Ứng dụng của lý thuyết toán tử tuyến tính trong lý thuyết phương trình tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐÀO THỊ HẠNH ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐÀO THỊ HẠNH ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Bùi Kiên Cường Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn 1 Một số kiến thức sở lý thuyết toán tử không gian Hilbert 1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.1.1 Không gian vectơ (Không gian tuyến tính) 1.1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.1.3 Toán tử tuyến tính (Ánh xạ tuyến tính) 1.1.4 Không gian Hilbert Lý thuyết toán tử không gian Hilbert 12 1.2.1 Ví dụ toán tử 12 1.2.2 Phiếm hàm song tuyến tính dạng toàn phương 14 1.2.3 Toán tử liên hợp toán tử tự liên hợp 17 1.2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử 1.2 đẳng cự toán tử unita 20 1.2.5 Toán tử dương 22 1.2.6 Toán tử chiếu 23 1.2.7 Toán tử Compact 24 1.2.8 Giá trị riêng vectơ riêng 26 1.2.9 Toán tử không bị chặn 28 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Phương trình tích phân 31 2.1 Mở đầu 31 2.2 Định lí tồn nghiệm 32 2.3 Phương trình tích phân Fredholm 36 2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 40 2.5 Phương trình tích phân Volterra 43 2.6 Phương pháp tìm nghiệm với nhân tách 49 2.7 Phương trình Volterra loại phương trình tích phân Abel 55 KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Giải tích (Khoa Toán)- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô khoa toán đặc biệt thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho em suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả khóa luận ĐÀO THỊ HẠNH Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp "Ứng dụng lý thuyết toán tử tuyến tính lý thuyết phương trình tích phân" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường Trong trình thực em tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả khóa luận ĐÀO THỊ HẠNH Mở đầu Lý chọn đề tài Trong nhiều vấn đề toán học (phương tình vi phân với điều kiện ban đầu hay điều kiện biên), học, vật lí, dẫn đến phương trình hàm chưa biết dấu tích phân Những loại phương trình gọi phương trình tích phân Phương trình tích phân xem công cụ toán học hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hoá Nó có ứng dụng rộng rãi không toán học mà nhiều ngành khoa học khác, ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân với điều kiện xác định để giải số vấn đề vật lí mà phương trình vi phân mô tả tượng khuếch tán, tượng truyền Vì nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Phương trình tích phân không gian Hilbert mảng Giải tích hàm xây dựng từ toán thực tế Vật lí, Hoá học ngành khoa học ứng dụng khác Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Trong khoá luận này, em tập trung nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết toán tử tuyến tính không gian vào việc khảo sát phương trình tích phân thường gặp phương trình Fredholm, phương trình Volterra, phương trình Abel Mục đích nghiên cứu - Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn - Nhắc lại số lý thuyết toán tử tuyến tính không gian Hilbert - Vận dụng lý thuyết toán tử tuyến tính để giải số phương trình tích phân thường gặp: Phương trình Fredholm, phương trình Volterra, phương trình Abel Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khái quát khái niệm Giải tích hàm - Nghiên cứu phương trình tích phân: Fredholm, Volterra, Abel Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lí luận: Đọc, nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm, Volterra, Abel Sau hệ thống, phân hoá kiến thức Đối tượng nghiên cứu - Phương trình tích phân Fredholm, Volterra, Abel Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Cấu trúc khoá luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: - Chương 1: Một số kiến thức sở Lý thuyết toán tử tuyến tính không gian Hilbert - Chương 2: Phương trình tích phân Chương Một số kiến thức sở lý thuyết toán tử không gian Hilbert 1.1 1.1.1 Một số khái niệm mở đầu Không gian vectơ (Không gian tuyến tính) Định nghĩa 1.1 Cho V tập hợp khác rỗng, K trường số thực trường số phức Ta xác định hai phép toán: (i) Phép tính cộng (+): u, v ∈ V, u + v ∈ V (ii) Phép nhân vô hướng (·): u ∈ V, k ∈ K, ku ∈ V V với hai phép toán nói gọi không gian vectơ trường K thoả mãn điều kiện sau: (i) Tính giao hoán phép cộng: ∀u, v ∈ V, u + v = v + u (ii) Tồn phần tử không, kí hiệu 0, thoả mãn: ∀u ∈ V, u + = u (iii) Tính chất kết hợp phép cộng: ∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Toán tử W m viết dạng x W m g (x) = Km (x, y).g(y)dy, a nhân Kn xác định (2.28) Thật vậy, cho m = 2, ta có x W g (x) = z K(x, z) a g(y)dy dz a Tích phân xét tích phân bội miền hình chữ nhật (y, x) : a ≤ y ≤ z, a ≤ z ≤ x Sau đổi thứ tự tích phân ta x x W g (x) = K(x, z)K(z, y)dz.g(y)dy a y Nếu ta kí hiệu x K2 (x, y) = K(x, z).K(z, y)dz, y lập luận tương tự ta có x x W g (x) = K(x, z).K2 (z, y)dz.g(y)dy, a y Để dự đoán W m , ta kiểm tra Km 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Với m = 2, áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta x 2 K(x, z).K(z, y)dz K2 (x, y) = y x x ≤ K(x, z) dz y K1 (z, y) dz y ≤ A(x).B(y) Tương tự, x x K3 (x, y) ≤ K(x, z) dz y K2 (z, y) dz y x ≤ A(x).B(y) A(z)dz y = A(x).B(y) λ(x) − λ(y) Bằng quy nạp, ta λ(x) − λ(y) Km (x, y) ≤ A(x).B(y) (m − 2)! m−2 , m ≥ Do đó, x m m T f1 (x) − T f2 (x) = α 2m Km (x, y).(f1 (y) − f2 (y))dy a 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học x ≤ α 2m ĐÀO THỊ HẠNH x m−2 A(x).B(y)[λ(x) − λ(y)] (m − 2)! f1 (y) − f2 (y) dy dy a a x m−2 |α|2m A(x) λ(x) ≤ (m − 2)! B(y)dy f1 − f2 a 2m ≤ m−2 |α| A(x).(λ(x)) (m − 2)! M f1 − f2 Lấy tích phân với cận x [a, b], ta T m f1 − T m f2 Do đó, ∃n ∈ N cho ≤ |α|2m M m f1 − f2 , m ≥ (m − 1)! |α|2n M n < 1, (n − 1)! T n co, biểu diễn 2.2, phương trình (2.26) có nghiệm viết dạng lim T n f = ϕ + α.W ϕ + α2 W ϕ + , n→∞ hay tương đương, x ∞ αn f (x) = ϕ(x) + n=1 Kn (x, t).ϕ(t)dt a Định lý 2.9 (Phương trình Volterra nhất) Phương trình Volterra x K(x, t).f (t)dt, x ∈ [0, 1] f (x) = α 48 (2.29) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH có nghiệm tầm thường f = Chứng minh Từ (2.29) ta có x f (x) ≤ |α| K(x, t) f (t) dt ≤ |α|.M p, (2.30) p= f (t) dt M số cho K(x, t) ≤ M, ∀x, t ∈ [0, 1] Vì vậy, sử dụng (2.30) vào (2.29), ta x K(x, t) |α|.M pdt ≤ |α|2 M px f (x) ≤ |α| Tiếp tục trình, ta có xn−1 |α|n M n p f (x) ≤ |α| M p ≤ → 0, n → ∞ (n − 1)! (n − 1)! n n Điều f (x) = 0, ∀x ∈ [0, 1] 2.6 Phương pháp tìm nghiệm với nhân tách Ta kiểm tra tính giải phương trình tích phân Fredholm loại với nhân tách Nhân K gọi tách có dạng n K(s, t) = Mk (s).Nk (t), k=1 49 (2.31) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH hàm số Mk Nk giả sử thuộc L2 [a, b] để nhân bình phương khả tích Những nhân gọi suy biến Chúng bao gồm tất đa thức hàm siêu việt, chẳng hạn cos(s + t) = cos s cos t − sin s sin t Với nhân tách được, phương trình Fredholm loại đặt dạng b n Mk (x) f (x) = ϕ(x) + α k=1 Nk (t).f (t)dt (2.32) a hay n f (x) = ϕ(x) + α ck Mk (x), (2.33) k=1 đó, b ck = Nk (t).f (t)dt, k = 1, 2, 3, n (2.34) a Các số ck phụ thuộc vào nghiệm chưa biết chúng chưa biết Mặt khác, biết nghiệm phương trình (2.32) có dạng (2.33), vấn đề đưa tìm số xác định c1 , c2 , , ck Đầu tiên, ta nhân phương trình (2.33) Nm (x) lấy tích phân với cận x để triệt tiêu x- phụ thuộc Do đó, (2.34) trở thành n cm = α amk ck + bm , k=1 50 (2.35) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH đó, b Nm (x).Mk (x)dx amk = a b bm = Nm (x).ϕ(x)dx a Phương trình (2.35) viết dạng ma trận (I − αA).c = b, hay c = (I − αA)−1 b , A = (amk ), b = (b1 b2 bm ), c = (c1 c2 cn ) Phương trình tương đương với hệ phương trình đại số tuyến tính dạng    (1 − α.a11 )c1 − α.a12 c2 − α.a13 c3 − − α.a1n cn = b1       −α.a21 c1 + (1 − α.a22 ).c2 − α.a23 c3 − − α.a2n cn = b2                   −α.a c − α.a c − α.a c − + (1 − α.a ).c = b n1 n2 n3 nn n n Hệ có nghiệm det(I − αA) = Nếu phương trình ban đầu nhất, nghĩa ϕ(x) = 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH b = Khi hệ phương trình (I − αA).c = (2.36) Ta sử dụng nghiệm phương trình để tìm nghiệm (2.32) Chú ý trường hợp phương trình có vô số nghiệm Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp để tìm nghiệm phương trình (1 − 3xt).f (t)dt f (x) = α Ta có K(x, t) = − 3xt = Mk (x).Nk (t), k=1 M1 (x) = 1, N1 (t) = 1, M2 (x) = −3x, N2 (t) = t Vì amk = Nm (x).Mk (x)dx, ta có a11 = 1, a12 = − , a21 = , a22 = −1 2 Nghiệm (2.37) có dạng f (x) = α ck Mk (x), k=1 52 (2.37) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH ck = Nk (t).f (t)dt, k = 1, Hệ thống phương trình kết hợp với toán (1 − α).c1 + α .c2 = 0, −α .c1 + (1 + α).c2 = Nghiệm phương trình 1−α − α 2α = 1+α α = α = −2 Thế vào phương trình đại số, ta được: c1 = 3c2 với α = 2, c1 = c2 với α = −2 Vì hàm số riêng f1 (x) = c1 M1 (x) + c2 M2 (x) = 2.(c1 − 3c2 x) = a(1 − x); α = 2, f2 (x) = −2.(c1 M1 (x) + c2 M2 (x)) = −2(c1 − 3c2 x) = b(1 − 3x); α = −2 Do đó, phương trình (2.37) có nghiệm không tầm thường α = α = −2 nghiệm f (x) = a.(1 − x) f (x) = b.(1 − 3x); a, b vô hướng Ví dụ 2: Xét phương trình không (1 − 3xt)f (t)dt f (x) = ϕ(x) + α 53 (2.38) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Nếu 2α 1−α − α = 0, 1+α phương trình có nghiệm có dạng ck Mk (x), f (x) = ϕ(x) + α k=1 c1 c2 nghiệm hệ tuyến tính (1 − α).c1 + α .c2 = b1 = N1 (x).ϕ(x)dx = ϕ(x)dx, 1 −α .c1 + (1 + α).c2 = b2 = N2 (x).ϕ(x)dx = x.ϕ(x)dx Mặt khác, α = phương trình có nghiệm ϕ(x)(1 − x)dx = 0, trường hợp này, nghiệm cho f (x) = ϕ(x) − ϕ(ξ)dξ + a.(1 − x) Cuối cùng, α = −2, phương trình có nghiệm ϕ(x).(1 − 3x)dx = 0, 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH trường hợp này, nghiệm f (x) = ϕ(x) − ξ.ϕ(ξ)dξ + b(1 − 3x) 2.7 Phương trình Volterra loại phương trình tích phân Abel Thông thường, để nói phương tình Volterra loại khó Trong phần này, ta xét vài trường hợp đặc biệt mà giải dễ dàng Ta xét phương trình x K(x, t).f (t)dt = ϕ(x), x ∈ [0, 1] (2.39) K ϕ giả sử khả vi Ta lấy vi phân (2.39) x để thu x ∂ K(x, t).f (t)dt = ϕ (x) ∂x K(x, x).f (x) + Nếu K(x, x) = 0, phương trình biến đổi phương trình tích phân Volterra loại thứ hai, x f (x) + ∂ ∂x K(x, t) K(x, x) f (t)dt = ϕ (x) K(x, x) (2.40) Nếu nhân hàm số vế phải (2.40) bình phương khả tích (2.40) có nghiệm L2 ([0, 1]) theo lý thuyết tổng quát phương trình tích phân 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Ví dụ: (Phương trình Abel) Một phương trình có dạng x f (t) dt = ϕ(x), (x − t)α (2.41) ≤ α < 1, ϕ liên tục ϕ(0) = gọi phương trình Abel Chúng ta kí hiệu nhân (2.41) Kα Nếu ta áp dụng toán tử tích phân Volterra với nhân Kβ (0 ≤ β < 1) vế (2.41), ta x x x dz f (t)dt = (x − z)β (z − t)α t ϕ(t) dt (x − t)β (2.42) Tiếp theo ta đặt z = t + (x − t)v ngoặc vuông vế trái (2.42) ta x dv (1 − v)β v α dz = (x − t)1−α−β β α (x − z) (z − t) t = (x − t)1−α−β Γ (1 − α).Γ (1 − β) , Γ (2 − α − β) Γ kí hiệu hàm gamma Euler (Leonhard Euler (1707- 1783) ∞ xp−1 e−x dx, p > Γ (p) = 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Do đó, phương trình tích phân (2.42) trở thành x x Γ (2 − α − β) f (t) dt = (x − t)α+β−1 Γ (1 − α).Γ (1 − β) ϕ(t) dt (x − t)β Đặc biệt, ta đặt α + β − = 0, điều đưa dạng đơn giản x x f (t)dt = x sinπα ϕ(t) dt = (x − t)1−α π Γ (1) Γ (α).Γ (1 − α) 0 ϕ(t) dt, (x − t)1−α (2.43) Γ (1) = Γ (α).Γ (1 − α) = π sinπα Nếu ta giả sử vế phải (2.43) khả vi, ta lấy vi phân hai vế, ta x f (x) = sinπα d π dx ϕ(t) dt (x − t)1−α (2.44) Đây nghiệm mong đợi (2.41) Đăc biệt, α = phương trình Abel (2.41) có nghiệm x d f (x) = π dx ϕ(t) √ dt x−t Năm 1825, Niels Henrik Abel (1802 − 1829) giải phương trình liên kết với chuyển dộng đẳng thời Vấn đề nói chuyển động hạt có trọng lượng trượt tác động gia tốc không ma sát dọc theo cung mà qua gốc toạ độ Chúng ta muốn tìm cung mà hạt giảm tới điểm thấp thời gian cố định không phụ thuộc vào vị trí ban đầu 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH Vận tốc hạt điểm (ξ, η) thoả mãn phương trình v= √ 2g y − η, ds = dt (2.45) đó, vị trí ban đầu hạt (x, y) độ dài cung từ điểm ban đầu (x, y) tới (ξ, η) t thời gian Lấy tích phân (2.45), ta T y √ dt = − 2g ds = y−η y √ ds y−η Giả sử s = f (η) với f (0) = 0, ta có y f (η) dη (y − η)1/2 2gT = (2.46) Đây phương trình Abel với α = y d f (y) = π dy √ nghiệm √ y 2gT T 2g d dη = π dy (y − η)1/2 √ T 2g dη = √ π y (y − η)1/2 Vì gT f (y) = 2ay, a = π (2.47) Cung phẳng biểu diễn đường Cycloid với đỉnh gốc trục x đường tiếp xúc đỉnh 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐÀO THỊ HẠNH KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu "Ứng dụng lý thuyết toán tử tuyến tính lý thuyết phương trình tích phân" gồm nội dung sau: phương trình tích phân Fredholm, định lí tồn nghiệm, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương trình tích phân Volterra, phương trình Abel Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường , thầy cô khoa toán, bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả khóa luận ĐÀO THỊ HẠNH Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (2004), Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (2005), Introduction to Hilbert Spaces with Applications, Academic Press ... TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐÀO THỊ HẠNH ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI... THỊ HẠNH Trong khoá luận này, em tập trung nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết toán tử tuyến tính không gian vào việc khảo sát phương trình tích phân thường gặp phương trình Fredholm, phương trình Volterra,... tính không gian Hilbert - Vận dụng lý thuyết toán tử tuyến tính để giải số phương trình tích phân thường gặp: Phương trình Fredholm, phương trình Volterra, phương trình Abel Nhiệm vụ nghiên cứu