SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải một số bài toán phương trình, bất phương trình có chứa tham số TOÁN THPT

18 2.4K 4
SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải một số bài toán phương trình, bất phương trình có chứa tham số TOÁN THPT

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu Trong thời gian gần toán giải phương trình bất phương trình có chứa tham số thiếu kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi Nhưng sách giáo khoa lại chủ yếu dạng tập giải phương trình, bất phương trình khơng có chứa tham số Với kiến thức lớp 10 , 11 giải tốn học sinh biến đổi phương trình, bất phương trình để quy phương trình dạng quên thuộc,với cách giải học sinh thường mắc phải sai lầm không xét hết khả xảy toán thiếu điều kiện ẩn phụ đặc biệt tập phương trình, bất phương trình bậc ba học sinh lúng túng phương pháp giải Từ năm thay sách giáo khoa khơng nói đến định lý đảo dấu tam thức bậc hai, sách tham khảo suất trước có nhiều tốn sử dụng định lý để thực việc so sánh nghiệm tam thức bậc với số cho trước nên học sinh đọc sách lúng túng Để tạo cho học sinh có hứng thú học tập thân giáo viên dạy toán phải định hướng cho học sinh biến đổi toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số với cách giải học sinh sinh có lời giải nhanh gọn xãy sai sót Đó lý để tơi chọn đề tài “ Ứng dụng đạo hàm để giải số tốn phương trình , bất phương trình có chứa tham số’’ Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Mục đích sáng kiến kinh nghiệm là: - Làm sáng tỏ liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình đó, nghiệm phương trình hoành độ giao điểm nghĩa từ giao điểm mà chiếu vng góc lên trục hồnh ta tìm nghiệm tương ứng - Trong viết chủ yếu đề cập đến toán phương trình, bất phương trình có chứa tham số thức địi hỏi học sinh phải tìm kiều kiện để phương trình , bất phương trình tồn thay vào cách so sánh nghiệm phương trình, bất phương trình với điều kiện xác định cách sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên từ tìm kết luận tốn Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện tốn phương trình, bất phương trình có chứa tham số Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn phương trình, bất phương trình có chứa tham số lời giải có việc sử dụng đạo hàm bảng biến thiên Phạm vi nghiên cứu đề tài tồn chương trình đại số giải tích gồm: phương trình, bất phương trình có chứa tham số II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý thuyết a) Tìm số nghiệm phương trình - Xét phương trình f ( x) = g (m) , (1) Trong x ẩn thực m tham số thực - Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) ( nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua bảng biến thiên ) đường thẳng y = g ( m) đường thẳng vng góc với trục Oy điểm có tung độ g ( m) - nghiệm x1 , x2 , , xn phương trình (1) hồnh độ giao điểm b) Quy tắc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số - Từ việc lập lập bảng biến thiên hàm số f ( x ) tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị giá trị lớn ( giá trị nhỏ ) hàm số - Nếu hàm số f ( x ) xác định liên tục đoạn [ a; b ] ta tìm giá trị lớn giá trị nhỏ theo bước sau : - Tìm điểm x1 , x2 , , xn đoạn [ a; b ] mà f ' ( x) f ' ( x) khơng xác định - Tính giá trị f ( a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) - Số lớn ( bé ) số giá trị lớn (giá trị nhỏ ) hàm số f ( x ) đoạn [ a; b ] c) Bài toán bất phương trình có chứa tham số Nếu hàm số f ( x ) có giá trị lớn giá trị nhỏ tập xác định D Bất phương trình : f ( x) ≥ g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D Min f ( x) ≥ g (m) D ax f ( x) ≤ g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D MD f ( x) ≤ g (m) f ( x) ≥ g (m) có nghiệm x ∈ D Max f ( x) ≥ g (m) D f ( x) ≤ g (m) có nghiệm x ∈ D Min f ( x) ≤ g (m) D Trong trường hợp hàm số f ( x ) khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ tập D ta phải kết hợp với bảng biến thiên đồ thị để có kết luận tốn Thực trạng vấn đề Trong đợt ôn tập hè năm 2011 cho em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 phần ơn tập mơn tốn có số tiết ơn tập phần phương trình, bất phương trình học lớp 10 lớp 11 cho học sinh làm số tập phương trình, bất phương trình có chứa tham số Đến học kỳ I lớp 12 cho học sinh lớp 12A3 làm tốn Bài tốn Tìm tham số m để phương trình sau x − + m x + = x − (1) có nghiệm thực Lời giải: Điều kiện x ≥ ; phương trình (1) ⇔ −3 x −1 x −1 + 24 =m x +1 x +1 Đặt t = x −1 = 1− ∈ [ 0,1) phương trình(1) có dạng −3t + 2t = m Và x +1 x +1 học sinh giải toán cách tính biệt thức đenta biện luận khoảng [ 0;1) Vậy thay cách làm để tránh xét không hết điều kiện đenta tơi hướng dẫn cho học sinh giải tốn ứng dụng đạo hàm kết thu lời giải Đặt g (t ) = −3t + 2t = m ta có g ' (t ) = −6t + , x g ' (t ) = ⇔ t = f ' ( x) + f ( x) -1 theo u cầu tốn ta có −1 < m ≤ 3 Vói cách giải ứng dụng đạo hàm cho lời giải nhanh gọn nhiều Các vướng mắc nói giải toàn diện học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Do từ đầu năm học 2011 – 2012 tơi nghiên cứu đề tài nói thơng qua số tiết ôn tập hai lớp 12A 3, 12B, từ xây dựng, hồn thiện viết Các phương pháp tiến hành Do hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tập ôn, lồng ghép tập phương trình, bất phương trình có chứa tham số Do thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tơi cho số học sinh lên bảng làm với kiến thức lớp 10, 11 số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi trình bày lời giải tập ứng dụng đạo hàm phân tích hai lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng ứng dụng đạo hàm để giải tập phương trình, bất phương trình đem lại cho đáp án nhanh gọn độ xác cao đặc biệt giải tất dạng tập phương trình, bất phương trình bậc cao III NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Bài Tìm m để (4 + x)(6 − x) ≤ x − x + m nghiệm ∀ ∈ [ −4;6] Lời giải: Bất phương trình ⇔ f ( x) = − x + x + (4 + x)(6 − x) ≤ m ∀ ∈ [ −4;6] f ' ( x) = -2x + 2+ −2 x + ) = ⇔ x =1 = (1 – x ) (2 + (4 + x )(6 − x) (4 + x)(6 − x) x -4 f ' ( x) f ( x) + 6 − 24 − 24 Từ bảng biến thiên suy Maxf(x) = f( ) = ≤ m Nhận xét: Bài toán với kiến thức lớp 10 hoc sinh đặt t = (4 + x)(6 − x) ≤ (4 + x) + (6 − x) = đưa bất phương trình bậc hai ẩn t giải phức tạp Bài tốn cịn giải cách đưa hàm số f (t ) = t + t − 24 ≤ m; ∀t ∈ [ 0;5] tìm giá trị lớn đoạn [ 0;5] thơng qua ứng dụng đạo hàm Bài Tìm tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: mx − x − ≤ m + 1, (2) Lời giải: Điều kiện: x ≥ Đặt t = x − ⇒ t ≥ x = t + Bất phương trình (2) trở thành m(t + 3) − t ≤ m + với điều kiện t ≥ ⇔ m(t + 2) ≤ t + ⇔ m ≤ f (t ) = t +1 , (2a) với điều kiện t ≥ Xét hàm số t2 + t +1 t2 + Ta thấy bất phương trình (2) có nghiệm ⇔ bất phương trình (8a) có nghiệm t ≥ ⇔ Max f (t ) ≥ m [ 0;+∞ ) f (t ) = ' −t − 2t + (t + 2) ;  t = −1 + f ' (t ) = ⇔ −t − 2t + = ⇔   t = −1 −  Bảng biến thiên t + f ' (t ) + f (t ) Từ bảng biến thiên suy Max f (t ) = [ 0;+∞ ) m≤ 1+ Vậy điều kiện phải tìm 1+ Nhận xét: Với kiến thức lớp 10 học sinh giải tốn thơng qua việc so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số 0, nhiên phức tạp giải hệ bất phương trình lấy nghiệm khơng xác Do ứng dụng đạo hàm để giải tốn nhanh nhiều Bài Tìm tham số a để phương trình: x − 3x − a = , (3) có ba nghiệm phân biệt có nghiệm bé Lời giải: Phương trình (1) ⇔ x − 3x = a , (3a) Yêu cầu đề tương đương với phương trình (3a) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 cho x1 < ≤ x2 < x3 tức đường thẳng y = a phải cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < ≤ x2 < x3 Ta có f ' ( x) = x − x ; x = f ' ( x) = ⇔  x =  3 lim f ( x) = lim x 1 − ÷ = −∞ ; x →−∞ x →−∞  x lim f ( x) = +∞ x →+∞ Bảng biến thiên hàm số f ( x ) - x f ' ( x) f ( x) −∞ + - - + -4 + -2 Từ bảng biến thiên suy điều kiện phải tìm +∞ −4 < a ≤ −2 Nhận xét: Nếu tốn khơng giải ứng dụng đạo hàm để tìm giao điểm đồ thị hàm số f ( x ) = x − x đường thẳng y = a học sinh gặp khó khăn giải biện luận phương trình bậc ba Bài Chứng minh ∀m > phương trình sau ln có hai nghiệm phân biệt: x + x − = m( x − 2) (4) Lời giải: ( x + x − ) = m( x − 2)  Phương trình (3) ⇔  x2 + 2x − ≥   ⇔ ( x − 2) ( x + 4) = m ( x − ) , (4a) với điều kiện x ≤ −4 x ≥ Từ phương trình phương trình( 4a) ⇒ m ( x − ) ≥ mà m > ⇒ x ≥ ta cần xét phương trình (4a) với điều kiện điều kiện x ≥  Phương trình (3a) ⇔  x=2  m = ( x − ) ( x + ) , (4b)  (4b) ⇔ m = x + x − 32 Xét hàm số f ( x ) = x + x − 32 với x ≥ f ' ( x) = x + 12 x ≥ 0, ∀x ≥ , xlim f ( x) = +∞ →+∞ Bảng biến thiên x f ' ( x) + f ( x) Từ bảng biến thiên suy ∀m > phương trình (4b) có nghiệm x > ⇒ phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Với kiến thức lớp 10 học sinh giải cách bình phương hai vế để quy tốn phương trình bậc hai Nhưng cách làm dó dễ dẫn đến học sinh khơng xét hết khả xảy biệt thức đenta Nên với điều kiện x ≥ việc khảo sát hàm số f ( x) dễ dàng chủ yếu dùng đạo hàm nhiên dùng định nghĩa suy tính đồng biến hàm số f ( x ) Bài Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x + x + m + x + x + m = , (5) Lời giải: Điều kiện: x + x + m ≥ , (*) Đặt t = x + x + m ⇒ x + x + m = t với t ≥ t=2 mà t ≥ ⇒ t = t = −3 Phương trình (5) trở thành t + t − = ⇔  Từ t = ⇒ x + x + m = ⇔ x + x + m = 16 , (5a) Từ phương trình (5a) suy điều kiện (*) thỏa mãn (5a) ⇔ m = − x − x + 16 , (5b) Ta thấy số nghiệm phương trình (4) số nghiệm phương trình (5b) Xét hàm số f ( x ) = − x − x + 16 tập ¡ f ' ( x) = −4 x3 − = −4( x + 1) ; f ' ( x) = ⇔ x = −1 16   lim f ( x) = lim x  −1 − + ÷ = −∞ ; x →−∞ x →−∞ x x   16   lim f ( x) = lim x  −1 − + ÷ = −∞ x →+∞ x →+∞ x x   Bảng biến thiên x -1 f ' ( x) f ( x) + −∞ −∞ Từ Bảng biến thiên suy ra: - Nếu m > 19, phương trình (5) vơ nghiệm - Nếu m = 19, phương trình (5) có nghiệm - Nếu m < 19, phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Nếu khơng giải tốn ứng dụng đạo hàm học sinh làm cách giải biện luận phương trình x + x + m = 16 Trong trình biện luận hoc sinh khơng xét hết điều kiện tốn họặc khơng xét trường hợp xảy Bài Tìm tham số a để phương trình sau có nghiệm: + x + − x − (3 + x)(6 − x) = a , (6) Lời giải: Điều kiện : −3 ≤ x ≤ Đặt u = + x + − x ⇒ u = ( 3+ x + 6− x ) ⇒ (3 + x)(6 − x) = u2 − Để tìm điều kiện u ta xét hàm số u = f ( x) = + x + − x với x ∈ [ −3;6] ' Có f ( x) = 1 − ; f ' ( x) = ⇔ + x = − x ⇔ x = 3+ x 6− x f ' ( x) không xác định điểm x = −3, x = 10 f (−3) = 3, f (6) = 3, ⇒ Max f ( x) = 2, 3 f  ÷= 2 Min f ( x) = [ −3;6] [ −3;6] ∀x ∈ [ −3;6] ⇒ u ∈ 3;3    u2 − 9 Phương trình (6) trở thành u − = a ⇔ − u + u + = a , (6a) với 2 u ∈ 3;3    Phương trình (6) có nghiệm phương trình (6a) có nghiệm u ∈ 3;3    Xét hàm số g (u ) = − u + u + đoạn 3;3    g ' (u ) = −u + < 0, ∀u ∈ 3;3    ⇒ hàm số g (u ) nghịch biến đoạn 3;3    g (3) = 3; g (3 2) = − Vậy điều kiện phải tìm − 9 ≤a≤3 Nhận xét: - Có thể thay cách giải tốn cách tìm a để phương trình − u + u + = a có nghiệm với u ∈ 3;3    2 - Nếu toán có tham số việc tìm điều kiện u bỏ qua không làm sai Việc tìm điều kiện u thực chất việc tìm tập giá trị hàm số f ( x ) tập xác định phương trình cho Bài Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x , (7) 11 Lời giải: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Đặt u = + x − − x  ≤ + x2 ≤  ∀x ∈ [ −1;1] ⇒  ⇒0≤u≤ 2  −1 ≤ − − x ≤  Dễ thấy u = x = 0; u = x = ±1 Vậy ∀x ∈ [ −1;1] ⇒ u ∈  0;    u = ( + x2 − − x2 ) ⇒ − x4 = − u Phương trình (7) trở thành m(u + 2) = − u + u với điều kiện u ∈ 0;    ⇔m= −u + u + , (7a) u+2 Phương trình (7) có nghiệm phương trình (6a) có nghiệm u ∈ 0;    Xét hàm số f (u ) = −u + u + , với u ∈ 0;    u+2 f (u ) = ' −u − 4u ( u + 2) ≤ 0, ∀u ∈ 0;    suy hàm số f (u ) nghịch biến đoạn  0;    f (0) = 1; f ( 2) = Vậy điều kiện phải tìm −1 −1 ≤ m ≤ Nhận xét: Đối với tốn giải biện luận phương trình 7a theo cách giải biện luận phương trình bậc hai nhiên với cách giải học sinh không học định lý talét đảo học sinh giải rể dẫn đến khơng xét hết trường hợp 12 xảy với cách giải ứng dụng đạo hàm trình bày cho chúng lời giải nhanh gọn Bài Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: x + + m x + = x − 1, (8) Lời giải: Điều kiện: x ≥ , ⇔3 x + > phương trình (8) x −1 x −1 x −1 x −1 ⇔3 + m = +m=2 x +1 x +1 x +1 x +1 Đặt t = ' Có g ( x) = g (1) = 0; x −1 x −1 , với x ≥ = t , Xét hàm số g (t ) = x +1 x +1 x −1 ⇒ x +1 ( x + 1) > 0, ∀x ≥ suy hàm số g ( x) đồng biến ∀x ≥ lim g ( x) = Như ∀x ≥ ⇒ t ∈ [ 0;1) x →+∞ Phương trình cho trở thành: −3t + 2t = m , (8a) với điều kiện t ∈ [ 0;1) Phương trình (8) có nghiệm phương trình (8a) có nghiệm t ∈ [ 0;1) Xét hàm số f (t ) = −3t + 2t đoạn [ 0;1] f ' (t ) = −6t + ; f ' (t ) = ⇔ t = 13 Bảng biến thiên t f ' (t ) + f (t ) -1 Từ bảng biến thiên suy điều kiện phải tìm −1 ≤ m ≤ Nhận xét: Trong lời giải từ phương trình −3t + 2t = m , (8a) với điều kiện t ∈ [ 0;1) việc khảo sát hàm số f (t ) không thiết phải sử dụng đạo hàm trình bày lập bảng biến thiên hàm số bậc hai biện luận phương trình bậc hai theo tham số m việc ứng dụng đạo hàm làm cho lời giải ngắn gọn dễ dàng Bài Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x + = m x2 + (9) Lời giải: Phương trình (1) ⇔ Xét hàm số f ( x ) = x+3 x2 + x+3 x2 + = m , (9a) ¡ Số nghiệm phương trình (1) số nghiệm phương trình (9a) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = m x2 + − f ' ( x) = x x +1 x +1 ( x + 3) = − 3x ( x + 1) x + ; f ' ( x) = ⇔ x = 14 lim f ( x) = lim x →−∞ x →−∞ 1+ x − 1+ x = −1 ; lim f ( x) = x →+∞ Bảng biến thiên x + f ' ( x) + f ( x) -1 Từ bảng biến thiên suy ra:  m > 10 ⇒ phương trình (1) vơ nghiệm m ≤ −1  - Nếu  - Nếu   m = 10 ⇒ phương trình (1) có nghiệm  −1 < m ≤ Nếu < m < 10 ⇒ phương trình (1) có hai nghiệm Nhận xét: - Với kiến thức lớp 10 học sinh giải tốn theo cách bình phương hai vế để đưa phương trình bậc hai sau giải biện luận phức tạp phải so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số cho trước - Với ứng dụng đạo hàm ta có lời giải rõ ràng Bài tập tự luyện: Chứng minh : với m f , phương trình x + 2x − = m( x − 2) có hai nghiệm 2.Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x + m + = 2x + 15 3.Tìm tham số m để + x + − x − 18 + 3x − x ≤ m − m + ∀x ∈ [ −3, 6] 4.Tìm tham số m để bất phương trình m( x − x + + 1) + x(2 − x) ≤ có nghiệm x ∈ 0;1 +    5.Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m( − x + − x ) Tìm tham số m để bất phương trình : (x + 1) + m ≤ x x + + , thỏa mãn ∀x ∈ [ 0;1] Tìm tham số a để bất phương trình : a x + < x + a nghiệm với x 8.Tìm tham số a để phương trình sau có nghiệm nhất: x + ax − = Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x + 2x + − x + − x = m IV Kết sáng kiến kinh nghiệm Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh trường THPT Lang Chánh, nhận thấy em hứng thú với môn học , nhiều em lúng túng trước số toán dường bế tắc cách giải sau học phần ứng dụng đạo hàm tốn giải cách dễ dàng Chính em nhận thấy với toán việc hoc tập tìm tịi quan trọng với năm học tơi nhận thấy chất lượng mơn tốn tốt kết học tập học sinh tăng lên rõ rệt cụ thể đầu năm học sinh lớp 12 chưa học phần ứng dụng đạo hàm cuối kỳ I dạy phần ứng dụng đạo hàm để giải số tốn phương tình bất phương trình có chứa tham số Kết cụ thể Đầu năm học (%) Cuối học kỳ I (%) Yếu TB Khá Giỏi Yếu TB Khá Giỏi 37 28 10 10 25 50 15 2012-2013 25 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm giúp em học sinh lớp 12 Năm học thấy liên hệ chặt chẽ tốn phương trình, bất phương trình chứa 16 tham số toán khảo sát hàm số đồng thời giúp em có nhìn tồn diện tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số phạm vi tốn học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho em học sinh việc ôn thi vào Đại học V KẾT LUẬN Đảng , Nhà nước coi giáo dục quốc sách hàng đầu, nên việc đổi phương pháp dạy học cần thiết Muốn làm tốt việc người thầy phải tự học để trau kiến thức nâng cao chun mơn, từ tìm cho phương pháp dạy học có hiệu tạo hứng thú cho học sinh niềm tin nhân dân nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nước nhà Là nhà giáo thân hàng năm tích lũy kiến thức kinh nghiệm để viết thành sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy học tốt Thực tế qua trình giảng dạy em ngại lúng túng gặp tốn giải phương trình bất phương trình có chứa tham số Từ thực tế để em hứng thú học tập toán biết cách vận dụng, khai thác quy lạ quen Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “ Ứng dụng đạo hàm để giải số tốn phương trình , bất phương trình có chứa tham số’’ Rất mong góp ý q thầy V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên, Sách giáo khoa Sách tập Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12 theo chương trình chuẩn chương trình nâng cao nhà xuất Giáo dục 2.Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường Đai học Cao đẳng từ năm 1996 đến năm 2009 nhà xuất Hà Nội Thanh Hoá, ngày 19 tháng 01 năm 2013 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG NGƯỜI VIẾT SKKN Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (ký ghi rõ họ tên) 17 Lê Thị Tâm 18 ... chặt chẽ tốn phương trình, bất phương trình chứa 16 tham số toán khảo sát hàm số đồng thời giúp em có nhìn tồn diện tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số phạm vi tốn học THPT góp phần... biệt giải tất dạng tập phương trình, bất phương trình bậc cao III NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Bài Tìm m để (4 + x)(6 − x) ≤ x − x + m nghiệm ∀ ∈ [ −4;6] Lời giải: Bất phương. .. trình bày lời giải tập ứng dụng đạo hàm phân tích hai lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng ứng dụng đạo hàm để giải tập phương trình, bất phương trình đem lại

Ngày đăng: 18/04/2015, 08:04

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan