skkn một vài ứng dụng của phương pháp tam giác đồng dạng trong hình học 8 thpt tân phú

Ta đã biết nếu hai tam giác đồng dạng thì suy ra được các cặp góc tươngứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, đặc biệt là tỉ số diện tích của chúngbằng bình phương tỉ số đồng dạng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN



Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013-2014

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa

2 Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: Tổ 5- Ấp 7 – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0949889637

6 Fax: ………… E-mail: Hoadtnt88@gmail.com

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Caođẳng sư phạm

- Năm nhận bằng: 2009

- Chuyên ngành đào tạo: Toán – Tin học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS

- Số năm có kinh nghiệm: 5 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

Sáng kiến: “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức”

Tên SKKN: “MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC

ĐỒNG DẠNG TRONG HÌNH HỌC 8”

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Khái niệm tam giác đồng dạng được học sinh làm quen trong chương trìnhtoán 8 Ta đã biết nếu hai tam giác đồng dạng thì suy ra được các cặp góc tươngứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, đặc biệt là tỉ số diện tích của chúngbằng bình phương tỉ số đồng dạng Từ đó có thể tính được độ dài cạnh, tính góc,tính chu vi, diện tích của một số hình; tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, diện tích;

có thể chứng minh một số quan hệ hình học khác, như chứng minh ba điểm thẳnghàng, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, quan hệ song song,chứng minh hệ thức, đẳng thức hình học bậc hai, tìm giá trị biểu thức hình học bậchai;…Ngoài ra, phương pháp tam giác đồng dạng còn được ứng dụng trong các bàitoán dựng hình và ứng dụng trong thực tế cuộc sống,…Tuy nhiên, không ít họcsinh đã gặp khó khăn trong việc chứng minh hay vận dụng phương pháp tam giácđồng dạng vào giải các bài tập liên quan

Trong nội dung của đề tài xin được giới thiệu một số ứng dụng của tam giácđồng dạng trong hình học 8 mà các em thường gặp, các ví dụ minh họa có phântích định hướng giải và một số bài tập vận dụng, nhằm giúp học sinh có địnhhướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về tam giác đồngdạng nói riêng và bộ môn Toán nói chung

Hy vọng với phần tài liệu này, có thể giúp các em vận dụng linh hoạt tamgiác đồng dạng vào giải toán hình học cũng như vận dụng vào thực tế Qua đó họcsinh lĩnh hội được kiến thức một cách chủ động, sáng tạo và hình thành thói quenvận dụng kiến thức vào các môn học, vào thực tiễn

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

Toán học là một môn khoa học tự nhiên có một vai trò rất quan trọng trongcác lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú.Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệhiện đại, việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở nghiêncứu các bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiệu quả trong mọilĩnh vực Trong đó, tam giác đồng dạng là một kiến thức có rất nhiều ứng dụngtrong giải toán hình học và đặc biệt là trong thực tế cuộc sống; để giải các bài toánhình học 8, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của tamgiác đồng dạng, mỗi học sinh phải có sự đam mê, tìm tòi để lĩnh hội các kiến thức

2 Cơ sở thực tiễn

Đa số học sinh thường ngại khi học hình học, các em chưa định hướng đượccách giải các bài toán một cách rõ ràng, không biết dùng kiến thức nào vào giải cácbài toán Ngoài ra, trong các bài kiểm tra, thi thì số điểm của hình học thườngchiếm tỉ lệ ít hơn nên một số học sinh không chú trọng đến bài toán hình Do đóhọc sinh không có hứng thú khi học hình học Một số học sinh ý thức tự học chưa

cao, không tích cực và chủ động lĩnh hội kiến thức Đối tượng giảng dạy là nhữnghọc sinh người dân tộc thiểu số vùng sâu, vùng xa đến từ hai huyện Tân Phú - ĐịnhQuán, hoàn cảnh kinh tế gia đình khó khăn; sự quan tâm của gia đình đến việc họccủa các em cũng chưa thật sâu sắc Mặt khác, đa số các em chỉ thích học các mônvận động, năng khiếu, khả năng tư duy các môn tự nhiên chậm, đặc biệt với nhữngbài toán hình học Tuy nhiên, học sinh ở nội trú nên thuận lợi cho việc bồi dưỡnghọc sinh khá giỏi, phụ đạo học sinh trung bình, yếu và kém trong các tiết tự học vàngoài giờ học

Giải pháp này là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có trong sách vở

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

* Kiến thức cơ bản

1 Đinh lý Talet trong tam giác.

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cònlại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ

2 Khái niệm tam giác đồng dạng.

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

+ Aˆ Aˆ' ; Bˆ Bˆ' ; Cˆ Cˆ';

+ A B' ' B C' ' A C' '

3 Tính chất tam giác đồng dạng

- Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó;

- Nếu A’B’C’ đồng dạng với ABC thì ABC đồng dạng với A’B’C’;

- Nếu A’B’C’ đồng dạng với A”B”C” và A”B”C” đồng dạng với ABC thì

A’B’C’ đồng dạng với ABC

4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác:

4.1 Trường hợp thứ nhất (c.c.c): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của

tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng

4.2 Trường hợp thứ hai (c.g.c): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của

tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giácđồng dạng

B

A

C

4.3 Trường hợp thứ ba (g.g): Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt bằng 2 góc của

tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

4.4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kiathì hai tam giác đó đồng dạng

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lệ với hai cạnh góc vuông củatam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng

+ Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền vàcạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng

* Giải pháp: Một vài ứng dụng của phương pháp tam giác đồng dạng trong hình học 8

1 Tính độ dài đoạn thẳng, góc, chu vi, diện tích

Aˆ  ˆ (so le trong, do AB//CD)

=

5 , 28

Xét ABC và ANM ta có:

AB AN AC

AM AB

8

3 2 15

8

12

cm MN

b) Tính độ dài các cạnh của ABC có Bˆ  2Cˆ biết rằng số đo các cạnh là 3 số

tự nhiên liên tiếp

Giải

a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC Suy ra Dˆ D CˆB

Mà A BˆC Dˆ D CˆB(tính chất góc ngoài tam giác)

Do đó, A BˆC  2Dˆ (1)

Theo giả thiết, A BˆC  2A CˆB (2)

(1) và (2) suy ra A CˆB Dˆ

ACD và ABC có Aˆ chung; Cˆ Dˆ (cmt)

 ACD đồng dạng với ABC (g.g)

b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c

Theo câu (a) ta có: AC2 = AB AD = AB(AB+BC)  b2 = c(c+a) = c2 + ac (1)

Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên chỉ có 2 khả năng là:

C D

Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa mãn bài toán.

Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm

1.1.2 Bài tập:

Bài 1: Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực

của BC cắt BC, BA, CA lần lượt ở M, E, D Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD

Bài 2 : Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E  AB; D  AC; F  AC)

a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm Tổng quát với BC = a,BC=c

b) Chứng minh rằng BD <

c a

Bài 1: Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối của HB

lấy điểm C sao cho AC =

20



AH

BH AC

 (cm trên) 

DN

BD BD

a) Chứng minh AEF đồng dạng với ABC

b) Biết A = 1050; D = 450 Tính các góc còn lại của mỗi 

1.3 Tính chu vi, diện tích của các hình

1.3.1 Ví dụ minh họa

Bài 1(Bài 33 SBT/72)

GT ABC; O nằm trong ABC;

P, Q, R là trung điểm của OA, OB, OC

KL a) PQR đồng dạng với ABC

b) Tính chu vi PQR Biết chu vi ABC=

QR AB PQ

 PQR đồng dạng với ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K =

2

1

b) Gọi P là chu vi của PQR, P’ là chu vi của ABC ta có

2

1 '

Bài 2: Cho ABC, D là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh AC sao cho

DE // BC Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi ABE =

KL Tính C.vi ABC và C.vi ADE

ADE Chuvi ABC

C H H B



 ' ' ' '

C B AH

.

' ' '.

=

ABC

C AB

Vậy

ABC

C AB

Bˆ  ˆ = 900 (1)

C A H A C

6 4

Bài 2 : Tính chu vi ABC vuông ở A biết rằng đường cao ứng với cạnh huyền chia

tam giác thành 2 tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm

Bài 3 : Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm

của AD, DC Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD

Tính diện tích tứ giác EIHD

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, trong đó diện tích ABC là 11cm2 Qua

B kẻ đường thẳng // với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N Tính diện tích MND

Bài 5 : Cho ABC có các B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Xét hình chữ

nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; PQ  BC

a) Tính diện tích hình chữ nhật nếu nó là hình vuông

b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h

c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất

2 Tính tỷ số đoạn thẳng, tỷ số chu vi, tỉ số diện tích

C A AB

B A

b) A’B’C’ đồng dạng với ABC (câu a)

A

C’ B’

A’

12

8



BC

C B AC

C A AB

C B C A B A







 ' ' ' ' '

'

=

27

18 12 9 6

8 6 4







ABC Chuvi

C B A Chuvi

Bài 2: Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC;

Nhận xét: Để chứng minh các cặp đoạn thẳng tỉ lệ bằng phương pháp tam giác

đồng dạng ta có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Xét hai tam giác chứa các cặp đoạn thẳng ấy;

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó đồng dạng

Bước 3: Suy ra cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

2.2 Bài tập: Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD.

E

C D

F M

121

a) BM cắt AC ở P, P’ là điểm đối xứng củ P qua M Chứng minh rằng PA = P’D.Tính tỷ số

PC

PA

và

AC AP

c) Chứng minh rằng diện tích 4 tam giác BAM, BMD, CAM, CMD bằng nhau.Tính tỷ số diện tích MAP và ABC

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Ta có thể chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra các cặp góc tươngứng bằng nhau, từ đó dùng cách cộng góc để được góc bẹt dẫn tới ba điểm thẳnghàng

3.1 Ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, các tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O Trên

các cạnh AB, AC lần lượt lấy M và N sao cho BM.BC = BO2; CN.CB = CO2.Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng

Giải:

BM.BC = BO2

BC

BO BO

BM B

Bˆ1 ˆ2;  nên BOM đồng dạng với BCO (c.g.c)

ˆ O O C B O 

O

Suy ra ba điểm M, O, N thẳng hàng

Nhận xét: Điều gợi ý cho ta dùng phương pháp tam giác đồng dạng để giải

ví dụ trên? Đó là vì trong đề bài cho BO là trung bình nhân của BM và BC; CO làtrung bình nhân của CN và CB, từ đó suy ra được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ dẫn tớihai tam giác đồng dạng

3.2 Bài tập: Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF Gọi M, N, I, K lần

lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, BE, CF Chứng minh rằng bốn điểm M, N,

a) Chứng minh rằng: OA OD = OB OC

b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K

a) * Tìm hiểu bài toán : Cho gì?

? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào

TL: Chứng minh tam giác đồng dạng

OA.OD = OC.OC

D

B H

O

A

1

1

OH

=

CD AB

Ví dụ 2: Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm

trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD.Đường thẳng qua P vuông góc với AB tại I

Chứng minh rằng: AB2 = AC AP + BP.PD

Định hướng:

- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)

 AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB)

- Việc chứng minh bài toán trên đưa về việc chứng minh các hệ thức

AB.AI = AC.APAB.IB = BP.PD

Ví dụ 3 : Trên cơ sở ví dụ 2 đưa ra bài toán sau:

Cho  nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

Chứng minh rằng: BC2 = BH BD + CH.CE

Định hướng: Trên cơ sở bài tập 2

Học sinh đưa ra hướng giải quyết bài tập này

 Vẽ hình phụ (kẻ KH  BC; K  BC)

Sử dụng  đồng dạng chứng minh tương tự ví dụ 2

Ví dụ 4: Cho  ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông

góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt ở M và N Chứng minh rằng

16 I

A M 1

1

2

C M

- HS nhận xét

2

AI IA

Bài 1: Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của 2 đường chéo.

Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J

- Định nghĩa tam giác đồng dạng

- Các trường hợp đồng dạng của tam giác

- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

5.1 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M là trung điểm của CD, E là giao

điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC Chứng minh rằng EF//AB

DM = MC

MA  DB =  E ;MB  AC=  F

KL EF // AB

Định hướng giải:

- Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác

- Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo)

Ví dụ 2: Cho  ABC có các góc nhọn, kẻ BE, CF là hai đường cao Kẻ EM, FN là

hai đường cao của AEF Chứng minh MN // BC

Ví dụ 3: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC,

CA theo tỷ số 1 : 2, các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FEtheo tỉ số 1 : 2 Chứng minh rằng IK // BC

Giải:

Gọi M là trung điểm của AF

Gọi N là giao điểm của DM và EF

5.2 Bài tập: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD.

Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G

E

Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD,

TL : EO

DC = OF

DC (1) H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (AEO; ADC các tam giác này

O

H: Đây là tỷ số có được từ cặp tam giác đồng dạng nào?

Định hướng giải: Đây là bài tập mở rộng hơn so với ví dụ 1

Từ hệ quả của định lý Talet cho ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh được:

PQ



AB

MN DA

PQ



MN=PQ

Ví dụ 3: (Bài 32 SGK/77)

Trên một cạnh của góc xoy (x ˆ O y  1800), đặt các đoạn thẳng OA=5cm,OB=16cm Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm,OD=10cm

a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng

b) Gọi giao điểm các cạnh AB và BC là I, CMR: Hai tam giác IAB và IBC cócác góc bằng nhau từng đôi một

có các góc bằng nhau từng đôi một ta đi chứng minh đồng dạng

Vì OBC đồng dạng ODA nên O BˆC O DˆA (1)

Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O.Từ một điểm P bất

kỳ trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( Ethuộc BC, F thuộc AB) các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M,

N Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau

3EF và do đó suy ra MN = 1

3 EFVậy FM = MN = NE

C D

4

16 8

Nhận xét: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán Khi ứng

dụng để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phương phápthường dùng ở đây là:

- Đưa 2 đoạn thẳng cần quy bằng nhau về là tử của 2 tỷ số có cùng mẫu

- Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó

- Đưa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tương ứng của 2 tam giácđồng dạng

- Chứng minh 2 tỷ số bằng nhau sau đó chứng minh tử bằng nhau suy ra 2 đoạnthẳng ở mẫu bằng nhau

Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài

Vẽ môt đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại M và N Từ C vẽđường thẳng song song với AB cắt MN tại P

Dễ thấy MN = BC = a

AMN đồng dạng với ABC   32

AC

AB AN AM

Vậy AMN dựng được, từ đó dựng được P, C rồi B

+ Cách dựng:

- Dựng AMN sao cho góc A bằng 600, AM = 2, AN = 3

- Trên tia MN lấy điểm P sao cho MP = a