Ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

MỤC LỤC MỤC LỤC Lời giới thiệu Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến 7.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7.2 ỨNG DỤNG VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 7.2.1 Áp dụng vào việc giải phương trình 7.2.2 Áp dụng vào việc giải bất phương trình 7.2.3 Áp dụng vào việc giải hệ phương trình Những thơng tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 10 Đánh giá lợi ích thu 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 2 2 3 4 10 14 14 14 15 16 17 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong trình giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình mục tiêu cuối tìm nghiệm hay tập nghiệm chúng Để làm điều có nhiều phương pháp làm khác phương pháp ta chia làm 11 hai phương pháp phương pháp Đại số phương pháp Hình học Phương pháp Hình học áp dụng số tốn Đại số làm cho lời giải toán hay ngắn gọn xúc tích Trong chương trình hình học 10 ta học phép toán véc tơ số ứng dụng nó, ứng dụng phải kể đến "Ứng dụng véc tơ tọa độ để giải số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình " Trong kì thi đặc biệt kì thi tốt nghiệp THPTQG ta thường thấy xuất tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình…mà tốn thường có độ khó định đa dạng chúng, để giải phải sử dụng nhiều kiến thức khác Tên sáng kiến: "Ứng dụng véc tơ tọa độ để giải số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình " Tác giả sáng kiến: Họ tên: Nguyễn Thị Thu Địa : Trường THPT Yên Lạc – Yên Lạc – Vĩnh Phúc Điện thoại: 0989865992 Email: thutoanylvp@gmail.com Chủ đầu tư sáng kiến: Là tác giả sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp, cho em học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPTQG Trong đề tài đề cập đến "Ứng dụng véc tơ tọa độ để giải số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình " qua cho học sinh thấy sáng tạo linh hoạt giải toán Từ học sinh thấy thích thú say mê học tập, đem lại kết cao Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/9/2019 Mô tả chất sáng kiến: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ: 7.1 7.1.1 Định nghĩa tích vơ hướng: 22 Cho hai véc tơ r r r a, b ≠ Khi tích vơ hướng r a r b số xác định công rr r r r r a.b = a b cos a, b ( ) thức 7.1.2 Biểu thức tọa độ phép toán véc tơ: r r a a ; a , b ( ) ( b1; b2 ) Oxy Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho Khi r r a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ) +) r r a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ) +) +) r ka = ( ka1 ; ka2 ) 7.1.3 Biểu thức tọa độ tích vô hướng: r r rr a ( a1 ; a2 ) , b ( b1 ; b2 ) a.b = a1b1 + a2b2 Oxy Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho Khi r r a = a12 + a22 a ( a1 ; a2 ) 7.1.4 Độ dài véc tơ: Cho Khi 7.1.5 Điều kiện hai véc tơ phương : r r r a ( a1 ; a2 ) b ( b1; b2 ) ≠ k  Véc tơ phương với véc tơ tồn số cho  cho r r  a = kb1 a = kb ⇔   a2 = kb2 Véc tơ r a ( a1 ; a2 ) hướng với véc tơ r r b ( b1 ; b2 ) ≠ tồn số k >0 r r  a = kb1 a = kb ⇔   a2 = kb2 33 Véc tơ  cho Chú ý: Nếu   r a ( a1 ; a2 ) ngược hướng với véc tơ r r b ( b1 ; b2 ) ≠ tồn số k 0 b ( b1 ; b2 ) b1 b2 ngược hướng với véc tơ a a r ⇔ = 0⇔ x= 3x + x= Vậy phương trình cho có nghiệm 66 x − x + − x − x + 13 = Ví dụ Giải phương trình: ( x − 2) + − ( x − 2) + = Phân tích: Phương trình viết lại: ⇔ ( x − 2) +9 − ( x − 2) + = Do ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài véc tơ mặt phẳng tọa đô Oxy Lời giải: Đặt r r r ⇒ u = u ( x − 2;3) v ( x − 2;1) r x − + 9, v = ( ) ( x − 2) +1 , r r r r u − v ≤ u −v ⇔ ( x − 2) +9 − ( x − 2) + ≤ Ta có : u, v Điều xảy hướng tức tồn số k >0 cho r r 3= k  k = u = kv ⇔  ⇔ x =  x − = k ( x − 2) x = Vậy phương trình cho có nghiệm x + y + x + + x + y − x − 12 y + 10 = 5(1) Ví dụ Giải phương trình: ( x + 3) + (2 y ) + (1 − x) + (3 − y ) = 5(2) Phân tích: Phương trình viết lại: Do ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài véc tơ mặt phẳng tọa đô oxy u ( x + 3;2 y ) v (1 − x;3 − y ) ⇒ u + v = (4;3) , Lời giải: Đặt Ta có: r r ( 2) ⇔ u + v r r =u+v u, v (3) Điều xảy hướng hai véc tơ véctơ-khơng 77 Do (3) tương đương với hai khả sau: +) +)  x = 1− x = − y = ⇔   y =  − ≤ x < x+3 2y = >0⇔ y = (3x + 9) 1− x − y  Kết hợp hai trường hợp ta nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: ( − x)   − 31≤ x ≤  y = (3x + 9)   x − + − x = 85 − 57 x + 13 x − x Phân tích: Phương trình viết lại: ( − x) ( − x ) ( − x ) x − + − 2x = + 1  Do ta nghĩ đến cơng thức tích vơ hướng hai véc tơ mặt phẳng tọa đô Oxy r r v x − 2; − x u ( − x;1) Lời giải: Đặt , ( r ⇒u = ( − x) r + 1, v = ) ( x − 2) + ( − 2x ) r r = − x ⇒ u + v = ( 3x + 2;5) rr r r r r u.v = u v ⇔ cos u , v = Khi phương trình cho có dạng: ( ) Điều xảy u, v hướng hay x x − = k  x>3  ⇔ ⇔ x=5 x − x + 10 =  x=5 Vậy bất phương trình cho có nghiệm 7.2.3 Áp dụng vào việc giải hệ phương trình:  x + y = 8(1)   x + y = 4( 2) Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: Phân tích: Vế trái phương trình (1) viết lại: viết lại x.1 + y.1 x + (2 y ) Còn vế trái (2) Do ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài véc tơ cơng thức tích vơ hướng hai véc tơ mặt phẳng tọa đô oxy → Lời giải: Đặt → ⇒ u = → u = ( x; y ) , v = ( 1;1) r x2 + ( y ) , v = → →  → →     α =  u, v   u v = u v cos α     ⇒ u v ≤ u v → → Mặt khác : u v = x + 2y → → 1212 x + y ≤ x + ( y ) Vậy ta : ⇔ ( x + y ) ≤ 2.( x + y ) dấu xảy r r u v , phương hay tồn →  x = k u = k v ⇔  ⇔ x = y ⇒ x = 2; y = 2 y = k → k∈R để : ( x; y ) = ( 2;1) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:   x + + y + = 10(1)  x + y = 8(2)   Phân tích: Từ phương trình (1)ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài véc tơ mặt phẳng tọa đô Oxy → Lời giải: Đặt → ⇒ u = → u = ( x;3) , v = ( y;3) → r 2 v x + 9, = y + → u+ v = ( x + y) + 36 = 10 r r u + v = 10 → → → → u + v ≥ u + v = 10 Mặt khác ta ln có: Do từ hệ ta suy r r u v , hướng hay x = >0⇔ x= y=4 y ( x; y ) = (4; 4) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 1313 Ví dụ 14: Giải hệ phương trình: → Lời giải: Đặt →  x + yz = 1( 1)   y − zx = ( )  z + xy = ( 3)  → u = ( y; z ) , v = ( x; z ) , w = ( y; − x ) , Từ (2) (3) ta suy r u =0⇒ y = z =0 rr  u  v = ( *) r  r uu u w =   → Nếu r u ≠0 thay vào (1) ta Nếu r uu r r uu r  y = −x u v + w = ⇒ v = −w ⇔   z=x → → từ hệ (*) ta x = ±1 ( ) thay vào hệ cho ta suy hệ vô nghiệm ( x; y ) = (1; 0; 0), ( x; y) = ( −1;0;0) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ 15: Giải hệ phương trình: (ĐH khối A năm 2014)  x 12 − y + y (12 − x ) = 12(1)   x − x − = y − (2) x 12 − y + 12 − x y Phân tích: Vế trái phương trình (1) viết lại: Do ta nghĩ đến cơng thức tính tích vơ hướng hai véc tơ mặt phẳng tọa đô oxy Lời giải: ĐKXĐ: → ( − ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ 12 ) ( → u = x; 12 − x ; v = Đặt ) 12 − y ; y ⇒ u = v = 12 Khi : 1414 (1) ⇔ 2[ x 12 − y + y (12 − x ) ] = 2.12 2 ⇔ 2u.v = u + v ⇔ (u − v) = ⇔ u = v  x = 12 − y  x≥0 ⇔ ⇔ 2  12 − x = y  y = 12 − x Thay vào phương trình (2) ta được: x − x − = 10 − x ⇔ x − x − + 2(1 − 10 − x ) =  2( x + 3) ⇔ ( x − 3)  x + 3x + + + 10 − x   =0⇔ x=3     2( x + 3)  : x + 3x + +  > ∀ x ≥   + 10 − x   Suy y = 12 − x = thỏa mãn điều kiện Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ 16: Giải hệ phương trình: → Lời giải: Đặt Ta hệ → ( x; y ) = (3;3)  x ( y − 1) + yz = ( 1)   x ( z − 3) + y ( x − z ) = ( )   2 2  ( z − 3) + ( x − z ) = ( y − 1) + z ( ) → u = ( x; y ) , v = ( y − 1; z ) , w = ( z − 3; x − z ) , rr  u.v = ( 1' )  r  r uu ⇔  u.w = ( ' ) ( *) r uu r2 u y = w ( 3')   1515 r u =0⇒ x = y =0 → Nếu ( z − 3) thay vào hệ cho ta + ( z ) = + z ⇔ z − 12 z + = ⇔ z = 1, z = 2 r u ≠0 → Nếu từ hệ (*) ta r uu r r uu r  y − = −2 z +  x = u v + w = ⇒ v = −w ⇔  ⇔  z = −x + z  y = − 2z → ( ) z = 0, y = z = 2, y = thay vào hệ cho ta suy → uu r2 uu r  y −1 = 2z −  y = z − v =w ⇒v=w⇔ ⇔ z = x − z   x = 2z →2 Nếu thay vào hệ cho ta x = ,y = ,z = 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   ( x; y, z ) ∈ (0;0;1), (0; 0; 2), (0; 4; 0), (0;0; 2), ( ; ; )  3   BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 1) Giải phương trình sau a b c x − − − x = x − x − 11 x − x + 816 + x + 10 x + 267 = 2003 x + 2x + + x − 2x + = 2 x − x + + x − 3x + = d e ( ) +1 2− x + x + + x − x + 13 = 1616 f 2 + x = x+9 x +1 x3 − 18 x + 36 x − x = + x g 2) Giải bất phương trình sau a x + x + x − ≥ 3x + x + x − 1(3 − x) ≥ 40 − 34x + 10 x − x b 5−4 x + 5+ x ≥ c 3) Giải hệ phương trình sau  x + + y − = a)   x + + y + =  3x + y = b)   x + + y + =  x + + y − = c)   x + + y + =  x2 + y2 = − y( x + z )  d) x + x + y = −2 yz 3 x + y + xy + yz = x + z +   x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 e)   x + x + y + − x + y + x + y + − y = Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Cần có hệ thống sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phong phú, Nắm vững kiến thức véc tơ tọa độ 10 Đánh giá lợi ích thu: Sau áp dụng sáng kiến vào lớp mà trực tiếp giảng dạy trường THPT Yên Lạc 2, thấy học sinh hứng thú học tập, có kĩ làm tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốt hơn, áp dụng giải 1717 số toán tài liệu tham khảo đặc biệt đề thi khảo sát trường, Sở, toán đề thi THPTQG, thi học sinh giỏi Số liệu thống kê kết qủa đạt so với trước sau thực sáng kiến kinh nghiệm Đối với lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy 11A5 cho làm kiểm tra 45 phút kết qủa thu sau: Sĩ số 45 % Giỏi 15 33.3 Khá 20 44.4 Trung bình 17.8 Yếu-kém 4.5 Đối với lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy 11A2 cho làm kiểm tra 45 phút kết qủa thu sau: Sĩ số 44 % Giỏi 0 Khá 10 22.7 Trung bình 24 54.6 Yếu-kém 10 22.7 Mặc dù việc so sánh lớp khác nhau, chất lượng học sinh khác nên độ xác chưa cao Nhưng dù nhìn vào bảng thống kê phản ánh phần tiến học sinh sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ TT chức/cá nhân 11A5 Yên Lạc, ngày Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Yên Lạc Ôn thi THPTQG, thi HSG tháng năm 2020 Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Yên Lạc, ngày 10 tháng năm 2020 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 1818 Nguyễn Thị Thu KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Trên phần trình bày nội dung sáng kiến Qua sáng kiến thấy em học sinh biết cách giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình Khi gặp phương trình,bất phương trình, hệ phương trình em hình dung cách biến đổi, cách làm Từ học sinh có lời giải xác, rõ ràng, lập luận chặt chẽ, đạt điểm tối đa Tiến tới đạt kết cao kỳ thi khảo sát, thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi Tuy nhiên để tài tơi hạn chế khơng tránh khỏi sai xót, mong nhận đóng góp q thầy cơ, bạn đọc 1919 Kiến nghị: Hằng năm giáo viên nghành giáo dục làm nhiều đề tài sáng kiến, tham gia thi hội giảng, chiến sĩ thi đua cấp sở, chiến sĩ thi đua cấp tỉnh Nghành có kế hoạch chọn đề tài chất lượng đóng thành đĩa CD phát hành trường để giáo viên học sinh tham khảo Trên đề tài sáng kiến tơi năm học 2019 – 2020 Do hạn chế kinh nghiệm thời gian nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp độc giả để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học 10- chương trình chuẩn Sách giáo khoa Hình học 10- chương trình nâng cao Sách giáo viên Hình hoc 10- chương trình chuẩn Sách giáo viên Hình hoc 10- chương trình nâng cao Sách tập Hình học 10- chương trình chuẩn Các tạp chí báo tốn học tuổi trẻ năm Rèn luyện kĩ giải dạng tập hình học 10 nâng cao- Các tác giả: Trần Phước Chương, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh 2020 2121 ... 7.2 ỨNG DỤNG VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 7.2.1 Áp dụng vào việc giải phương trình: x x +1 + − x = x2 +1 Ví dụ Giải phương trình: Phân tích: Vế trái phương. .. trình hình học 10 ta học phép toán véc tơ số ứng dụng nó, ứng dụng phải kể đến "Ứng dụng véc tơ tọa độ để giải số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình " Trong kì thi đặc biệt kì thi... tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình mà tốn thường có độ khó định đa dạng chúng, để giải phải sử dụng nhiều kiến thức khác Tên sáng kiến: "Ứng dụng véc tơ tọa độ để giải số phương