SKKN Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số

21 2.1K 1
SKKN Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 Nguyễn Thị Mỹ Hạnh – THPT Phan Đình Phùng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc giải một bài toán là một quá trình phân tích, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán, thử hết cách này cách khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giải toán phải trải qua để đi đến lời giải thỏa đáng là gì? Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hóa người học với phương châm “Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động”. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THPT qua nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế giảng dạy, tôi thấy: trong chương trình Toán lớp 10 SGK mới, phần đầu của lượng giác ở THPT đã được đưa xuống dạy cuối lớp 10. Cách làm này được xem là tránh dồn dập toàn bộ nội dung lượng giác trong một năm học. Học sinh từ chổ mới chỉ được làm quen với một số đẳng thức lượng giác đơn giản thông qua các bài toán hình học thì nay phải tiếp cận với hệ thống kiến thức mới hết sức trừu tượng và phong phú, nên bước đầu các em sẽ không tránh phải cảm giác e ngại, né tránh các bài toán về biến đổi lượng giác, bởi các em thấy nó tương đối “xa lạ” so với những bài toán đại số mà các em gặp từ trước đến nay. Việc biến bài toán đại số thành bài toán lượng giác hay “lượng giác hóa bài toán đại số” sẽ ít nhiều gúp các em thấy các kiến thức lượng giác gần gủi hơn, lí thú hơn, từ đó tiếp cận các bài toán lượng giác được dễ dàng hơn. Các bài toán đại số có thể sử dụng phương pháp lượng giác hóa thì rất nhiều, tuy nhiên trong phạm vi kiến thức của học sinh lớp 10, tôi nhận thấy lớp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức sử dụng phương pháp này là khá lí thú. Để giúp học sinh thấy được những mặt ưu việt của phương pháp lượng giác hóa và nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán đại số, đồng thời hiểu một cách sâu sắc hơn kiến thức về lượng giác, tôi chọn đề tài “Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số”. Với đề tài này tôi hi vọng, tôi hi vọng sẽ giúp các em học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán lượng giác, có được các hướng triển khai khác nhau khi gặp bài toán đại số, thấy được mối liên hệ mật thiết, qua lại giữa các phân môn của Toán học với nhau. Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiển, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất. 2 1.2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài tập trung vào ngiên cứu làm sáng tỏ việc dùng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán đại số. 1.3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu, sử dụng chương trình Sách giáo khoa THPT và một số tài liệu tham khảo. 1.4. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán theo yêu cầu đổi mới chương trình SGK hiện nay. 1.5. GIẢ THIẾT KHOA HỌC Từ tiềm năng SGK, áp dụng các phương pháp dạy học và sử dụng các phương tiện hiện có, nếu giáo viên quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán được cải thiện. 1.6. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau: - Hệ thống hóa các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh. - Hệ thống hóa các kiến thức và ví dụ về giải các bài toán đại số bằng phương pháp lượng giác hóa. - Thực nghiệm sư phạm để xét tính khả thi và hiệu quả đề tài. 1.7. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sử dụng các phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách lý luận dạy học, các tài liệu về tâm lí học, giáo dục học, toán học, logic học về những vấn đề liên quan đến đề tài. - Nghiên cứu thực tiển: Khảo sát tình hình dạy học môn Toán ở trường THPT X trên địa bàn Hà Tĩnh. - Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả đề tài. 1.8. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI - Về lý luận: Đã đưa ra được hệ thống các kiến thức cơ sở và các dấu hiệu sư dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải bài toán đại số. - Về thực tiển: Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học. 3 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1. CƠ SỞ KHOA HỌC - Phần lượng giác được trình bày trong chương trình Toán THPT ở cuối lớp 10, đầu lớp 11. Nội dung kiến thức của nó tương đối trừu tượng và mới mẻ đối với học sinh. Tuy nhiên nó lại có ý nghĩa rất quan trọng trong việc rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh. - Trên thực tế, hầu hết giáo viên khi dạy phần lượng giác đều chỉ chú trọng dạy phần kiến thức ở SGK, chưa nêu được ý nghĩa của nó và mối liên hệ của lượng giác với các phần khác của Toán THPT, làm cho học sinh có phần hạn chế trong việc tiếp nhận kiến thức của nội dung này. Vì vậy đề tài của tôi tập trung vào nghiên cứu sử dụng lượng giác hóa để giải các bài toán đại số. 2.2. ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG 2.2.1. Mục tiêu đánh giá Nắm khả năng tiếp thu kiến thức lượng giác của học sinh. 2.2.2. Công cụ và nội dung đánh giá Trước khi áp dụng đề tài vào dạy học tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh (năng lực khá) bằng các bài tập: Bài 1. Giải các phương trình lượng giác: a) 3)sin(cossin3)1(tansin 2  xxxxx b) x xxx 2 sin 6 2sin4)cot(tan3  . Bài 2. Giải các phương trình và hệ phương trình: a) 23 134 xxx  b)        2)1)(1( 111 22 yx xyyx . 2.2.3. Kết quả thu được Tôi đã thực hiện khảo sát ở 2 lớp 11A2 và 11A4, mỗi lớp gồm 20 HS khá và kết quả thu được: - Lớp 11A2: có 8/20 em đạt điểm 5 trở lên chiếm tỉ lệ: 40% - Lớp 11A4: có 7/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 35% Qua kết quả đó tôi thấy: - Số lượng học sinh không giải được bài tập 2 rất nhiều, trong đó: chưa có nguồn kiến thức và kỹ năng cần thiết và không định hướng được phương pháp giải là chủ yếu. - Đa số còn lúng túng trong việc ứng dụng, khai thác và mở rộng các kiến thức về lượng giác. 4 2.3. CÁC GIẢI PHÁP 2.3.1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Nếu 11    a thì tồn tại duy nhất x với - 2 2    x sao cho ax  sin và tồn tại duy nhất y với    y0 sao cho a y  cos . 2. Nếu 10   a thì tồn tại duy nhất x với 2 0   x sao cho ax  sin và tồn tại duy nhất y với 2 0   y sao cho a y  cos . 3. Với mỗi số thực a luôn tồn tại duy nhất x với 2 2    x sao cho a x  tan . 4. Nếu các số thực a và b thỏa mãn hệ thức 1 22 ba thì tồn tại duy nhất t với  20   t sao cho t a cos  và tb sin  . 5. Các hệ thức lượng trong tam giác. 6. Các công thức biến đổi lượng giác đã học. 2.3.2. ĐẶC ĐIỂM NHẬN DẠNG VÀ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI 1. Nếu 1x thì đặt    ;0,cos  ttx hoặc        2 ; 2 ,sin  ttx . 2. Nếu )0(,  RRx thì đặt    ;0,cos  ttRx hoặc sin , ; . 2 2 x R t t            3. Nếu 1x thì đặt        2 3 ;() 2 ;0, cos 1    t t x . 4. Nếu 0 Rx thì đặt ] 2 3 ;() 2 ;0[, cos     t t R x . 5. Nếu 1 22  yx thì đặt ]2;0[, sin cos        t ty tx . 6. Nếu )0( 222  RRyx thì đặt ]2;0[, sin cos        t tRy tRx . 7. Nếu )0()()( 222  RRbyax thì đặt ]2;0[, sin cos        t tRby tRax . 8. Nếu )0,(1 2 2 2 2  ba b y a x thì đặt ]2;0[, sin cos        t tby tax . 9. Nếu )0,,()()( 222     RbaR b y a x   thì đặt 5 cos , [0;2 ]. sin x aR t t y bR t            . 10. Nếu trong bài toán có xuất hiện biểu thức 1 2 x thì đặt ) 2 ; 2 (,tan    ttx . 11. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức )0( 22  RRx thì đặt ) 2 ; 2 (,tan    ttRx . 12. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức )0,()( 22  babax thì đặt ) 2 ; 2 (,tan    tt a b x . 13. Nếu trong bài toán xuất hiện x không ràng buộc bởi điều kiện gì ta cũng có thể đặt ) 2 ; 2 (,tan    ttx . 14. Nếu trong bài toán có xuất hiện một hay nhiều biểu thức có dạng: , 31 3 , 1 1 , 1 2 , 1 , 1 2 2 2 2 2 x xx x x x x xy yx xy yx          thì ta cũng có thể đặt  tan  x và  tan  y , ) 2 ; 2 (,     . 15. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn: 1    cabcab thì tồn tại tam giác ABC để 2 tan, 2 tan, 2 tan C c B b A a  . 16. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn: abccba    thì tồn tại tam giác ABC để CcBbAa tan,tan,tan    . 17. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn: (*) 222 bccba   thì tồn tại tam giác ABC có 3 cạnh thỏa mãn điều kiện (*) và dể dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số Cos. 18. Nếu cba ,, là 3 số thực dương thỏa mãn: 1,,  cba và abccba 21 222  thì tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho: CcBbAa cos,cos,cos    . 2.3.3. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 2.3.3.1. CÁC VÍ DỤ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1. Giải phương trình: )121(11 22 xxx  . Lời giải Điều kiện: 11    x . Đặt ] 2 ; 2 [,sin    ttx , phương trình trở thành: 6 2 2 1 1 sin sin (1 2 1 sin ) 1 cos sin (1 2cos ) 2 cos sin sin 2 2 t t t t t t t t t             3 2 cos 2sin cos 2 2 2 3 2 cos (sin ) 0 2 2 2 t t t t t      cos 0 1 2 6 2 3 2 1 sin 2 2 2 t t x t x t                            Vậy phương trình có hai nghiệm 1  x và 2 1 x . Ví dụ 2. Giải phương trình: )1(2 )1( 2 1 1 2 222 2 xx x x x x      . Lời giải Đặt , tan t x  với        0; 4 ), 2 ; 2 (  tt , phương trình trở thành: )tan1(tan2 )1(tan tan2 1tan 1tan 2 222 2 tt t t t t      3 3 6 2 1 sin 0sin2sin2sin4 0) )sin21(sin2 1 sin2 1 1( cos 1 2coscossin2 1 cossin2 1 cos 1 23 2       xtt ttt tt tt tttttt  Vậy phương trình có 1 nghiệm 3 3 x . Ví dụ 3. Giải phương trình: xxxx 310442623 2  (Đề thi ĐH khối B – 2011) Lời giải Điều kiện: 22    x . Đặt tx cos2  , phương trình trở thành: 7 2 2 2 3 2 2cos 6 2 2cos 4 4 4cos 10 6cos 3 2 cos 6 2 sin 8 sin 16sin 4cos 2 2 2 2 t t t t t t t t t             2 2 4(4sin 4 sin cos cos ) 3 2(2 sin cos ) 0 2 2 2 2 2 2 (2 sin cos )(8 sin 4 cos 3 2) 0 2 2 2 2 t t t t t t t t t t            2 sin cos 0 2 2 8 sin 4 cos 3 2 0( ) 2 2 t t t t VN             2 1 4 3 6 tan cos cos 2 2 2 5 5 5 t t t x          Vậy phương trình có 1 nghiệm 6 5 x   Ví dụ 4. Giải phương trình: (3 2 2) ( 2 1) 3. x x     Lời giải Ta có: 12 1 12   và 223)12( 2  , do đó đặt: )0(,)12(2  tt x phương trình trở thành: 2 3 1 1 4 3 4 3 0 2 2 t t t t       Dễ thấy hàm số 2 1 34)( 3  tttf là hàm đồng biến trên ); 2 1 (  nên 1,0)(    ttf , do đó phương trình vô nghiệm trên );1[  Với 10   t , đặt ) 2 ;0(,cos   uut , ta được phương trình: 3 1 2 1 2 1 2 1 4cos 3cos 0 2 1 cos3 2 cos log 2cos 9 9 9 5 5 5 cos log 2cos 9 9 9 7 7 7 cos log 2cos 9 9 9 u u u u t x u t x u t x                                                         Vậy phương trình có 3 nghiệm: 8 . 9 7 cos2log, 9 5 cos2log, 9 cos2log 212121      xxx Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1. 23 3  xxx 2.   2332 12)1()1(11 xxxx  3. 22 1 2    x x x 4. 23 134 xxx  5. ) 3 3 1(2 1 11 2    x x . 2.3.3.2. CÁC VÍ DỤ VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:        31 11 2 2 xy yx . Lời giải Điều kiện:      11 11 y x . Với điều kiện đó, ta đặt ];0[,cos],;0[,cos       vvyuux . Hệ trở thành 2 2 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin 3 cos 1 cos 3 u v u v v u v u                      cos 3 sin 3cos sin 4 (*) u u v v     Mặt khác, 4)sin)(cos13()cos)(sin31(sincos3sin3cos 2222  vvuuvvuu Do đó,                                                 2 3 cos 2 1 cos 4 3 cos 0cos 4 1 cos 0cos 3 1 tan 0cos 3tan 0cos 3 1 cos sin 3 cos sin (*) 2 2 2 2 v u v v u u v v u u v v u u           2 3 2 1 y x 9 Thử lại ta thấy          2 3 2 1 y x thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm:          2 3 2 1 y x . Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:            y x x x y y 2 2 1 2 1 2 Lời giải Đặt: )) 2 ; 2 (,( tan tan        vu vy ux , hệ trở thành:                        uuvv vvuu vu uv v u u u v v sincoscossin2 sincoscossin2 tan2sin tan2sin tan tan1 tan2 tan tan1 tan2 2 2 Nếu 0sin  u thì 0sin  v và ngược lại nên )0;0( là 1 nghiệm của hệ. Nếu 0sin  u thì 0sin  v , từ hệ ta suy ra vu sin,sin cùng dấu và vuvu u v v u  sinsin sin sin sin sin Với v u  , ta suy ra          4 4 02cos12cos1 2 1 cos 2   u u uuu       1 1 yx yx Thử lại ta thấy 3 nghiệm trên đều thỏa mãn hệ. Vậy hệ có 3 nghiệm: )1;1(),1;1(),0;0(   . Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:        xxyxy yxxxy 1212 13122 2 3 (Đề thi HSG Đắc Lak 2010) Lời giải 10 Từ phương trình (1): 3 2 2 1 3 1 y x x x y      )1()( 1)1(22 33 xfyf xxyy   Với tttf  3 2)( là hàm đồng biến trên R, từ đó suy ra xy  1 Thay vào phương trình thứ 2 ta có: (*)112121 2 xxxxx  Đặt: );0(,cos    ttx , phương trình (*) trở thành: ttttt cos1cos1cos21cos2cos1 2  2 sin cos2 2cos sin 2 t t t t    cos2 sin 2 2 sin 2 t t t   sin(2 ) sin 4 2 t t     3 cos 2 2 3 10 4 2 3 10 2 2 2 cos 4 2 20 t x t k t t t k y                                 Vậy phương trình có nghiệm:          20 3 cos2 10 3 cos   y x Bài tập tự luyện Giải các hệ phương trình sau: 1.        2)1)(1( 111 22 yx xyyx 2.        34 4 11 2 2 2 y y x yxx 3.        11212 111 22 22 xyyx xyyx 4.            y x x x y y 2 2 1 2 1 2 2.3.3.3. CÁC VÍ DỤ VỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC [...]... vận dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải toán, hiểu được mối liên hệ giữa các phân môn của toán học 19 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết quả đạt được Đề tài trình bày việc sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số, tập trung vào giải quyết dạng toán: Giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức Đã trình bày đầy đủ các dạng mà có thể lượng giác hóa được,... khi được tiếp cận phương pháp mới này Tuy nhiên phương pháp này không phải là chìa khóa để giải tất cả các bài toán đại số mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một số dạng bài toán nhất định cho nên chỉ nên xem phương pháp này như là một phương pháp bổ trợ mà thôi Tôi tin tưởng rằng nếu học sinh vận dụng tốt phương pháp này thì việc giải toán đại số sẻ thuận lợi hơn rất nhiều Đề tài đã thông qua tổ... các bài tập tự luyện Thông qua lời giải cho mỗi ví dụ ta thấy rằng có nhiều bài toán đại số khi sử dụng phương pháp lượng giác hóa sẻ cho lời giải rất đẹp, gọn gàng, dể hiểu và nhanh chóng, một số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của phương pháp Đặc biệt khi tôi dạy thử nghiệm nội dung này cho đội tuyển học sinh giỏi thì nhiều em tỏ ra thích thú khi được tiếp cận phương pháp mới này Tuy nhiên phương. .. thử nghiệm dạy nội dung này cho 20 học sinh khá ở 2 lớp 11A2, 11A4 tôi đã tiến hành làm bài kiểm tra với cấu trúc đề gồm 2 câu phương trình lượng giác ở mức độ thi Đại học, 1 câu giải hệ phương trình, 1 câu chứng minh bất đẳng thức có thể giải được bằng phương pháp lượng giác hóa Kết quả thu được như sau: Lớp 11A2 : có 20/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 100%, trong đó có 5 em đạt điểm giỏi Lớp...Ví dụ 8 Chứng minh BĐT Bunhiacopski cho hai số: (ax  by ) 2  (a 2  b 2 )( x 2  y 2 ), a, b, x, y   Lời giải Có nhiều cách để chứng minh BĐT này, tuy nhiên sử dụng lượng giác hóa để chứng minh theo tôi vẩn là một hướng đi hay Sau đây là lời giải:  Nếu a 2  b 2  0 hoặc x 2  y 2  0 , BĐT hiển nhiên đúng  Nếu a 2  b 2  0 và x 2  y 2... đồng khoa học góp ý để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn 3.3 Kiến nghị và đề xuất - Phương pháp lượng giác hóa được trình bày trong đề tài này chỉ phù hợp với học sinh có học lực khá trở lên do đó chỉ xem nó như là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học, Cao đẳng, không nên giảng dạy đại trà cho tất cả học... chuyên môn đánh giá cao và coi đây là tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học, Cao đẳng Với những kết quả đạt được trong đề tài, tôi hy vọng rằng đề tài sẽ là tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng Đề tài là kinh nghiệm, tâm huyết của các nhân thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những...  2   A B  C  3  3  Bài tập tự luyện 1 Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn : a 2  b 2  c 2  abc  4 CMR : a  b  c  3 1 Cho x, y , z là các số dương thỏa mãn : x  y  z  xyz CMR : 2 1 x2  1 1 y2  1 1 z2  9 4 2 Cho x, y , z là các số dương thỏa mãn : xy  yz  zx  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x y z   2 2 1 x 1 y 1 z2 18 3 Cho 3 số không âm a, b, c thỏa mãn :... 2 )  2 10 2 2 2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 13 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc  a  c  b Chứng minh rằng 2 2 3 10    2 2 2 3 1 a 1 b 1 c Lời giải 1 b 1 b Ta có, abc  a  c  b  ac  a  c  1 A 2 Khi đó ta có thể đặt a  tan , 1 B C  tan , c  tan với A, B, C là 3 góc của b 2 2 một tam giác Bất đẳng thức trở thành 13 2 1  tan 2 A 2  2 cos 2 2  1  cot 2 B 2 3 ... 2 2 2 A B C sin sin  cos A cos B cos C 2 2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh 15 Ví dụ 16 Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn: x  y  z  xyz Chứng minh rằng x 1 x 2  y 1 y z  2 1 z  2 3 3 2 Lời giải Vì x, y , z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz nên tồn tại tam giác ABC sao cho x  tan A, y  tan B, z  tan C Khi đó, x 1 x 2  tan A 2 y  sin A, 1  tan A 1 y Ta cần chứng . được Đề tài trình bày việc sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số, tập trung vào giải quyết dạng toán: Giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng. các bài toán đại số, đồng thời hiểu một cách sâu sắc hơn kiến thức về lượng giác, tôi chọn đề tài Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số . Với đề tài này tôi hi vọng,. bài toán về biến đổi lượng giác, bởi các em thấy nó tương đối “xa lạ” so với những bài toán đại số mà các em gặp từ trước đến nay. Việc biến bài toán đại số thành bài toán lượng giác hay “lượng

Ngày đăng: 24/12/2014, 13:26

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan