Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ NỘI DUNG SÁNG KIẾN HIỆU QUẢ MANG LẠI 22 ĐÁNH GIÁ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Nam Tổ: Toán Trường: THPT Lạng Giang số SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề véc tơ tọa độ nội dung chương trình tốn THPT Nó kế thừa phát triển mơn Hình học túy mà học sinh học cấp 2, cách nhìn nhận khác nội dung hình học Với hệ tọa độ Đề vng góc, người làm tốn có hội phát triển tư khái quát hóa giải tốn cách dễ dàng Trong chương trình Toán THPT đề thi Học sinh giỏi, đề thi Đại học Cao đẳng có nhiều toán mà làm trực dạng toán học sinh mơ hồ lúng túng giải nào, biết cách giải lời giải thực dài khó khăn Nhưng khéo léo vận dụng kiến thức véc tơ tọa độ lại có lời giải ngắn gọn dễ hiểu Chính tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu kĩ thuật giải toán rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải tốn thành thạo Đó lí chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm : “ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP ” 1.2 Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến SKKN chủ đề “ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP ” công bố áp dụng trước số trường THPT Tuy nhiên nhận thấy SKKN cịn chưa đầy đủ dạng tốn áp dụng, chưa phân loại đưa phương pháp đặc trưng cho dạng tập Vì SKKN này, cố gắng thực số điều sau: + Làm rõ phương pháp giải toán kiến thức véc tơ tọa độ + Tổng hợp nhiều dạng toán áp dụng : chứng minh Bất đẳng thức; tìm Gía trị lớn Gía trị nhỏ nhất; giải Phương trình, Bất phương trình Hệ phương trình , + Làm rõ kiến thức vận dụng q trình làm tốn SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp + Phân loại đưa phương pháp đặc trưng cho dạng tập + Tập hợp hệ thống dạng toán vận dụng kiến thức véc tơ tọa độ để giải, phân loại thành dạng khác từ dễ đến khó để phù hợp với đối tượng học sinh trường THPT Lạng Giang số Trong dạng có phương pháp, tốn cụ thể nhằm dẫn dắt học sinh học tập, tạo tinh thần học tập hứng thú cho học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Thực trạng tình hình vấn đề: Trong chương trình Tốn THPT có nhiều toán Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ hàm số, Phương trình-bất phương trình-hệ phương trình, mà làm trực cách giải dạng tốn khó khăn, biết cách giải lời giải thực dài phức tạp Nhưng khéo léo vận dụng kiến thức véc tơ tọa độ lại có lời giải dễ dàng, ngắn gọn dễ hiểu Trong trình học tập mơn Tốn, có nhiều chun đề thuộc lĩnh vực khác nhau, nhiều học sinh không thấy gắn kết kiến thức đó, khơng thấy ứng dụng đơn vị kiến thức mà học được, chí nhiều học sinh cho Tốn học mơn học khơ khan rời rạc, từ thấy ngại học Tốn Chun đề Véc tơ tọa độ phần kiến thức Hình học lạ mà lên đến cấp học sinh làm quen Vì nhiều em học cách máy móc thụ động khơng hiểu học chun đề để làm gì, có ứng dụng Đây nguyên nhân khiến cho học sinh không nắm bắt kiến thức có chiều sâu dễ dàng quên kiến thức sau thời gian học định 2.2 Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề: 2.2.1 Khảo sát thực tế: SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp Trước thực đề tài, khảo sát kiểm tra học sinh lớp 12A1, 12A3 thông qua số tập nhà với nội dung chứng minh Bất đẳng thức; tìm Gía trị lớn Gía trị nhỏ nhất; giải Phương trình, Bất phương trình Hệ phương trình , Kết sau: Số học sinh đạt điểm khá-giỏi , điểm trung bình chưa đạt 50%, cịn lại yếu, Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải toán yếu 2.2.2 Áp dụng SKKN: Tôi tiến hành dạy phụ đạo, giao tài liệu hướng dẫn học sinh học nhà Trao đổi với học sinh băn khoăn vướng mắc mà em gặp phải làm tập, sau tơi tiến hành giúp đỡ em giải vướng mắc 2.3 Nội dung kiến thức SKKN : Cơ sở kiến thức I HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VNG GĨC TRONG MẶT PHẲNG Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x ' Ox, y ' Oy vng góc với Trên Ox, Oy chọn véc tơ đơn rr vị i, j Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vng góc Oxy Toạ độ điểm véc tơ: Cho điểm M mp (Oxy ) Hạ MH vng góc với x ' Ox MK vng góc với y ' Oy r r uuuu r uuur uuur Theo qui tắc hình bình hành, ta có: OM = OH + OK = xi + y j Cặp ( x; y ) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M, ký hiệu M ( x; y ) ur uuuu r ur Cho a hệ trục, tồn điểm M cho OM = a Gọi ( x; y ) toạ độ điểm M Khi ( x; y ) gọi toạ độ véc SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp u r ur tơ a hệ trục Oxy ký hiệu a = ( x; y ) Các phép toán véc tơ : r ur Cho hai véc tơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) k số thực Các phép toán véc tơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với véctơ, tích vơ hướng hai véc tơ xác định sau: u r r u r r a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ) a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ) u r k a = (ka1 ; ka1 ) ur r a.b = a1b1 + a2b2 Các cơng thức tính đại lượng : r ur Cho hai véc tơ a = (a1 ; a2 ) ; b = (b1; b2 ) gọi α góc tạo hai véctơ ur r ur r r r +) a.b = a b a b hai véctơ hướng ur r a.b a1.b1 + a2 b2 +) cos α = aur br = a + a b + b 2 +) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng (d ) : Ax + By + C = : d (M , d ) = Axo + Byo + C A2 + B Phương trình đường thẳng, đường trịn : * Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ) nhận r véctơ n = ( A; B) làm véc tơ pháp tuyến là: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = * Phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R là: ( x − a ) + ( y − b) = R II HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Định nghĩa : Trong khơng gian cho ba đường thẳng x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz vng góc với SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng tốn sơ cấp rr r đơi Trên Ox, Oy, Oz chọn véc tơ đơn vị i, j, k Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vng góc Oxyz Toạ độ điểm véc tơ : Cho điểm M kh ông gian Oxyz Hạ MH vng góc x ' Ox , MK vng góc y ' Oy ML vng góc z ' Oz Theo qui tắc hình hộp, ta có : uuuuu r uuuur uuuur uuur r r r OM = OH + OK + OL = xi + y j + z k Bộ ( x; y; z ) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M , ký hiệu M ( x; y; z ) ur uuuuu r ur Cho a , tồn điểm M cho OM = a Gọi ( x; y; z ) toạ độ điểm M Khi ( x; y; z ) gọi toạ độ véc tơ ur ur a hệ trục Oxyz ký hiệu a = ( x; y; z ) Các phép toán véc tơ : r u r Cho hai véc tơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) ; b = (b1; b2 ; b3 ) k số thực Các phép toán vectơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với vectơ, tích vơ hướng xác định tương tự mặt phẳng Tích có hướng xác định sau: uu rr a a a a aa  a,b  = ( ; ; )   b2 b3 b3 b1 b1 b2 Các cơng thức tính đại lượng : ur r Cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) ; b = (b1; b2 ; b3 ) gọi α góc tạo hai vectơ ur r ur r r r a.b = a b a b hai vectơ hướng ur r a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a.b cos α = ur r = ab a12 + a2 + a32 b12 + b2 + b32 Cho (d) đường thẳng qua A có vectơ phương uuuur r a = (a1; a2 ; a3 ) điểm M Giả sử ta tính AM = (b1 ; b2 ; b3 ) Khi SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) tính : a2 a3 d (M , d ) = a a aa + + b2 b3 b3 b1 b1 b2 a12 + a2 + a32 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng mặt cầu : a Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có r ur cặp vectơ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) ; b = (b1; b2 ; b3 ) : a2 a3 a a aa ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = b2 b3 b3 b1 b1 b2 b Phương trình tham số đường thẳng (d) qua điểm ur M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) làm vectơ phương là:  x = x0 + a1t   y = y0 + a2t z = z + a t  (t tham số) c Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) có bán kính R : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R Bài tập vận dụng Bài 1: Cho số thực x1 , x2 , x3 , x4 chứng minh : ( x12 + y12 )( x22 + y22 ) ≥ ( x1 x2 + y1 y2 ) Giải: u r r Trên mặt phẳng toạ độ xét vectơ : a = ( x1 ; y1 ), b = ( x2 ; y2 ) Ta có ur r ur r ur r ur r a b ≥ a.b ⇒ a b ≥ (a.b)2 ( x12 + y12 )( x22 + y22 ) ≥ ( x1 x2 + y1 y2 )2 ur r đẳng thức xãy ⇔ a // b ⇔ x1 y2 = x2 y1 Bài : Chứng minh : a − 2a + + a + 2a + ≥ (1) Giải : SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp (1) ⇔ (a − 1) + 2 + ( a + 1) + 22 ≥ r r r r Đặt a = (1 − a; 2), b = (a + 1; 2) ⇒ a + b = (2; 4) r r r r (a − 1) + 22 + (a + 1) + 2 = a + b ≥ a + b = (đpcm) Ta có : r r Dấu xảy : a; b hướng: − a = a + ⇔ a = Bài : Chứng minh : x + xy + y + y + yz + z ≥ z + zx + x , ∀x, y , z ∈ R (1) Giải : x   x + xy + y =  y + ÷ +  2   Ta có r  x  r   z 2  z    2 x÷ + z÷ ÷ ; y + yz + z =  y + ÷   ÷    r r  x−z  ; (x + z) ÷ Xét a =  y + ; x ÷÷, b =  −  y + ÷; z ÷÷⇒ a + b =  ÷ 2  2       r r ( x − z ) 3( x + z ) ⇒ a+b = + = z + zx + x 4 r r r r a Do + b ≥ a + b nên x + xy + y + y + yz + z ≥ z + zx + x , ∀x, y, z ∈ R ( đpcm ) r r Dấu xảy : a, b hướng x = z = x = z = x = z = x ⇔  x −2 y − x ⇔  y + x  =−  =  xy + yz + zx = 2y + z 2y  z  z x = z = ⇔  x = kz , y = −k z , k ≠ −1 1+ k  Bài Chứng minh rằng: cos x + − sin x + ≤ cos x , ∀x ∈ R Giải : SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp Trong mặt phẳng toạ độ xét vectơ : Khi đó, từ r  a = (cos x;1) r r ⇒ a − b = (cos x;0) r b = (sin x;1) r r r r a − b ≤ a − b ⇒ cos x + − sin x + ≤ cos x ⇒ ( dpcm) Bài : Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh : a + 2b b2 + 2c c + 2a + + ≥ ab bc ca Giải : r r   r r uu r 1 1 2  r   uu 2 ; v = ; ; w = ; ⇒ u + v + w = + + ; + + ÷  ÷  ÷  ÷ ÷ c b ÷ a c ÷ a b c a b c ÷ b a        1 Chọn u =  ; Ta có 2 2 2 r r uu r r r uu r 1   1   1  2  1 1 u + v + w ≥ u + v + w ⇔  ÷ +  + + + + ≥ + + ÷ ÷ ÷  ÷   ÷   ÷ b  a ÷  c   b ÷  a   c ÷ a b c  ⇔ a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ ( đpcm ) ab bc ca Dấu xảy : a = b = c = Bài : Chứng minh x + + y + + z + ≤ 3, ∀x, y, z ≥ − , x + y + z = Giải : r r v u = 1;1;1 Xét hai vectơ : ( ) = ( x + 2; y + 2; z + r r Ta có u = 3, v = 5( x + y + z ) + = rr u.v = x + + y + + z + rr r r u Áp dụng bất đẳng thức v ≤ u v ta có x + + y + + z + ≤ 3, ∀x, y, z ≥ − 10 ) SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp r r Dấu xảy : u = ( 1;1;1) , v = hướng ⇔ ( ) x + 2; y + 2; z + 5y + 5x + 5z + = = ⇔ x= y=z=2 1 Bài : Cho a, b hai số thực tuỳ ý Chứng minh : (a + b)(1 − ab) − ≤ ≤ (1 + a )(1 + b2 ) Giải : Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề - vng góc đặt ur u = (1; a;0) r v = (1; −b;0) u r r  − ab cos(u, v) = 1+ a2 1+ b2 ⇒  ur r a+b  sin( u , v) =  1+ a2 + b2  u r r u r r u r r 2(1 − ab)(a + b) ta có sin 2(u, v) = 2sin(u, v).cos(u, v) = (1 + a )(1 + b2 ) ≤ ⇔− (a + b)(1 − ab) ≤ ≤ (1 + a )(1 + b ) Bài 8: Tìm giá trị lớn hàm số: y = x + − Giải: r x r Đặt u = (1; 2), v = ( x ; − x ) rr  y = u.v r r u = 3, v = Mặt khác: r r Áp dụng (I) ta có: y ≤ Dấu xảy u = kv với k > ⇔ x= 11 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp Vậy giá trị lớn hàm số x = Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x + 1) + y + + x + ( y + 1) + 1, ∀x, y Giải : r r r r Xét hai vectơ : u = ( x + 1; y; 2), v = (− x; − y − 1;1) ⇒ u + v = (1; −1;3) r r r r a Do + b ≥ a + b ta có : A = ( x + 1) + y + + x + ( y + 1) + ≥ 11 r r Dấu xảy : u = ( x + 1; y; 2), v = (− x; − y − 1;1) hướng Tức : x +1 y 2 = = ⇔ x=− ,y=− −x − y −1 3 Vậy A đạt giá trị nhỏ 11 x = − , y = − 3 Bài 10 : Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = f ( x) = cos x − 2cos x + + cos x + 4cos x + Giải : Trong mặt phẳng toạ độ xét véctơ: r  a = (1 − cos x) + 2 = cos x − 2cos x + r   r a = (1 − cos x;2) 2 Khi :  b = (2 + cos x ) + = cos x + 4cos x + r  b = (2 + cos x;2) r r  a + b = 32 + 42 =  từ r r r r a + b ≥ a + b y ≥ Dấu “=” xảy (chẳng hạn) x = 2π Vậy Min y = Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số : 12 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp y = f ( x) = cos x − 6cos x + 13 + cos x + 2cos x + [ 2004π , 2006π ] (Hướng dẫn) r  a  = (3 − cos x; 2) Xét hai vectơ  r  b = (1 + cos x;1) Bài 12 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức y = x − px + p + x − 2qx + 2q ( p ≠ q ) Giải : Ta có y = ( x − p)2 + p + ( x − q) + q  ymin = ( p − q)2 + ( p + q)2 = 2( p + q ) Bài 13 : Giải phương trình (4 − x) x − + − x = 85 − 57 x + 13 x − x3 (1) Giải : Ta có : (1) ⇔ (4 − x) x − + − x = (5 − x)( x − x + 17)  7 ⇔ (4 − x) x − + − x = (5 − x) ( − x ) + 1 , x ∈ 2;     2 r r Xét a = ( − x;1) , b = r rr x − 2; − x ⇒ a.b = (4 − x ) x − + − x ( ) r Và a = (4 − x) + 1, b = ( x − 2) + (7 − x) = − x rr r r r r 4− x ⇔ a b = a b ⇔ cos a ,b = ⇔ = Khi (1) x−2 − 2x ( ) ⇔ (4 − x) (7 − x) = x − ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 14: Giải phương trình: x + x + − x = + x (*) r r Giải: Trong hệ trục tọa độ Oxy , đặt u = ( x;1), v = ( + x ; − x ) thì: 13 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp r r rr u = + x , v = 2, u.v = x + x + − x rr r r u Khi đó: (*) ⇔ v = u v r r 1+ x 3− x Điều xảy u = kv với k > ⇔ = x x =1 ⇔ x =1± Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x = 1, x = ± Bài 15 : Giải bất phương trình: x − + x − ≥ 2( x − 3) + x − 2(1) Giải : Điều kiện x ≥ Xét mặt phẳng toạ độ Oxy với vectơ: r  u = ( x − 3) + x − r  u = ( x − 3; x − 1) r ⇒ r v = v = (1;1) r r u.v = x − + x −  rr r r Suy bất phương trình (1) tương đương u.v ≥ u v r r  x2 − 6x + = x − ⇔ u ↑↑ v ⇔ x − = x − ⇔  x ≥  x =  x − x + 10 =  ⇔ ⇔   x = ⇔ x = x ≥ x ≥  Vậy x = nghiệm Bài 16 : Giải phương trình : x − x + + x + x + 10 = 29 (1) 14 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp Giải : Tập xác định : ¡ (1) ⇔ ( x − 1) + 22 + ( x + 1) + 32 = 29 r r u = ( x − 1; 2) ⇒ u = ( x − 1) + 2 Đặt r r v = (− x − 1;3) ⇒ v = ( x + 1) + 32 r r r r u + v = ( − 2;5) ⇒ u + v = 29 Suy r r r r r r ⇔ u + v = u + v ⇔ u , v hướng Như ( ) ⇔ 3( x − 1) − 2(− x − 1) = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 17: Giải bất phương trình : 2( x − 3) + x − ≤ x − + x − (1) Giải : Điều kiện : x ≥ (1) ⇔ ( x − 3) + ( x − 1) ≤ x −1 + x − r r r r Đặt u = ( x − 3; x − 1) ⇒ u = ( x − 3) + ( x − 1) , v = (1;1) ⇒ v = r r rr Suy u.v = x − + x − u v = ( x − 3) + ( x − 1) r r r r rr r r u v = ( x − 3) + ( x − 1) (1) ⇔ u v ≥ u.v ⇔ u, v hướng Bài 18 : (A – 2014 ) Giải Hệ Phương trình  x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (1)  (2)  x − x − = y − Giải : Điều kiện : ≤ y ≤ 12, x ≤ 15 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp r r a = x ; (12 − x ) , b = 12 − y ; y phương trình (1) có dạng Xét ) ( ( ) rr r r r r a.b = a b ⇔ a, b hướng nên (1) ⇔ x y = (12 − x ) 12 − y ⇔ y = 12 − x , x ≥ thay vào phương trình (2) Ta có : x − x − = 10 − x ⇔ x − x − = 2( 10 − x − 1) ⇔ ( x − 3)( x + x + 1) =  2( x + 3)  ⇔ ( x − 3)  x + x + + ÷= 10 − x + 10 − x +   2(9 − x ) x = ⇔  x + x + + 2( x + 3) = 0(VN )  10 − x + x = 3⇒ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (3;3) Bài 19: Cho hai điểm A(1;1;0), B (3; −1;4) đường thẳng (d) : x +1 y −1 z + = = −1 Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải : Do điểm M đường thẳng (d), ta có : M (−1 + t;1 − t ; −2 + 2t ) Khi : MA = (2 − t )2 + t + (2 − 2t ) = 6t − 12t + MB = (4 − t ) + (t − 2) + (6 − 2t ) = 6t − 36t + 56 Khi 2  1     2 MA + MB = 6t − 12t + + 6t − 36t + 56 =  (t − 1) +  ÷ + (3 − t ) +  ÷  3 3      2 r  Xét hai vectơ u =  t − 1;   r   ÷, v =  − t ; ÷ 3 3  16 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp r r r r MA + MB = u + v ≥ u +v = Ta có ( ) ( ) r   r   u = t − 1; Dấu xảy khi  ÷, v =  − t ; ÷ hướng 3 3   ⇔ t −1 = ⇔ t = ⇒ M (1; −1; 2) 3−t Vậy điểm M cần tìm : M (1; −1; 2) Bài 20 : Giải phương trình: x − x + + x + 12 x + 25 = x + 12 x + 29 Giải : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét vectơ : r r r u = ( x − 1;1) ⇒ u + v = (3x + 2;5) r  v = (2 x + 3; 4)  Suy phương trình (1) tương đương : r  u = x2 − 2x +  r ⇒  v = x + 12 x + 25 r r  u + v = x + 12 x + 29  r r r r u+v = u + v  k= r r   x − = k (2 x + 3)  ⇔ u = kv (k > 0) ⇔  ⇔ 1 = k  x − = (2 x + 3)   k =  k =  ⇔ ⇔ 4 x − = x +  x =  Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Bài 21: Giải hệ phương trình 17 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp x + y + z =1  2 x + y + z =1  3 x + y + z =1 Giải : u r r r Xét hai véc tơ u = ( x0 ; y0 ; z0 ) ; v = ( x0 ; y0 ; z0 ) u = ( x0 ; y0 ; z0 ) Là nghiệm tuỳ ý (nếu có) hệ cho u rr Ta có u.v = x03 + y03 + z03 = u r r u = ; v = − 2( x02 y02 + y02 z02 + z02 x02 ≤ Ngồi tính u r r u rr Vậy u v ≤ = u.v Dấu xãy u rr u r r Do u.v = u v  x0 y0 =  y z =1 ⇔  0  z0 x0 = x + y + z =1 0   x0 =  x0 =  x0 =     y0 = ;  y0 = ;  y0 = z = z = z =    Từ suy Thử lại ta hệ cho có nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Bài 22 : Giải bất phương trình: x + + x − + 50 − x ≤ 12 Giải : Điều kiện:   x ≥ −1  3 50  ⇔ ≤x≤ x ≥ 2  50  x ≤  Trong mặt phẳng Oxy xét vectơ : 18 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp r u = (1;1;1) r v = ( x + 1; x − 3; 50 − 3x ) r u = r  ⇒  v = x + + x − + 50 − x = 48 = r r u.v = x + + x − + 50 − x  rr r r Suy ra(1) ⇔ u.v ≤ u v Đẳng thức Vậy nghiệm bất phương trình cho 50 ≤x≤ Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm : + x + − x − (3 + x)(6 − x) = m Giải : Đặt u = + x ; v = − x Phương trình cho trở thành u + v = + 10 − 2m (1) u + v − uv = m   2 ⇔ u + v = (2) u + v = u ≥ 0, v ≥ u ≥ 0, v ≥ (3)   - Phương trình (1) biểu thị đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn đường trịn có tâm góc toạ độ bán kính = Hệ có nghiệm đường thẳng (1) đường trịn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3) ≤ + 10 − 2m ≤ Vậy Pt có nghiệm ⇔ −9 ≤m≤3 19 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng tốn sơ cấp Bài 24: Cho tam giác ABC có độ dài trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp ma , mb , mc , R Chứng minh: ma + mb + mc ≤ 9R Giải : Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giac ABC Ta có: uuu r uuu r uuur (OA + OB + OC ) ≥ uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r 2 ⇔ OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC OA) ≥ ⇔ 3R + R (cos A + cos B + cos 2C ) ≥ ⇔ + 2(3 − 2sin A − 2sin B − 2sin C ) ≥ ⇔ sin A + sin B + sin C ≤ Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: ma + mb + mc ≤ 3(ma2 + mb2 + mc2 ) ≤ (a + b + c ) ≤ 9(sin A + sin B + sin C ).R 9 ≤ .R ≤ R ⇒ ma + mb + mc ≤ R Dấu”=” xảy tam giác ABC Bài 25 : Cho tam diện Oxyz A, B, C điểm di động Ox, Oy, Oz cho: 1 1 + + = OA OB OC 2020 Chứng minh rằng: (ABC) luôn qua điểm cố định 20 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp Giải : z C y O B x A Chọn hệ trục toạ độ vng góc Oxyz (như hình vẽ )  A(a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) Khi phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z + + =1 a b c Hơn nữa: 1 1 + + = a b c 2020 (Do giả thiết) ⇒ M (2020;2020;2020) ∈ mp ( ABC )  mp(ABC)luôn qua điểm cố định là: M (2020;2020;2020) 21 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp HIỆU QUẢ MANG LẠI - Sau thực đề tài hình thức dạy phụ đạo, tơi tiến hành kiểm tra lại học sinh lớp 12A1, 12A3 thông qua kiểm tra viết Kết sau: Số lượng học sinh đạt điểm - giỏi tăng lên rõ rệt, điểm yếu - cịn Như vậy, chất lượng kiểm tra tăng lên rõ rệt Một số học sinh khá, giỏi biết vận dụng vào tốn mức độ khó - Như vậy, với SKKN dù hay nhiều giúp ích cho cho cơng việc giảng dạy tơi, góp phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ vận dụng tốt vào giải toán, nâng cao chất lượng học mơn tốn trước Đối với thân tôi, giáo viên đứng lớp, viết SKKN giúp ích nhiều việc tự học trau dồi chun mơn, nghiệp vụ - Mặc dù SKKN viết tập chung vào vấn đề nhỏ chương trình tốn THPT, việc áp dụng vào giảng dạy có tác dụng tốt, thời gian tới phát triển thêm SKKN áp dụng cho đối tượng học sinh trung bình ĐÁNH GIÁ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG x Chỉ có hiệu phạm vi Đơn vị áp dụng Đã chuyển giao, nhân rộng việc áp dụng phạm vi sở, ngành theo chứng đính kèm Đã phục vụ rộng rãi người dân địa bàn tỉnh, huyện/thành phố theo chứng đính kèm Đã phục vụ rộng rãi người dân Việt Nam, chuyển giao, nhân rộng việc áp dụng nhiều tỉnh, thành theo chứng đính kèm 22 SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, Phương pháp véc tơ tọa độ , NXBGD Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, Giải tích 12, NXBGD Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXBĐHSP Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn, NXBHN Đề thi Tốt nghiệp THPT Tuyển sinh ĐH-CĐ năm gần Trên kinh nghiệm nhỏ thân tơi rút q trình dạy học thực tiễn SKKN chắn cịn có tồn hạn chế Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Lạng Giang, tháng năm 2020 Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Nam 23 .. .SKKN_ Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP Người thực hiện:... PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN SƠ CẤP ” 1.2 Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến SKKN chủ đề “ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP ” công bố áp dụng. .. Nguyễn Ngọc Nam Tổ: Toán Trường: THPT Lạng Giang số SKKN_ Sử dụng phương pháp véc tơ tọa độ để giải số dạng toán sơ cấp ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề véc tơ tọa độ nội dung chương