SỬ DỤNG CÁC CẶP TAM GIÁC BẰNG NHAU TRONG HÌNH THANG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

SỬ DỤNG CÁC CẶP TAM GIÁC BẰNG NHAU TRONG HÌNH THANG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trịnh Thị Ánh Tuyết –P.HT Trường TH Bắc Hà,TP Hà Tĩnh I.. Đó là, có thể vận dụng linh hoạt các cặp t

SỬ DỤNG CÁC CẶP TAM GIÁC BẰNG NHAU TRONG HÌNH THANG ĐỂ

GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

(Trịnh Thị Ánh Tuyết –P.HT Trường TH Bắc Hà,TP Hà Tĩnh)

I PHẦN MỞ ĐẦU

1) Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giải toán nhằm tích lũy chuyên môn, nâng cao kiến thức, tôi

thấy một điều rất thú vị Đó là, có thể vận dụng linh hoạt các cặp tam giác có diện tích bằng nhau do hai đường chéo của hình thang tạo ra để giải các bài toán hình học Tuy nhiên để sử dụng thành thạo kiến thức đó nhằm giải một số bài toán khó hoặc lạ là điều không đơn giản Bởi rất khó có thể nêu lên cách giải tổng quát Vì vậy, tôi đã lựa chọn một số bài toán theo mức độ từ dễ đến khó Qua mỗi ví dụ, tôi mong muốn được cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp cách giải toán để các bạn có thể tham khảo Hi vọng rằng các bạn có thể rút ra được những nhận xét quan trọng để vận dụng có hiệu

quả khi giải toán Đó chính là lí do tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng các cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang để giải các bài toán hình học”

2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Chương trình toán lớp 5

- Sách giáo khoa môn toán lớp 5

- Sách tham khảo môn toán lớp 5

- HS khá giỏi lớp 5

3) Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Giúp học sinh nắm được một số kiến thức về hình học, biết vận dụng các cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang nhằm tìm các mối quan hệ để giải toán

4) Xây dựng giả thiết nghiên cứu

Nếu sử dụng tốt kinh nghiệm này sẽ góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi môn toán, cụ thể là mảng kiến thức về hình học

5) Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra, khảo sát

- Phương pháp tư duy lôgic

- Phương pháp qui nạp toán học

6) Đóng góp về mặt khoa học của đề tài

- Giúp học sinh biết vận dụng các cặp tam giác có diện tích bằng nhau để tìm

ra các mối quan hệ nhằm giải các bài toán hình học đạt kết quả tốt

- Rèn cho học sinh cách tư duy, cách học để chiếm lĩnh kiến thức

- Làm cho học sinh say mê, yêu thích môn toán

II PHẦN NỘI DUNG

1) Cơ sở khoa học

- Từ việc phát hiện các cặp tam giác có diện tích bằng nhau có mối quan hệ với diện tích một số hình, tìm ra hướng giải toán

- Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm tòi, khám phá, mở rộng kiến thức của học sinh

- Kiến thức nâng cao được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản mà học sinh đã được học

- Từ việc vận dụng kiến thức giải các bài toán từ dễ đến khó, học sinh sẽ biết cách tư duy để nâng cao kiến thức

- Trong quá trình dạy toán, nếu người giáo viên nắm chắc kiến thức, biết phát hiện nhanh các dữ kiện của bài toán, biết vận dụng kiến thức tốt sẽ giúp học sinh có cách tư duy khoa học, giải quyết nhanh các yêu cầu mà bài toán đưa ra

2) Thực trạng

Chương trình chính khoá của học sinh lớp 5 chỉ được học về cách tính diện tích hình tam giác, hình thang, diện tích, thể tích một số hình,… và chỉ vận dụng các công thức đó vào giải các bài tập đơn giản SGK Để vận dụng kiến thức đó vào giải toán khó phần hình học, học sinh còn gặp khó khăn, khó tìm ra cách giải hoặc biết giải nhưng trình bày chưa chặt chẽ, chưa lôgic

Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy một số nguyên nhân sau:

2.1 Về phía giáo viên

- Nhìn chung giáo viên chưa chịu khó thực sự tìm tòi, nghiên cứu để tìm hiểu, phát triển thêm các dạng toán nâng cao

- Phân phối chương trình buổi 2 có thời lượng rất hạn chế đối với môn luyện toán (1 tiết/ tuần) đối với lớp 4, 5

2.2 Về phía học sinh

- Học sinh còn ngại khó khi gặp các bài toán đòi hỏi sự tư duy cao

- Chưa phát hiện nhanh mối tương quan giữa các dữ kiện của đề ra với yêu cầu cần giải quyết của bài toán

- Không nhận diện được các bài toán cần vận dụng mảng kiến thức nào?

- Lúng túng trong phần lập luận, trình bày thiếu chặt chẽ, lô gic

Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi dã tiến hành kiểm tra 15 phút học sinh khá giỏi lớp 5A về cách giải bài toán sau:

Bài toán: Cho tam giác ABC Trên đáy BC lấy 2 điểm P và Q sao cho CP bằng

PQ bằng QN Từ P kẻ đường thẳng song song với cạnh AC, từ Q kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, chúng cắt nhau tại O Nối OA, OB, OC

Hãy chứng tỏ rằng diện tích các tam giác IAC, IAB, IAC bằng nhau và bằng

3 1

diện tích tam giác ABC

Kết quả thu được như sau:

Điểm giỏi: 20%

Điểm khá: 20%

Điểm TB : 50%

Điểm yếu: 10%

Nhìn chung học sinh lập luận chưa chặt chẽ, cách giải còn lúng túng, trình bày thiếu khoa học Chỉ có một số ít em phát hiện ra cách giải, trình bày khá chặt chẽ, còn lại chỉ tính toán được các phép tính mà có dữ kiện tường minh

3) Giải pháp

Hệ thống, sắp xếp một số bài toán hình học từ dễ đến khó Qua mỗi ví dụ, thể hiện việc sử dụng linh hoạt các cặp tam giác có diện tích bằng nhau để giải các bài toán khó hình học

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có diện tích 600m2 Trên AC lấy AC

5

1 IC

AD   Từ D kẻ đường thẳng song song (//) với AB, từ I kẻ đường thẳng song song với BC chúng cắt nhau tại E Nối EA, EB, EC.Tính diện tích các tam giác EAB, EAC và ECB

( Sách phương pháp giải 50 bộ đề toán 5 chọn lọc-NXBTổng hợpTPHCM)

Phân tích:

Trước hết, ta thấy ED // AB, IE // BC Chúng sẽ tạo ra các hình thang có các cặp tam giác có diện tích bằng nhau Mặt khác: SEAB + SEAC+SECB = SABC

Vì vậy, nếu tính được SEAB và SECB thì tính được SEAC( SEAC = SABC - SEAB -SEBC) Muốn tính SEAB ta cần đem so sánh SEAB với một tam giác nào đó do ta tạo ra sao cho tam giác đó có diện tích bằng diện tích tam giác EAB Như vậy, nếu nối DB, SABD=

5 1

SABC (vì đáy AD=

5

1

AC và có chung chiều cao hạ từ B xuống AC) Mặt khác, khi nối

DB thì DB và AE là hai đường chéo của hình thang ADEB nên SAEB= SADB =

5

1 SABC Tương tự: SECB=

5

1 SABC Từ đó, suy ra SAEC.

Bài giải:

Vì DE//AB nên ABED là hình thang, suy ra SDAB = SEAB(vì chung đáy AB và có chiều cao bằng chiều cao hình thang ABEC)

Mà SDAB=

5

1SABC=

5

1

600= 120 (m2)(vì đáy AD=

5

1

AC và có chung chiều cao hạ

từ B xuống AC) Vậy: SEAB= 120m2

Tương tự, vì IE // CB nên IEBC là hình thang => SIBC = SECB (vì chung đáy BC

và có chiều cao bằng chiều cao hình thang IEBC)

Mà SIBC=

5

1SABC=

5

1

600= 120 (m2) (vì chúng có đáy IC=

5

1

AC và có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC).Vậy SEBC = 120m2

Như thế SEAC = 600- (120 + 120) = 360 (m2)

Đáp số: SECB = 120m2

SEAB = 120m2

SEAC = 360m2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC Kéo dài

IB về phía I, lấy điểm D nằm trên đường thẳng BI sao cho ID = IB Nối AD, DC Từ I

kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N Hãy chứng minh rằng: SABN = SADCN (Sách toán nâng cao lớp 5, tập một - NXBGD)

A

●

D

I

E

Phân tích: Vì IB = ID nên SAIB = SAID, SCIB = SCID Do đó SADCI =

2

1

SABCD Đoạn AN

đã bớt mất SADCI phần SAIO nhưng lại thêm SADCO phần SONC

Nếu SIAO = SOCN thì SABN = SADCN Như vậy cần chứng tỏ: SAIO = SOCN Mặt khác,

vì IN //AC nên NIAC là hình thang, dó đó: SAIO = SOCN

Bài giải:

Vì IN//AC nên NIAC là hình thang =>SIAN = SINC (chung đáy IN và chiều cao hạ

từ đỉnh A xuống đáy IN bằng chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy IN và bằng chiều cao hình thang NIAC) Ta có: SIAN= SINC ( Chung đáy IN và chiều cao bằng chiều cao hình thang NIAC)

Mà: SIAN - SION = SINC - SION hay SIAO = SNCO (1)

Mặt khác, SAIB = SAID (chung chiều cao hạ từ A xuống đáy BD và IB = ID)

SCIB = SCID (chung chiều cao hạ từ C xuống đáy BD và IB = ID)

Nên: SAIB + SCIB = SAID + SCID

2

1 S

SAICB ADCI  S ABCD

Ta có: SADCI = SADCO + SIAO

SADCN = SADCO + SNCO

Mà theo (1) ta có: SIAO = SNCO

=> SADCI = SADCN (3)

Từ (2) và (3) suy ra:

ADCN ABN

ABCD

2

1

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Điểm I nằm trong tam giác ABC Từ I kẻ các

đường thẳng song song với BC, AC, AB lần lượt cắt các cạnh AB, BC, AC tại M, N,

P Nối AN, CM, BD cắt nhau tại các điểm E, F, K Chứng tỏ rằng tổng diện tích các tam giác ENC, FPA, KMB bằng diện tích tam giác EFK

(Sách toán nâng cao lớp 5, tập một – NXBGD)

Phân tích: Ta chú ý rằng IM//BC; IN//AC; IP//AB nên nối IA, IB, IC ta có 3

hình thang: NIAC, IMBC và IPAB Các hình thang này sẽ tạo ra các cặp tam giác có diện tích bằng nhau Đây chính là “mấu chốt” giúp ta giải bài toán

Xét hình thang IMBC thì: SMBC = SIBC (chung đáy BC, chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang IMBC)

Tương tự, SNAC = SICA; SBAP = SIAB

Mà: SIBC + SICA + SIAB = SMBC + SNAC + SBAP = SABC

Ta thấy: SABC = SMBC + SNAC + SBAP Song thực

tế các tam giác này khi đặt theo vị trí như hình

N

B

C

I ● ● O

A

F

●

●

●

●

F

K

P

M

vẽ thì để thừa tam giác EFK, đồng thời các tam

giác ENC, KMB và FPA mỗi tam giác được tính

2 lần nên thừa ra 1 lần Do đó, tổng diện tích các

tam giác ENC, FPA, KMB bằng diện tích tam

giác EFK

Bài giải:

Vì IM//BC nên IMBC là hình thang, suy ra: SIBC = SMBC (chung đáy BC, chiều cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang IMBC)

Ta cũng có IN // AC nên INCA là hình thang, suy ra: SIAC = SANC (chung đáy

BC, chiều cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang INCA)

Tương tự, IP//AB nên IPAB là hình thang, suy ra: SIAB = SPBA(chung đáy AB, chiều cao bằng nhau và là chiều cao của hình thang IPAB)

Do đó: SABC = SIBC + SIAC + SIAB = SMBC + SNAC + SBAP

Ta thấy các tam giác MBC, NAC, BAP đặt như hình vẽ thì chúng không phủ kín tam giác ABC mà để thừa tam giác EFK, đồng thời chúng phủ lên các tam giác ENC, KMB, FPA mỗi tam giác 2 lần

Vậy: SEFK = SENC + SKMB + SFPA

Nhận xét:

Qua 3 ví dụ trên ta thấy:

- Nếu một tứ giác có hai cạnh đối diện song song thì ta xét ngay đến các cặp tam giác

có diện tích bằng nhau do 2 đường chéo của hình thang mà tứ giác đó tạo thành

- Tìm tam giác cần xem xét (chứa trong các cặp tam giác có diện tích bằng nhau đó)

- Tìm mối tương quan giữa tam giác vừa xem xét với dữ kiện đề bài

- Giải quyết các yêu cầu bài toán

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 438m2 Trên BC lấy 2 điểm I và K sao cho đoạn BI = IK = KC Từ I kẻ đường thẳng song song với AC Từ K kẻ đường thẳng song song với AB, chúng cắt nhau tại Q Tính diện tích các tam giác AQB; AQC; BQC

( Đề thi GVG cấp huyện bậc TH tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2001- 2002)

Phân tích:

I

Để tính diện tích các hình tam giác theo yêu cầu ta chưa biết về các yếu tố đáy, chiều cao Vì vậy để tính diện tích mỗi tam giác đó ta cần dựa vào diện tích tam giác ABC

Mặt khác: IQ//AC nên nếu nối AI thì tứ giác IQCA là hình thang và hai tam giác AQC, CIA chính là một cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình thang IQCA Nên: SAQC = SCIA=

3

2

x 438 = 292 ( m2) Tương tự: SAQB = SAKB = 292 (m2)

Như vậy, biết SAQC, SAQB => SABQC

Từ đó, suy ra SQBC

Bài giải:

Vì IQ//AC nên IQCA là hình thang do đó:

SAQC = SAIC (vì chúng có chung đáy AC,

chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao

của hình thang IQCA).Ta có:

SAIC =

3

2

x SABC

(Vì chúng có đáy IC =

3

2

BC và có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC)

Nên: SAIC =

3

2

x 438 = 292 (m2) Do đó: SAQC = 292 (m2) (1)

Vì KQ//AB nên KQBA là hình thang, nên: SAQB = SAKB (vì chúng có chung đáy

AB, chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang KQBA)

Ta có: SAKB = SAQB =

3

2

x SABC =

3

2 x 438 = 292 (m2) (2)

(Vì chúng có KB =

3

2

x BC và có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC)

Từ (1) và (2) suy ra: SABQC = 292 x 2 = 584 (m2)

Do đó: SBQC = 584 – 438 = 146 (m2)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC trên AC lấy điểm K sao cho AK < KC Nối K với B,

từ A kẻ đường thẳng song song với KB cắt BC kéo dài tại D Trên CD lấy trung điểm

M, nối K với M Chứng tỏ rằng KM chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau

( Tuyển chọn 10 năm toán tuổi thơ của NXBGDVN

A

K

A

B

Q

Phân tích:

Do AK < KC nên SBAK < SBCK

Nếu ta bù cho tam giác BKC một tam giác có diện tích bằng diện tích tam giác BAK sao cho tam giác đó có 2 đỉnh là B và K, đỉnh thứ ba nằm trên BC kéo dài về phía B thì được SABC = SKDC

Do MD = MC nên:

SMCK = SMKD =

2

1

x SKDC =

2

1

x SABC

Bài giải:

Vì BK//AD nên KBDA là hình thang, do đó: SAKB = SDBK (Vì hai tam giác đó chung đáy BK, chiều cao của chúng bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang KBDA)

Do đó: SKMD = SKBD +SKBM = SKBA + SKBM = SABMK

Mặt khác: SKMD = SKMC

(Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ K xuống đáy DC và đáy MD = MC)

Vậy SABMK = SKMC hay KM chia hình tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho đoạn AM nhỏ

hơn đoạn MC Hãy tìm điểm N trên cạnh BC của tam giác sao cho khi nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

(Sách toán nâng cao lớp 5, tập hai- NXBGD)

Để xác định được vị trí điểm N nằm trên cạnh BC ta có các cách giải khác nhau:

Cách 1:

Phân tích:

Nối MB thì SBAM < SBMC vì MA < CM Lấy trung điểm I của AC, nối IB thì IB chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau Vậy cần bù cho tam giác

BAM một phần diện tích bằng diện tích tam giác BMI Từ I kẻ đường thẳng song song với MB cắt cạnh BC tại N Nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần

có diện tích bằng nhau

Bài giải:

Lấy I là trung điểm của AC Nối IB,

ta có: SBAI = SBIC (Vì 2 tam giác có chung

chiều cao hạ từ B xuống AC và đáy IC =

IA) Nối MB Từ I kẻ đường thẳng song

song với MB cắt BC tại N ta có NIMB là

hình thang

Do: SBAI = SBAM + SBMI =

2

1

SABC

SAMNB = SBAM + SBMN.

Mà SBMI = SMBN ( Vì 2 tam giác có chung đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang NIMB)

Do đó: SBAI = SAMNB =

2

1

SABC hay đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần

có diện tích bằng nhau

Cách 2:

Phân tích:

Nối MB thì SBAM < SBMC vì MA < CM Nếu ta bù cho tam giác BMC một tam giác có diện tích bằng diện tích tam giác BAM sao cho tam giác đó có hai đỉnh là B và

M, đỉnh thứ ba nằm trên BC kéo dài về phía B để được

SABC = SMCB, Muốn vậy, từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt CB kéo dài

về phía B tại B’ thì ta có SABC = SMCB, Lấy trung điểm N của CB’, nối MN thì đoạn

MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

Bài giải:

Từ A, kẻ đường thẳng song song với MB cắt cạnh BC kéo dài về phía B tại B’

Nối MB’, ta có MBB’A là hình thang Lấy trung điểm N của CB’, nối MN

Ta có SABC = SMCB + SBAM

SMCB,= SMCB + SBMB,

A

M

N

I

Mà SBMB’ = SBAM ( Vì 2 tam giác có chung đáy MB, chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao của hình thang AMBB’) Nên SABC = SMCB,

Mặt khác SMNC =

2

1 SMCB’( Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M và đáy

NC =

2

1

B’C) Do đó SMNC =

2

1 SMCB’=

2

1 SABC hay đoạn MN chia tam giác ABC

thành hai phần có diện tích bằng nhau

Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC Điểm M trên AC Hãy tìm điểm N trên cạnh AB hoặc

BC, sao cho khi nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

(Sách toán nâng cao lớp 5, tập hai- NXBGD)

Bài toán này khó nhất so với 6 bài toán trên vì chưa biết điểm N nằm trên cạnh nào? Hơn nữa cũng không có dữ kiện về diện tích tam giác ABC hay tỉ số của MA và

MC Để xác định được vị trí điểm N nằm trên cạnh nào của tam giác ABC ta cần xét các trường hợp sau:

a) Trường hợp thứ nhất: MA = MC Khi đó điểm N trùng với đỉnh B

Ta có:

SABM = SMCB ( Vì 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy MA =MC)

Hay SANM = SMNC ( Do điểm N trùng với đỉnh B)

A

B’

C

M

A

B

C

M