skkn ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

ỨNG DỤNG VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 4 7.2.2.. Lời giới thiệu: Trong quá trình giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình mục t

MỤC LỤC Trang

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 3

7.2. ỨNG DỤNG VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

4

7.2.2. Áp dụng vào việc giải bất phương trình 8

7.2.3. Áp dụng vào việc giải hệ phương trình 10

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 14

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc

áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có)

15

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Trong quá trình giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình mục tiêu cuốicùng là tìm được nghiệm hay tập nghiệm của chúng Để làm được điều này chúng ta

có nhiều phương pháp làm khác nhau trong các phương pháp đó ta có thể chia ra làm

pháp Hình học được áp dụng trong một số bài toán Đại số làm cho lời giải bài toán kháhay và ngắn gọn xúc tích Trong chương trình hình học 10 ta được học về các phép

toán của véc tơ và một số ứng dụng của nó, trong các ứng dụng đó phải kể đến "Ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình "

Trong các kì thi đặc biệt là kì thi tốt nghiệp THPTQG ta thường thấy xuất hiện bài toán

về giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình…mà những bài toán nàythường có độ khó nhất định vì sự đa dạng của chúng, để giải quyết chúng ta phải sửdụng nhiều kiến thức khác nhau trong đó

2 Tên sáng kiến:

"Ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình "

3 Tác giả của sáng kiến:

Họ và tên: Nguyễn Thị Thu

Địa chỉ : Trường THPT Yên Lạc 2 – Yên Lạc – Vĩnh Phúc

Điện thoại: 0989865992 Email: thutoanylvp@gmail.com

4 Chủ đầu tư sáng kiến: Là tác giả của sáng kiến

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trìnhgiảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồngnghiệp, cho các em học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPTQG Trong đề tài này tôi

đề cập đến "Ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình " qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh

hoạt trong giải toán Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, dovậy sẽ đem lại kết quả cao hơn

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/9/2019

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ:

7.1.1 Định nghĩa tích vô hướng:

Cho hai véc tơ a br r r, ≠0

Khi đó tích vô hướng của a

7.1.2 Biểu thức tọa độ các phép toán véc tơ:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxychoa a ar( 1 ; 2) (,b b br 1 ; 2)

7.1.3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

cùng phương với véc tơ b b br( 1 ; 2) ≠ 0r

khi tồn tại số k sao

cùng hướng với véc tơ b b br( 1 ; 2) ≠ 0r

khi tồn tại số k >0 sao

Cho hai véc tơ a a ar( 1 ; 2) (,b b br 1 ; 2)

bất kì Khi đó ta có một số kết quả sau:

+)

b a b

7.2 ỨNG DỤNG VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

x x

Phân tích: Vế trái của phương trình được viết lại: x. x+1+1. 3−x Do đó ta nghĩ đến biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng tọa đô oxy

1 0

) 1 2 )(

1 (

3 0

1 )

3 (

3 0

0 3

1

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

,1

=

x x = 1 + 2

Ví dụ 2 Giải phương trình: x2 −2x+5 + x2 +2x+10 = 29

Phân tích: Vế trái của phương trình được viết lại:

9)1(4)1

5

10

2

70

;3(x y

,

)3

;4()

23

;1( −x − y ⇒u+v=

Do đó (3) tương đương với hai khả năng sau:

10

23

1

y

x y

3 0

2 3

2 1

3

x y

x y

y x

3

x y

Khi đó phương trình đã cho có dạng: u vr r = u vr r ⇔cos ,( )u vr r = 1

Điều này xảy ra khi

33

x

x x

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

v u v

u+ ≤ +

Điều này luôn đúng với mọi u

r,

r Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈R

r ngược hướng

r ngược hướng khi

u ≤

Ta có

22)3(23

1+ − ≤ − 2+ −

x

(2)

Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

22)3(23

107

3

031

)0(1

3)

0(

x

x

x x

k k x

k x

k v

=+

)2(42

)1(8

4 2 2

y x

y x

Phân tích: Vế trái phương trình (1) được viết lại:

2

2 ( y2 )

x +

Còn vế trái của (2)

được viết lại x.1+2y.1

Do đó ta nghĩ đến công thức tính độ dài của véc tơ và công thức tích vô hướng của hai véc tơ trong mặt phẳng tọa đô oxy

→

= u v v

Vậy ta được :

( )2

2 2

r, v

r cùng phương hay tồn tại

;22

1.2

1

k y

k x v

k u

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

)1

;2()

;(x y =

r cùng hướng hay

Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:

( ) ( ) ( )

2 2 2

u v u

−

) 2 ( 2 2

1 8

) 1 ( 12 ) 12 ( 12

3

2

y x

x

x y

y

x

Phân tích: Vế trái phương trình (1) được viết lại:

y x y

− x 2≤ y≤12

Đặt →u =(x; 12−x2);→v =( 12−y; y) ⇒ u = v = 12

Khi đó :

v u v

u v

u

v

u

x y

y x

=

⇔

=

−+

−

⇔

0)(

2

12.2])12(12

12

x y

x y

x

y x

Thay vào phương trình (2) ta được:

0)101(23810

21

)3(2133

++

++

−

x

x x

++

+

101

)3(213

thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

)3

;3()

;(x y =

( )

0 1'.w 0 2 ' *

w 3'

u v u y

8 2 4( ; , ) (0;0;1), (0;0; 2),(0; 4;0), (0;0; 2), ( ; ; )

10 816

10 34 40 )

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Cần có hệ thống sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phong phú,

Nắm vững kiến thức về véc tơ và tọa độ

10 Đánh giá lợi ích thu:

Sau khi áp dụng sáng kiến này vào lớp mà tôi trực tiếp giảng dạy ở trườngTHPT Yên Lạc 2, tôi thấy học sinh hứng thú hơn trong học tập, có kĩ năng làm bàitoán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốt hơn, áp dụng giải được

một số bài toán trong các tài liệu tham khảo và đặc biệt là các bài trong các đề thi khảosát của trường, của Sở, các bài toán trong đề thi THPTQG, thi học sinh giỏi

Số liệu thống kê kết qủa đạt được so với trước và sau khi thực hiện sáng kiếnkinh nghiệm này

Đối với lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy là 11A5 tôi cholàm bài kiểm tra 45 phút và kết qủa thu được như sau:

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiếnlần đầu (nếu có):

1 11A5 Trường THPT Yên Lạc 2 Ôn thi THPTQG, thi HSG

Yên Lạc, ngày tháng 3 năm 2020.

Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị Yên Lạc, ngày 10 tháng 3 năm 2020

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Tuy nhiên để tài của tôi vẫn còn hạn chế và không tránh khỏi sai xót, rất mongnhận được sự đóng góp của quý thầy cô, bạn đọc.

Trên đây là đề tài sáng kiến của tôi trong năm học 2019 – 2020 Do còn hạn chế

về kinh nghiệm và thời gian nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và độc giả để đề tài đượchoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Hình học 10- chương trình chuẩn

2 Sách giáo khoa Hình học 10- chương trình nâng cao

3 Sách giáo viên Hình hoc 10- chương trình chuẩn

4 Sách giáo viên Hình hoc 10- chương trình nâng cao

5 Sách bài tập Hình học 10- chương trình chuẩn

6 Các tạp chí báo toán học và tuổi trẻ các năm

7 Rèn luyện kĩ năng giải các dạng bài tập hình học 10 nâng cao- Các tác giả: TrầnPhước Chương, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh