Giải. Hiển nhiên D 1 = 0 và ( 1) ( 1) . !.( ) n n n i D i n i − − − = − ∑ và theo kết quả ta thu được: ! ( 1) ( )[ ( 1) ]. 1 n n n i i n D i i i + = − − − ∑ = Vậy 1 ! ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) [2 1]. 2 1 2 n n n n n n n i n n n n n D D i i i i i i i i + + = − − − = − − − − ∑ ∑ ∑ = = = Vì ( 1) 1 ( 1) . !( ) n n i D i n i − − = − ∑ , nên ( 1) ! ( 1) ( )[( 1) 1]. 1 n n n n i i n D i i i + − = − − − ∑ = Vậy ! 1 . 1 n n n i i = + ∑ =  Ví dụ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên n ∈ [1,2005] mà không chia hết cho 2, 3,11,13. Giải. Ký hiệu A={1,2,…,2004,2005} và A i là tập con của A gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho i. Ta có 182 11 2005 ||,668 3 2005 ||,1002 2 2005 || 1132 =       ==       ==       = AAA và ;154 13 2005 || 13 =       = A Ta lại có ,77 26 2005 ||,91 22 2005 ||,334 6 2005 || 13211232 =       =∩=       =∩=       =∩ AAAAAA 14 143 2005 ||,51 39 2005 ||,60 33 2005 || 1311133113 =       =∩=       =∩=       =∩ AAAAAA Tính 7 25 78 2005 ||,30 66 2005 || 13321132 =       =∩∩=       =∩∩ AAAAAA 4 429 2005 ||,7 286 2005 || 1311313112 =       =∩∩=       =∩∩ AAAAAA .2 858 2005 || 131132 =       =∩∩∩ AAAA Số T các số thuộc A không chia hết cho 2,3,11,13 là 2 3 11 13 | | | | 2005 (1002 668 182 154) (334 91 77 60 51 14) (30 25 7 4) 2 562. T A A A A A= − ∪ ∪ ∪ = = − + + + + + + + + + + − + + + + = Vậy T = 562. 8 1.2. Tồn tại số siêu việt 1.2.1. Tập đếm được. Tập A đựợc gọi là tập đếm được nếu và chỉ nếu có một song ánh từ A vào tập ¥ các số tự nhiên. Đặc biệt, ¥ là tập đếm được. Giả sử h: A → ¥ là một song ánh. Thay cho a ∈ A ta viết ( )h a a . Như vậy nói tập A đếm được tương đương với việc đánh số được các phần tử của nó. 1.2.2. Bổ đề. Tập con của tập đếm được là tập đếm được. Chứng minh. Giả sử B là một tập con của tập đếm được A . Vì A đếm được nên ta có một song ánh : .f A → ¥ Mặt khác ta có ánh xạ nhúng ABn c → : . Khi đó hàm hợp . : c f n B → ¥ cũng là một song ánh. Vậy B là tập đếm được.  1.2.2. Bổ đề. Ta có kết luận sau đây là đúng: a) Tập ×¥ ¥ là đếm được. b) Tích Đề các của một họ đếm được các tập ¥ là đếm được. c) Hợp của họ đếm được các tập đếm được là tập đếm được. d) Tập Q là tập đếm được. Chứng minh. (a) Các phần tử thuộc ¥ x ¥ là các cặp (i ; j) được phép sắp xếp theo hàng như sau: (0,0) ; (0,1) ; (0,2) ; (0,3) ;…. (1,0) ; (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ;…. (2,0) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ;…. (3,0) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ;…. (4,0) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ;…. …………………………… . Với n là số tự nhiên tùy ý, ta xét một đường chéo của sơ đồ trên. H n = ( ) { ( ) ( ) ( ) } 0, , 1, 1 , 2, 2 , , ,0n n n n− − Tập H n có (n+1) phần tử và như vậy  n i i H 0 = có 2 )2)(1( ++ nn phần tử. 9 Ta có song ánh :f → ×¥ ¥ ¥ , (i,j) a ( )( 1) 2 i j i j i + + + + Vậy tập ¥ x ¥ là tập đếm được. (b) Được suy ra từ (a) qua quy nạp theo số các tập ¥ . (c) Giả sử X= { Ai \i } T ∈ là một họ đếm được các tập đếm được. Vì các A i là đếm được, nên các phần tử thuộc tập A i có thể đánh số a i0 , a i1,… cho mỗi số tự nhiên i. Ta thấy ngay chỉ có một số hữu hạn các a ij với i+j=h cho mỗi số tự nhiên h. Bắt đầu đánh số các a ij với i + j = 0; tiếp theo đánh số các a ij với i +j = 1, . Tiếp tục quá trình này và như vậy ta đã đánh số tất cả các phần tử thuộc B= iTi A ∈ ∪ . Từ đó ta suy ra B là tập đếm được. (d). Mỗi số hữu tỉ dương j i ta sắp tương ứng cặp (i,j) ∈ ¥ x ¥ . Vậy ta có đơn ánh n q : Q + → ¥ x ¥ và như vậy Q + là đếm được. Tương tự Q - → Q + , j i j i  − , là đơn ánh. Vậy Q là đếm được. Vì Q = Q + ∪ Q - ∪ }{ 0 nên Q là đếm được.  1.2.3. Bổ đề. Nếu tập T và các tập A i, i ∈ T, là các tập đếm được thì tích trực tiếp ∏ A i cũng là một tập đếm được. 1.2.4. Số đại số. Phần tử s ∈ R được gọi là phần tử đại số trên Q nếu tồn tại các phần tử a 1 , a 2 , …,a n ∈ Q sao cho: s n + a 1 s n-1 +…+ a n-1 s + a n = 0. Đặt f(x)= x n + a 1 x n-1 +…+ a n-1 x + a n Đa thức f(x) được gọi là phương trình đại số trên Q. Trong trường hợp trái lại, s được gọi là phần tử siêu việt trên Q. 1.2.5. Định lý. Tập tất cả các số đại số trên Q là một tập đếm được. Chứng minh. Vì tập D với tất cả các đa thức với các hệ tử thuộc Q và hệ tử cao nhất bằng 1 là tập đếm được theo bổ đề 1.2.2 và bổ đề 1.2.3, nên ta đánh số được các đa thức thuộc D hay 10 . tượng và là công cụ nghiên cứu của số học nói chung và toán học nói riêng. Luận văn trình bày các ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng và đa thức. dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ----------------------------------- Nguyễn Thị Quý về ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đờng cong phẳng và đa thức trong số