Mục tiêu Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau; Nắm được các bước chứng minh hai đoạ[r]
(1)Chuyờn đề: phương pháp tam giác Môn: Hình học Lớp: Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh Thực ngày 24 tháng 1năm 2008 I Mục tiêu Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng các trường hợp tam giác để chứng minh hai tam giác nhau; Nắm các bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để tạo hai tam giác Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng các kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao và số chuyên đề toán -Hình học nâng cao THCS - Vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học - Bồi dưỡng toán - Nâng cao và phát triển toán -… III Nội dung Kiến thức cần nhớ Ta đã biết hai tam giác thì suy các cặp cạnh tương ứng nhau, các cặp góc tương ứng Đó là lợi ích việc chứng minh hai tam giác * Các trường hợp tam giác a Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh tam giác này ba cạnh tương ứng tam giác thì hai tam giác đó b Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh và góc xen tam giác này hai cạnh và góc xen tam giác thì hai tam giác đó c Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu cạnh và hai góc kề tam giác này cạnh và hai góc kề tam giác thì hai tam giác đó * Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai góc) ta thường làm theo các bước sau: - Xét xem hai đoạn thẳng(hay hai góc) là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào - Chứng minh hai tam giác đó - Suy hai cạnh (hay hai góc) tương ứng * Để tạo hai tam giác nhau, có thể ta phải vẽ thêm đường phụ nhiều cách: - Nối hai cạnh có sẵn trên hình để tạo cạnh chung hai tam giác - Trên tia cho trước, đặt đoạn đoạn thẳng khác Lop7.net - Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song với đoạn thẳng (2) - Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng Ngoài còn nhiều cách khác ta có thể tích luỹ kinh nghiệm giải nhiều bài toán Các ví dụ: 2.1 Ví dụ 1(BTNC&MSCĐ/123) Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy Lấy điểm E trên tia đối tai Ox, điểm F trên tia Oy cho OE= OB, OF= OA a Chứng minh AB = EF, AB EF b Gọi M và N là trung điểm AB và y EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân Giải: F · = 900; A Ox, B Oy GT xOy H B OE = OB, OF= OA N M M AB: MA = MB N EF: NE = NF E KL a, AB = EF, AB EF A x O b V OMN vuông cân Chứng minh a Xét V AOB và V FOE có: OA = OF ( GT) · · = 900 V AOB và V FOE(C.G.C) AOB = FOE OB = OE (GT) AB = EF( cạnh tương ứng) µ µ (1) ( góc tương ứng) A = F µ+ F µ = 900 (2) µ = 900 E Xét V FOE : O · A = 900 EAH Từ (1) và (2) Eµ+ µ =900 EH HA hay AB EF b Ta có: BM = AB( M là trung điểm AB) EN = 2EF( M là trung điểm EF) BM = EN Mà AB = EF µ = 900 µ = 900 E µ+ F Mặt khác: V FOE : O µ = 900 µ µ = 900 µ µ= B A+B E V OAB : O 1 µ µ(cmt) A = F Mà Xét V BOM và V EON có : OB = OE (gt) µ= E µ(cmt) B V BOM = V EON (c.g.c) BM = EN (cmt) OM = ON (*) ¶= O ¶ Và O ¶ +O ¶ =900 nên O ¶ +O ¶ =900 MON · Mà O = 900 (**) 3 Từ (*) và(**) V OMN vuông cân 2.2 VD2( BT26/VTYTP/62): Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I là trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng Lop7.net (3) Giải A GT V ABC: AB = AC D AB, E AC: BD=CE I DE: ID = IE KL B, I, C thẳng hàng D B F I C E · + EIC · = 1800 * Phân tích: B, I, C thẳng hàng BIE · = EIC · Cần c/m BID · + BIE · = 180 Mà BID Cần tạo điểm F trên cạnh BC: V EIC = V DIF Chứng minh · Kẻ DF// AC( F BC) DFB = ·ACB ( hai góc đồng vị) · = ·ABC DFB Mà V ABC cân tai A ·ABC = ·ACB (t/c) V DFB cân tai D DB = DF Xét V DIF Và V EIC có: ID = IE (gt) · = CEI · (SLT, DF// AC) V DIF = V EIC(c.g.c) FDI DF = EC (=BD) · · (hai góc tương ứng) (1) DIF = EIC · + FIE · = 1800 (2) Vì I DE nên DIF · = 1800 hay EIC · = 1800 B, I, C thẳng hàng · + FIE · + EIB Từ (1) và (2) EIC 2.3 VD 3:(BTNC&MSCD/123) A = 600 Phân giác BD, CE cắt O Chứng minh : Cho V ABC, µ a V DOE cân b BE + CD= BC Giải A µ V ABC, A =60 E BD: Phân giác Bµ(D AC) D O µ GT CE: Phân giác C (E AB) BD CE = {O} KL a V DOE cân C B F b BE + CD= BC Chứng minh A =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba góc Ta có: V ABC: Bµ+ Cµ=1800 - µ tam giác) µ B Mà Bµ (BDlà phân giác Bµ) = µ µ= C (CE là phân giác C µ) C Lop7.net (4) µ µ µ= B C = 120 = 600 Nên Bµ + C 1 2 0 µ · = 1800 - ( Bµ V OBC: BOC + C1 )= 180 - 60 =120 ((Định lý tổng ba góc tam giác) · ¶ = 1800( kề bù) Mặt khác: BOC +O ¶ =O ¶ =600 O · ¶ = 1800( kề bù) +O BOC · · ¶ =O ¶ = BOC =600 Vẽ phân giác OF BOC (F BC) O ¶ =O ¶ =O ¶ =O ¶ =600 Do đó : O Xét V BOE và V BOF có: µ) ¶ = B µ(BDlà phân giác B B BO cạnh chung V BOE = V BOF(g.c.g) ¶ =O ¶ =600 O OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự V COD = V COF(g.c.g) OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) và CD = EF Từ (1 ) và (2) OE = OD V DOE cân b Ta có BE = BF CD = CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC * Nhận xét: · - VD trên cho ta thêm cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF BOC Khi đó OF là đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE - Ta có thể vẽ thêm đường phụ cách khác: Trên BC lấy điểm F:BF= BE Do đó cần c/m V BOE = V BOF(g.c.g) và V COD = V COF(g.c.g) Bài tập 3.1.Bài tập 1: 62- BTNC&MSCĐ/117) Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A và A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD=MA A' Chứng minh: a ·ABD = µ b AM = B'C' Giải GT V ABC, V A'B'C': AB=A'B', AC= A'C' µ A+ µ A ' = 1800 M BC: MB=MC D AM: MD=MA A' KL a ·ABD = µ b AM = B'C' A A' B' Lop7.net B C' M D C (5) Chứng minh Xét V AMC và V DMB có: AM = MD (gt) · · (đối đỉnh) V AMC = V DMB (c.g.c) AMC = DMB MC = MB( gt) AC = BD ( hai cạnh tương ứng) µ( hai góc tương ứng) AC//BD ( vì có cặp góc SLT nhau) µ= D A · + ·ABD = 1800(hai góc cùng phía) BAC · A ' = 1800(gt) Mà BAC +µ ABD = µ A' · b Xét V ABD và V B'A'C' có: AB = A'B'(gt) · ABD = µ A ' (cmt) V ABD và V B'A'C'(c.g.c) BD = A'C'(=AC) AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) Mà AM = AM = AD (gt) B'C' * Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh và cặp góc xen chúng bù thì trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác này nửa cạnh thứ ba tam giác 3.2 BT2: 63- BTNC&MSCĐ/117) Cho tam giác ABC vẽ ngoài tam giác này các tam giác vuông cân A là ABE và ACF Chứng minh: a BF = CE và BF CE b Gọi M là trung điểm BC CMR: AM = EF F Giải E V ABC A = 900, AB = AE V ABE: µ A = 900, AC = AF GT V ACF: µ A I M BC: MB=MC O KL a.BF = CE và BF CE b.AM = EF Chứng minh B Lop7.net M C (6) · + BAC · · · a Ta có: EAC = EAB = 900 + BAC · = BAC · · = 900 + BAC · BAF + CAF · · = BAF EAC Xét V ABF và V AEC có: AB = AE(gt) · = EAC · BAF (cmt) V ABF = V AEC(c.g.c) AF = AC (cmt) BF = CE ( hai cạnh tương ứng) µ và Bµ = E1 ( hai góc tương ứng) (1) Gọi O và I là giao điểm CE với BF và AB µ Xét V AEI vuông A có Eµ + I1 = 90 (2) Và Iµ1 = Iµ (đối đỉnh) (3) 0 µ · Từ (1), (2) và (3) Bµ + I =90 BOI = 90 BF CE · + BAC · · · + FAE b Ta có: EAB + CAF = 3600 · · + CAF · · ) =3600-(900+900)=1800 + FAE = 3600 - ( EAB BAC Ta thấy: V ABC và V EAF có hai cặp cạnh và cặp góc xen chúng bù nên trung tuyến AM = EF 3.3 BT3(HHNC/56): Cho V ABC vẽ ngoài tam giác này các tam giác vuông cân A là ABE và ACF Vẽ AH vuông góc với BC Đường thẳng AH giao EF O CMR: O là trung điểm EF Giải V ABC E A = 900, AB = AE V ABE: µ A = 900, AC = AF GT V ACF: µ AH BC ( H BC) AH EF ={O} KL O là trung điểm EF B Chứng minh Kẻ EI AH, FK AH (I, K AH) Xét V AEI và V ABH có: $I = H µ = 900 AE = AB (gt) · = BAH · EAI ( cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn) Lop7.net K O F I A H C (7) V AEI = V ABH (cạnh huyền- góc nhọn) EI = AH ( hai cạnh tương ứng) Tương tự: V AFK = V CAH (cạnh huyền- góc nhọn) FK = AH ( hai cạnh tương ứng) Xét V OEI và V OFK có: $I = K µ = 900 EI = FK (=AH) V OEI = V OFK(g.c.g) · · (SLT, EI//FK) = IEO KFO OE = OF ( hai cạnh tương ứng) Mà O EF(gt) O là trung điểm EF 3.4 BT4( 88/ BDT7/101) A = 600 Dựng ngoài tam giác đó các tam giác ABM Cho V ABC có µ và CAN a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM · c Gọi O là giao điểm BN và CM Tính BOC Giải M A N A = 600 GT V ABC : µ V ABM: AB= BM=MA V CAN: AC=CN=NA O BN CM = {O} B C Kl a A,M,N thẳng hàng b BN=CM · c BOC =? Chứng minh · · a V ABM, V CAN BAM = CAN =600 · · · · Vậy MAN = BAM + BAC + CAN = 600+600+600=1800 M,A,N thẳng hàng b.Xét V ABN và V ACM có: AB = AM (gt) · · = CAM (=1200) V ABN = V ACM(c.g.c) BAN AN=AC(gt) BN = CM ( hai cạnh tương ứng) ¶ Và Cµ = N1 ( hai góc tương ứng) · c BOC là góc ngoài V OCN Lop7.net (8) · · · · · = OCN + ONC = Cµ BOC + ACN + ONC ¶ (cmt) Mà Cµ= N 1 · ¶ +· · =N = ·ACN + ·ANC =600+600=1200 BOC ACN + ONC 3.5.BT5(35/NC&PT/37) Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác này hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác thì hai tam giác đó Giải A' GT V ABC, V A'B'C': AB = A'B', AC= A'C' A 2 M BC: MB=MC M' B'C': M'B'=M'C' M' AM=A'M' C' M B C B' KL V ABC= V A'B'C' 1 D Chứng minh Lấy D AM: MD=MA Lấy D' A'M': M'D'=M'A' Xét V ABM và V DMC có: MB=MC(gt) · · AMB = CMD (đối dỉnh) V ABM và V DMC(c.g.c) AM = MD(cách lấy điểm D) CD= AB( hai cạnh tương ứng) ¶ (1)( hai góc tương ứng) Và ¶ A2 = D ¶' (2) C/m tương tự ; C'D'=A'B'; ¶ A '2 = D Xét V ACD và V A'C'D' có: AC = A'C'(gt) V ACD = V A'C'D'(c.g.c) AD=A'D'(vì AM=A'M') CD=C'D'(=AB) µ= ¶ ¶ =D ¶' (3) A A '1 và D 1 µ= ¶ · Từ (1), (2),(3) ¶ = B·' A ' C ' A2 = ¶ A '2 mà A A '1 BAC Vậy V ABC= V A'B'C'(c.g.c) * cách 2: V AMC và V A'M'C' có: AM=A'M'(gt) µ= ¶ V AMC = V A'M'C'(c.g.c) A A '1 (cmt) AC= A'C'(gt) MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) 1 BC; M'C' = B'C'(gt) Do đó: BC=B'C' 2 Lop7.net Vậy V ABC= V A'B'C'(c.c.c) Mà MC = D' (9) Chốt lại phần lý thuyết và lưu ý vận dụng chuyên đề: Khi cần phải chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc 5.Bài tập nhà: · Cho tam giác ABC cân đáy BC BAC =200 Trên cạnh AB lấy điểm E cho · · =500 Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD =600 Qua D kẻ đường thẳng song BCE song với BC,nó cắt AB F Gọi O là giao điểm BD và CF a C/m V AFC= V ADB b C/m V OFD và V OBC là các tam giác c Tính số đo góc EOB d C/m V EFD = V EOD d Tính số đo góc BDE Lop7.net (10)