Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 32 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
32
Dung lượng
226,7 KB
Nội dung
Nguyễn Tất Thu
1
BÀITOÁNLIÊNQUANĐẾNTHAMSỐ
Khi giải cácbàitoán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta
thường hay gặp cácbàitoánliênquanđếntham số. Có lẽ đây là dạng toán mà
nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu
một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định thamsố để
phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào
đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó là khảo sát hàm số.
Bài toán 1: Tìm điều kiện của thamsố để phương trình f(x)=g(m) có
nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm
⇔
hai đồ thị của
hai hàm số
(
)
yfx
= và
(
)
ygm
= cắt nhau. Do đó để giải bàitoán này ta
tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số
(
)
yfx
= .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng
(
)
ygm
= cắt đồ
thị hàm số
(
)
yfx
= .
Chú ý : Nếu hàm số
(
)
yfx
= liên tục trên
D
và tồn tại
min()
xD
fxm
∈
=
,
max()
xD
fxM
∈
= thì phương trình :
(
)
fxk
=
có nghiệm trên
D
khi và chỉ khi
.
mkM
≤≤
Ví dụ 4.1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
22
4
2
1) 11
2) 1
xxxxm
xxm
++−−+=
+−=
.
Giải:
1)Xét hàm số:
22
()11
fxxxxx
=++−−+
xác định trên
D
=
¡
.
Ta có:
22
2121
'()
2121
xx
fx
xxxx
+−
=−
++−+
() ( )
22
'0(21)1211 (1)
fxxxxxxx⇒=⇔+−+=−++
Nguyễn Tất Thu
2
22
22
113113
()()0
224224
xxxxx
⇒+−+=−++⇔=
thay vào (1)
ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình
'()0
fx
=
vô nghiệm
'()
fx
⇒
không đổi dấu trên
¡
, mà
'(0)10()0
ffxxR
=>⇒>∀∈
.
Mặt khác:
22
2
lim() lim1
11
x
x
x
fx
xxxx
→+∞
→+∞
==
+++−+
và
lim()1
x
fx
→−∞
=−
Bảng biến thiên:
x
−∞
+∞
'()
fx
+
()
fx
1
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm
11
m
⇔−<<
.
2) Điều kiện :
0
x
≥
Xét hàm số
4
2
()1
fxxx
=+− với
[0;)
xD
∈=+∞
Ta có:
23
4
1
'()
2
2(1)
x
fx
x
x
=−
+
.
2362322
4
'()0(1)(1)1
fxxxxxxxx
⇒=⇔=+⇔=+⇔=+
phương trình này vô nghiệm
'()
fx
⇒
không đổi dấu trên D, mà
4
11
'(1)0'()0
2
28
ffxxD
=−<⇒<∀∈
Mặt khác:
4
23222426
444
1
lim()lim0
(1)(1)(1)
xx
fx
xxxxxx
→+∞→+∞
==
++++++
0()(0)1
fxfxD
⇒<≤=∀∈⇒
phương trình có nghiệm
01
m
⇔<≤
.
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về
dạng trên.
Nguyễn Tất Thu
3
Ví dụ 4.2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
4
4
1310
xxmx
−++−=
.
2)
12(54)
xxxmxx
++=−+−
.
Giải:
1) Phương trình
4
4
131
xxmx
⇔−+=−
42
1
13(1)
x
xxmx
≤
⇔
−+=−
32
1
4691
x
xxxm
≤
⇔
−−=−
.
Xét hàm số
32
()469
fxxxx
=−−
với
1
x
≤
Ta có:
2
3
2
'()12129'()0
1
2
x
fxxxfx
x
=
=−−⇒=⇔
=−
.
Bảng biến thiên:
x
−∞
1/2
−
1
f’(x) + 0 –
f(x)
5
2
−∞
11
−
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
53
1
22
mm
⇔−≤⇔≥−
.
2) Điều kiện:
04
x
≤≤
.
Khi đó phương trình
()(12)(54)
fxxxxxxm
⇔=++−−−=
(Vì
540
xx
−−−≠
)
Xét hàm số
()(12)(54)
fxxxxxx
=++−−−
với
0;4
xD
∈=
.
Ta có:
3111
'()()()
2
2122425
fxx
xxx
=+−
+−−
Do
11
0450
2425
xx
xx
<−<−⇒−>
−−
'()0 [0;4)
fxx
⇒>∀∈
. Vậy f(x) là hàm đồng biến trên
D
23(52)(0)()(4)12
ffxf
⇒−=≤≤=
Nguyễn Tất Thu
4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
23(52)12.
m
⇔−≤≤
Chú ý : Khi gặp hệ bất phương trình trong đó một bất phương trình của hệ
không chứa thamsố thì ta sẽ đi giải quyết bất phương trình này trước. Từ bất
phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm
xD
∈
(đối với hệ một ẩn) hoặc
sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm
của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 4.3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
2
45
2
1
2 (1)
2
3160 (2)
x
x
xmxx
−
≤
−+=
.
Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có:
2
5422
225454014
xx
xxxxx
−
≤⇔≤−⇔−+≤⇔≤≤
.
Hệ có nghiệm
(2)
⇔
có nghiệm
[1;4]
x
∈
.
Ta có:
2
316
(2)
x
m
xx
+
⇔=
(do
[1;4]
x
∈
).
Hàm số
2
316
()
x
fx
xx
+
= với
[1;4]
x
∈
có
22
2
33
3
6(316)
3(16)
2
'()0 [1;4]
2
xxxx
xx
fxx
xx
−+
−
==≤∀∈ .
8(4)()(1)19 [1;4]
ffxfx
⇒=≤≤=∀∈
.
Vậy hệ có nghiệm
819
m
⇔≤≤
.
Ví dụ 4.4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
2121
2
7720072007 (1)
(2)230 (2)
xxx
x
xmxm
++++
−+≤
−+++=
.
Giải:
Ta có:
212(1)
(1)7(71)2007(1) (3)
xx
x
++−
⇔−≤− .
• Nếu
1(3)0(3)(3)
xVTVP
>⇒>>⇒
vô nghiệm.
• Nếu
1(3)0(3)(3)
xVTVP
≤⇒≤≤⇒
đúng
Nguyễn Tất Thu
5
(3)
⇒
có nghiệm
1
x
≤
.
Suy ra hệ có nghiệm
(2)
⇔
có nghiệm
1
x
≤
.
Ta có:
2
23
(2)()
2
xx
mfx
x
−+
⇔==
−
. Xét hàm số f(x) với
1
x
≤
, có:
2
2
41
'()'()023
(2)
xx
fxfxx
x
−+
=⇒=⇔=−
−
.
Bảng biến thiên
x
−∞
23
− 1
f’(x) + 0 –
f(x)
223
−
−∞
2
−
Dựa vào bảng biến thiên
⇒
hệ có nghiệm
223
m
⇔≤− .
Ví dụ 4.5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
20 (1)
2 (2)
xym
yxy
−+=
+=
.
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa thamsố nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có:
2
2
(2)2
44
y
xyy
yy
x
y
≤
⇔=−⇔
−+
=
. Thay vào (1) ta được:
2
4444
0()
yyy
ymmfy
yy
−+−
−+=⇔== (3).
Hệ có nghiệm
(3)
⇔
có nghiệm
2
y
≤
. Xét hàm số
(
)
fy
với
2
y
≤
Ta có:
2
4
'()0()
fyfy
y
=>⇒ đồng biến trên mỗi khoảng
(;0)(0;2]
−∞∪
00
lim()4; lim(); lim()
y
yy
fyfyfy
+−
→−∞
→→
==−∞=+∞
.
Nguyễn Tất Thu
6
Ta có bảng biến thiên:
y
−∞
0 2
f’(y) + +
f(y)
+∞
2
4
−∞
⇒
hệ có nghiệm
(;2](4;)
m
⇔∈−∞∪+∞
.
Chú ý : Khi bàitoán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải
lưu ý: Số nghiệm của phương trình
()()
fxgm
=
chính là số giao điểm của đồ
thị hai hàm số
()
yfx
=
và
()
ygm
=
. Do đó phương trình có k nghiệm
⇔
hai
đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm.
Ví dụ 4.6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm
phân biệt:
4
4343
4164166
xxxmxxxm
−+++−++=
.
Giải:
Đặt
4
43
416, 0
txxxmt
=−++≥
. Ta có phương trình :
4
243
6024162
tttxxxm
+−=⇔=⇔−++=
43
41616
mxxx
⇔−=−+−
.
Xét hàm số
43
()41616
fxxxx
=−+−
322
1
'()4(34)4(2)(1)'()0
2
x
fxxxxxfx
x
=−
⇒=−+=−+⇒=⇔
=
.
Bảng biến thiên
x
−∞
-1 2
+∞
f’(x) – 0 + 0 +
f(x)
+∞
+∞
-27
Dựa vào bảng biến thiên
⇒
phương trình có hai nghiệm phân biệt
2727
mm
⇔−>−⇔<
.
Nguyễn Tất Thu
7
Ví dụ 4.7: Tìm m để phương trình :
2
2
mxxm
+=+
có ba nghiệm phân
biệt.
Giải:
Phương trình
2
2
(21)
21
x
mxxm
x
⇔+−=⇔=
+−
(do
2
210
xx
+−>∀
).
Xét hàm số
2
2
2
2
2
2
21
2
()'()
21
21
x
x
x
x
fxfx
x
x
+−−
+
=⇒=
+−
+−
2
2
22
22
'()'()02
221
x
fxfxx
xx
−+
=⇒=⇔=±
++−
.
Bảng biến thiên:
x
−∞
2
−
2
+∞
f’(x) – 0 + 0 –
f(x)
+∞
2
2
−
−∞
Dựa vào bảng biến thiên
22
m
⇒−<< .
Ví dụ 4.8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình :
2
1cos
mxx
+=
có
đúng một nghiệm
0;
2
x
π
∈
.
Giải:
Ta thấy để phương trình có nghiệm thì
0
m
≤
. Khi đó:
Phương trình
2
22
sin
cos1
2
2
2
x
x
mm
x
x
−
⇔=⇔=−
.
Nguyễn Tất Thu
8
Xét hàm số :
sin
()
t
ft
t
= với
0;
4
t
π
∈
Ta có:
(
)
22
costan
.cossin
'()0
ttt
ttt
ft
tt
−
−
==<
với
0;
4
t
π
∀∈
()
ft
⇒
là hàm nghịch biến trên
0;
4
π
. Mà:
22
()
4
f
π
π
= và
2
22
0
sin
228
2
lim()1()11 (0;)
2
2
t
x
ftftx
x
π
π
π
→
=⇒<<⇒<<∀∈
.
Vậy phương trình có đúng một nghiệm
(0;)
2
x
π
∈
2
8
21
m
π
⇔<−<
2
14
2
m
π
⇔−<<− .
Ví dụ 4.9: Tìm m để hệ phương trình :
2
3(1)0
1
xym
xxy
++−=
+=
có ba cặp
nghiệm phân biệt .
Giải:
Ta có :
2
1
11
21
x
xxyxyx
xx
y
x
≤
+=⇔=−⇔
−+
=
(do
0
x
=
không là
nghiệm phương trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
2
2
21
363
xx
xxm
x
−+
++=−
(a) .
Hệ có ba cặp nghiệm
⇔
(a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn
1
x
≤
.
Xét hàm số
2
22
211
()36372
xx
fxxxxx
xx
−+
=++=+−+
với
1
x
≤
.
32
22
1671
'()67
xx
fxx
xx
+−
⇒=+−=
Nguyễn Tất Thu
9
11
'()01;;
23
fxxxx
⇒=⇔=−=−=
.
Bảng biến thiên:
x
−∞
1
−
1
2
−
0
1
3
1
f’(x)
−
0 + 0
−
−
0 +
f(x)
+∞
27
4
−
−∞
9
7
−
−∞
11
3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt
1120
3912
33
2715
734
44
mm
mm
≤−≤≤≤
⇔⇔
−
−≤−≤−−≤≤
.
Vậy
20
12
3
m
≤≤
hoặc
15
4
4
m
−
−≤≤ là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 4.10: Biện luận theo thamsố
m
số nghiệm của phương trình sau:
2
12
mxxm
+=+−
.
Giải:
Phương trình
2
2
2
(11)2()
11
x
mxxmfx
x
+
⇔++=+⇔==
++
(do
2
110
x
++>
)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số
ym
=
và
()
yfx
=
.
Xét hàm số
()
yfx
=
, ta có:
2
2
2
22222
(2)
11
121
1
'()
(11)1(11)
xx
x
xx
x
fx
xxx
+
++−
+−+
+
==
+++++
Nguyễn Tất Thu
10
2
22
1
4
'()0121
2
3
1441
x
fxxxx
xxx
≥
⇒=⇔+=−⇔⇔=
+=−+
.
2
2
(1)
lim()lim1
11
1
xx
x
x
fx
x
x
x
→−∞→−∞
+
==−
−+−
và
lim()1
x
fx
→+∞
=
.
Bảng biến thiên
x
−∞
4
3
+∞
f’(x) + 0
−
f(x)
5
4
1
−
1
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
• Nếu
5
4
1
m
m
>
⇒
≤−
phương trình vô nghiệm.
• Nếu
5
4
11
m
m
=
⇒
−<≤
phương trình có một nghiệm.
• Nếu
5
1
4
m
<<⇒
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài
toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt
(),
tuxxD
=∈
, ta tìm được
tY
∈
và phương trình
(,)0
fxm
=
(1)
trở thành
(,)0
gtm
=
(2). Khi đó (1) có nghiệm
xD
∈⇔
(2) có nghiệm
tY
∈
.
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá
trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x) ).
[...]... nghiệm t > 1 Xét hàm số f (t ) với t > 1 , có: f '(t ) = 2t 2 + 2t + 2 ⇒ f (t ) > f (1) = 1 ∀t > 1 Vậy phương trình có nghiệm ⇔ m > 1 2 (2t + 1) > 0 ∀t > 1 Chú ý : Trong các bàitoán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền... → 0+ ln(1 + x ) − x x2 x → 0+ Yêu cầu bài toán ⇔ −m ≤ − Bài tập =− 1 ( Xem ví dụ 5.5) 2 1 1 ⇔m≥ 2 2 5 Bài 4 1:Cho phương trình: x 2 − 34x + a − 4 (x − 1)(x − 33) = 1 1 Giải phương trình khi a = 64 2 Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 4 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 4 − x −k log 2 (x 2 ) 2 − 2x + 3 + 2−x + 2x log 1 2 x − k + 2 = 0 2 ( ) Bài 4 3: (ĐHXD-1994) Tìm m để phương trình... đặt 1 − x = 2 cos α π α với α ∈ [0; ] , sau đó ta lại tiếp tục đặt t = tan nên ta mới 2 2 2t x +3 =2 1 + t 2 Đến đây chắc các bạn thấy cách đặt ở trên hoàn toàn có: 2 1−x = 21−t 1 + t2 rất tự nhiên phải không?! ⇒ ( ) ( ) Ví dụ 4.14: Xác định giá trị của thamsố m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt log (x + 1) − log (x − 1) > log3 4 (1) 3 3 2 log2 (x − 2x + 5) − m logx 2 − 2x... 2 t0 + 2t0 + 1 Nguyễn Tất Thu 21 ( ) ( ) Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình f x > g m có nghiệm trên D Phương pháp: Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số f (x ) trên D, rồi dựa vào các tính chất sau để chúng ta định giá trị của tham số: 1) Bất phương trình f (x ) ≥ g (m ) có nghiệm trên D ⇔ max f (x ) ≥ g(m ) x ∈D (Với điều kiện tồn tại max f (x ) ) D 2) Bất... 5t 2 − 16t − 7 = f (t ) (3) 15 Xét hàm số f(t) với t ∈ [0;1] , có f '(t ) = − 52t 2 + 8t + 60 (5t 2 − 16t − 7)2 < 0 ∀t ∈ [0;1] 7 9 = f (1) ≤ f (t ) ≤ f (0) = ∀t ∈ [0;1] 9 7 7 9 Vậy phương trình có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ 9 7 Chú ý : Chắc có lẽ các bạn sẽ thắc mắc vì sao lại nghĩ ra các đặt như vậy ? Mới nhìn vào có vẻ thấy cách đặt t ở trên thiếu tự nhiên Thực chất ra các đặt ở trên ta đã bỏ qua một bước đặt... sin6 x + cos6 x = m sin 2x Bài 4 4: (ĐHGTVT-1999) Tìm m để phương trình sau có nghiệm m cos2 2x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0 Bài 4 5:Tìm p để phương trình sau có nghiệm 4x 2 1 + 2x 2 + x 4 + 2px 1 + x2 + 1 − p2 = 0 Bài 4 6:Tìm a để phương trình 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2 có nghiệm duy nhất Bài 4 7:Tìm a để phương trình −2x 2 + 10x − 8 = x 2 − 5x + a có bốn nghiệm khác nhau Bài 4 8:Cho phương trình... nghiệm phân biệt Nguyễn Tất Thu 29 Bài 4 9: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực 4 2x + 2x + 24 6 − x + 2 6 − x = m ( ĐH Khối A – 2008 ) Bài 4 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm x +1 + 8−x + a) (x + 1)( 8 − x ) = m 4 b) x 4 + 4x + m + x 4 + 4x + m = 6 Bài 4 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4 ( x − 1 + 4m x 2 − 3x + 2 + m + 3 ) x −2 = 0 Bài 4 12: Tìm m để phương trình sau... 25 − x 2 + 2 x 2 − 9 25 − x 2 = 5m Bài 4 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x x 2 − 4x + 3 = + m 2 Bài 4 14: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : a) ( )( ) x 2 + mx + 2 = 2x + 1 (TSĐHKB -2006) Bài 4 15: Chứng minh rằng với mọi m > 0 thì phương trình sau có hai ( ) nghiệm thực phân biệt x 2 + 2x − 8 = m x − 2 (TSĐHKD-2007) Bài 4 16: Tìm m để phương trình : (x − 1)... 2 Bài 4.24: (ĐHGTVT - 1998) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x : (1 + 2x )( 3 − x ) > m + (2x 2 − 5x + 3 ) ( ) Bài 4.25: Tìm m để: m.4x + m − 1 2x + 2 + m − 1 > 0; ∀ ∈ ¡ Bài 4.26:(ĐHBH-1996) Tìm k lớn nhất thỏa mãn ( ) k sin x + cos x + 1 ≤ sin 2x + cos x + sin x + 2; ∀x ∈ ¡ Bài 4.27: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 x 2 − 3x + 2 ≥ m − x 2 − 3x + 4 Bài 4.28:...* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t , tức là mỗi giá trị t ∈ Y thì phương trình u(x ) = t có bao nhiêu nghiệm x ∈ D ? Ví dụ 4.11: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 1) x + 9 − x = 2) −x 2 + 9x + m 3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) = m 4 4 3) m( .
1
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta
thường hay gặp các bài toán liên quan đến. liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà
nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu
một số dạng toán mà chúng