Vài ứng dụng của lý thuyết cơ sở groebner

Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng Đại học Vinh ---------------------- Nguyễn thị thúy hằng vài ứng dụng của lý thuyết cơ sở Groebner luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Vinh - 2009 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA LÍ THUYẾT CƠ SỞ GROBNER 3 1.1. Thứ tự từ…………………………………………………… 3 1.2. Iđêan khởi đầu và cơ sở Grobner…………………………. 8 1.3. Thuật toán chia…………………………………………… 12 Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT CƠ SỞ GROBNER 14 2.1. Ứng dụng của Lí thuyết cơ sở Grobner trong bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính……………………………………… 14 2.2. Ứng dụng của Lí thuyết cơ sở Grobner trong Lí thuyết mã 25 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Toán học hình thức (Simbolic computation), hay còn gọi là Đại số máy tính (Computer Algebra), xuất hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành độc lập. Nó kết hợp chặt chẽ giữa Toán học và Khoa học máy tính. Sự phát triển của máy tính đòi hỏi phải xây dựng các lý thuyết toán học làm cơ sở thiết lập các thuật toán và phần mềm toán học. Mặt khác Đại số máy tính cũng tác động tích cực trở lại đối với nghiên cứu toán học lý thuyết. Chúng ta đều biết, nhờ máy tính và các phần mềm toán học, phần mềm tin học đã giúp dự đoán các kết quả lý thuyết hoặc có được các phản ví dụ. Hạt nhân của tính toán hình thức bằng máy tính trong Đại số giao hoán và Hình học Đại số chính là lý thuyết Cơ sở Groebner. Lý thuyết này do nhà 2 Toán học người Áo, Bruno Buchberger đưa ra trong luận án Tiến sĩ của mình năm 1965 dưới sự dẫn dắt của người thầy là Wolfgang Groebner [3]. Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường hợp các đa thức nhiều biến. Cơ sở Groebner về phương diện lý thuyết còn được khẳng định bằng việc cung cấp chứng minh cho ba Định lý của Hilbert: Định lý về cơ sở, Định lý về xoắn và Định lý về không điểm. Định lý cơ sở Hilbert cho ta cách xác định nghiệm của một hệ các phương trình đa thức. Một hệ gồm một số vô hạn các phương trình đều tương đương với một hệ hữu hạn các phương trình đa thức. Với mục đích tìm hiểu Lý thuyết Cơ sở Groebner và ứng dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Vài ứng dụng của Lí thuyết Cơ sở Grobner”. Luận văn đã tập trung trình bày một số định nghĩa và tính chất của lý thuyết Cơ sở Groebner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ - khái niệm mở đầu trong lý thuyết Cơ sở Groebner. Trình bày cơ sở Lý thuyết Cơ sở Groebner xung quanh các định lý Hilbert và tìm tòi các ứng dụng của chúng trong bài toán quy hoạch nguyên và lý thuyết mã. Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ sở của lý thuyết Cơ sở Groebner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ - khái niệm mở đầu để xây dựng cơ sở Lý thuyết Cơ sở Groebner. Sau đó trình bày định nghĩa iđêan và từ khởi đầu cũng như định nghĩa và một số tính chất cơ bản của Cơ sở Grobner; Thuật toán chia đa thức cho cách xây dựng đa thức dư thỏa mãn định lí chia đa thức. Chương 2 giới thiệu thuật toán Conti-Traverso để giải nó bằng lí thuyết cơ sở Grobner và tìm tòi các ứng dụng của chúng trong bài toán quy hoạch nguyên và lý thuyết mã. 3 Để hoàn thành luận văn này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn Thành Quang đã giao đề tài và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho việc nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, các thầy cô trong Bộ môn Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoàn thành luận văn này cũng như trong suốt khoá học vừa qua. Tác giả cũng xin cảm ơn đến các thầy cô giáo Khoa đào tạo Sau đại học đã tạo điều kiện cho chúng tôi trong thời gian học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 12 năm 2009. Tác giả CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER 1.1 THỨ TỰ TỪ 1.1.1. Thứ tự, giả thứ tự. Cho X là tập khác rỗng. Quan hệ (2 ngôi ) trên X là một tập con R của tích Đề các X X × . Để thuận tiện, thường viết xRy thay cho ( x,y ) R∈ và dùng ký hiệu ~, ≡, ≤, … để chỉ R . Quan hệ R trên tập X được gọi là một thứ tự (bộ phận) nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau đây đối với mọi ∈x,y,z X : (i) x R x (tính chất phản xạ). (ii) Nếu xRy và yRz thì xRz (tính chất bắc cầu). (iii) Nếu xRy và yRx thì x y= (tính chất phản đối xứng). 4 Thông thường để chỉ thứ tự bộ phận thì ký hiệu bởi ≤ , ≥ . Nếu R là một thứ tự bộ phận thì quan hệ ngược { } 1 R ( x,y |( y,x ) R ) − = ∈ cũng là thứ tự bộ phận và gọi là thứ tự ngược của R. Và dùng ≥ để chỉ thứ tự ngược của thứ tự ≤ tương ứng và ngược lại. Trên X cho một thứ tự bộ phận ≤ thì X là tập được sắp. Nếu ,x y X∈ mà x y≤ hoặc y x≤ thì x, y so sánh được với nhau, nếu trái lại x, y không so sánh được với nhau. Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh được với nhau và X được gọi là tập được sắp hoàn toàn. Quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ (i) và bắc cầu (iii) ở trên được gọi là giả thứ tự. Cho X là tập được sắp bởi thứ tự ≤ và .A X⊆ Phần tử a A∈ được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) nếu b A∀ ∈ mà b a≤ (tương ứng a b≤ ) thì a b= . Phần tử a A∈ được gọi là phần tử nhỏ nhất (tương ứng lớn nhất) nếu b A∀ ∈ mà a b≤ (tương ứng b a≤ ). Phần tử b A∈ được gọi là chặn trên (tương ứng chặn dưới) của A nếu b A∀ ∈ thì a b≤ (tương ứng b a≤ ). Tập X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu nó sắp hoàn toàn và mọi tập con khác rỗng đều có phần tử nhỏ nhất. Thứ tự tương ứng gọi là thứ tự tốt. 1.1.2. Thứ tự từ. Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn thức của vành K[x] thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Với mọi , 1m M m∈ ≤ . (ii) Nếu 1 2 , ,m m m M∈ mà 1 2 m m≤ thì 1 2 mm mm≤ . Cho ≤ là một thứ tự từ. Sau khi đổi chỉ số các biến, luôn có thể giả thiết 1 2 . n x x x> > > . Ví dụ. 5 + Thứ tự từ điển ≤ lex xác định: 1 1 1 1 . . n n n lex n x x x x α β α β < khi và chỉ khi tồn tại 0 i n≤ < sao cho 1 1 , α β = 2 2 , ., α β α β = = i i và 1 1i i α β + + < , là một thứ tự từ. + Thứ tự từ điển phân bậc ≤ glex xác định: 1 1 1 1 . . n n n glex n x x x x α βα β < khi và chỉ khi 1 1 1 1 deg( . ) deg( . ) n n n n x x x x α β α β < hoặc 1 1 1 1 deg( . ) deg( . ) n n n n x x x x α β α β = và 1 1 1 1 . . n n n lex n x x x x α βα β < , là một thứ tự từ. + Thứ tự từ điển ngược ≤ rlex xác định: 1 1 1 1 . . n n n rlex n x x x x α β α β < khi và chỉ khi 1 1 1 1 deg( . ) deg( . ) n n n n x x x x α β α β < hoặc 1 1 1 1 deg( . ) deg( . ) n n n n x x x x α β α β = và thành phần đầu tiên khác không tính từ bên phải của vectơ 1 1 ( , ., ) n n α β α β − − là một số dương, là một thứ tự từ. Giả sử ≤ là một thứ tự từ nào đó đã được xác định. Giả thứ tự trên tập các từ của vành R = K[x] (cũng được ký hiệu là ≤) được định nghĩa: Nếu 0 α ≠ , K β ∈ và ,m n M∈ sao cho m n≤ (tương ứng m n< ) thì . .m n α β ≤ (tương ứng . .m n α β < ). 1.1.3. Thứ tự theo trọng liên kết và tích từ điển của các thứ tự (bộ phận). + Hàm trọng số λ trên vành K[x] là một phiếm hàm tuyến tính →¡ ¡ n . Hàm trọng số nguyên là hàm trọng số mà ( ) ⊆¢ ¢ n λ . + Thứ tự theo trọng liên kết với λ là thứ tự bộ phận ≤ λ trên M xác định bởi < a b x x λ nếu và chỉ nếu ( ) ( )<a b λ λ . + Hàm trọng số λ tương thích với thứ tự từ ≤ nếu 1 2 <m m λ kéo theo 1 2 <m m . + Cho 1 , ,≤ … ≤ s là các thứ tự bộ phận trên tập X. Tích từ điển ≤ R của các thứ tự này là quan hệ được xác định , ,x y X xRy∀ ∈ khi và chỉ khi tồn tại 1≤ ≤i s để x, y không so sánh được với nhau theo 1 1 , , − ≤ … ≤ i và i x< y . Ví dụ. + Các hàm 1 2 deg( ) .= + + + n a a a a (gọi là hàm bậc tổng thể) và hàm ( ) , i i a a π = 1 i n≤ ≤ là những hàm trọng số. 6 + Hàm bậc tổng thể tương thích với một thứ tự từ thì thứ tự từ đó gọi là thứ tự từ phân bậc. Theo đó, thứ tự từ điển phân bậc và thứ tự từ điển ngược là những thứ tự từ phân bậc. + Thứ tự theo trọng là một thứ tự bộ phận, không phải là thứ tự từ. Nhận xét: (a) Cho λ ≤ là thứ tự theo trọng liên kết với λ . Khi đó với mỗi 1 2 ,m m M∈ thì: (i) 1 2 ,m m so sánh được với nhau theo λ ≤ khi và chỉ khi 1 2 m m= hoặc 1 2 ( ) ( )m m λ λ ≠ . (ii) 1 2 ,m m không so sánh được với nhau theo λ ≤ khi và chỉ khi 1 2 m m≠ hoặc 1 2 ( ) ( )m m λ λ = . (b) Cho λ ≤ là thứ tự theo trọng. Khi đó (1) 0 λ = . 1.1.4. Định lý. Cho ≤ là một thứ tự từ. Khi đó nếu 1 2 m m thì 1 2 m m≤ . Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Chứng minh: Giả thiết 1 2 m m suy ra tồn tại m M∈ sao cho 2 1 m mm= . Vì ≤ là thứ tự từ nên 1 m≤ ⇒ 1 1 .1 .m m m≤ ⇒ 1 2 m m≤ .  Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét cho thứ tự từ điển ≤ lex : Chọn 1 1 2 .m x x= , 2 2 1 m x= . Rõ ràng 1 2lex m m≤ nhưng 2 m không chia hết cho 1 m . 1.1.5. Định lý. Cho ≤ là một thứ tự từ và 1 2 m m< . Nếu ≤ là thứ tự từ phân bậc thì giữa m 1 , m 2 chỉ có hữu hạn đơn thức. Nếu ≤ là thứ tự từ bất kỳ thì giữa m 1 , m 2 có thể có vô hạn đơn thức. Chứng minh. Gọi 1 1 2 2 deg( ), deg( )n m n m= = ⇒ 1 2 ,n n ∈ ¥ và 1 2 n n≤ (vì nếu ngược lại 2 1 n n< ⇔ 2 1 2 1 deg( ) deg( )m m m m< ⇔ < trái giả thiết). + Nếu đơn thức m ở giữa 1 2 ,m m ; tức là 1 2 m m m< < . Khi đó 1 2 1 2 deg( ) deg( ) deg( ) deg( )m m m n m n< < ⇔ < < . Giả sử a m x= với 1 2 ( , , . ) n a a a a= có 1 2 1 1 2 2 deg( ) . a n n x n n a a a n≤ ≤ ⇔ ≤ + + + ≤ . 7 Tuy nhiên tập các bộ số mũ 1 2 ( , , . ) n a a a a= sao cho 1 1 2 2 . n n a a a n≤ + + + ≤ là hữu hạn nên tập các đơn thức m nằm giữa m 1 , m 2 là hữu hạn.  + Nếu ≤ là thứ tự từ bất kỳ giữa 1 2 ,m m có thể có vô hạn đơn thức. Thật vậy, chẳng hạn xét cho thứ tứ tự từ điển lex ≤ : Chọn 3 1 1 2 1 ,m x m x= = thì 1 2 m m< . Ta có 2 1 2 n m x x= với n∈ ¥ thỏa mãn 1 2 m m m< < . Rõ ràng m xác định như vậy là vô hạn.  1.1.6. Định lý. Cho ≤ là một thứ tự từ sao cho 1 2 . n x x x> > > . Khi đó với mọi s ≥ 2 thì 1 2 . s s s n x x x> > > . Chứng minh: Cần chứng minh 1 2 s s x x> . Thật vậy, chứng minh khẳng định tổng quát hơn 1 2 1 2 s i i s j j x x x x − − > , 0 i j s∀ ≤ < ≤ và sau đó cho 0i = và j s= . Hay cần chứng minh 1 1 1 2 1 2 m n m n x x x x + − > . Do 1 2 x x> và ≤ là thứ tự từ nên 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) m n m n m n m n x x x x x x x x x x − − + − > ⇔ > .  1.1.7. Định lý. Cho 1 2 ( , , . ) n n u u u u= ∈ ¡ sao cho u 1 , …, u n là các số thực dương độc lập tuyến tính trên ¤ . Khi đó quan hệ ≤ u được định nghĩa như sau là một thứ tự từ: a b u x x< khi và chỉ khi i n i ii n i i ubua ∑∑ == < 11 . Chứng minh. Vì * , i i u a + ∈ ∈ ¥¡ nên ≤ u là thứ tự. Chứng minh ≤ u sắp thứ tự toàn phần. Ta có: , a b x x M∀ ∈ + Nếu ∑∑ == < n i iii n i i ubua 11 thì a b u x x< . + Nếu 1 1 n n i i i i i i bu a u = = < ∑ ∑ thì b a u x x< . 8 + Nếu ∑∑ == = n i iii n i i ubua 11 : Điều này tương đương với 0)( 1 =− ∑ = ii n i i uba . Do { } 1 2 , , . n u u u độc lập tuyến tính trên ¤ , mà i i a b− ∈ ⊂¢ ¤ nên 0, 1, i i a b i n− = ∀ = i i a b⇒ = a b a b x x⇒ = ⇒ = . ⇒ , a b x x luôn so sánh được với nhau theo thứ tự ≤ u . Vậy ≤ u là một thứ tự từ.  1.2. IĐÊAN KHỞI ĐẦU VÀ CƠ SỞ GROEBNER 1.2.1. Từ khởi đầu, đơn thức đầu. Cho ≤ là thứ từ từ và 1 [ , ., ] n f R K x x∈ = . Từ khởi đầu của f , ký hiệu ( )in f ≤ là từ lớn nhất của f đối với thứ tự từ ≤ . Nếu ( ) . , 0 a in f x K ≤ = ≠ ∈ α α thì ( )lc f ≤ = α gọi là hệ số đầu và ( ) a lm f x ≤ = là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤ . Nếu ≤ đã được ngầm hiểu thì viết ( )in f , ( )lc f , ( )lm f tương ứng thay cho ( )in f ≤ , ( )lc f ≤ , ( )lm f ≤ . Từ khởi đầu của đa thức 0 xem là không xác định (có thể nhận giá trị tuỳ ý). 1.2.2. Tính chất. Cho ,f g R∈ và m M∈ . Khi đó (i) ( ) ( ). ( )in fg in f in g= . (ii) ( . ) . ( )in m f m in f= . (iii) { } ( ) ax ( ), ( )lm f g m lm f lm g+ ≤ . Dấu < xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( )in f in g= − . 1.2.3. Iđêan khởi đầu. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ. Iđêan khởi đầu của I, ký hiệu ( )in I ≤ là iđêan của R sinh bởi các từ khởi đầu của các phần tử của I, nghĩa là ( ) ( ( ) / )in I in f f I ≤ = ∈ . 9 Viết ( )in I thay cho ( )in I ≤ nếu ≤ đã rõ. Rõ ràng cũng có in( I ) (lm( f )| f I )= ∈ nên ( )in I là iđêan đơn thức. 1.2.4. Tính chất. Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Khi đó (i) Tập tất cả các đơn thức của ( )in I là { } ( ) /lm f f I∈ . (ii) I là iđêan đơn thức thì ( )in I I= . (iii) Nếu I J⊆ thì ( ) ( )in I in J⊆ . Hơn nữa nếu I J⊆ và ( ) ( )in I in J= thì I J= . (iv) ( ). ( ) ( . )in I in J in I J⊆ . (v) ( ) ( ) ( )in I in J in I J+ ⊆ + . 1.2.5. Cơ sở Grobner. Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của R. Tập hữu hạn các đa thức khác không 1 , ., s g g I∈ gọi là một cơ sở Groebner của I đối với thứ tự từ ≤ nếu 1 ( ) ( ( ), ., ( )) s in I in g in g ≤ ≤ ≤ = . Tập 1 , ., s g g gọi là một cơ sở Groebner, nếu nó là cơ sở Groebner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này. Cơ sở Groebner tối tiểu của I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở Groebner G I⊂ thỏa mãn 2 điều kiện: (i) ( ) 1,lc g g G= ∀ ∈ . (ii) g G∀ ∈ , không tồn tại g'∈ G để ( ') ( )in g in g . Cơ sở Groebner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở Groebner G ⊂ I thỏa mãn 2 điều kiện: (i) ( ) 1,lc g g G= ∀ ∈ . (ii) g G∀ ∈ và mọi từ m của g đều không tồn tại { } ' \g G g∈ để ( ')in g m . Nhận xét: Mọi cơ sở Groebner rút gọn là cơ sở Groebner tối tiểu. 1.2.6. Tính chất. (i) Cho I là một iđêan tuỳ ý của R. Nếu 1 , ., s g g là cơ sở Groebner của I đối với một thứ tự từ nào đó thì 1 , ., s g g là cơ sở của iđêan I. (ii) Cho ≤ là một thứ tự từ. Khi đó mọi iđêan đều có cơ sở Groebner tối tiểu và mọi cơ sở Groebner tối tiểu của cùng một iđêan đều chung số lượng phần tử và chung tập từ khởi đầu. 10 . chất của lý thuyết Cơ sở Groebner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ - khái niệm mở đầu trong lý thuyết Cơ sở Groebner. Trình bày cơ sở Lý thuyết Cơ. Với mục đích tìm hiểu Lý thuyết Cơ sở Groebner và ứng dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn đề tài Vài ứng dụng của Lí thuyết Cơ sở Grobner”. Luận văn