Lớ do chọn đề tài Ngày nay thay vỡ việc dựng phương phỏp đại số giải cỏc bài toỏn về dao động điều hũa cũn phương phỏp “Vận dụng vũng trũn lượng giỏc” để giải nhanh và giải cỏc bài toỏn
Trang 1MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ………
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………
I Cơ sở lí thuyết………
II Vận dụng………
1 Vận dụng giải nhanh các bài tập………
1.1 Cơ sở lý thuyết………
1.2 Áp dụng phương pháp vào giải một số bài bài tập dao động cơ…………
1.3 Mở rộng………
2 Giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa………
PHẦN III: KẾT LUẬN………
TÀI LIỆU THAM KHẢO………
Trang 2 3 3 3 3 3 4 7 7 16 17
Trang 2PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ
I Lớ do chọn đề tài
Ngày nay thay vỡ việc dựng phương phỏp đại số giải cỏc bài toỏn về dao động
điều hũa cũn phương phỏp “Vận dụng vũng trũn lượng giỏc” để giải nhanh và giải
cỏc bài toỏn khú về dao động điều hũa Trong thực tế cú nhiều bài toỏn nếu khụng vận dụng phương phỏp vũng trũn lượng giỏc thỡ thậm chớ cũn khụng giải được bài toỏn
Xuất phát từ thực tế đó tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Vận dụng mối liờn hệ giữa vũng trũn lượng giỏc và dao động điều hũa để giải nhanh và giải cỏc bài toỏn khú liờn quan đến dao động điều hũa”
2 Mục đích nghiên cứu
+ Tỡm ra phương phỏp giỳp học sinh giải nhanh nhất cỏc bài toỏn liờn quan đến mối quan hệ giữa li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hũa
+ Tỡm ra phương phỏp giải cỏc bài toỏn khú liờn quan đến dao động điều hũa bằng phương phỏp ứng dụng vũng trũn lượng giỏc
3 Đối tợng nghiên cứu
+ Kiến thức liờn quan đến dao động điều hũa
+ Cỏc kiến thức của phần lượng giỏc trong toỏn học
4 Phơng pháp nghiên cứu
Để hoàn thành đề tài này tụi chọn phương phỏp nghiờn cứu:
- Phương phỏp nghiờn cứu tài liệu:
+ Đọc cỏc sỏch giỏo khoa phổ thụng sỏch tham khảo phần Dao động điều hũa,
phần súng cơ học, súng điện từ, dũng điện xoay chiều…
- Phương phỏp thống kờ:
+ Chọn cỏc baứi coự trong chương trỡnh phổ thụng, caực baứi thửụứng gaởp trong caực kyứ thi
- Phương phỏp phõn tớch và tổng hợp kinh nghiệm trong quỏ trỡnh giảng dạy và thực
tế đời sống
5 Phạm vi nghiờn cứu
Cỏc bài tập cú liờn quan đến dao động điều hũa, súng cơ học, dao động điện từ, dũng điện xoay chiều
PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trang 3v
O
A
- A
a
I Cơ sở lớ thuyết
Cơ sở lớ thuyết của đề tài: “Vận dụng mối liờn hệ giữa vũng trũn lượng giỏc và dao động điều hũa để giải nhanh và giải cỏc bài toỏn khú liờn quan đến dao động điều hũa” là mối quan hệ giữa dao động điều hũa và chuyển động trũn đều.
- Giả sử một điểm M chuyển động trũn đều trờn đường trũn theo chiều dương với tốc độ gúc
- P là hỡnh chiếu của M lờn Ox
- Giả sử lỳc t = 0, M ở vị trớ M0 với
- Sau t giõy, vật chuyển động đến vị trớ M, với
- Toạ độ x = OPcủa điểm P cú phương trỡnh:
x = OMcos(t + )
Đặt OM = A
x = Acos(t + )
Vậy: Dao động của điểm P là dao động điều hoà.
II Vận dụng.
1 Vận dụng giải nhanh cỏc bài tập.
1.1 Cơ sở lý thuyết
+ x = Acos(t+)
+ v = x’ = -Asin(t + ),
+ a = v’ = -A2cos(t + )
* Cỏch biểu diễn:
+ Li độ là hàm cosin nờn được biểu diễn bằng
trục cosin cú chiều dương hướng từ trỏi sang phải với
biờn độ là A
+ Vận tốc là hàm trừ sin nờn được biểu diễn
bằng trục ngược với trục sin cú chiều dương hướng từ
trờn xướng dưới với biờn độ là A
+ Gia tốc là hàm trừ cosin nờn được biểu diễn bằng trục ngược với trục cosin
cú chiều dương hướng từ phải sang trỏi với biờn độ là 2A
* í nghĩa:
M
M0
P1
x P O
t
+
Trang 4+ Khi ta biễu diễn một trong 3 đại lượng x, v, a ta có thể xác định được ngay
hai đại lượng còn lại một cách nhanh chóng
+ Từ hình vẽ có thể nhận biết được nhiều thông tin bổ ích về tích chất của một vật dao động điều hòa
1.2 Áp dụng phương pháp vào giải một số bài bài tập dao động cơ
* Ưu điểm: Cho kết quả nhanh hơn bất kỳ phương pháp nào khác, ngay cả với
phương pháp dùng vòng lượng giác nhưng chỉ biểu diễn cho một đại lượng
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 Phương trình vận tốc của vật dao động điều hoà là v = 16 cos(2t + /6)
cm/s Li độ của vật tại thời điểm t = 22,25s là:
A x = 4 3cm B x = 4cm C x = 8 3
3 cm D x = 4 2cm
Lời giải Cách 1: Dùng phương pháp đại số.
Ta có v = 16 cos(2t + /6) = -16 sin(2t - /3)
Suy ra A = 4 cm, = 2 rad/s Vậy x = 4cos(2t - /3) cm
Li độ của vật tại thời điểm t = 22,25s là: x = 4cos(2.22,5 - /3) = 4 3cm
Cách 2 Dùng vòng tròn lượng giác
cos = -sin( - /2)
Ta có v = 16 cos(2t + /6)
= -16 sin(2t - /3)
Ngoài ra ta có: lẻ = = /2
Từ hình vẽ ta suy ra: x = 4 3cm
π 6 -π 3
v
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 4cos(2t - /3) cm Tìm
vận tốc của vật tại thời điểm t = 2,5 s kể từ thời điểm ban đầu?
Lời giải:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số.
Từ phương trình x = 4cos(2t - /3) cm
Trang 5Suy ra A = 4 cm, = 2 rad/s
Vậy phương trình vận tốc của vật là: v = - 8 cos(2t - /3) cm/s
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4,25 s kể từ thời điểm ban đầu là:
v = - 8 cos(2 4,25 - /3) = - 4 cm/s
Cách 2 Dùng vòng tròn lượng giác
Ta có lẻ = =
Từ hình vẽ suy ra: v = - 4 cm/s
π 6 -π 3
v
Ví dụ 3: Gia tốc của một vật dao động điều hòa có phương trình a = -162cos(2t - /6)
cm Tìm vận tốc của vật tại thời điểm t = 4,25 s kể từ thời điểm ban đầu?
Lời giải Cách 1: Dùng phương pháp đại số.
Từ phương trình a = -162cos(2t - /6) cm
Suy ra: A = 4 cm, = 2 rad/s
Vậy phương trình vận tốc của vật là: v = - 8 sin(2 4,25 - /6)
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4,25 s kể từ thời điểm ban đầu là: v = - 4 cm/s
Cách 2 Dùng vòng tròn lượng giác
Ta có = = /2
Từ hình vẽ ta có: v = - 4 cm/s
π/6
π/6
v
Ví dụ 4: Vận tốc của một vật dao động điều hòa có phương trình v = -10sin(2t +
/3) cm/s Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 5,25 s kể từ thời điểm ban đầu?
Lời giải
Trang 6Cách 1: Dùng phương pháp đại số.
Từ phương trình v = -10sin(2t + /3) cm/s
Suy ra: A = 4 cm, = 2 rad/s
Vậy phương trình gia tốc của vật là: a = -162cos(2t + /3) cm/s2
Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5,25 s kể từ thời điểm ban đầu là:
a = -162cos(2.5,25 + /3) = 102 (cm/s2)
Cách 2 Dùng vòng tròn lượng giác
Ta có: lẻ = = /2
Từ hình vẽ ta có: a = 102 (cm/s2) π/6 π/3
v
CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG
VD 1: x = 6cos(2t)cm Tính a khi v = - 6 lần thứ 2 ?Lấy 2 = 10
A 120 3cm/s2 B 120 cm/s2 C - 120 cm/s2 D - 120 3cm/s2
VD 2: x = 6cos(2t)cm Tính v tại t = 11,5s ?
A – 85,6cm/s B 6cm/s C 0cm/s D 85,6cm/s
VD 3: v = 8cos(2t + /2)cm/s Tính x tại t = 1,5s ?
VD 4: v = 4cos(0,5t - /6)cm/s Tính thời điểm đầu tiên vật qua x = 4 cm theo
chiều dương ?
VD 5: v = 4cos(0,5t - /6)cm/s Thời điểm nào sau đây vật qua x = 4cm theo chiều
dương?
VD 6 : v = 24cos(4t + /6)cm/s Tính quãng đường vật đi được từ t1 = 2/3s đến t2 = 37/12s
1.3 Mở rộng
Trang 7i
O
I0
- I0
uL
uC
i
O
I0
I0
uL
Phương pháp này còn có thể áp dụng trong các bài toán về dao động điện từ, dòng điện xoay chiều
2 Giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa.
Ví dụ 1
Cho hai mạch dao động lí tưởng L1C1 và L2C2 với C1 = C2 = 0,1μF, L1 = L2 = 1
μH Ban đầu tích điện cho tụ C1 đến điện áp 6 V và tụ C2 đến điện áp 12 V rồi cho mạch dao động Thời gian ngắn nhất kể từ khi mạch dao động bắt đầu dao động thì điện áp trên 2 tụ C1 và C2 chênh lệch nhau 3V?
A 10 6
6
s B 10 6
3
s C 10 6
2
s D 10 6
12
s
Lời giải
Hai mạch dao động cóC = C ; L = L 1 2 1 2nên 1 2
1
1
ω = ω = ω =
L C1
Khi cho hai mạch bắt đầu dao động cùng một lúc thì điện áp giữa hai bản tụ của mỗi mạch dao động biến thiên cùng tần số góc
Ta biểu diễn bằng hai đường tròn như hình vẽ
Tại thời điểm t kể từ lúc bắt đầu dao động, điện áp trên
mỗi tụ là u1, u2
Theo bài toán: u2 – u1 = 3V (1)
Từ hình vẽ, ta có: 02 2
1
Ví dụ 2
Trang 8Một sóng cơ học lan truyền trên mặt thoáng chất lỏng nằm ngang với tần số 10 Hz, tốc độ truyền sóng 1,2 m/s Hai điểm M và N thuộc mặt thoáng, trên cùng một phương truyền sóng, cách nhau 26 cm (M nằm gần nguồn sóng hơn) Tại thời điểm t, điểm N hạ xuống thấp nhất Khoảng thời gian ngắn nhất sau đó điểm M hạ xuống
A 11/120 (s) B 1/60 (s) C 1/120 (s) D 1/12 (s)
Lời giải
Bước sóng = v/f = 0,12m = 12cm
MN = 26 cm = (2 + 1/6)
Điểm M dao động sớm pha hơn điểm về
thời gian là 1/6T Tại thời điểm t N hạ
xuống thấp nhất, M đang đi lên
sau đó t = 11T/12 M sẽ hạ xuống thấp
nhất: t = 11T/12 = 11/120 (s)
Chọn đáp án A
Ví dụ 3 : Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định Trên dây A
là một điểm nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 18 cm, M là một điểm trên dây cách B một khoảng 12 cm Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B nhỏ hơn vận tốc dao động cực đại của phần tử M
là 0,1 s Tốc độ truyền sóng trên dây là?
Lời giải
4
AB AB cm M cách A: d = 6cm hoặc 30 cm
Phương trình sóng ở M: u M 2 sina 2d.sin t v M 2a sin2d osc t
Do đó max
2
M
d
Phương trình sóng ở B: u B 2 sina t v B 2a c os t
Vẽ đường tròn suy ra thời gian vB < vMmax là T/3 Do đó T = 0,3 s
Từ đó tính được tốc độ truyền sóng: 72 240 /
0,3
T
M
N
Trang 9Ví dụ 4 Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định Trên dây A là
một nút, B là điểm bụng gần A nhất, AB = 14 cm C là một điểm trên dây trong khoảng AB có biên độ bằng một nửa biên độ của B Khoảng cách AC là:
Lời giải
= 4.AB = 56 cm
Dùng liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
AC = 30
360= 14/3 cm
Ví dụ 5 Đặt điện áp xoay chiều: u = 220 2cos100t (V) ( t tính bằng giây) vào hai đầu mạch gồm điện trở R=100Ω, cuộn thuần cảm L = 318,3 mH và tụ điện C = 15,92μF mắc nối tiếp Trong một chu kì, khoảng thời gian điện áp hai đầu đoạn mạch sinh công dương cung cấp điện năng cho mạch bằng:
A 20ms B 17,5ms C 12,5ms D 15ms
Lời giải
Chu kì của dòng điện T = 0,02 (s) = 20 (ms)
ZL = 314 318,3 10-3 = 100; ZC = 314 15 , 92 10 6
1
= 200; Z = 100 2
Góc lệch pha giữa u và i: tan =
R
Z
= - 1 -> = -
4
Biểu thức cường độ dòng điện qua mạch i = 2,2cos(100t + 4 ) (A)
Biểu thức tính công suất tức thời: p = ui = 484 2cos100t cos(100t +
4
) Điện áp sinh công dương cung cấp điện năng cho mạch khi p > 0
hay biểu thức Y = cos100t cos(100t + 4 ) > 0
A
a
a/2 30
0
Trang 10Xét dấu của biểu thức Y = cos.cos( + 4 ) trong một chu kì 2
cos > 0 khi - 2 < < 2 :
Vùng phía phải đường thẳng MM’
cos( + 4 ) > 0 khi - 2 < + 4 < 2
hay khi - 34 < < 4 :
Vùng phía dưới đường thẳng NN’
Theo hình vẽ dấu màu đỏ ứng với dấu của cos
dấu màu đen ứng với dấu của cos(+4 ) ta thấy vùng Y < 0
khi cos và cos( +
4
) trái dấu từ N đến M và từ N’ đến M’
phần còn lại Y > 0 do cos và cos( + 4 ) cùng dấu
Như vậy trong một chu kì Y < 0 trong t = 2
8
T
=
4
T
Suy ra Y > 0 trong khoảng thời gian 3T4
Do đó Trong một chu kì, khoảng thời gian điện áp hai đầu đoạn mạch sinh công dương cung cấp điện năng cho mạch bằng: 3.204 = 15 ms Chọn đáp án D
Ví dụ 6 Một mạch dao động LC lí tưởng Ban đầu nối hai đầu cuộn cảm thuần với
nguồn điện có r = 2, suất điện động E Sau khi dòng điện qua mạch ổn định, người
ta ngắt cuộn dây với nguồn và nối nó với tụ điện thành mạch kín thì điện tích cực đại của tụ là 4.10-6C Biết khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi năng lượng từ trường đạt giá trị cực đại đến khi năng lượng trên tụ bằng 3 lần năng lượng trên cuộn cảm là
6
10
.
6
(s) Giá trị của suất điện động E là:
A 2V B 16V C 8V D 4V
Lời giải
W = Wt + Wđ = 4Wt 2 2
2
1 4 2
1
Li
LI o
+
+
+ + +
+
N’
N M
M’
Trang 11từ đây suy ra
2
0
I
i và dùng giản đồ ta thấy
Wđ = 3Wt
Io
Từ đường tròn LG ta tính được T = .10 -6 (s Như vậy ta sẽ tính được:s Như vậy ta sẽ tính được:
I0 =
LC
Q0
= 66
10
10 8
= 8 (A) E = I0 r = 16 (V)
Ví dụ 7 Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 10 (g) và độ cứng lò xo
là 1000 N/m Dao động điều hòa dọc theo 2 đường thẳng song song liền kề nhau (vị trí cân bằng của hai vật đều ở gốc tọa độ) Biên độ của con lắc thứ nhất gấp đôi biên
độ của con lắc thứ hai Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều Khoảng thời gian giữa 3 lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là:
A 0,02 s B 0,03 s C 0,01 s C 0, 04 s
Lời giải
Khoảng thời gian giữa 3 lần liên tiếp hai
vật nặng gặp nhau là T
Với T = 0,02s
-A
-2A
Ví dụ 8 Hai chất điểm dao động điều hoà trên trục Ox với các phương trình lần lượt
là 1
1
2
T
2
2
x Ac t cm Biết 1
2
3 4
T
T Vị trí mà hai chất điểm gặp nhau lần đầu tiên là:
A x = 1,5A B x =
2
A
3
A
60
Io/2
Trang 12Lời giải
Ta có: 1
2
3 4
T
T suy ra
2 /1 = 3/4
Bằng phương pháp thử ngược đáp án, ta
thấy đáp án -A thỏa mãn điều kiện
Ví dụ 9 Hai vật dao động trên phương trục 0x có phương trình x1 = A1cos(2,5t
-/3) cm, x2 = A2cos(2,5t - /6) cm Sau 0,1 s kể từ thời điểm t = 0 thì hai vật ngang qua nhau lần thứ nhất Tỉ số A1/A2?
Lời giải
Ta có: = = /4 Từ hình vẽ ta có:
x1 = A1cos150
x2 = A2cos150
Vì hai vật gặp nhau nên x1 = x2 Suy ra A1
= A2
π/3 π/6 15°
15°
H
Ví dụ 10 Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều.
Phương trình dao động của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + φ1) và x2 = Acos(4πt + φ2) Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
Lời giải
Ta có:
N1 = t/T1
N2 = t/T2
Suy ra: n1/n2 = T2/T1 = 3/4
Trang 13Vậy khi vật 1 thực hiện 3 dao động thì
vật 2 thực hiện 4 dao động, khi đó hai vật
cùng trở về trạng thái như ban đầu
Suy ra t = 3.2/3 = 2s
x 2
x 1
-A
Ví dụ 11 Hai chất điểm M1, M2 cùng dao động điều hoà trên trục Ox xung quang gốc O với cùng tần số f, biên độ dao động của M1, M2tương ứng là 3cm, 4cm và dao động của M2sớm pha hơn dao động của M1 một góc / 2 Khi khoảng cách giữa hai vật là 5cm thì M1 và M2 cách gốc toạ độ lần lượt bằng :
A 3,2cm và 1,8cm B 2,86cm và 2,14cm
C 2,14cm và 2,86cm D 1,8cm và 3,2cm
Lời giải
Hai dao động thành phần
2 cos 4 cos 3 2
cos
.
4
cos
.
3
t t x x
x
cm
t
x
cm
t
x
N M
N
M
Biểu diễn dao động khoảng cách giữa hai điểm M và N ta
có tại thời điểm khoảng cách hai vật bằng 5 nghĩa là
đường x(t) nằm ngang
Khoảng cách từ M và N đến O bằng :
cm cm
x
cm cm
x
N
M
2 , 3 5
16 sin
.
4
8 , 1 5
9 cos
.
3
Ví dụ 12 Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A Đúng
lúc lò xo giãn nhiều nhất thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó con lắc dao động với biên độ A’ Tỉ số A’/A bằng:
Lời giải
1
x
2
x
x
Trang 14Tại biên dương A vận tốc vận bằng 0 Khi đó giữ cố định điểm chính giữa thì k’=2k Vật dao động xung quang vị trí cân bằng mới O’ cách biên dương A một đoạn x
Ta có: x= ( ) 12 2
2
1
0 0
A l A
l
Khi đó
2 '
'
2
x v
x
Ví dụ 13 Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A Đúng
lúc con lắc qua vị trí có động năng bằng thế năng và đang giãn thì người ta cố định một điểm chính giữa của lò xo, kết quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ A’ Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A’
A
2
3
4
6
Lời giải
Khi Wđ = Wt > Wt = W/2
2
2
1
2
2
2 kA
kx
-> x =
2
2
A
vật ở M, cách VTCB OM =
2
2
A
Khi đó vật có vận tốc v0:
m
kA v
kA W
mv
đ
2 2
2
1 2
2 2 0
2 2
0
Sau khi bị giữ độ cứng của lò xo
k’ = 2k Vật dao động quanh VTCB mới O’
MO’ = x0 =
4
2 2
1 ) 2
2 (
2
1
0 0
A l A
l với l0 là chiều dài tự nhiên của lò xo
Tần số góc của dao động mới ’ =
m
k m
Biên độ dao động mới A’
A’2 = 2 022
0
'
v
2
m k m
kA A
4
6
A
O
O’ M
O
O’ M