SKKN Một số biện pháp giúp HS áp dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích

Trong chương I hình học 11 , các phép biến hình đã là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích , dựng hình ....Đây là một vấn đề khó khăn vì học sinh lần đầu tiên... Nhưng nội dung

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HS ÁP DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH”

MỞ ĐẦU

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam

Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam

đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới…”

“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…”

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Trong chương I hình học 11 , các phép biến hình đã là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích , dựng hình Đây là một vấn đề khó khăn vì học sinh lần đầu tiên

làm quen với khái niệm biến hình và hầu hết các em đều “ngại” làm những bài toán liên quan đến quỹ tích

Nhưng nội dung của phép biến hình đưa vào chương trình không chỉ là công cụ để

để giải toán mà còn giúp các em làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới biết nhìn sự vật hiện tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện

cho học sinh tính sáng tạo trong học tập Do vậy với đề tài : “Ứng dụng phép biến hình

để giải một số bài toán quỹ tích” tôi rất mong muốn một phần nào đó giúp học sinh thích

thú hơn trong học toán

II/ MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG:

1 Mục tiêu :

Với đặc điểm của chương này là: Kiến thức mới , học sinh tiếp cận khá khó khăn và chất lượng học sinh không đồng đều Mặc dù chương trình mới đã giảm tải về mặt lý

thuyết rất nhiều Nhưng để áp dụng được lý thuyết để giải một số bài toán quỹ tích thì

thực sự là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh Do vậy qua quá trình giảng dạy,

để đảm bảo được mục đích dạy học là tất cả đối tượng học sinh , đồng thời phát hiện được năng lực học tập đối với một số cá nhân học sinh đòi hỏi người thầy phải có phương pháp truyền thụ thích hợp đến mọi đối tượng học sinh Từ đó nâng cao được chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học

2 Phạm vi thực hiện :

Mọi đối tượng học sinh

3 Phạm vi đề tài :

Một số bài tập về quỹ tích ở chương biến hình

4 Hướng phát triển :

Hoàn thiện hệ thống bài tập đa dạng phong phú hơn, bổ sung thêm phép đồng dạng

5 Phương pháp nghiên cứu :

Nghiên cứu các loại tài liệu có liên quan đến đề tài

Phương pháp điều tra

Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo và học sinh)

Phương pháp quan sát (công việc dạy và học của giáo viên và học sinh)

6 Thời gian thực hiện đề tài :

Năm học 2010-2011

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN :

1 Cơ sở triết học :

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển

Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập để các em thấy được những điều mình chưa biết và khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn

2.C ơ sở tâm lý học :

Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…

Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình và ứng

dụng nó để giải bài toán quỹ tích, các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của

phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành,

do đó các em không muốn học phần này.Vì vậy Giáo viên cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải bài toán Quỹ tích

3 Cơ sở giáo dục học:

Để giúp các em học tốt hơn GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải

có tri thức cần phải học hỏi Giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh

II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:

1 Thời gian và các bước tiến hành:

Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2010-2011

2 Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:

Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:

Trên trung bình 25%

3 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:

- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới các em Nhiều

em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó để giải các bài toán quỹ tích , học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài bài toán quỹ tích sử dụng phép phép biến hình để giải trong chương I hình học lớp 11

1 Phép tịnh tiến :

Bài toán 1: Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay

đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

Hướng dẫn : Nhìn nhận được vấn đề là điểm H “liên quan” với điểm A qua phép tịnh tiến với véctơ nào?

H

B'

O'

O

B

A

C

Định nghĩa : M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ

v



khi và chỉ khi MM                            ' v

Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra được véctơ v cố định,

xét phép tịnh tiến T v điểm M’ cần tìm quỹ tích là ảnh của

điểm M Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy trên

đường (C’) là ảnh của (C) qua phép T v Vậy quỹ tích điểm

M’ là đường (C’)

-Nếu BC là đường kính thì

trực tâm H của tam giác ABC chính là A Vậy H nằm trên đường tròn (O;R)

-Nếu BC không là đường kính , vẽ đường kính BB’ của đường tròn Ta có :

C

B

AH  ' ( Do tứ giác AHCB’ là hình bình hành )

mà B' C cố định Vậy T B C ' : biến A thành H Do đó A chay trên đường tròn (O;R)  H chạy trên đường tròn (O’;R) ,

O’ được xác định : OO' B'C

Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường tròn

(O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ B' C

Bài toán 2 :

Cho đường tròn (O;R) và một điểm M chạy trên đường tròn đó, cho một đoạn AB có A,B không nằm trên đường tròn đó Tìm quỹ tích các điểm M’ là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMM’.

Hướng dẫn : Hướng cho học sinh tìm thấy M có mối quan hệ với điểm nào? Qua phép tịnh tiến nào?

O'

M'

O

A

B M

Ta có tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên :     MM                       ' BA

, mà BA

cố định Vậy phép

BA

T : biến M thành M’ Do đó M chạy trên đường tròn (O;R)  M’ chạy trên đường tròn (O’;R) O’ được xác định : OO' BA

Kết luận : Quỹ tích điểm M’ là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường tròn

(O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA

Bài tập tự luyện :

1) Cho hình bình hành ABCD có AB cố định , đường chéo AC có độ dài bằng m không đổi Khi C thay đổi , tìm quỹ tích điểm D

2) Cho đường tròn tâm O và hai điểm A,B Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho :MM' MAMB

3) Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Cho biết A và B cố định, AD=a, DC=b (a,b là hằng số dương) Tìm quỹ tích điểm D và C

4) Cho đường tròn (O;R) cố định AB là đường kính cố định, MN là đường kính lưu động Tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt AM, AN lần lượt tại P và Q Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MPQ

5) Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, vẽ tam giác đều CDN với M,A,B

ở cùng phía đối với CD Tìm quỹ tích của D và M biết :

a) Điểm C chạy trên đường thẳng d

b) Điểm C chạy trên đường tròn (O;R)

6) Cho hình bình hành ABCD có A cố định, B và D lưu động trên đường tròn tâm O bán kính R=OA, dây BD= R22

a) Chứng minh trực tâm K của tam giác BCD cố đinh

b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABD.

c) Tìm quỹ tích điểm C

2.Phép đối xứng trục :

Bài toán 1:

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

Hướng dẫn :

Định nghĩa: M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d

khi và chỉ khi d là đường trung trực của MM’

Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một đường thẳng d cố định

Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của điểm M’ qua phép , biết

M’ chạy trên đường (C’) thì M chạy trên đường (C) là ảnh của

(C’) qua phép

H'

H I

O

B

A

C

Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn

Ta có

BAH  HCB (tương ứng vuông góc)

BAH  BCH' (cùng chắn một cung)

Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H và H’ đối xứng nhau qua đường thẳng BC Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường tròn (O) Do đó H phải chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng qua đường thẳng

BC

Kết luận : Quỹ tích điểm H là đường tròn tâm O’, bán kính R là ảnh của đường tròn

(O;R) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC

3.Phép quay và phép đối xứng tâm:

Định nghĩa phép quay: Điểm M’ là ảnh của M qua phép

quay khi và chỉ khi OM=OM’ và (OM,OM’)=

Bài toán 1:

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

Hướng dẫn :

Gọi I là trung điểm của BC vẽ đường kính AM của đường tròn, rồi chứng minh I là trung điểm của HM Ta đi tìm quỹ tích của điểm H dựa vào phép đối xứng tâm I

Bài toán 2 :

Xác định M’ sao cho MM' MAMB Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên (O;R) Hướng dẫn:

Định nghĩa phép đối xứng tâm : M’ là ảnh của M qua

phép đối xứng tâm O khi và chỉ khi

Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ ra một điểm O cố định và một

góc lượng giác không đổi Điểm M cần tìm quỹ tích là ảnh của

điểm M’ qua phép , biết M’ chạy trên đường () thì M chạy trên

đường (’) là ảnh của () qua phép Phép đối xứng tâm là trường

hợp đặc biệt của phép quay với góc quay là 1800

M'

I O

A

B M

Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và MAMB  2MI

Do vậy MM' MAMB  MM' 2MI tức là MM’ nhận I làm trung điểm hay phép ĐI

biến M thành M’ Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R) thì quỹ tích điểm M’ là đường tròn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép ĐI O’ được xác định O'I IO

Bài toán 3 :

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó.

Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF Tìm quỹ tích điểm E.

Xem E là ảnh của A qua phép quay Q(B,900) Khi A chạy trên nửa đường tròn (O), thì E chạy trên nửa đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép Q(B,900)

Bài tập tự luyện :

1)Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn đó Với mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn , dựng hình vuông ABCD có tâm I

a) Tìm quỹ tích điểm C

b) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D

c) Khi I trùng với O có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên

2)Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a

3)Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên (O) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của của M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3

4.Phép vị tự :

Bài tập :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các đỉnh B,C cố định còn A

chạy trên đường tròn đó Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

I

O A

G O'

Phương pháp : Chỉ ra được một điểm cố định O, một hằng số

k, Xét phép vị tự tâm O tỉ số k () điểm M’ cần tìm quỹ tích là

ảnh của M Biết M chạy trên đường (C) thì M’ chạy trên

đường (C’) là ảnh của (C) qua V(O,k)

Gọi I là trung điểm của BC Do B,C cố định nên I cố định.

Ta có : IG IA

3

1

 Vậy G là ảnh của A qua qua phép vị tự tâm I, tỉ số vị tự 31 , mà A chạy

trên đường tròn (O;R) nên G chạy trên đường tròn (O’;13R) O’ được xác định :IO IO

3

1 ' 

Kết luận: Quỹ tích điểm G là đường tròn tâm O’, bán kính 13R

Bài tập tự luyện:

1) Trong tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định còn A chạy trên đường tròn (O;R) cố định không có điểm chung với đường BC Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC 2)Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, điểm A lưu động trên một đường thẳng d sao cho BC không cắt đường thẳng d Tìm tập hợp

a) Trọng tâm G của tam giác ABC

b) Trung điểm I của BC

3)Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định , MN là đường kính lưu động C là trung điểm của bán kính OA Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm của NC và BN

4)Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định nằm ngoài đường tròn(O;R) Một dây cung

BC thay đổi của (O) nhưng có độ dài không đổi bằng R 3 Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác PBC

5) Cho tam giác ABC cố định , M là điểm lưu động trên cạnh BC sao cho M không trùng B Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác MAB

6) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A Đường kính vẽ từ A gặp (O) ở

B và (O’) ở C Một đường thẳng thay đổi đi qua A và cắt (O) tại M và (O’) tại N Tìm tập hợp giao điểm I của BN và C

KẾT LUẬN

I KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:

Năm học 2010-2011 , với phân phối chương trình bộ môn toán là 4 tiết/1 tuần và một tiết bám sát Ở chương I hình học 11 ,trong các giờ học hình , sau khi đã giới thiệu

lý thuyết và làm bài tập tôi dành thời gian luyện tập cho các em giải các bài tập như đã hệ thống ở trên, tôi thấy học sinh rất dễ hiểu và tích cực làm bài tập hơn

Xong mỗi phần đưa bài tập về nhà có khoảng 60% đến 70% học sinh làm bài đầy đủ ,

so với đầu năm khi kết thúc chương I tôi thấy kết quả trên trung bình tăng lên 50% , có khả quan hơn nhiều

II KẾT LUẬN :

Với những kinh nghiệm dù là rất nhỏ của mình nhằm hệ thống cho học sinh một phần kiến thức trong chương 1, để các em nắm chắc kiến thức hơn và sáng tạo hơn trong học tập Mặc dù đã đầu tư thời gian để có được một số bài tập song không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong được sự chia sẻ và đóng góp ý kiến từ quý thầy cô để bài viết được tốt hơn