Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa

0 | P a g e SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 TỔ TOÁN –––––––––&–––––––– MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI TOÁN Người thực hiện: PHẠM VĂN GIA Chức vụ: Giáo viên Lạng Giang, tháng 10 năm 2014 1 | P a g e MỤC LỤC N Ộ I DUNG Trang Phần I: Mở đầu……………… ………………………… 2 I. Lý do ch ọn đề t ài 2 II. M ục đích nghi ên c ứu 2 III. Nhi ệm vụ nghi ên c ứu 2 IV. Đ ối t ư ợng nghi ên c ứu 3 V. Ph ạm vi nghi ên c ứ u 3 VI. Nh ững đóng góp của đề t ài 3 Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả Chương I : Cơ s ở lí luận v à th ực ti ễn của đề t ài 4 Chương II : Ứng dụng của ph ương pháp lư ợng giác hóa trong gi ải phương trình, hệ phương trình đại số 7 Chương III : Ứng dụng của ph ương pháp lư ợng giác hóa trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 9 Chương IV : Ứng dụng ph ương pháp lư ợng giác hóa trong bài toán tính tích phân Chương V: Kết quả nghiên c ứu 2 6 33 Phần III: Kết luận và đề nghị … ……………………… …… 3 4 Danh mục tài liệu tham khảo 3 5 2 | P a g e PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong việc dạy học toán, ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết . Trong chương trình môn toán ở cấp THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh vào các trường ĐH- CĐ và học sinh giỏi các cấp ta thường gặp các bài toán giải bằng phương pháp lượng giác hóa. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải toán phổ thông luôn là vấn đề hấp dẫn. Để đáp ứng yêu cầu đó, tôi xin viết chuyên đề “Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán” với phạm vi ứng dụng trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân. Hy vọng chuyên đề sẽ giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp này. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Hệ thống hóa các bài tập sử dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải toán Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của hệ thống các câu hỏi và bài tập đã được xây dựng 3 | P a g e IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tài liệu tham khảo. Điều tra, khảo sát thực tế học sinh. Trao đổi cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn. Tích lũy đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. VI. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Trình bày rõ được cơ sở lí luận của phương pháp. Trình bày được 3 ứng dụng quan trọng của đề tài trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số; tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân. Nâng cao được trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, góp phần đổi mới phương pháp dạy học. 4 | P a g e PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hoá đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá. Những kiến thức liên quan: 1. Các hàm số cơ bản: a. Hàm số: sin y x  , cos y x  .  Miền xác định: R .  Miền giá trị:   1;1  .  Chu kì: 2  . b. Hàm số: tan y x  .  Miền xác định: \ , 2 R k k Z           .  Miền giá trị: R .  Chu kì:  . c. Hàm số: cot y x  .  Miền xác định:   \ , R k k Z   .  Miền giá trị: R .  Chu kì:  . 5 | P a g e 2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:  Nếu sin cos 2cos( ) 2 sin( ) 4 4 A x x x x         thì ta có 2 2 A   .  Nếu cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 B x x x x         thì ta có 2 2 B   .  Nếu sin cos C x x     thì ta có 2 2 2 2 C          .  Nếu cos sin n n D x x   thì ta có 1 1 D    . 3. Phép đổi biến số:  Nếu ,( 0) x k k   thì ta đặt   cos , 0; x k      hoặc sin , ; 2 2 x k              .  Nếu x R  thì ta đặt tan , ; 2 2 x              .  Nếu , x y thoả mãn điều kiện 2 2 2 2 2 ,( , , 0) a x b y c a b c    thì ta đặt sin c x a   ,   cos , 0;2 c y b      .  Nếu , , x y z thoả mãn x y z xyz    hoặc 1 xy yz zx    thì ta có thể đặt tan x   , tan , tan y z     với , , ; 2 2              6 | P a g e 4. Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp: Bi ể u th ứ c Cách đ ặ t Mi ề n giá tr ị c ủ a bi ế n 2 2 x a  tan x a   (hoặc cot x a   ) ; 2 2            (hoặc   0;    ) 2 2 a x  sin x a   (hoặc cos x a   ) ; 2 2            (hoặc   0;    ) 2 2 x a  cos a x   hoặc sin a a     0; \ 2           hoặc   ; \ 0 2 2            a x a x   hoặc a x a x   cos2 x a   R   ( )( ) x a b x   2 ( )sin x a b a     R   1 x y xy   hoặc 1 x y xy   tan tan x y        , ; 2 2             II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được rất ít em tập trung làm bài tập dạng này Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng toán này, một số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống . 7 | P a g e Chương II: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. Dạng 1: Giải phương trình đa thức Ví dụ 1: Giải phương trình   3 1 4 3 0 1 2 x x   Giải + Xét với   1;x   , hàm số 3 1 4 3 2 y x x    đồng biến và   1 0 y  nên (1) vô nghiệm + Xét với   ; 1 x    , hàm số 3 1 4 3 2 y x x    đồng biến và   1 0 y   nên (1) vô nghiệm + Xét với   1;1 x  . Khi đó ta đặt cos x t  với   0; t   . Phương trình lúc này có dạng 3 2 1 1 9 3 4cos 3cos 0 cos3 2 2 2 9 3 k t t t t k t                      Vì   0; t   nên cos 9 9 7 7 cos 9 9 5 5 cos 9 9 t x t x t x                                + Vì phương trình (1) là phương trình bậc 3 nên chúng có tối đa 3 nghiệm , do đó phương trình (1) có đúng 3 nghiệm ở trên. 8 | P a g e Chú ý: Trong phương trình có chứa 3 4 3 x x  , đây là dấu hiệu giúp đặt cos x t  để sử dụng công thức góc nhân ba với cos3 t Ví dụ 2: Tìm nghiệm   0;1 x của phương trình      2 2 1 32 1 2 1 1 1 x x x x     Giải Vì   0;1 x nên ta đặt cos x t  với 0; 2 t         . Ta có phương trình      2 2 2 2 2 2 1 32cos cos 1 2cos 1 1 cos 32cos .sin .cos 2 cos 1 2sin 4 1 cos cos8 c os 2 t t t t t t t t t t t t              Giải (2) và kết hợp điều kiện 0; 2 t         ta được các nghiệm 1 2 3 2 2 4 ; ; 7 9 9 t t t       Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm 1 2 3 2 2 4 cos ; cos ; cos 7 9 9 x x x       Ví dụ 3: Cho phương trình 3 3 1 0 x x    . Chứng minh có 3 nghiệm 1 2 3 x x x   thỏa mãn 2 3 2 2 x x   Giải Đặt   3 3 1 f x x x    . Ta có       2 0; 1 0; 2 0 f f f      Do tính liên tục của   f x nên   0 f x  có 3 nghiệm 1 2 3 x x x   thỏa mãn 1 2 3 2 1 1 2 2 1,2,3 i x x x x i            Khi đó ta đặt 0 0 2cos , 0 ;180 x         9 | P a g e Phương trình có dạng 3 1 8cos 6cos 1 0 cos3 2          Vì 0 0 0 ;180       nên phương trình 1 cos3 2    có 3 nghiệm 0 0 0 1 2 3 160 ; 80 ; 40       Vì vậy Dễ thấy 2 3 2 2 x x   Một số bài tập tương tự Bài 1: Chứng minh rằng phương trình 6 4 2 64 96 36 3 0 x x x     có nghiệm thực 0 x x  thỏa mãn điều kiện 0 2 2 2 2 2 3 2 2 x       Bài 2: Trên đoạn   0;1 phương trình     2 4 2 8 1 2 8 8 1 1 x x x x     có bao nhiêu nghiệm? Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ Ví dụ 1: Giải phương trình   2 2 1 1 1 2 1 x x x      Giải: Điều kiện xác định: 1 1 x    . Đặt sin ; t ; 2 2 x t            Ta có phương trình     2 3 1 cos sin 1 2cos 2 cos 2sin cos 1 2 1 2sin 2 2 2 2 2 3 2 3sin 4sin sin 1 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t t                         [...]... 2 khi x  y  1 2 Một số bài tập tương tự 4 xy  4 y 2 Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u  2 x  y2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  1  x  2014  1  x  2014 với x   1;1  x2  y 2  4  Bài 3: Cho hệ  z 2  v 2  9 Tìm nghiệm của hệ để P  zx đạt lớn nhất  xz  yv  6  25 | P a g e Chương IV ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG BÀI TOÁN...  a  x  b   dx,  a  0  Thực hiện phép đổi biến x  a   b  a  sin 2 t 26 | P a g e 2 Phương pháp tính tích phân bằng phép lượng giác hóa - Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp - Chuyển các biểu thức đại số sang dạng lượng giác, thực hiện phép đổi cận - Tính tích phân lượng giác thu được B Một số ví dụ minh họa 1 dx 4  x2 0 Ví dụ 1: Tính tích phân I   Giải    Đặt x  2sin t với t...  Z 2 4 2 cos 2  x  y  0 Khi đó nghiệm của hệ là x  y  tan(  k )   x  y  1  4 x  y 1   18 | P a g e Chương III ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm phân thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  12 x 4  8 x 2  3 2x 2  1 2... P a g e DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Lê Hồng Đức (chủ biên) – Phương pháp giải toán đại số – Nhà xuất bản Hà Nội – 2008 2 Trần Phương – Đại số sơ cấp – Nhà xuất bản Hà Nội – 2003 3 ThS Nguyễn Anh Tuấn – Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam – 2014 4 Võ Thanh Văn (chủ biên) – Chuyên đề ứng dụng lượng giác trong giải toán THPT – Nhà xuất bản đại học sư phạm –2010... Học sinh đã biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ thể 33 | P a g e PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ I KẾT LUẬN Trên đây là một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa Trong khuôn khổ có hạn của đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài được đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán... bồi dưỡng được Số lượng Phần trăm Số lượng Phần trăm Giỏi 7 4,2 % 23 14,1 % Khá 24 14,7 % 51 31,2 % Trung bình 48 29,4 % 62 38 % Yếu 63 38,6 % 21 11,8 % Kém 21 13,1 % 8 4,9 % Thông qua quá trình giảng dạy học, tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy: + Học sinh đã biết nhìn nhận đúng đắn hiểu rõ bản chất của mỗi bài toán và biết cách trình bày bài giải Học sinh khá giỏi rất hứng thú với các... 2c là các góc của 1 tam giác Pitago (có số đo các cạnh là 3,4,5) Từ đó ta thu được 2c  900  z  tan c  1 1 1 Từ (1’) ta suy ra được tan b  y  ;tan a  z  2 3 1 1   1 1  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  ; ;1  và   ;  ; 1 3 2   3 2   2  x  y 1  4 xy  = 3  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  2 2 x  y  1  1  2 Giải:  x  sin t Sự có mặt của phương trình thứ 2 của hệ cho phép... x   1 Dễ thấy x=2 là 1 nghiệm của phương trình Ta chứng minh x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình Nếu x>2 là nghiệm, ta có sin x   sin 2  ; cos x  cos 2  cos x   sin x   cos 2   sin 2   1 Nếu x . đề Một số ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong giải toán” với phạm vi ứng dụng trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính. giải bằng phương pháp lượng giác hóa. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải toán phổ thông luôn là vấn đề hấp dẫn. Để đáp ứng yêu cầu. nghiên cứu: ứng dụng của phương pháp lượng giác hóa trong việc giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tính tích phân V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN