Tìm hiểu phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen

Phương pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể .... Phương pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của tinh thể.. Đây là một phương pháp thố

Người hướng dẫn khoa học

TS PHẠM THỊ MINH HẠNH

HÀ NỘI – 2017

LỜI CẢM ƠN

Đề tài: “Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng

dụng của phương pháp thống kê momen” đã được hoàn thành với sự nỗ lực

của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy cô, bạn bè

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn – TS Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo em trong quá trình hoàn thành đề tài

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài này

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cưú khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày … tháng … năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

LỜI CAM ĐOAN

Đây là đề tài nghiên cứu khoa học do em thực hiện dưới sự hướng dẫn của cô Phạm Thị Minh Hạnh

Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này

là trung thực và không trùng lặp với các khóa luận khác Em cũng xin cam đoan rằng sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận này đã được ghi rõ nguồn gốc Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày … tháng … năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 3

1.1 Momen và hàm tương quan 3

1.1.1 Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng lượng tự do 4

1.1.2 Hàm tương quan giữa đại lượng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q 7

1.2 Công thức tổng quát về momen 14

1.2.1 Công thức tổng quát về momen 14

1.2.2 Các ví dụ về momen tương quan bậc cao 15

1.3 Công thức tổng quát tính năng lượng tự do 18

Kết luận chương 1 20

CHƯƠNG 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 21

2.1 Phương pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể 21

2.1.1 Trường hợp mạch thẳng 21

2.1.2 Trường hợp lập phương tâm diện và lập phương tâm khối 29

2.2 Phương pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của

tinh thể 37

2.2.1 Các khái niệm cơ bản 37

2.2.2 Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi 40

Kết luận chương 2 46

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Trong 20 năm trở lại đây, có một phương pháp thống kê mới gọi là phương pháp thống kê momen được xây dựng từ phương pháp thống kê lượng tử Đây là một phương pháp thống kê mới đã và đang được áp dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các tinh thể Việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể theo phương pháp thống

kê momen là một trong những vấn đề hấp dẫn, lý thú, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm

Với mong muốn tìm hiểu về phương pháp thống kê momen cũng như

mở rộng hiểu biết về những ứng dụng của phương pháp này Đồng thời, bước

đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tôi đã chọn đề tài :“ Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen“ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đ ch nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khóa luận là: Tìm hiểu hương pháp thống kê momen và ứng dụng của phương pháp thống kê momen

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung tìm hiểu phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen

2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu và tìm hiểu phương pháp thống kê momen

- Áp dụng các kết quả thu được từ phương pháp thống kê momen để ứng dụng trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu

- Đọc và tra cứu tài liệu

3

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 1.1 Momen và hàm tương quan

Giả sử có một tập các biến số ngẫu nhiên q1, q2, …, qn tuân theo quy luật thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố ω(q1, q2, …, qn) Hàm này thỏa mãn điều kiện chuẩn Trong lí thuyết xác suất momen cấp m được định nghĩa như sau:

Trong vật lí thống kê cũng có định nghĩa tương tự Riêng đối với hệ lượng

tử được mô tả bởi toán tử thống kê ˆ, các momen xác định như sau:

4

Như vậy, nếu biết toán tử thống kê ˆ thì có thể tìm được momen Tuy nhiên việc tính các momen không phải là bài toán đơn giản Ngay đối với hệ cân bằng nhiệt động, dạng của ˆ thường đã biết (phân bố chính tắc, chính tắc lớn, …) nhưng việc tìm các momen cũng rất phức tạp

Giữa các momen có mối quan hệ với nhau Momen cấp cao có thể biểu diễn qua momen cấp thấp hơn Các hệ thức liên hệ giữa các momen đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến Việc chứng minh tổng quát đối với hệ lượng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các momen sẽ được xây dựng trong phần này

Xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hướng tọa

độ suy rộng Qi Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng:

với ˆH là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng 0

Dưới tác dụng của ngoại lực không đổi, hệ chuyển sang trạng thái cân bằng nhiệt động mới, được mô tả phân bố chính tắc:

trong đó ψ là năng lượng tự do của hệ, kB là hằng số Boltzmann

1.1.1 Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng lượng tự do

Thực hiện đạo hàm theo ngoại lực aK đối với điều kiện chuẩn của toán tử thống kê

Tr ˆ 1 (1.6)

Sử dụng các công thức toán tử:

ˆH ˆH

ˆ

ˆH a Q ˆH

ˆˆ

6

n 1 ˆH

n

n

n k

a

n 1 K

7

Đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có ˆ ˆH,  0 và do đó  n

K

ˆQ 0 Như vậy ta thu được hệ thức:

1.1.2 Hàm tương quan giữa đại lượng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q

Để xác định hàm tương quan giữa một đại lượng tùy ý F và tọa độ suy rộng Q, trước hết ta lấy đạo hàm biểu thức giá trị trung bình của F theo ngoại lực aK:

8

K a

n

n K

thông số trật tự của Feymann

Trong công thức (1.18) toán tử ˆF là tùy ý, do đó có thể thay thế ˆF bởi toán

n K a

FQ   FQ  (1.24) Đặt n = 0 vào (1.24) ta có:

n 2

n 2 2

Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và tọa độ

QK Muốn vậy cần phải biết các đại lượng

a

ˆF và  2m

K a

ˆFa

Chú ý rằng QK không phụ thuộc rõ ràng vào aK, nên đối với hệ cổ điển

công thức (1.33) trở nên đơn giản:

giáng của xung lượng:

1.2 Công thức tổng quát về momen

1.2.1 Công thức tổng quát về momen

(1.32) được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với momen tương quan cấp cao Muốn vậy, ta đưa vào định nghĩa toán tử tương quan cấp n:

1.2.2 Các ví dụ về momen tương quan bậc cao

Thay n = 1 vào (1.40) ta thu được biểu thức momen tương quan bậc 2:

2m 2

ˆQa

2 2 1

123

2 3 2

aˆQˆK

1.3 Công thức tổng quát t nh năng lƣợng tự do

Trong vật lí thống kê năng lƣợng tự do liên hệ với tổng trạng thái theo biểu

Giả sử Hamiltonian của hệ lượng tử có dạng:

Hˆ Hˆ0  Vˆ

với α là thông số và ˆV là toán tử tùy ý

Tương tự như (1.12) ta dễ dàng thu được biểu thức:

Bằng cách nào đó tìm được V a(có thể sử dụng các công thức momen) thì

từ (1.55) có thể thu được biểu thức đối với năng lượng tự do   

Trong chương 1, em đã trình bày về:

- Momen và hàm tương quan

- Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình giữa đại lượng bất kì và năng lượng tự do

- Hàm tương quan giữa đại lượng bất kì và tọa độ suy rộng Q

- Công thức tổng quát về momen

- Các ví dụ về momen tương quan bậc cao

- Công thức tổng quát tính năng lượng tự do

21

CHƯƠNG 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ

MOMEN 2.1 Phương pháp thống kê momen trong nghiên cứu t nh chất nhiệt động của tinh thể

2.1.1 Trường hợp mạch thẳng

2.1.1.1 Độ dời của hạt khỏi nút mạng

Để đơn giản, trước hết chúng ta hãy khảo sát một mạch thẳng gồm N hạt,

có cấu trúc tuần hoàn Tương tác chủ yếu trong mạch là tương tác cặp.Khi sử

dụng phương pháp quả cầu phối vị [4] thế năng tương tác có thể viết dưới

Nếu hạt thứ 0 còn chịu tác dụng thêm lực không đổi phụ a (thường là nhỏ) thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phương trình:

3 0

2 0

2

4 0 4

1

, 2

2 2

25

Phương trình này cho phép tìm được biểu thức đối với y0 Muốn vậy, chú

ý rằng trong phép gần đúng chuẩn điều hòa, phương trình (2.4) có dạng đơn



 , do đó có thể lấy nghiệm của (2.8) dưới

dạng:

2 2

k

Biểu thức này là độ dời trong phép gần đúng chuẩn điều hòa

Muốn có kết quả tốt hơn, thay (2.9) vào (2.7) và thu được phương trình đối

, 3

(2 )!

Biểu thức (2.17) chứng tỏ S > S0, nghĩa là khi tính tới hiệu ứng phi tuyến entropy tăng, độ bền vững của mạch giảm

Từ biểu thức: E = F +TS, ta tìm đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng của mạch:

29

2.1.2. Trường hợp lập phương tâm diện và lập phương tâm khối

2.1.2.1 Độ dời của hạt khỏi nút mạng

Biểu thức khai triển của thế năng tương tác trong trường hợp tinh thể 3

2 0

Do tính chất đối xứng nên đối với tinh thể lập phương tâm diện và lập

phương tâm khối các số hạng sau đây đều bằng 0

12

12

Do đó khoảng cách gần nhất giữa hai hạt được xác định bởi a = a0 + y0 , trong đó a0 là khoảng cách ở 00K Nói cách khác, từ biểu thức (2.12) hoàn toàn có thể xác định được khoảng cách a ở các nhiệt độ khác nhau

2.1.2.2 Năng lượng tự do

Khác với trường hợp mạch thẳng, trong trường hợp tinh thể 3 chiều thế năng tương tác trong bình của tinh thể lập phương tâm diện hoặc lập phương tâm khối được xác định bởi biểu thức ;

6 48

2 2

2 0 0

2 2

u0 phụ thuộc vào nhiệt độ

trong đó V0 là thể tích của tinh thể ở 00K

Vì V = NV ( đối với các tinh thể nguyên tử), do đó suy ra:

3

0

3

T

T

a

P a

a a

a P

3

,

2 1 2

3

T

T

a a

3

.

3 1 2

4

T

T

a a

Hằng số mạng aT được xác định nhờ biểu thức a = a0 + y0,trong đó độ dời

y0 xác định bởi (2.12), nên các thông số k, , ,   1 2 ở nhiệt độ T hoàn toàn có thể tìm được Vì vậy khi sử dụng (2.27) ta sẽ tìm được các giá trị của hệ số nén đẳng nhiệt T

Hệ số dãn nở dài được định nghĩa như sau:

.(*) 2

Biểu thức này cho phép xác định  khi biết y0 Nếu thay (2.12) vào (2.30)

ta thu được một hàm phức tạp Tuy nhiên, trong trường hợp giới hạn cổ điển biểu thức (2.33) dẫn tới kết quả là hàm khai triển của nhiệt độ

Sử dụng hệ thức này và (2.32) ta tìm được  như sau:

2 0

3

T

T T

a a

Kết quả này cho thấy có thể tính đƣợc  nếu biết T và ngƣợc lại

Năng lượng và nhiệt dung của tinh thể

Khi áp dụng hệ thức nhiệt động Gibbs-Helmholtz và biểu thức đối với

năng lƣợng tự do (2.22), chúng ta tìm đƣợc biểu thức của năng lƣợng mạng

36

1 2 2

Nhiệt dung riêng đẳng áp đƣợc xác định nhờ áp dụng hệ thức nhiệt động:

Các đại lượng nhiệt động khác

Entropy S của mạng theo nhiệt động học bằng:

.

E S T

V V

i

 là tần số khi thể tích của tinh thể bằng V0 Đối với các tinh thể đang xét, mọi nút đều dao động cùng một tần số, do đó dễ dàng suy ra:

0 0

ln 1

3 ln

G

a a

G

T V

V C

2.2.1 Các khái niệm cơ bản

Dưới tác dụng của ngoại lực, vật rắn bị biến dạng, nghĩa là thay đổi hình dạng và kích thước Trong lí thuyết biến dạng, vật rắn được khảo sát như một môi trường liên tục Vị trí của mỗi điểm trong vật rắn được đặc trưng bằng bán kính véc tơ r (x1, x2, x3), với x1, x2, x3 là các thành phần vô hướng của véc tơ r trong hệ tọa độ tùy ý Trong quá trình biến dạng, mỗi điểm( mỗi nguyên tử) trong vật rắn sẽ dịch chuyển từ vị trí xác định bằng véc tơ r sang

vị trí xác định bằng véc tơ r' (x’1, x’2, x’3) Sự dịch chuyển của các nguyên

38

tử tạo ra sự biến dạng.Người ta thường chia biến dạng ra làm hai kiểu: biến

dạng đàn hồi và biến dạng phi đàn hồi hay biến dạng phi tuyến

Vật thể dưới tác dụng của ngoại lực sẽ bị biến dạng , nếu sau khi cất tải(thôi tác dụng), biến dạng bị mất đi và vật thể lại trở về hình dạng và kích

thước ban đầu thì biến dạng này gọi là biến dạng đàn hồi

Khi tăng ngoại lực tác dụng (tăng tải) đến một giới hạn đủ lớn, các nguyên tử trong vật rắn chuyển dời sang một vị trí mới xa hơn và ổn định hơn, không trở về vị trí cân bằng cũ khi cất tải.Tổng sự dịch chuyển của các nguyên tử sang vị trí mới tạo nên một độ biến dạng dư, hay một sự thay đổi

hình dạng và kích thước vật thể, biến dạng này gọi là biến dạng dư hay biến

dạng phi tuyến

Trong biến dạng phi tuyến, để tạo nên sự dịch chuyển sang vị trí mới của

các nguyên tử mà vẫn không gây nên sự phá hủy các mối liên kết, ta phải đảm bảo điều kiện trong quá trình dịch chuyển của các nguyên tử, khoảng cách giữa các nguyên tử không được vượt quá kích thước vùng lực tác dụng tương

hỗ kéo giữa các nguyên tử.( hình 2.1)

Hình 2.1:Biểu đồ thế năng giữa các nguyên tử, r là

khoảng cách giữa các nguyên tử, r0 là khoảng cách giữa các

nguyên tử khi ở vị trí cân bằng

39

Sau khi cất tải, các nguyên tử có xu thế chiếm vị trí cân bằng mới, thiết lập

lại mối quan hệ và liên kết giữa các nguyên tử Tuy nhiên biến dạng phi tuyến

không làm thay đổi thể tích của vật thể biến dạng

Nhìn chung, khi nghiên cứu về biến dạng phi tuyến và biến dạng dẻo của

vật rắn, ta thường gặp hai loại vật thể: vật dẻo lí tưởng và vật đàn- dẻo

- Nếu ngay từ thời điểm bắt đầu có tác dụng của ngoại lực, vật thể đã không tuân theo quy luật đàn hồi, vật thể đó gọi là vật thể dẻo lí tưởng.Biểu

đồ ứng suất – biến dạng của nó được chỉ ra trên hình 2.1a

- Nếu ở giai đoạn đầu của quá trình đặt tải, vật thể có tính đàn hồi và chỉ

từ một giai đoạn nào đó trở đi mới xuất hiện biến dạng phi tuyến thì vật thể đó gọi là vật thể đàn - dẻo Biểu đồ ứng suất – biến dạng của nó được cho trên

hình 2.2b Đoạn OA biểu diễn quá trình biến dạng đàn hồi, đoạn OB biểu

diễn quá trình biến dạng phi tuyến

Hình 2.2: Hai kiểu đường cong ứng suất – biến dạng

40

2.2.2 Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi

Đặc điểm của biến dạng đàn hồi là trong phạm vi giới hạn của ngoại lực thì vật rắn trở lại hình dạng và kích thước ban đầu.Khi vật thể chịu biến dạng đàn hồi, độ dịch chuyển của các nguyên tử trong vật có thể mô tả bằng véc tơ dịch chuyển u  r' r với các thành phần

1 2

đó tại điểm A lấy ra một phân tố diện tích vô cùng nhỏA.Giả sử trên A

xuất hiện nội lực f , ta gọi:

là , còn ứng suất tiếp tuyến  kí hiệu là 

Hình 2.3: Nội lực và ứng suất trong vật rắn

Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, tenxơ biến dạng ik tương ứng với ứng suất ik cũng có dạng là tenxơ đối xứng hạng hai

Trong trường hợp tổng quát, năng lượng đàn hồi được viết dưới dạng:

Trong lí thuyết đàn hồi tuyến tính, thành phần thứ hai trong (2.49) cũng được bỏ qua, khi đó biểu thức năng lượng đàn hồi có dạng:

Siklm= Skilm= Sikml = Slmik , (2.55)

Vì vậy, số các thành phần độc lập Ciklm và Siklm giảm xuống, trong trường hợp tổng quát giảm từ 81 xuống còn 21 Người ta cũng đã chứng minh được rằng đối với vật thể đàn hồi đẳng hướng, số hằng số đàn hồi độc lập chỉ còn là

2 Khi biểu diễn tenxơ môđun đàn hồi và tenxơ hằng số đàn hồi dưới dạng ma trận, sẽ thu được dạng ma trận của định luật Hooke tổng quát

Đối với vật rắn đàn hồi đẳng hướng, biểu thức năng lượng đàn hồi có

ở đây, K là môđun nén khối theo mọi phương, G là môđun trượt còn

A,B,C là các môđun đàn hồi bậc 3 theo Landau

Trong lí thuyết đàn hồi tuyến tính, khi bỏ qua các thành phần bậc cao, biểu thức năng lượng đàn hồi có dạng:

2

2 1