SKKN Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số

Học sinh từ chổ mới chỉ được làm quen với một số đẳng thức lượng giác đơn giản thông qua các bài toán hình học thì nay phải tiếp cận với hệ thống kiến thức mới hết sức trừu tượng và phon

Nguyễn Thị Mỹ Hạnh – THPT Phan Đình Phùng

1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Việc giải một bài toán là một quá trình phân tích, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán, thử hết cách này cách khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giải toán phải trải qua để đi đến lời giải thỏa đáng là gì?

Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hóa người học với phương châm “Học tập trong hoạt động

và bằng hoạt động” Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THPT qua nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế giảng dạy, tôi thấy: trong chương trình Toán lớp 10 SGK mới, phần đầu của lượng giác ở THPT đã được đưa xuống dạy cuối lớp 10 Cách làm này được xem là tránh dồn dập toàn bộ nội dung lượng giác trong một năm học Học sinh từ chổ mới chỉ được làm quen với một số đẳng thức lượng giác đơn giản thông qua các bài toán hình học thì nay phải tiếp cận với hệ thống kiến thức mới hết sức trừu tượng và phong phú, nên bước đầu các em sẽ không tránh phải cảm giác e ngại, né tránh các bài toán về biến đổi lượng giác, bởi các em thấy nó tương đối “xa lạ” so với những bài toán đại số mà các em gặp từ trước đến nay Việc biến bài toán đại

số thành bài toán lượng giác hay “lượng giác hóa bài toán đại số” sẽ ít nhiều gúp các em thấy các kiến thức lượng giác gần gủi hơn, lí thú hơn, từ đó tiếp cận các bài toán lượng giác được dễ dàng hơn

Các bài toán đại số có thể sử dụng phương pháp lượng giác hóa thì rất nhiều, tuy nhiên trong phạm vi kiến thức của học sinh lớp 10, tôi nhận thấy lớp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức sử dụng phương pháp này là khá lí thú Để giúp học sinh thấy được những mặt ưu việt của phương pháp lượng giác hóa và nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán đại số, đồng thời hiểu một cách sâu

sắc hơn kiến thức về lượng giác, tôi chọn đề tài “Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số”

Với đề tài này tôi hi vọng, tôi hi vọng sẽ giúp các em học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán lượng giác, có được các hướng triển khai khác nhau khi gặp bài toán đại số, thấy được mối liên hệ mật thiết, qua lại giữa các phân môn của Toán học với nhau Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiển, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt

nhất

1.2 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đề tài tập trung vào ngiên cứu làm sáng tỏ việc dùng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán đại số

1.5 GIẢ THIẾT KHOA HỌC

Từ tiềm năng SGK, áp dụng các phương pháp dạy học và sử dụng các phương tiện hiện có, nếu giáo viên quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán được cải thiện

1.6 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:

- Hệ thống hóa các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện

kỹ năng toán học cho học sinh

- Hệ thống hóa các kiến thức và ví dụ về giải các bài toán đại số bằng phương pháp lượng giác hóa

- Thực nghiệm sư phạm để xét tính khả thi và hiệu quả đề tài

1.7 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Sử dụng các phương pháp:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách lý luận dạy học, các tài liệu về tâm lí học, giáo dục học, toán học, logic học về những vấn

đề liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu thực tiển: Khảo sát tình hình dạy học môn Toán ở trường THPT X trên địa bàn Hà Tĩnh

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả đề tài

1.8 DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

- Về lý luận: Đã đưa ra được hệ thống các kiến thức cơ sở và các dấu hiệu sư dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải bài toán đại số

- Về thực tiển: Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học

2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 CƠ SỞ KHOA HỌC

- Phần lượng giác được trình bày trong chương trình Toán THPT ở cuối lớp 10, đầu lớp 11 Nội dung kiến thức của nó tương đối trừu tượng

và mới mẻ đối với học sinh Tuy nhiên nó lại có ý nghĩa rất quan trọng trong việc rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh

- Trên thực tế, hầu hết giáo viên khi dạy phần lượng giác đều chỉ chú trọng dạy phần kiến thức ở SGK, chưa nêu được ý nghĩa của nó và mối liên hệ của lượng giác với các phần khác của Toán THPT, làm cho học sinh có phần hạn chế trong việc tiếp nhận kiến thức của nội dung này Vì vậy đề tài của tôi tập trung vào nghiên cứu sử dụng lượng giác hóa để giải các bài toán đại số

2.2 ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG

2.2.1 Mục tiêu đánh giá

Nắm khả năng tiếp thu kiến thức lượng giác của học sinh

2.2.2 Công cụ và nội dung đánh giá

Trước khi áp dụng đề tài vào dạy học tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh (năng lực khá) bằng các bài tập:

Bài 1 Giải các phương trình lượng giác:

a)sin2 x(tanx 1 )  3 sinx(cosx sinx)  3 b)

x x

x x

2 sin

6 2

sin 4 ) cot (tan

Bài 2 Giải các phương trình và hệ phương trình:

1 3

1 (

1 1

y x

x y y x

2.2.3 Kết quả thu được

Tôi đã thực hiện khảo sát ở 2 lớp 11A2 và 11A4, mỗi lớp gồm 20 HS khá

và kết quả thu được:

- Lớp 11A2: có 8/20 em đạt điểm 5 trở lên chiếm tỉ lệ: 40%

- Lớp 11A4: có 7/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 35%

Qua kết quả đó tôi thấy:

- Số lượng học sinh không giải được bài tập 2 rất nhiều, trong đó: chưa

có nguồn kiến thức và kỹ năng cần thiết và không định hướng được phương pháp giải là chủ yếu

- Đa số còn lúng túng trong việc ứng dụng, khai thác và mở rộng các kiến thức về lượng giác

2.3 CÁC GIẢI PHÁP

2.3.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1 Nếu  1 a 1 thì tồn tại duy nhất x với

-2 2

 x sao cho sin x  a và tồn

tại duy nhất y với

2



 y sao cho cosy  a

3 Với mỗi số thực a luôn tồn tại duy nhất x với

2 2

4 Nếu các số thực a và b thỏa mãn hệ thức a2  b2  1 thì tồn tại duy nhất

t với 0 t  2 sao cho a cost và b sint

5 Các hệ thức lượng trong tam giác

6 Các công thức biến đổi lượng giác đã học

2.3.2 ĐẶC ĐIỂM NHẬN DẠNG VÀ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI

1 Nếu x  1 thì đặt x cost, t0 ; hoặc   

2

; 2 ,

t t

; 0 ,

cos



 t

; 0 [ , cos

t x

t R x

t R a x

8 Nếu 2 1 ( , 0 )

2 2

t a x

9 Nếu (  )2  (  )2 R2 (a,b,R 0 )

b

y a

thì đặt

cos , [0; 2 ].

; 2 ( ,

; 2 ( ,

; 2 ( ,

3 , 1

1 , 1

2 , 1

,

2 2

2 2

x

x x x

x x

x xy

y x xy

2 tan ,

18 Nếu a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a,b,c 1 và

abc c

b

a2  2  2  1  2 thì tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

C c

B b

1 1 sin sin (1 2 1 sin )

1 cos sin (1 2 cos )

2 cos sin sin 2 2

x t

) 1 ( 2

1

2 2 2

2

x x

x x

x x

; 2

) 1 (tan tan

2

1 tan 1

2 2 2

2

t t

t t

t t

2

1 sin

0 sin 2 sin 2 sin 4

0 ) ) sin 2 1 ( sin 2

1 sin

2

1 1 ( cos 1

2 cos cos sin 2

1 cos

sin 2

1 cos

1

2 3

t

t t

t

t t

t t

t t t t

t t

3 2 2 cos 6 2 2 cos 4 4 4 cos 10 6 cos

3 2 cos 6 2 sin 8 sin 16sin 4 cos

1 1 2

f là hàm đồng biến trên ; )

2

1 (  nên 1

9

7 cos 2 log ,

9

5 cos 2 log ,

9 cos 2

1 3

4x  x x

3

3 1 ( 2 1

1 1

1 1

2 2

x y

y x

1 1

y

x

Với điều kiện đó, ta đặt x cosu, u [ 0 ;], y cosv, v [ 0 ;] Hệ trở thành

2 2

1 3 ( ) cos )(sin

3 1 ( sin

cos 3 sin

2

1 cos

4

3 cos

0 cos

4

1 cos

0 cos

3

1 tan

0 cos

3 tan

0 cos

3

1 cos sin

3 cos

sin (*)

v v u u

v v u u

v v u u

y x

x y y

2 2

1 2 1 2

Lời giải

2

; 2 ( , ( tan

u x

v v

v v u u v

u

u v

v u

u

u v

v

sin cos cos sin 2

sin cos cos sin 2 tan

2 sin

tan 2 sin

tan tan

1

tan 2

tan tan

1

tan 2

2

2

Nếu sinu  0 thì sinv 0 và ngược lại nên ( 0 ; 0 )là 1 nghiệm của hệ

Nếu sinu  0 thì sinv 0, từ hệ ta suy ra sinu sin, v cùng dấu và

v u v u

2 cos 1

2 cos 1 2

1 cos2





u

u u

y x

Thử lại ta thấy 3 nghiệm trên đều thỏa mãn hệ

y

y x x

x y

1 2 1 2

1 3 1

2 2

2 3

(Đề thi HSG Đắc Lak 2010)

Lời giải

Từ phương trình (1): 2y  2x 1 x 3 1 xy

) 1 ( ) (

1 ) 1 ( 2

x f

y f

x x

y y

Thay vào phương trình thứ 2 ta có: 1 x  2x2  1  2x 1 x 1 x (*)Đặt: x cost, t ( 0 ;), phương trình (*) trở thành:

t t

t t

4 2

3 10

3 cos

1 (

1 1

y x

x y y x

4

1 1

2 2

2

y

y x

y x x

2 1

2

1 1

1

2 2

2 2

x y y x

x y y x

x y y

2 2

1 2 1 2

2.3.3.3 CÁC VÍ DỤ VỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 8 Chứng minh BĐT Bunhiacopski cho hai số:

2 2 2 2 2

(ax by )  (a b )(x y ), a b x y, , ,  

Lời giải

Có nhiều cách để chứng minh BĐT này, tuy nhiên sử dụng lượng giác hóa

để chứng minh theo tôi vẩn là một hướng đi hay Sau đây là lời giải:

) (

1 ) (

) (

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

y x

y y

x x

b a

b b

2 2

2 2

2 2

2 2

v y x y

v y x x

u b a b

u b a a

(*) luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

2

1 ) 1 )(

1 (

) 1 )(

( 2

ab b

tan 1 (

) tan tan 1 )(

tan (tan

) 1 )(

1 (

) 1 )(

(

2 2

2 2

v u

v u v

u b

a

ab b

a A

cos cos

) cos(

) sin(

cos

v u

v u

v u v u v u

Ví dụ 10 Chứng minh rằng nếu x  1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta

n n

n n

n n

n n n

t t

t t

2 ) 2

sin 2 (cos 2

2 2 sin 2 2 cos 2

2 2

2 2



2 cos

2 sin

0  t 

Do đó,

2

sin 2 sin , 2

cos 2 cos2n t  2 t 2n t  2 t

2

sin 2

cos 2

sin 2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 11 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãnx  y 1 Chứng minh

2

17 1 1

2 2 2 2

Lời giải

Ta có, x y ( x)2  ( y)2  1 và x, y là các số thực dương, do đó ta có thể đặt x  cos ,t y  sint với (0; ).

4

1

cos sin 16 (1 2 sin cos )(1 )

2 sin 1

2



2 sin

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 12 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abbcca 1 Chứng

1

3 1

b a

a

Lời giải

Vì a,b,c là các số thực dương và abbcca 1 nên luôn tồn tại tam giác

ABC sao cho

2 tan

; 2 tan

; 2

A A

B B

1 sin 2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 13 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abcacb Chứng minh rằng

3

10 1

3 1

2 1

2

2 2

Khi đó ta có thể đặt

2 tan ,

2 tan

1 , 2

b

A

a   với A,B,C là 3 góc của một tam giác Bất đẳng thức trở thành

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 14 (Đề thi ĐH khối A-2009) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

yz z

)(

( 3 ) ( ) (x y  xz  x y yz zx  yz

, 2

c b a z b c a y a c b

60 2

1 2

cos      A

bc

a c b A

 2 3 (sinB sinC)  12 sinBsinC 15

2 cos 2 2

cos 2 sin 2 sin sinB C  BC BC  A 

4

3 4

) sin (sin

sin sin

Từ đó suy ra, 2 3 (sinB sinC)  12 sinBsinC 15

Đây chính là điều phải chứng minh

Ví dụ 15 Cho 3 số không âm a,b,c thỏa mãn: 2 2 2 4

Lời gải

Vì a,b,c  0 và a2 b2 c2 abc 4 nên 0 a,b,c 2

Đặt a 2 cosA, b 2 cosB, c 2 cosC với

2 , ,.

C B A C

B

Khi đó:

C B A C

B A

C B A C

B A

abc c b a

cos cos cos 2

sin 2

sin 2 sin

2 cos cos cos 8 ) cos cos

(cos 2

)) cos(

1 2 sin 2 ( 2 1

)) cos(

cos ( 2 1

)) cos(

) (cos(

2

1 cos cos

2

2

C

B A C

B A C

B A B

A B

cos , 2 sin cos

cosB C  2 A C A 2 B

Từ đó suy ra: A B C cosAcosBcosC

2

sin 2

sin 2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 16 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xyz xyz Chứng minh rằng

2

3 3 1

y x

x

Lời giải

Vì x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x yz xyz nên tồn tại tam giác

ABC sao cho x tanA, y tanB, z  tanC

sin A B C 

Thật vậy,

2 sin 2 2

cos 2 sin 2 sin sin A B AB AB  AB

2

Đây chính là điều phải chứng minh

Ví dụ 17: (Đề thi ĐH khối B năm 2008) Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn x2  y2  1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2 2

2 2 1

) 6 ( 2

y xy

xy x

t x

, ta có

2

2

2(cos 6sin cos ) cos 2 6 sin 2 1

1 2 sin cos 2 sin 2 sin 2 cos 2

Vậy, MaxP 3 khi

3 10 ( 0), 1

10

x

xy y

2 13

x

xy y

y x

1 1

1 1

y x

1 1

1 1

B x

2 1

y x

x P

1 tan 1 tan 1 tan sin 2 sin 2 cos 2

2sin cos( ) 1 2sin

12

5 tan tan

tan

3

1 tan

2

1 sin

2

z

y x B

A

C C

xyz xz

y

y yz x

x P

yz x

zy z

xy z

xy y

xz z y

y

zx B

x

yz A







2 tan , 2

tan , 2

Khi đó,

2 tan 1 2 tan

2 tan 1 1

2 tan 1

1

2 2

C B

1 1

1 1

2

2 2

2

1 1

z y

y x

x P

3 Cho 3 số không âm a,b,c thỏa mãn : abcabc Chứng minh rằng :

3 2

1 1

1 1

1

1  2   2   2 

c b

4 Cho x, y là các số thực thỏa mãn : x2  y2  1 Chứng minh rằng :

1 4

2 2

2 2

1 1

1 1

1

x z z

y

z y y

x

y x

Lớp 11A2 : có 20/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 100%, trong đó có

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết quả đạt được

Đề tài trình bày việc sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một

số bài toán đại số, tập trung vào giải quyết dạng toán: Giải phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức

Đã trình bày đầy đủ các dạng mà có thể lượng giác hóa được, giúp học sinh nhận dạng và sử dụng phép biến đổi phù hợp

Đã nêu hệ thống các ví dụ minh họa và các bài tập tự luyện Thông qua lời giải cho mỗi ví dụ ta thấy rằng có nhiều bài toán đại số khi sử dụng phương pháp lượng giác hóa sẻ cho lời giải rất đẹp, gọn gàng, dể hiểu và nhanh chóng, một số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của phương pháp Đặc biệt khi tôi dạy thử nghiệm nội dung này cho đội tuyển học sinh giỏi thì nhiều em tỏ ra thích thú khi được tiếp cận phương pháp mới này Tuy nhiên phương pháp này không phải là chìa khóa để giải tất cả các bài toán đại số mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một số dạng bài toán nhất định cho nên chỉ nên xem phương pháp này như là một phương pháp

bổ trợ mà thôi Tôi tin tưởng rằng nếu học sinh vận dụng tốt phương pháp này thì việc giải toán đại số sẻ thuận lợi hơn rất nhiều

Đề tài đã thông qua tổ chuyên môn, đã được tổ chuyên môn đánh giá cao và coi đây là tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học, Cao đẳng

Với những kết quả đạt được trong đề tài, tôi hy vọng rằng đề tài sẽ là tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng

Đề tài là kinh nghiệm, tâm huyết của các nhân thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Rất mong hội đồng khoa học góp ý để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn

3.3 Kiến nghị và đề xuất

- Phương pháp lượng giác hóa được trình bày trong đề tài này chỉ phù hợp với học sinh có học lực khá trở lên do đó chỉ xem nó như là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học, Cao đẳng, không nên giảng dạy đại trà cho tất cả học sinh

- Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho học sinh, tôi mong muốn rằng nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu được đến tay những giáo viên và học sinh yêu thích môn toán