SKKN Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi

Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Phương trình PT Bất phương trình BPT Hệ phương trình HPT Hệ bất phương trình HBPT Học sinh giỏi HSG Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Như chúng ta biết, trong các đề thi đại học và đề thi HSG cấp tỉnh những năm gần đây bao giờ cũng có ít nhất một bài toán chứa tham số. Nó có thể rơi vào phần câu hỏi phụ trong bài khảo sát hàm số, cũng có khi là trong một bài toán hình học, nhưng thông thường nhất vẫn là trong các bài toán về PT, HPT, BPT, HBPT. Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được bằng phương pháp đại số thông thường, kinh điển hoặc có thể giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Bên cạnh đó, đạo hàm là một nội dung quan trọng của chương trình toán THPT. Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT. Trong đó có việc ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số. Về vấn đề này, cũng đã có rất nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN). Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống về những ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số không nhiều và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng trong việc nhận diện, giải quyết dạng toán. Do đó việc chọn lựa một đề tài SKKN nhằm góp phần giải quyết vấn đề trên là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của người cán bộ giáo viên. Chính vì vậy tôi chọn đề tài SKKN là: “Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi”. II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. - Giúp học sinh nhận dạng được các PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số có thể ứng dụng đạo hàm để giải. Trang bị cho học sinh một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét. - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 1 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. - Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và ôn luyện HSG môn Toán. III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. - Các dạng toán giải PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, trong các kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh. - Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau: - Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài. - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS). - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…). - Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp). - Phương pháp thực nghiệm. Phần II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN: 1. Lí luận chung: Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra. 2. Kiến thức vận dụng: a) Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp, công thức tính đạo hàm của hàm hợp. b) Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT có chứa tham số bằng phương pháp đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau: Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 2 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên tập D MĐ1: Số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x). MĐ2: Phương trình ( )f x m= có nghiệm ( ) ( ) min max x D x D x D f x m f x ∈ ∈ ∈ ⇔ ≤ ≤ MĐ3: BPT ( )f x m≤ có nghiệm ( ) min x D x D f x m ∈ ∈ ⇔ ≤ MĐ4: BPT ( )f x m≤ nghiệm đúng với mọi ( ) max x D x D f x m ∈ ∈ ⇔ ≤ MĐ5: BPT ( )f x m≥ có nghiệm ( ) max x D x D f x m ∈ ∈ ⇔ ≥ MĐ6: BPT ( )f x m≥ , nghiệm đúng với mọi ( ) min x D x D f x m ∈ ∈ ⇔ ≥ MĐ7: Cho hàm số ( )y f x= đơn điệu trên tập D Khi đó ( ) ( ) f u f v u v= ⇔ = (với mọi ,u v D∈ ) II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong giải các PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số. Nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin sử dụng công cụ rất mạnh này (hay nói cách khác là chưa có kỹ năng sử dụng) trong giải toán vì: - Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải PT, HPT, BPT, HBPT (có tham số và không có tham số) và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại số kinh điển để giải. - Tài liệu viết về ứng dụng của đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số không nhiều, học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn. - Số lượng các bài toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, trong các kỳ thi HSG cấp tỉnh những năm gần đây và phương pháp sử dụng để giải chủ yếu là sử dụng đạo hàm. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh nhận dạng bài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống bài tập được sắp xếp theo một trình tự logic. Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 3 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. 1. Phương pháp giải Dạng toán thường gặp là tìm giá trị tham số m để PT, BPT có nghiệm (hoặc có nghiệm thõa mãn điều kiện nào đó). Với dạng toán này ta có thể thực hiện theo các bước như sau: Bước 1: Biến đổi PT, BPT về dạng ( ) ( ) f x g m= (hoặc ( ) ( ) f x g m≥ , hoặc ( ) ( ) f x g m≤ . Hay còn gọi là cô lập m). Bước 2: Tìm tập xác định D của hàm số ( ) f x Bước 3: Tính ( ) 'f x Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Bước 5: Xác định ( ) min x D f x ∈ và ( ) max x D f x ∈ Từ đó vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở phần kiến thức bên trên rút ra kết luận cho bài toán. Lưu ý: Trường hợp các PT, BPT chứa các biểu thức phức tạp, ta có thể xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng. Nếu được ta làm như sau: + Đặt ( ) t x ϕ = ( )(x ϕ là một biểu thức trong PT, BPT) + Từ điều kiện ràng buộc của ẩn số Dx ∈ , tìm điều kiện của ẩn số t , ví dụ Kt ∈ (chú ý là phải tìm được điều kiện chặt của t) + Đưa PT, BPT ẩn số x về PT, BPT ẩn số t ta được ( ) ( ) f t h m= (hoặc ( ) ( ) f t h m≥ , hoặc ( ) ( ) f t h m≤ ). + Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) f t trên tập K. + Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán. 2. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − = Lời giải: điều kiện 81 ≤≤− x . Đặt f(x)= 1 8 (1 )(8 )x x x x+ + − + + − , với 81 ≤≤− x ' 1 1 7 2 8 1 7 2 ( ) 2 1 2 8 2 1 8 2 1 8 2 1 8 1 1 (7 2 ) 2 1 8 ( 8 1 ) 2 1 8 x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x − − − + − = − + = + + − + − + − + −   = − +   + − − + + + −   Mà 1 1 2 1 8 ( 8 1 ) 2 1 8x x x x x x + + − − + + + − >0 nên f ’ (x)=0 ⇔ 7-2x=0 ⇔ x= 7 2 Bảng biến thiên : Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 4 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. x -1 7 2 8 f’(x) + 0 - f(x) 9 3 2 2 + 3 3 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì [ ] [ ] )(max)(min 8;1 8;1 xfmxf − − ≤≤ ⇔ 23 2 9 3 +≤≤ m . Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn phụ t= 1 8x x+ + − , sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước. Tuy nhiên với cách đặt ẩn phụ đó nếu không dùng đạo hàm thì thường phải vận dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải. Vì vậy phương pháp dùng đạo hàm là sự lựa chọn thích hợp nhất cho bài toán này. Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương: 2 11 7 4 1 2 x x x   + + +  ÷   = m Lời giải: Đặt y= f(x)= 2 11 7 4 1 2 x x x   + + +  ÷   ta có ' 2 2 2 11 28 1 2 4 28 y x x x = − − + ' 2 2 2 11 28 0 ( ) 1 2 4 28 y g x x x x = ⇔ = − = + Dễ thấy g(x) nghịch biến với x>0 (vì g’(x)<0, ∀ x>0). Mặt khác g(3)=1 nên x=3 là nghiệm duy nhất mà ' ' 3 ( ) 1 0 3 ( ) 1 0 x g x y x g x y > ⇒ < ⇒ > < ⇒ > ⇒ < vì vậy ta có bảng biến thiên sau x 0 3 + ∞ y ’ - 0 + y + ∞ + ∞ 15 2 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ ( ) ∞+ > ;0 min ym ⇔ m> 15 2 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 5 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Nhận xét: Cũng giống như Ví dụ 1, bài toán trên có điểm dễ là biến m đã được cô lập từ đầu. Tuy nhiên nó lại gây khó khăn cho học sinh không chỉ ở công đoạn tính đạo hàm mà còn cả trong việc giải phương trình y ’ =0 và xét dấu của đạo hàm. Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng vững vàng mới giải được. Ngoài cách dùng đạo hàm ta cũng có thể tiếp cận bài toán trên theo cách khác như sau : 2 0 0 11 7 lim lim( 4 1 ) 2 x x y x x x →+ →+   = + + + = +∞  ÷   , 2 11 7 lim lim ( 4 1 ) 2 x x y x x x →+∞ →+∞   = + + + = +∞  ÷   Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki ( ) 2 2 2 2 2 2 7 7 7 7 3 3.1 7 9 7 1 16 1 x x x x         + = + ≤ + + = +  ÷  ÷  ÷  ÷         2 2 7 1 7 4 1 3 2x x     ⇒ + ≥ +  ÷  ÷     Dấu = xảy ra khi 3 7 3 1 x x x = ⇔ = Từ 11 1 7 3 9 3 2 2 2 x x x x x     + + + = + +  ÷  ÷     Theo bất đẳng thức cô si ta có 3 9 3 15 6 2 2 2 x x + + ≥ + = Dấu bằng khi x=3 từ đó ta có 2 11 7 15 4 2 2 x x x   + + + ≥  ÷   Lập bảng biến thiên ta được kết quả như trên Nhận xét: Cách giải này giúp học sinh không phải tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm nhưng lại gặp khó khăn trong việc lựa chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô- si và Bunhiacopxki – một kỹ năng cần rèn luyện rất nhiều mới có thể có được . Mặt khác cách giải này không mang tính thuật toán như dùng đạo hàm. Vì thế rất khó khăn để vận dụng cho một lớp bài toán về PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số. Ví dụ 3: (Câu IV.2 khối A năm 2008) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 4 2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − = Lời giải: Điều kiện 0 6x≤ ≤ Đặt ( ) [ ] 4 4 2 2 2 6 2 6 ; 0;6f x x x x x x= + + − + − ∈ Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 6 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 , 0;6 2 2 6 2 6 f x x x x x x     ′ = − + − ∈  ÷  ÷ −   −   Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 ; 0,6 2 6 2 6 u x v x x x x x = − = − ∈ − − , x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 0,2 2 2 0 , 0, 2,6 u x v x x u v u x v x x  > ∀ ∈  ⇒ = =   < ∀ ∈  ( ) ( ) ( ) 0, 0,2 ( ) 0, 2,6 (2) 0 f x x f x x f ′  > ∀ ∈  ′ ⇒ < ∀ ∈   ′ =  (Nghĩa là: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 ' 2 0u v f= = ⇒ = và ( ) ( ) ,u x v x luôn dương khi ( ) 0;2x ∈ và âm khi ( ) 2;6x∈ ). Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 2 6 f’(x) + 0 - f(x) 236 + 4 2 6 2 6+ 4 12 2 3+ Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là: 4 2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ < + . Nhận xét: Trong ba ví dụ trên, chúng ta thấy một điểm chung là trong các PT, biến m đã được cô lập cho nên bước 1 (trong phương pháp giải) không phải làm. Nhưng trên thực tế có rất nhiều PT mà biến m chưa được cô lập. Khi đó ta phải thực hiện bước 1 một cách khéo léo để cô lập biến m (có nhiều mức độ) thì mới có thể tiến hành các bước tiếp theo được. Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 4: (Câu II.2 khối B năm 2006) Tìm m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt: ( ) 2 2 2 1 1x mx x+ + = + Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 4 1 2 2 1 2 x x x x x mx x m x   ≥ −  ≥ −   ⇔   + +   + + = + =    Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 7 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Xét hàm số ( ) 2 3 4 1 1 3 x x f x x x x x + + = = + − trên ( ) 1 ;0 0; 2   − ∪ +∞ ÷    , ta có ( ) 2 1 ' 3 0f x x = + > nên ta có bảng biến thiên Vậy, phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt trong khoảng ( ) 1 ;0 0; 2   − ∪ +∞ ÷    . Từ bảng biến thiên, ta có. Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt khi 9 2 m ≥ . Ví dụ 5: (Câu II.2 khối B năm 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: ( ) 2 2 8 2x x m x+ − = − (1) Lời giải: Điều kiện: 2x ≥ . Biến đổi phương trình ta có: (1) ( ) ( ) ( ) 2 6 2x x m x⇔ − + = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 2x x m x⇔ − + = − ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 6 32 0 2 V g x 6 32x x x m x x x m⇔ − + − − = ⇔ = = + − = . Yêu cầu bài toán ( ) g x m⇔ = có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( ) 2;+∞ . Thật vậy ta có: ( ) ( ) 3 4 0, 2g x x x x ′ = + > ∀ > . Do đó ( ) g x đồng biến trên ( ) 2;+∞ , mặt khác ( ) g x là hàm số liên tục và ( ) ( ) 2 0; lim x g g x →+∞ = = +∞ nên với ∀ m>0, phương trình ( ) g x m= có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( ) 2;+∞ . Vậy với mọi giá trị dương của tham số m phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt Nhận xét: Một số bài toán sau quá trình biến đổi (cô lập m) thì hàm số f(x) nhận được tương đối phức tạp (Việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm tương đối khó khăn). Khi đó để có thể giải quyết bài toán theo hướng dùng đạo hàm một cách đơn giản ngắn gọn hơn, ta cần xem xét đặt ẩn phụ một cách thích hợp để chuyển sang xét hàm số khác đơn giản hơn với biến vừa đặt. Ta xét ví dụ sau: Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 8 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Ví dụ 6: (Câu II.2 khối A năm 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 4 2 3 1 1 2 1x m x x− + + = − Lời giải: Điều kiện: 1x ≥ . Phương trình đã cho ( ) 4 1 1 3 2 1 1 1 x x m x x − − ⇔ − + = + + . Đặt [ ) 4 4 1 2 1 0,1 1 1 x t x x − = = − ∈ + + . Khi đó (1) trở thành ( ) 2 3 2 2t t m− + = Xét hàm số ( ) 2 3 2f t t t= − + trên nửa đoạn [ ) 0;1 Ta có ( ) ( ) 1 ' 6 2; ' 0 3 f t t f t t= − + = ⇔ = . Ta có bảng biến thiên: t 0 3 1 1 f’(t) + 0 - f(t) 3 1 0 -1 Do đó phương trình đã cho có nghiệm thực (thõa mãn 1x ≥ ) khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm [ ) 0;1t ∈ 1 1 3 m⇔ − < ≤ Nhận xét : - Trong ví dụ này sau khi biến đổi đến phương trình (1) ta có thể làm như các ví dụ trên (tức là đặt f(x)= 4 1 1 2 1 1 3 + − + + − − x x x x ) nhưng rõ ràng là hàm số f(x) khi đó tương đối phức tạp. Vì thế việc đặt ẩn phụ để đơn giản hóa f(x) là điều hợp lí. - Đối với các bài toán có chứa tham số: Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ . Khi đó ta mới xét được một hàm số xác định trên một miền xác định của nó . Từ đó mới tìm được điều kiện để tham số thoả mãn yêu cầu đã cho của đề bài. - Việc lựa chon ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc, ta có thể đặt như sau: Đặt t = 4 1 0 1 x x + > − , tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo 1 2 1 1 [1; ) 1 1 x t x x + = + > ⇒ ∈ +∞ − + Từ đó ta lại được một hàm số mới với tập xác định tương ứng . - Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số .Ta xét bài toán sau: Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 2 9 9x x x x m+ − = − + + (1) Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 9 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Lời giải: Điều kiện 0 9x≤ ≤ PT (1) ( ) 2 9 2 9 9x x x x x x m⇔ + − + − = − + + 2 2 9 2 9 9x x x x m⇔ + − + = − + + (2) Đặt 2 9t x x= − + . Ta có: 2 2 9 9 ' ; ' 0 2 2 9 x t t x x x − + = = ⇔ = − − x 0 9 2 9 t’ + 0 - t 9 2 0 0 Do đó 9 0 2 t≤ ≤ . Khi đó phương trình (2) trở thành 2 9 2t t m+ = + 2 2 9t t m⇔ − + + = (3) Xét hàm số 2 ( ) 2 9f t t t= − + + , với 9 0 2 t≤ ≤ . ( ) ( ) ' 2 2; ' 0 1.f t t f t t= − + = ⇔ = Lập bảng biến thiên hàm ( ) f t trên đoạn 9 0; 2       t 0 1 9 2 ( ) 'f t + 0 − ( ) f t 10 9 9 4 − PT (1) có nghiệm [ ] 0;9x∈ khi và chỉ khi PT (3) có nghiệm 9 0; 2 t   ∈     . Điều này xảy ra khi và chỉ khi )(max)(min 2 9 ;0 2 9 ;0 tfmtf             ≤≤ ⇔ 9 10 4 m− ≤ ≤ . ■ Ví dụ 8: (Câu V- khối B năm 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ( ) 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − . Lời giải: Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 10 [...]... nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 17 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Vậy m ∈ (−∞;2 − 2 2] ∪ [ 5; +∞ ) là tất cả các giá trị cần tìm Đối với các bài toán về Hệ bất PT chứa tham số thì thông thường trong hệ sẽ có một Bất PT không chứa tham số và có thể giải được Rồi sau đó cũng quy về các bài toán Bất PT chứa tham số Ta xét các ví dụ sau:... 20 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Do khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm có hạn và trình độ bản thân còn hạn chế Nên phần nội dung chính của đề tài này (khoảng 16 trang giấy A4, với 18 ví dụ và 12 bài tập tương tự) chưa thể khai thác hết tất cả các khía cạnh của việc ứng dụng đạo hàm để giải các PT, HPT, BPT, HBPT. .. 14 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi min g(x) = −16; m ax g(x) = 6 x∈[ − 2;2] x∈[ − 2;2] Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi −16 ≤ m ≤ 6 Đối với các bài toán về Bất PT chứa tham số thì phương pháp cơ bản cũng tương tự như các bài toán về PT chứa tham số như trên Tuy nhiên ta cần bám sát và vận dụng các. .. III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt các kiến thức về đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số là một yêu cầu quan trọng cả về kiến thức lẫn kĩ năng đối với các học sinh ôn thi đại học và các học sinh trong đội tuyển HSG các cấp Khi dạy chủ đề này giáo viên cần chú ý ngoài việc hình thành cho học sinh một tư duy thuật toán thì còn cần làm cho học sinh có ý thức... vấn đề III Giải pháp và tổ chức thực hiện 1 Phương pháp giải 2 Ví dụ minh họa 3 Bài tập tương tự IV Kết quả đạt được Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Mục lục Trang 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 19 19 20 21 22 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 22 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Sáng... a để bất phương trình a πx 2 a 3 ( x − 1) + ≤ 4 a 3 sin có ít nhất một nghiệm 2 2 ( x − 1) BT10: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình ( a.2 x +1 + ( 2a + 1) 3 − 5 ) ( x + 3+ 5 ) x < 0 nghiệm đúng với mọi x ≤ 0 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 19 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh. .. nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 12 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Ứng với mỗi t > 0 thỏa mãn phương trình (3) ta được đúng một nghiệm  π x ∈  0; ÷ của phương trình (1) Do đó phương trình (1) có duy nhất nghiệm  2  π x ∈  0; ÷ khi và chỉ khi phương trình (3) có duy nhất nghiệm t > 0  2 Từ bảng biến thi n suy ra các giá trị cần... + 1) Bảng biến thi n t 1 2 + f ( t ') 2 f ( t) 3 2 1 2 Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 16 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Từ bảng biến thi n, bất phương trình (1) có nghiệm x ∈ 0;1 + 3  khi và chỉ   khi bất phương trình (2) có nghiệm t ∈ [ 1;2] 2 Điều này xảy ra khi và chỉ khi m ≤ max... đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác (Ký và ghi rõ họ tên) Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 21 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi MỤC LỤC Nội dung Danh mục chữ viết tắt Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí do chọn đề tài II Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu III Phạm vi và đối tượng... −u + u 1 Xét hàm số f ( u ) = , với u ≥ − ; ta có: 2u + 1 4 2 2u + 2u − 1 −1 + 3 f '( u ) = − ; f '( u ) = 0 ⇔ u = 2 2 ( 2u + 1) Bảng biến thi n Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 13 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi Suy ra giá trị cần tìm là: m ≤ 2− 3 2 Ví dụ 12: (HSG – Nghệ An năm học 2011 – . hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. - Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi. Đức Lượng 2 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên tập D MĐ1: Số nghiệm của. nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng 5 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Nhận xét: Cũng giống như Ví dụ 1, bài toán trên có điểm