SKKN Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, bất phươnmg trình

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá hiện đại hoá, cần có những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học trong đó có phương pháp dạy học môn toán. Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không còn mới mẻ. Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: "Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình" 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu từ các tài liệu và sách giáo khoa để đưa ra các dạng toán có thể vận dụng phương pháp tọa độ trong giải toán.Từ đó giúp học sinh phân tích để vận dụng nhằm đơn giản hoá một số bài toán. Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 10A1, 10A2. - Chương trình toán 10. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn. - Các ví dụ về sử dụng tọa độ vào giải toán. Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -1- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 - Ưu điểm của việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến việc sử dụng tọa độ vào giải phương trình, bất phương trình. - Thực nghiệm qua giảng dạy. - Trao đổi với đồng nghiệp. - Kiểm chứng qua các thông tin phản hồi của học sinh. Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -2- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn. 1.1 Cơ sở lí luận. Sau đây là một số kiến thức bổ trợ cho phương pháp sử dụng tọa độ để giải phương trình và bất phương trình. * Cho hai véc tơ );(),;( 2121 bbbaaa == , α là góc tạo bởi hai véctơ đó (k ∈ R) 2211 2211 2211 ;. );( );( );( bababa bkakak bababa bababa = = −−=− ++=+ 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . cos . a b a ba b a b a a b b α + = = + + r ur r ur * Với hai điểm );(),;( BBAA yxByxA thì );( ABAB yyxxAB −−= 22 )()( ABAB yyxxAB −+−= * Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến đường thẳng ( ∆ ): Ax +By +C = 0 là : 22 );( BA CByAx Md oo + ++ =∆ * Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm M(x 0 , y 0 ) và nhận véctơ );( BAn làm véc tơ pháp tuyến là: (d) : A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0 * Phương trình đường tròn tâm I (a; b) bán kính R là: (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 1.2. Cơ sở thực tiễn. Từ nhiều năm trở lại đây phương pháp sử dụng tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình tạo nên sự phong phú về thể Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -3- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 loại và phương pháp giải toán, phù hợp với các kỳ thi tuyển sinh đại học, các kì thi học sinh giỏi. Tuy nhiên qua thực tế, tôi thấy rằng việc sử dụng các phương pháp tọa độ vào giải toán của học sinh còn hạn chế, đa số học sinh chưa làm quen được với phương pháp này nên còn gặp nhiều khó khăn . Hướng dẫn học sinh có thói quen sử dụng phương pháp này giúp học sinh có thể giải quyết nhanh gọn các bài toán trên mà các phương pháp khác khó có thể làm được, giúp học sinh phát huy được tính sáng tạo trong học tập và góp phần làm phong phú và đa dạng thêm cho hoạt động dạy và học toán. 2. Thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu. Giải các bài toán đại số bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài 1: Cho 4 số thực x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Chứng minh rằng : (x 1 2 +y 1 2 )(x 2 2 +y 2 2 ) ≥ (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 Giải: Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : );(),;( 2121 yxbyxa == Ta có 2 2 2 . ( . )a b a b a b a b ≥ ⇒ ≥ r r r r ur ur ur ur Vậy (x 1 2 +y 1 2 ) (x 2 2 +y 2 2 ) ≥ (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 đẳng thức xảy ra 1221 yxyx =⇔ Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z+ + + + + > + + Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -4- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 y z y z x y x z y z + + + + + > − + + Xét 3 điểm 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( , ) ; (0, ) ; ( ,0) y y z A x z B y z C+ + − (1) ⇔ AB + AC > BC Ta có AB AC BC+ ≥ với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây ) 2 3 ; 2 ( ) 2 3 ; 2 ( z z xAC y y xAB −−−= −−= Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra đẳng thức AB + AC = BC. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 3 Giải bất phương trình: 2 1 3 2( 3) 2 2(1)x x x x − + − ≥ − + − Giải Điều kiện 1x ≥ Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ:      = −−= )1;1( )1;3( v xxu        −+−= = −+−= ⇒ 31. 2 )1()3( 2 xxvu v xxu Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -5- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 Suy ra bất phương trình (1) tương đương . .u v u v ≥ r r r r 5 3 0107 31 2 =⇔    ≥ =+− ⇔−=−⇔ x x xx xx . Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất. Bài 4 Chứng minh rằng: 4 4 cos 1 sin 1 cos2 ,x x x x R + − + ≤ ∀ ∈ Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: )0;2(cos )1;(sin )1;(cos 2 2 xba xb xa =−⇒      = = Khi đó, từ xxxbaba 2cos1sin1cos 44 ≤+−+⇒−≤− (đpcm) Bài 5 Giải phương trình: 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x− + + + + = + + (1) Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: )5;23( )4;32( )1;1( +=+⇒      += −= xvu xv xu 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29 u x x v x x u v x x  = − +   ⇒ = + +    + = + +  r r r r Suy ra phương trình (1) tương đương: Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -6- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 u v u v+ = + r r r r        = = ⇔    = +=− ⇔>=⇔ 2 7 4 1 4.1 )32(1 )0( x k k xkx kvku Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 7 2 x = Bài 6:Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = Giải Đặt 3 ; 6u x v x= + = − Phương trình đã cho trở thành 2 2 2 2 1 10 2 (1) 9 9 (2) 0, 0 0, 0 (3) u v m u v uv m u v u v u v u v             + = + − + − = + = ⇔ + = ≥ ≥ ≥ ≥ - Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và bán kính bằng 3. - Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thỏa điều kiện (3) Vậy phương trình có nghiệm khi 3 2 926 32103 ≤≤ − ⇔≤−≤ mm 3. Giải pháp thực hiện Trong quá trình giảng dạy, thông thường tôi thấy học sinh ít khi nghĩ đến phương pháp tọa độ để giải toán, với đối tượng là học sinh ban khoa học tự nhiên, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng phương pháp tọa Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -7- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 độ vào việc giải một số bài toán sơ cấp lớp 10, nhằm phát huy tính tích cực của học sinh, tạo điều kiện, hứng thú cho học sinh linh hoạt hơn trong việc lựa chọn các phương pháp. Đa số học sinh vận dụng được phương pháp này một cách sáng tạo và giải quyết rất nhiều dạng toán với hiệu quả cao. 4. Kết quả thực nghiệm Dựa vào kết quả tôi rút ra một số nhận xét sau: - Chất lượng bài kiểm tra của học sinh các lớp thực nghiệm 10A 2 cao hơn học sinh lớp đối chứng 10A 1 . - Tỉ lệ % học sinh yếu kém, trung bình của các lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp đối chứng. Tỉ lệ % học sinh đạt khá giỏi của các lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng, chứng tỏ ở lớp thực nghiệm với sự đổi mới phương pháp học sinh hiểu bài và vận dụng kiến thức để giải bài tập tốt hơn lớp đối chứng. KẾT LUẬN Trên đây là một số bài toán đại số và hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề mà tôi đưa ra. Ứng dụng của phương pháp này khá rộng, việc sử dụng công cụ này giúp ta giải toán dễ dàng hơn, cho ra những lời giải hay hơn. Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho học sinh, Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -8- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 nhưng do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi chỉ đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình giảng dạy tôi đã giới thiệu cho học sinh. Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để cho đề tài của tôi thêm hoàn chỉnh, và có thể ứng dụng cho các năm học sau. Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bộ Giáo dục và Đào tạo ; Sách Đại số, Hình học; lớp 10 nâng cao ; Nhà xuất bản Giáo dục 2. ThS. Lê Hoành Phò, Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 3. ThS. Lê Hoành Phò, Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 4. Trần Đình Thì, Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 5. Trần Đình Thì, Phân dạng và phương pháp giải hình học 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 6. Trần Minh Quới, Nguyễn Văn Quí, Bài tập nâng cao toán 10, NXB Đà Nẵng 7. PGS. TS Đậu Thế Cấp, Tuyển tập các bài toán hay và khó đại số 1, NXB Đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh : Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -9- Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 - 2013 Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch -10- [...]... ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu .1 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu .1 4 Nhiệm vụ nghiên cứu .1 5 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 3 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn 3 1.1 Cơ sở lí luận 3 1.2 Cơ sở thực tiễn 3 2 Thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu 4 3 Giai phap thực hiên . sở thực tiễn. Từ nhiều năm trở lại đây phương pháp sử dụng tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình tạo nên sự phong phú về thể Đặng Thị Thu Ánh THPT số. có phương pháp dạy học môn toán. Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn. 1.1 Cơ sở lí luận. Sau đây là một số kiến thức bổ trợ cho phương pháp sử dụng tọa độ để giải phương trình và bất phương trình. * Cho hai véc tơ );(),;( 2121 bbbaaa