Vài ứng dụng của lý thuyết cơ sở groebner

1 Bộ giáo dục đạo tạo Tr-ờng Đại học Vinh Nguyễn thị thúy vài ứng dụng lý thuyết sở Groebner luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: đại số lý thuyết số M· sè: 60.46.05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS.TS Ngun Thµnh Quang Vinh - 2009 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chƣơng NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA LÍ THUYẾT CƠ SỞ GROBNER 1.1 Thứ tự từ…………………………………………………… 1.2 Iđêan khởi đầu sở Grobner………………………… 1.3 Thuật toán chia…………………………………………… 12 Chƣơng ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT CƠ SỞ GROBNER 14 2.1 Ứng dụng Lí thuyết sở Grobner tốn qui hoạch nguyên tuyến tính……………………………………… 14 2.2 Ứng dụng Lí thuyết sở Grobner Lí thuyết mã 25 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU Toán học hình thức (Simbolic computation), hay cịn gọi Đại số máy tính (Computer Algebra), xuất khoảng ba chục năm gần trở thành chuyên ngành độc lập Nó kết hợp chặt chẽ Tốn học Khoa học máy tính Sự phát triển máy tính địi hỏi phải xây dựng lý thuyết tốn học làm sở thiết lập thuật toán phần mềm tốn học Mặt khác Đại số máy tính tác động tích cực trở lại nghiên cứu toán học lý thuyết Chúng ta biết, nhờ máy tính phần mềm tốn học, phần mềm tin học giúp dự đoán kết lý thuyết có phản ví dụ Hạt nhân tính tốn hình thức máy tính Đại số giao hốn Hình học Đại số lý thuyết Cơ sở Groebner Lý thuyết nhà Toán học người Áo, Bruno Buchberger đưa luận án Tiến sĩ năm 1965 dẫn dắt người thầy Wolfgang Groebner [3] Điểm mấu chốt khởi đầu cho hình thành lý thuyết Buchberger việc mở rộng thuật tốn chia hai đa thức biến sang trường hợp đa thức nhiều biến Cơ sở Groebner phương diện lý thuyết khẳng định việc cung cấp chứng minh cho ba Định lý Hilbert: Định lý sở, Định lý xoắn Định lý không điểm Định lý sở Hilbert cho ta cách xác định nghiệm hệ phương trình đa thức Một hệ gồm số vô hạn phương trình tương đương với hệ hữu hạn phương trình đa thức Với mục đích tìm hiểu Lý thuyết Cơ sở Groebner ứng dụng nó, định chọn đề tài “Vài ứng dụng Lí thuyết Cơ sở Grobner” Luận văn tập trung trình bày số định nghĩa tính chất lý thuyết Cơ sở Groebner, nghiên cứu số tính chất thứ tự từ - khái niệm mở đầu lý thuyết Cơ sở Groebner Trình bày sở Lý thuyết Cơ sở Groebner xung quanh định lý Hilbert tìm tịi ứng dụng chúng toán quy hoạch nguyên lý thuyết mã Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm sở lý thuyết Cơ sở Groebner, nghiên cứu số tính chất thứ tự từ - khái niệm mở đầu để xây dựng sở Lý thuyết Cơ sở Groebner Sau trình bày định nghĩa iđêan từ khởi đầu định nghĩa số tính chất Cơ sở Grobner; Thuật toán chia đa thức cho cách xây dựng đa thức dư thỏa mãn định lí chia đa thức Chương giới thiệu thuật tốn Conti-Traverso để giải lí thuyết sở Grobner tìm tịi ứng dụng chúng toán quy hoạch nguyên lý thuyết mã Để hoàn thành luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thành Quang giao đề tài tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, thầy Bộ mơn Đại số giúp đỡ, góp ý kiến bảo để tác giả hoàn thành luận văn suốt khoá học vừa qua Tác giả xin cảm ơn đến thầy cô giáo Khoa đào tạo Sau đại học tạo điều kiện cho thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận góp ý kiến quý báu thầy cô bạn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƢƠNG NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER 1.1 THỨ TỰ TỪ 1.1.1 Thứ tự, giả thứ tự Cho X tập khác rỗng Quan hệ (2 ) X tập R tích Đề X  X Để thuận tiện, thường viết xRy thay cho ( x, y )  R dùng ký hiệu ~, , , … để R Quan hệ R tập X gọi thứ tự (bộ phận) thỏa mãn ba điều kiện sau x, y,z  X : (i) x R x (tính chất phản xạ) (ii) Nếu xRy yRz xRz (tính chất bắc cầu) (iii) Nếu xRy yRx x  y (tính chất phản đối xứng) Thơng thường để thứ tự phận ký hiệu  ,  Nếu R thứ tự phận quan hệ ngược R1  ( x, y |( y,x )  R ) thứ tự phận gọi thứ tự ngược R Và dùng  để thứ tự ngược thứ tự  tương ứng ngược lại Trên X cho thứ tự phận  X tập Nếu x, y  X mà x  y y  x x, y so sánh với nhau, trái lại x, y không so sánh với Quan hệ thứ tự  X gọi thứ tự toàn phần cặp phần tử X so sánh với X gọi tập hoàn toàn Quan hệ thỏa mãn tính chất phản xạ (i) bắc cầu (iii) gọi giả thứ tự Cho X tập thứ tự  A  X Phần tử a  A gọi phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) b  A mà b  a (tương ứng a  b ) a  b Phần tử a  A gọi phần tử nhỏ (tương ứng lớn nhất) b  A mà a  b (tương ứng b  a ) Phần tử b  A gọi chặn (tương ứng chặn dưới) A b  A a  b (tương ứng b  a ) Tập X gọi tập thứ tự tốt hồn tồn tập khác rỗng có phần tử nhỏ Thứ tự tương ứng gọi thứ tự tốt 1.1.2 Thứ tự từ Thứ tự từ  thứ tự toàn phần tập M tất đơn thức vành K[x] thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với m  M ,  m (ii) Nếu m, m1 , m2  M mà m1  m2 mm1  mm2 Cho  thứ tự từ Sau đổi số biến, ln giả thiết x1  x2   xn Ví dụ + Thứ tự từ điển lex xác định: x1 xn lex x1 xn tồn n n  i  n cho 1  1 ,   2 , ,i  i i 1  i 1 , thứ tự từ + Thứ tự từ điển phân bậc glex xác định: x1 xn  glex x1 xn n n deg( x1 xn )  deg( x1 xn ) deg( x1 xn )  deg( x1 xn ) n n n n x1 xn lex x1 xn , thứ tự từ n n + Thứ tự từ điển ngược rlex xác định: x1 xn  rlex x1 xn n n deg( x1 xn )  deg( x1 xn ) deg( x1 xn )  deg( x1 xn ) thành phần n n n n khác không tính từ bên phải vectơ (1  1 , , n  n ) số dương, thứ tự từ Giả sử  thứ tự từ xác định Giả thứ tự tập từ vành R = K[x] (cũng ký hiệu ) định nghĩa: Nếu   ,   K m, n  M cho m  n (tương ứng m  n )  m   n (tương ứng  m   n ) 1.1.3 Thứ tự theo trọng liên kết tích từ điển thứ tự (bộ phận) + Hàm trọng số  vành K[x] phiếm hàm tuyến tính Hàm trọng số nguyên hàm trọng số mà  ( n n  ) + Thứ tự theo trọng liên kết với  thứ tự phận  M xác định x a  xb  (a)   (b) + Hàm trọng số  tương thích với thứ tự từ  m1  m2 kéo theo m1  m2 + Cho 1 ,, s thứ tự phận tập X Tích từ điển R thứ tự quan hệ xác định x, y  X , xRy tồn 1 i  s để x, y không so sánh với theo 1 ,, i 1 x with(Ore-algebra): >A:=poly-algebra (t_1,t_2,t_3,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5): > T:=termorder(A,’matrix’([[1,1,1,0,0,0,0,0], [1,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,5,5,1,0], [0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,0], [0,0,0,0,0,0,0,1]],[t_1,t_2,t_3,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5])): > J:=[x_1-t_1,x_2-t_1*t_2,x_3-t_1*t_2^2*t_3, x_4-t_1*t_2*t_3^2,x_5-t_1*t_3]: > G:= gbasis(J,T); Kết tính tốn cho sở Grobner sau G := [  x12 x42  x53 x3 ,x52 x2  x12 x4 ,  x5 x3  x2 x4 ,  x22 x5  x12 x3 ,  x5  t3 x1 ,  x1 x42  t3 x53 x3 , t3 x2 x5  x1 x4 ,  x1  t1 ,  x42  t32 x3 x5 , t32 x2  x4 ,  x3  t2t3 x2 ] > q:=normalf(t_1^25*t_2^34*t_3^18,G,T); Kết tính tốn cho đa thức dư q : x17 x317 x5 26 Vậy phương án tối ưu toán qui hoạch nguyên (7,0,17,0,1) giá trị bé đạt 92 2.2 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER TRONG LÍ THUYẾT MÃ 2.2.1 Khái niệm chung lí thuyết mã Lí thuyết mã bao gồm toán lập giải mã Bài toán lập mã sơ đồ hóa đơn giản sau: Có bảng chữ Mỗi thơng tin bao gồm số từ (chữ) tạo thành từ bảng chữ Muốn truyền thơng tin đi, phải mã hóa thành tín hiệu mà máy hiểu Thơng thường có số hữu hạn từ bảng chữ có nghĩa, lập mã theo từ nói chung từ ngắn nhiều so với nguyên tắc theo chữ 27 Để tiện lợi cho việc diễn đạt, giả thiết thơng tin cần gửi từ có độ dài k, mã hóa từ có độ dài n bảng chữ Fq , Fq trường hữu hạn gồm q phần tử phần tử Fq xem chữ Khi mơ tả tốn học toán lập mã đơn ánh: E : Fqk  W  Fqn Mỗi phần tử thuộc C  Im( E) gọi từ mã, tập C mã, E hàm lập mã Việc giải mã mơ tả tốn học hàm D : Fqn  Fqk {lỗi}, Trong D( Fqk \ C ) = {lỗi} Hàm D E ánh xạ đồng W Khi từ mã x  C  Fqn truyền đi, có lỗi xuất thay x nhận từ y  x  e , e  Fqn Số thành phần s khác e lớn sai lệch so với thơng tin gửi nhiều Do đó, s gọi số lỗi truyền tin Một chiến lược tốt để đoán nhận sửa lỗi tìm từ mã gần với từ y nhận theo nghĩa sau Cho x, y  Fqn Khoảng cách Hamming x y số d ( x, y)  #i 1, , n | xi  yi  tức d ( x, y) số thành phần khác e  y  x Với x  Fqn , gọi B( x, s)   y  Fqn | d ( x, y)  s hình cầu tâm x, bán kính s 2.2.2 Định lí Nếu tập từ mã C thỏa mãn tính chất d ( x, y)  d với từ mã x, y  C , từ nhận bị lỗi mà số lỗi tối đa d-1 loại Hơn nữa, từ nhận với tối đa [(d-1)/2] lỗi sửa hàm giải mã từ “láng giềng gần nhất” xác định sau:  E 1( x  C | d( x, y ) tối tiểu) tập có phần tử tối tiểu D(y):=  trường hợp lại lỗi 28 Chứng minh Nếu d( x, y)  d với từ mã x, y  C , từ z nhận có  d( x, z)  d  khơng thuộc C Do từ z nhận biết được, loại trường hợp xác định từ mã x truyền +) Chứng minh y từ nhận từ mã x thỏa mãn d( x, y)  [(d-1)/2] , hàm D( y)  x Giả sử tồn x '  C cho d( x ', y)  d( x, y) Khi d( x, x ')  d( x, y)  d( y, x ')  2[(d  1) / 2]  d Mâu thuẫn giả thiết Vậy tập hợp { x  C | d( x, y) tối tiểu} có phần tử x,  Hàm láng giềng gần định lí 2.2.2 hàm giải mã phổ dụng, nhiên tối ưu Tùy mã E có cách giải mã riêng biệt tối ưu nhiều Do mã ... tìm hiểu Lý thuyết Cơ sở Groebner ứng dụng nó, chúng tơi định chọn đề tài ? ?Vài ứng dụng Lí thuyết Cơ sở Grobner” Luận văn tập trung trình bày số định nghĩa tính chất lý thuyết Cơ sở Groebner, ... thứ tự từ - khái niệm mở đầu lý thuyết Cơ sở Groebner Trình bày sở Lý thuyết Cơ sở Groebner xung quanh định lý Hilbert tìm tịi ứng dụng chúng toán quy hoạch nguyên lý thuyết mã Luận văn chia làm... r2 ) đơn thức r1 r2 nên khơng chia hết cho in( g) )  CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER 2.1 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER TRONG BÀI TỐN QUI HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH 2.1.1 Bài tốn